Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.
forskningsingeniøren bloghoved

Når fysikere gør matematikere nervøse: Divergente integraler og summer

Uegentlige integraler og uendelige summer

På det første år af civilingeniørstudiet på DTU møder man et vigtigt koncept kaldet uegentlige integraler, som omhandler integraler over semi-uendelige eller uendelige intervaller eller over integrander, som antager "værdien" uendelig på integrationsintervallet. På dette sted bliver man for første gang stillet over for overvejelsen, om sådanne integraler er konvergente eller divergente - eller kort sagt om de på meningsfyldt vis kan tilskrives en værdi eller ej.

I gymnasiet har man lært om integraler som mål for et areal - regnet med fortegn - mellem kurven for integranden og integrationsaksen. Det kan således i første omgang virke fristende at konkludere, at et sådant areal må være uendeligt stort, hvis integranden strækker sig ud til uendelig, særligt hvis integranden alle steder er positiv. Dette er imidlertid ikke tilfældet, forudsat at integranden tilpas hurtigt bliver tilpas lille - hvilket f.eks. er tilfældet for funktionen exp(-x^2), som er integranden i det såkaldte gaussiske integral, hvis integral fra x = -uendelig til x = +uendelig er kvadratroden af pi.

Senere i studiet møder man uendelige rækker, hvor tilsvarende overvejelser gør sig gældende - for kan man lægge uendeligt mange tal sammen og få en endelig værdi ud af denne sum? Det kan man, viser det sig, og man lærer forskellige tests til at afgøre, om en uendelig række er konvergent eller divergent.

Ovenstående er baseret på stringent matematik, og for både integraler og summer gælder det, at integranden/sum-elementet i grænsen hvor integrationsvariablen/sum-indekset går imod uendelig skal gå imod nul, for at integralet/summen har en chance for at være konvergent. Dette er for summer den såkaldte n'te-ledstest.

Som fysiker gør man flittigt brug af både uegentlige integraler og uendelige summer, og på et tidspunkt, når man når tilpas langt ud af den teoretiske fysiks brogede spor, begynder man at komme en smule i klammeri med de stringente matematiske betingelser - og hvad gør man så, når integraler og summer, som formelt er divergente, bare SKAL være konvergente?

Illustration: Privatfoto

(Kilde: xkcd.com)

Man gør to ting: Man sætter sig ind i, hvad matematiske distributioner er - og så bliver man kreativ på en måde, som matematikere har det svært med, men hvor man samtidig holder tungen lige i munden og ikke forbryder sig alt for meget imod matematikken.

Distributioner (f.eks. Dirac delta funktionen)

Som fysiker stifter man tidligt i studiet bekendtskab med Dirac delta funktionen, delta(x), som på trods af sit navn ikke er en funktion, men en distribution. Kort fortalt består denne skelnen i, at vi ikke kan definere denne som delta(x) = (et eller andet udtryk, som afhænger af x), men derimod definerer den ud fra, at f(0) = int_I f(x) * delta(x) dx (forudsat, at x = 0 er inkluderet i integrationsintervallet I). Dvs. Dirac delta funktionen er defineret ud fra, hvad den gør ved funktionen f(x), når vi multiplicerer denne med delta(x) og integrerer dette produkt over x.

På trods af dette tager fysikere sig sommetider den frihed at definere delta(x) = en funktion(x) (se f.eks. ligning (31) på denne side). Denne måde at definere Dirac delta funktionen på er kun meningsfyldt, hvis det er underforstået, at vi senere integrerer delta(x) imod andre funktioner - dvs. vi er kreative ved, på trods af matematikkens kvababbelser herved, at definere delta(x) = en funktion(x), men stadig stringente, idet vi sikrer os kun at bruge denne repræsentation af delta(x), som man ifølge stringent matematik kan med distributioner.

