Uegentlige integraler og uendelige summer
På det første år af civilingeniørstudiet på DTU møder man et vigtigt koncept kaldet uegentlige integraler, som omhandler integraler over semi-uendelige eller uendelige intervaller eller over integrander, som antager "værdien" uendelig på integrationsintervallet. På dette sted bliver man for første gang stillet over for overvejelsen, om sådanne integraler er konvergente eller divergente - eller kort sagt om de på meningsfyldt vis kan tilskrives en værdi eller ej.
I gymnasiet har man lært om integraler som mål for et areal - regnet med fortegn - mellem kurven for integranden og integrationsaksen. Det kan således i første omgang virke fristende at konkludere, at et sådant areal må være uendeligt stort, hvis integranden strækker sig ud til uendelig, særligt hvis integranden alle steder er positiv. Dette er imidlertid ikke tilfældet, forudsat at integranden tilpas hurtigt bliver tilpas lille - hvilket f.eks. er tilfældet for funktionen exp(-x^2), som er integranden i det såkaldte gaussiske integral, hvis integral fra x = -uendelig til x = +uendelig er kvadratroden af pi.
Senere i studiet møder man uendelige rækker, hvor tilsvarende overvejelser gør sig gældende - for kan man lægge uendeligt mange tal sammen og få en endelig værdi ud af denne sum? Det kan man, viser det sig, og man lærer forskellige tests til at afgøre, om en uendelig række er konvergent eller divergent.
Ovenstående er baseret på stringent matematik, og for både integraler og summer gælder det, at integranden/sum-elementet i grænsen hvor integrationsvariablen/sum-indekset går imod uendelig skal gå imod nul, for at integralet/summen har en chance for at være konvergent. Dette er for summer den såkaldte n'te-ledstest.
Som fysiker gør man flittigt brug af både uegentlige integraler og uendelige summer, og på et tidspunkt, når man når tilpas langt ud af den teoretiske fysiks brogede spor, begynder man at komme en smule i klammeri med de stringente matematiske betingelser - og hvad gør man så, når integraler og summer, som formelt er divergente, bare SKAL være konvergente?
(Kilde: xkcd.com)
Man gør to ting: Man sætter sig ind i, hvad matematiske distributioner er - og så bliver man kreativ på en måde, som matematikere har det svært med, men hvor man samtidig holder tungen lige i munden og ikke forbryder sig alt for meget imod matematikken.
Distributioner (f.eks. Dirac delta funktionen)
Som fysiker stifter man tidligt i studiet bekendtskab med Dirac delta funktionen, delta(x), som på trods af sit navn ikke er en funktion, men en distribution. Kort fortalt består denne skelnen i, at vi ikke kan definere denne som delta(x) = (et eller andet udtryk, som afhænger af x), men derimod definerer den ud fra, at f(0) = int_I f(x) * delta(x) dx (forudsat, at x = 0 er inkluderet i integrationsintervallet I). Dvs. Dirac delta funktionen er defineret ud fra, hvad den gør ved funktionen f(x), når vi multiplicerer denne med delta(x) og integrerer dette produkt over x.
På trods af dette tager fysikere sig sommetider den frihed at definere delta(x) = en funktion(x) (se f.eks. ligning (31) på denne side). Denne måde at definere Dirac delta funktionen på er kun meningsfyldt, hvis det er underforstået, at vi senere integrerer delta(x) imod andre funktioner - dvs. vi er kreative ved, på trods af matematikkens kvababbelser herved, at definere delta(x) = en funktion(x), men stadig stringente, idet vi sikrer os kun at bruge denne repræsentation af delta(x), som man ifølge stringent matematik kan med distributioner.
Som et konkret eksempel arbejdede jeg i mit B.Sc.-projekt i 2010 med at udvikle en ny numerisk metode til at behandle åbne strukturer, når man laver computersimuleringer af nanofotoniske komponenter (mere om dette emne i afsnittet "Åbne strukturer og absorberende grænsebetingelser" i dette blogindlæg).
