Fysisk symmetri = Bevarelse af fysisk størrelse
Det har længe været kendt, at fysiske symmetrier spiller en central rolle inden for fysik, og for ca. 100 år siden blev dette bevist og formuleret stringent i Noethers sætning. Denne sætning siger, at for hver symmetri i et system findes der en fysisk størrelse, som er bevaret.
Denne type af bevarelser har vidtrækkende konsekvenser, og studiet og forståelsen af symmetrier og betydningen af disse er både fundamentalt og teknologisk vigtige. Som eksempler er lineært momentum i systemer med translationssymmetri (forskydningssymmetri) bevaret, mens vinkelmomentum er bevaret i systemer med rotationssymmetri.
Førstnævnte bevarelse betyder eksempelvis, at en plan bølge - som f.eks. kunne repræsentere lyset fra en kilde meget langt væk - der udbreder sig i et uniformt system, altid vil have det samme lineære momentum (eller den samme bølgevektor) og dermed vil fortsætte med at udbrede sig i retningen givet af denne. På et tidspunkt - f.eks. når lyset fra solen når til jorden eller en anden planet - brydes uniformiteten, og dermed vil bølgevektoren for bølgen ikke længere være bevaret.
Fotoniske krystaller: Diskret translationssymmetri
På DTU Fotonik arbejder vi med såkaldte fotoniske krystaller, som er systemer, der på mikro- og nanoskala er periodisk struktureret.
I billedet nedenfor ses et eksempel på en fotonisk krystal, hvor der i cirklerne er luft, mens de omkringliggende områder er af et høj-indeks halvledermateriale. Ved i midten at udelade en rækker huller opnås en bølgeleder, hvori lys kan guides - hvilket, som beskrevet her på ing.dk for nylig, f.eks. kan have anvendelser i fremtidens lynhurtige, integrerede optiske netværk.
I forhold til symmetri har den fotoniske krystal vist ovenfor en diskret translationssymmetri langs z-aksen (vertikalt på billedet); ved at stille sig ved en z-koordinat og herpå flytte sig en bestemt afstand, den såkaldte gitterkonstant, havner man i et punkt, der ser identisk ud som det oprindelige punkt. Denne translationssymmetri betyder, at bølgevektoren i z-retningen er bevaret, og de tilhørende løsninger er de såkaldte Bloch bølger.
Til gengæld kan denne konstante z-bølgevektor - som i store træk bestemmer, hvordan lyset udbreder sig i strukturen - afhænge af frekvensen, og en del af analysen af fotoniske krystaller omhandler at forstå, hvordan z-bølgevektoren afhænger af frekvensen af lyset. Dette repræsenteres ofte i såkaldte bånd- eller dispersionsdiagrammer, og et eksempel (med z-bølgevektoren på x-aksen og frekvensen på y-aksen) ses i tweetet nedenfor.
The most exciting result in my #PhD so far: Band diagram of TE-like Bloch modes in a 3D PhC membrane. #DTU #Photonics pic.twitter.com/jHCEJoPBo1
— Jakob R. de Lasson (@Jakobrdl) 8. juli 2014Fotoniske krystaller: Spejlsymmetrier
Betrager vi et tværsnit af den fotoniske krystal - som vist i billedet herunder, med x- og y-koordinaterne henholdsvis horisontalt og vertikalt og z-koordinaten ind i planet - er det oplagt, at en anden symmetri også i dette tilfælde er tilstede: Spejlsymmetrier i x- og y-koordinaterne. Dette ses ved, at strukturen kan spejles omkring x = 0 eller omkring y = 0 eller omkring (x,y) = (0,0), uden at den ændrer sig.
Som konsekvens opfylder de elektromagnetiske felter, som vi ønsker at løse for, bestemte symmetrirelationer, nemlig at deres transverse komposanter (altså Ex, Ey, Hx og Hy) er enten lige eller ulige funktioner af x- og y-koordinaterne.
Disse sæt af såkaldte lige-lige, lige-ulige, ulige-lige eller ulige-ulige modes er uafhængige af hinanden, og en lille lyskilde, som f.eks. et kvantepunkt som i dette arbejde af kolleger på Niels Bohr Instituttet, vil kun udsende lys til visse af disse modes. Spejlsymmetrierne giver således allerede adgang til ekstra information om de fysiske processer.
Spejlsymmetrierne, der kom mig til undsætning
Rent praktisk og hvad angår beregningstid, er spejlsymmetrierne også uhyre vigtige. Før jeg gik på sommerferie, satte jeg beregninger over på vores computer cluster. Da jeg var retur fra ferien, samlede jeg resultaterne sammen, og det så interessant ud på mange fronter - med én undtagelse: Beregningstiden var ganske lang. Og her kommer spejlsymmetrierne til undsætning.
I Fourier analysen af Maxwells ligninger leder symmetrirelationerne for felterne til, at visse af Fourier koefficienterne er proportionale, og dermed kan man nøjes med at løse for et reduceret antal af disse. Beregningsteknisk betyder det, at matricer med Fourier koefficienter, koblingskoefficienter mellem forskellige modes m.fl. er mindre, hvilket gør løsning af matrixegenværdiproblemer samt matrixmultiplikationer og -divisioner væsentligt hurtigere - og dermed forløber beregningerne globalt set hurtigere.
I billedet nedenfor har jeg sammenfattet beregningstider for den fotoniske krystal vist ovenfor ved fire forskellige trunkeringer af Fourier rækkerne; parameteren lx angiver trunkeringen, og jo højere denne er, jo mere præcise er beregningerne. I tabellen angiver den sidste søjle beregningstiden per frekvens, og det ses tydeligt, at beregningstiden falder markant, når spejlsymmetrierne benyttes (fire nederste linjer), i forhold til når de ikke benyttes (fire øverste linjer).
Det tog noget tid at implementere udnyttelsen af spejlsymmetrierne i min Matlab kode, men jeg føler nu - med forbedringerne i beregningstider fra ovenfor - at denne tid var godt givet ud.
Dermed går jagten på det nanofotoniske guld videre, nu med højere hastighed takket være symmetrierne!