Som et konkret eksempel arbejdede jeg i mit B.Sc.-projekt i 2010 med at udvikle en ny numerisk metode til at behandle åbne strukturer, når man laver computersimuleringer af nanofotoniske komponenter (mere om dette emne i afsnittet "Åbne strukturer og absorberende grænsebetingelser" i dette blogindlæg).

Undervejs i dette arbejde stødte min projektmakker og jeg på integraler som dem i ligningerne (E.20a) og (E.20b) i billedet nedenfor. Grænsen lim_{x --> uendelig} [ exp(i * k * x) ] eksisterer ikke, og man ville derfor ved første øjekast afvise, at de kan tilskrives en brugbar værdi. Men efter en del overvejelser og tanker om emnet, en snak med en matematiker - som næsten skældte os ud for på denne måde at gøre vold på den stringente matematik! - og diverse numeriske eksperimenter lykkedes det os at udtrykke dem (se mere på s. 105-106 i afhandlingen).

Resultatet blev, naturligvis, distributioner over variablen k, som senere skulle integreres over k - hvorfor den kreative tilgang ikke gik på kompromis med den matematiske teori om distributioner.

At hejse et rødt flag og validere den kreative tilgang

Senere, i 2012, arbejdede jeg i mit M.Sc.-projekt med en volumenintegralligning og den dyadiske Greens funktion til at løse optiske spredningsproblemer.

Undervejs skulle der udtrykkes matrixelementer, som ikke senere skulle integreres, og da jeg rendte ind i det uegentlige integral i ligning (B.7) i billedet nedenfor, blev jeg derfor en anelse bekymret. Hvis man udtrykker integranden for store værdier af integrationsvariablen (f.eks. ved brug af de asymptotiske former for Bessel- og Hankel-funktionerne), indser man, at integranden ikke aftager, men blot oscillerer, og dvs. grænsen lim_{r' --> uendelig} [integrand(r') ] eksisterer ikke!

Hvad gør man så? Man bliver et kort øjeblik fortvivlet, for det her virker jo forkert, men derefter går man i gang med at lede i litteraturen - og efter et stykke tid falder man over denne artikel. I ligning (5) heri udtrykkes (B.7)-integralet som en lighed mellem to distributioner - dvs. resultatet er en distribution, men jeg skulle som nævnt ikke integrere det, og det var i sagens natur bekymrende.

Jeg kontaktede derfor forfatterne til artiklen og forklarede, at i mit tilfælde er k_B og k_j (som indgår i integranden i (B.7)-integralet) per konstruktion forskellige - og en lang historie kort: Så kan man se bort fra distributionerne og nå frem til resultatet i ligning (B.8) i billedet nedenfor.

Dette virker måske ikke helt fint i kanten, men som min specialevejleder sagde, kunne vi altid hejse et rødt flag ved netop denne beregning - for at vende tilbage til den, hvis noget senere virkede forkert. Imidlertid viste pengene sig at passe, idet vi f.eks. brugte metoden til at reproducere resultater, som andre - med andre metoder - havde opnået. Derfor viste den kreative tilgang sig igen at løse problemet stringent, selvom integralet umiddelbart virkede uhåndterligt.

En divergent geometrisk række - som har en endelig værdi

Som et sidste eksempel har vi for nylig færdiggjort arbejde, hvor en integrand som den vist i billedet nedenfor skulle integreres over hele den reelle akse (en PDF med billedet kan ses her).

Integrandens real- og imaginærdele (begge i grøn) oscillerer omkring nul, men med en voksende amplitude, hvilket ikke umiddelbart er befordrende for at tilskrive integralet en endelig værdi.

Man kan dog gøre brug af, at integranden er på Bloch bølge-form og omskrive integralet til en uendelig geometrisk række (se ligning (5) i vores arXiv-manuskript) på formen sum_{m = 0 .. uendelig} b^m. Men eftersom |b| > 1, er denne række formelt divergent!