Undervejs i dette arbejde stødte min projektmakker og jeg på integraler som dem i ligningerne (E.20a) og (E.20b) i billedet nedenfor. Grænsen lim_{x --> uendelig} [ exp(i * k * x) ] eksisterer ikke, og man ville derfor ved første øjekast afvise, at de kan tilskrives en brugbar værdi. Men efter en del overvejelser og tanker om emnet, en snak med en matematiker - som næsten skældte os ud for på denne måde at gøre vold på den stringente matematik! - og diverse numeriske eksperimenter lykkedes det os at udtrykke dem (se mere på s. 105-106 i afhandlingen).
Resultatet blev, naturligvis, distributioner over variablen k, som senere skulle integreres over k - hvorfor den kreative tilgang ikke gik på kompromis med den matematiske teori om distributioner.
At hejse et rødt flag og validere den kreative tilgang
Senere, i 2012, arbejdede jeg i mit M.Sc.-projekt med en volumenintegralligning og den dyadiske Greens funktion til at løse optiske spredningsproblemer.
Undervejs skulle der udtrykkes matrixelementer, som ikke senere skulle integreres, og da jeg rendte ind i det uegentlige integral i ligning (B.7) i billedet nedenfor, blev jeg derfor en anelse bekymret. Hvis man udtrykker integranden for store værdier af integrationsvariablen (f.eks. ved brug af de asymptotiske former for Bessel- og Hankel-funktionerne), indser man, at integranden ikke aftager, men blot oscillerer, og dvs. grænsen lim_{r' --> uendelig} [integrand(r') ] eksisterer ikke!
Hvad gør man så? Man bliver et kort øjeblik fortvivlet, for det her virker jo forkert, men derefter går man i gang med at lede i litteraturen - og efter et stykke tid falder man over denne artikel. I ligning (5) heri udtrykkes (B.7)-integralet som en lighed mellem to distributioner - dvs. resultatet er en distribution, men jeg skulle som nævnt ikke integrere det, og det var i sagens natur bekymrende.
Jeg kontaktede derfor forfatterne til artiklen og forklarede, at i mit tilfælde er k_B og k_j (som indgår i integranden i (B.7)-integralet) per konstruktion forskellige - og en lang historie kort: Så kan man se bort fra distributionerne og nå frem til resultatet i ligning (B.8) i billedet nedenfor.
Dette virker måske ikke helt fint i kanten, men som min specialevejleder sagde, kunne vi altid hejse et rødt flag ved netop denne beregning - for at vende tilbage til den, hvis noget senere virkede forkert. Imidlertid viste pengene sig at passe, idet vi f.eks. brugte metoden til at reproducere resultater, som andre - med andre metoder - havde opnået. Derfor viste den kreative tilgang sig igen at løse problemet stringent, selvom integralet umiddelbart virkede uhåndterligt.
En divergent geometrisk række - som har en endelig værdi
Som et sidste eksempel har vi for nylig færdiggjort arbejde, hvor en integrand som den vist i billedet nedenfor skulle integreres over hele den reelle akse (en PDF med billedet kan ses her).
Integrandens real- og imaginærdele (begge i grøn) oscillerer omkring nul, men med en voksende amplitude, hvilket ikke umiddelbart er befordrende for at tilskrive integralet en endelig værdi.
Man kan dog gøre brug af, at integranden er på Bloch bølge-form og omskrive integralet til en uendelig geometrisk række (se ligning (5) i vores arXiv-manuskript) på formen sum_{m = 0 .. uendelig} b^m. Men eftersom |b| > 1, er denne række formelt divergent!
Heldigvis havde vi en stædig og kreativ førsteforfatter, som fandt ud af, at man, under visse betingelser, stadig kan tilskrive denne geometriske række en værdi ved at benytte såkaldt Borel summation - og proceduren kan igen valideres imod uafhængige beregninger (se Fig. 3 i arXiv-manuskriptet).
Den kreative teoretiske fysiker
Så med årene har jeg på den ene side lært en masse stringent matematik - og, blot for en god ordens skyld, ikke et eneste ondt ord om stringente matematikere herfra! - og på den anden side lært at anvende dette kreativt på udfordrende problemstillinger inden for teoretisk fysik.
Hvilket har været både svært, perspektivrigt og sjovt.