Heldigvis havde vi en stædig og kreativ førsteforfatter, som fandt ud af, at man, under visse betingelser, stadig kan tilskrive denne geometriske række en værdi ved at benytte såkaldt Borel summation - og proceduren kan igen valideres imod uafhængige beregninger (se Fig. 3 i arXiv-manuskriptet).

Den kreative teoretiske fysiker

Så med årene har jeg på den ene side lært en masse stringent matematik - og, blot for en god ordens skyld, ikke et eneste ondt ord om stringente matematikere herfra! - og på den anden side lært at anvende dette kreativt på udfordrende problemstillinger inden for teoretisk fysik.

Hvilket har været både svært, perspektivrigt og sjovt.

Jakob Rosenkrantz de Lasson er civilingeniør og ph.d. i nanofotonik fra DTU. Jakob arbejder som Product Lead og forskningsingeniør hos virksomheden TICRA i København og blogger om forskning, fotonik og rumteknologi. Jakobs blog har tidligere heddet DTU Indefra (2012-2016) og DTU Studenten (2012)
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

"Grænsen [latex]\lim_{x \to \infty} \exp(i k x)[/latex] eksisterer ikke, og man ville derfor ved første øjekast afvise, at de kan tilskrives en brugbar værdi."
Man ville ved første øjekast afvise at kunne bekræfte at de kan tilskrives en brugbar værdi. Der er forskel mellem implikation og biimplikation.

Jeg kom hele tiden til at tænke på http://heltnormalt.dk/stinebliverklogere/2... mens jeg skimmede.

Man kan i en kommentar skrive "latex" mellem kantede parenteser til at formatere matematik; kan du også i blog-indlæggene?

  • 1
  • 0

Man kan i en kommentar skrive "latex" mellem kantede parenteser til at formatere matematik; kan du også i blog-indlæggene?

Det kan man, ja - men man kan ikke, så vidt jeg har erfaret, lave in-line LaTeX (ligesom man med $\exp(i k x)$ kan i "rigtig" LaTeX). Dvs. hvis jeg bruger det i mine indlæg, optræder de LaTeX'ede udtryk altid på egne linjer, hvilket ikke er specielt pænt. Mit forsøg uden LaTeX er heller ikke fremragende rent typografisk, men bedre end de mange linjespring, som [latex] ville medføre.

  • 0
  • 0

Det er efter min mening lidt fjollet at tale om matematik på den måde. Om man er matematiker, fysiker eller ingeniør er fuldstændig underordnet. Vi bruger det matematiske værktøj til at løse problemer og ofte kræver det at man får en god ide - mere er der ikke i det.

1) "Man sætter sig ind i, hvad matematiske distributioner er - og så bliver man kreativ på en måde, som matematikere har det svært med ..."

Hvad er det for en kreativ matematik som matematikere har det svært med at du benytter? Hvad betyder kreativ i den sammenhæng?

Bemærk at teorien for distributioner blev primært udarbejdet af matematikerne Schwartz og Sobolev. Ja, den teoretiske fysiker Paul Dirac brugte delta-funktionen til at regne med punktmasser inden da, men til det kan man pointere at matematikere som Cauchy og Poisson havde arbejdet med delta-funktioner omkring 100 år tidligere. Kreativitet er en sjov størrelse set i det perspektiv.

2) "... ikke forbryder sig alt for meget imod matematikken."

Har du i din forskning lavet beregninger som sprænger grænserne for hvad der kan beskrive med matematik?

3) "Så med årene har jeg på den ene side lært en masse stringent matematik - og, blot for en god ordens skyld, ikke et eneste ondt ord om stringente matematikere herfra! - og på den anden side lært at anvende dette kreativt på udfordrende problemstillinger inden for teoretisk fysik."

Er strengteori mere kreativt at arbejde med end Riemann hypotesen?

Afslutningsvist vil jeg pointere man på mange andre universiteter end DTU placerer teoretiske fysikere og matematikere under samme tag fordi de ikke er så forskellige endda. Det handler om videnskabelig metode og at man skal have styr på hvornår noget er en påstand og hvornår det er bevist. Det gælder vel uanset om man er en helt almindelig matematiker eller ingeniør eller 'Den kreative teoretisk fysiker' (det hedder det ene afsnit). Et af de største genier var, efter min mening, den franske Henri Poincare og han var teoretisk fysiker og matematiker og ingeniør.

Vh. Michael

  • 0
  • 0

Hej Michael,

Tak for dine kommentarer og spørgsmål.

Først og fremmest: Jeg fornemmer, at du efter at have læst mit blogindlæg sidder tilbage med en følelse af, at jeg ophøjer den teoretiske fysiker til noget særligt og til mere end, hvad matematikeren er - hvilket ikke var mit ærinde med indlægget. Jeg har, som jeg afslutningsvis bemærker, stor respekt for matematikere, og i flere af de problemer, jeg i indlægget beskriver, kløede vi også grundigt i hovedet over, hvad vi skulle gøre - mens vi savnede adgang til matematikere at diskutere med. Så, blot for at gentage: Ikke et ondt ord om matematikere og de problemer, de arbejder på at løse.

Mit ærinde var snarere at give et perspektiv på, hvordan man som fysiker tilgår svære problemer, som kræver avanceret matematik - og hvordan man sommetider kommer lidt på kant med den, i min optik, mere formalistiske tilgang, en matematiker har.

Hvad er det for en kreativ matematik som matematikere har det svært med at du benytter? Hvad betyder kreativ i den sammenhæng?

F.eks. at skrive delta(x) = (en funktion af x). Dette er, som jeg beskriver i indlægget, formelt set forkert, fordi vi ikke kan definere en distribution som Dirac delta funktionen på denne måde. Det gør vi imidlertid ofte i fysik - f.eks. skriver Griffiths i "Introduction to Electrodynamics (ligning (1.86), s. 46, i 3. udgave), at:

delta(x) = 0, hvis x er forskellig fra 0
delta(x) = uendelig, hvis x er lig med 0

Dette er i formel forstand noget sludder, men det giver ikke desto en intuitiv følelse af, hvad Dirac delta funktionen er. Som nævnt har jeg ligeledes diskuteret repræsentationen af delta(x) i ligning (31) (http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction...) med en matematiker, og han så forkert ud i hovedet over denne måde at skrive delta(x) på.

Ligeledes ser man ofte i differentialligninger, som beskriver fysiske problemer, delta funktioner, som optræder uden at være under et integral (f.eks. som et delta-potential for Schrödinger ligningen; http://en.wikipedia.org/wiki/Delta_potenti...) - hvilket igen formelt ikke er korrekt brug af en distribution.

Alle disse lidt løse/formelt forkerte måder at repræsentere og bruge Dirac delta funktionen på, som vi ofte i fysik anvender, har imidlertid alle den samme implicitte antagelse: delta(x) skal på et tidspunkt integreres; delta funktionen kan ikke stå alene tilbage til slut, fordi den er en distribution, som skal integreres.

Ovennævnte er, hvad jeg mener med, at man i fysik bruger matematik kreativt. Fra et matematisk synspunkt er der således ikke noget odiøst eller kreativt over det, idet vi bruger delta(x), som en distribution skal bruges. Så når jeg skriver, at det er kreativt, er det ikke for at hævde, at fysikeren opfinder noget, som matematikeren ikke er bekendt med; det tilgås blot anderledes og mindre formalistisk.

Har du i din forskning lavet beregninger som sprænger grænserne for hvad der kan beskrive med matematik?

Nej, det har jeg ikke - og det kan jeg ikke erindre, at jeg har påstået at have.

Er strengteori mere kreativt at arbejde med end Riemann hypotesen?

Jeg kender strengteorien og Riemann hypotesen af navn, men ikke af substans - så jeg må her blive dig svar skyldig.

Afslutningsvist vil jeg pointere man på mange andre universiteter end DTU placerer teoretiske fysikere og matematikere under samme tag fordi de ikke er så forskellige endda. Det handler om videnskabelig metode og at man skal have styr på hvornår noget er en påstand og hvornår det er bevist. Det gælder vel uanset om man er en helt almindelig matematiker eller ingeniør eller 'Den kreative teoretisk fysiker' (det hedder det ene afsnit).

God pointe og som nævnt indledningsvis har vi også sommetider følt, at vi manglede nem adgang til matematikere. Vi snakker naturligvis sommetider med matematikere, men i visse tilfælde ville det som nævnt have været nemmere, hvis vi sad i samme bygning.

  • 0
  • 0

Hej Jakob,

tak for et fint svar. Du har ret i at jeg er af den opfattelse at den teoretiske fysiker blev ophøjet i forhold til matematikeren. Det synes jeg nu stadig ligger implicit i artiklens retorik og specielt i artiklens titel 'Når fysikere gør matematikere nervøse: Divergente integraler og summer'.

Jeg beklager hvis jeg har taget fejl på det punkt, men jeg synes ikke at det bare handlede om småting som det at forestille sig at delta-funktionen har værdien uendelig i x=0. Prøv selv at se hvordan ordet 'kreativ' indgår som en slags synonym for at tænke out-of-the-box.

"Derfor viste den kreative tilgang sig igen at løse problemet stringent, selvom integralet umiddelbart virkede uhåndterligt."

"Heldigvis havde vi en stædig og kreativ førsteforfatter, som fandt ud af, at man, under visse betingelser, stadig kan tilskrive denne geometriske række en værdi ved at benytte såkaldt Borel summation - og proceduren kan igen valideres imod uafhængige beregninger"

Sammenhold dette med din brug af 'stringente matematikere' og blogindlæggets titel, så synes jeg ikke det er helt galt at tolke en form for positionering af fysikeren i forhold til matematikeren -- men det glæder mig at dit ærinde var anderledes!

Vh. Michael

  • 0
  • 0

tak for et fint svar. Du har ret i at jeg er af den opfattelse at den teoretiske fysiker blev ophøjet i forhold til matematikeren. Det synes jeg nu stadig ligger implicit i artiklens retorik og specielt i artiklens titel 'Når fysikere gør matematikere nervøse: Divergente integraler og summer'.

Jeg beklager hvis jeg har taget fejl på det punkt, men jeg synes ikke at det bare handlede om småting som det at forestille sig at delta-funktionen har værdien uendelig i x=0. Prøv selv at se hvordan ordet 'kreativ' indgår som en slags synonym for at tænke out-of-the-box.

"Derfor viste den kreative tilgang sig igen at løse problemet stringent, selvom integralet umiddelbart virkede uhåndterligt."

"Heldigvis havde vi en stædig og kreativ førsteforfatter, som fandt ud af, at man, under visse betingelser, stadig kan tilskrive denne geometriske række en værdi ved at benytte såkaldt Borel summation - og proceduren kan igen valideres imod uafhængige beregninger"

Sammenhold dette med din brug af 'stringente matematikere' og blogindlæggets titel, så synes jeg ikke det er helt galt at tolke en form for positionering af fysikeren i forhold til matematikeren -- men det glæder mig at dit ærinde var anderledes!

Du har helt ret i, at jeg positionerer fysikeren i forhold til matematikeren, og i indlægget deler jeg oplevelser, hvor nogle matematikere (bemærk, at jeg her refererer til et UDVALG AF matematikere, som jeg har diskuteret med - og altså IKKE ALLE matematikere, som du så gerne vil læse ind i min tekst) har været skeptiske i forhold til en konkret fysisk problemstilling, vi med en matematisk tilgang har villet løse. I de her konkrete tilfælde har vi så, ved sammenstykning af f.eks. andre fysikeres og ANDRE matematikeres resultater fra litteraturen samt en smule kreativitet (om man tør være så fræk af bruge dette ord), alligevel stykket en løsning sammen.

Ovenstående er, hvad jeg kalder den "kreative teoretiske fysiker", og dette er, hvis jeg skal sige det selv, at tænke out-of-the-box. Stiller det så matematikeren i et dårligt lys, hvis man når frem til, at fysikere er i stand til at tænke out-of-the-box? Ja, hvis man skal følge din logik - og det er selvfølgelig et synspunkt, som jeg imidlertid er lodret uenig i.

Derudover henviser du til, at jeg kalder matematikere for "stringente", og du bruger dette som dokumentation for, at jeg ophøjer fysikere til noget mere end matematikere - kan du uddybe dette? Altså i hvilken forstand er det nedsættende at kalde matematikere for "stringente"?

Min historie er, som blogindlæg ofte er, personlig og baseret på egne oplevelser. Jeg taler om fysikere og matematikere og refererer herved til de af slagsen, jeg i min tid på DTU og andre steder har mødt - og skriver baseret på dette om mine oplevelser som fysiker i disse miljøer. Jeg går ud fra, at du selv er matematiker, og hvis du har en tilsvarende historie fra en matematikers synsvinkel, så er du velkommen til at forfatte den som et gæsteindlæg her på min blog.

  • 0
  • 0

Hej Jakob,

Jeg skrev at det var min tolkning af dit indlæg og jeg er altså ikke ude på at skyde dig noget i skoene. Du har sagt at du mente noget andet og at jeg havde misforstået det. Jeg forklarede hvorfor jeg havde misforstået det med mine to citater fra artiklen.

Jeg forestillede mig at din hensigt var at sige noget generelt end at nogle(!) teoretiske fysikere kan tænke out-of-the-box, på en måde som nogle(!) matematikere ikke kan.

I forhold til 'stringent matematiker', så kommer det i modsætningsforhold til den kreative teoretiske fysiker, for som du siger

"... så bliver man [fysikeren] kreativ på en måde, som matematikere har det svært med, men hvor man samtidig holder tungen lige i munden og ikke forbryder sig alt for meget imod matematikken."

den 'stringente matematiker' kan/må ikke forbryde sig mod matematikken og altså ikke være kreativ som den teoretiske fysiker. Jeg undrede mig bl.a. over hvad det kunne være for nogle brud på matematikken der var så fundamentale at dette forhold opstod. Og det spurgte jeg ind til.

Lad os holde her! Og jeg kan høre at jeg læste/læser indlægget på en forkert måde. Du har i dine kommentarer præciseret dine synspunkter for mig, og tak for det.

Ha' en god dag! :)

Vh. Michael

  • 0
  • 0

Heaviside skulle have sagt at matematik var ligesom fysik en eksperimental videnskab. Derefter blev han frosset ud af det finere selvskab, hvilket blandt andet resulterede i at hans udmærkede operator regning blev glemt, med den bemærkning at det jo klart kun gjalt for specielle funktioner. ( ligesom Fourier integraler og Laplace transformationer de sidste lettere at sluge og besværligere at bruge end Heavisides p operator) . Det viste sig senere (1978?) at det var de samme funktioner i alle tilfælde. Dejligt at se det går bedre i disse tider.

  • 0
  • 0

Når man nu har "narret" matematikken, har man så også en kreativ fysisk forståelse for, hvad der fysisk foregår?

Jeg vil nok snarere formulere det sådan, at man har en fysisk forståelse af en problemstilling og ud fra denne overbeviser sig selv om, at matematikken følgelig må være på en bestemt måde - hvilket sommetider, for nu at bruge dit udtryk, kan virke som om, at man "narrer" matematikken.

Denne form for intuition er svær at opnå, men usædvanlig kraftfuld når man har den - fordi man så, i en vis forstand, ikke behøver at løse matematikken, men bare kan skrive svarene ned.

Jeg synes, at matematik er sjovt, og jeg forstår ofte fysik ved at forstå matematikken - men jeg værdsætter samtidig, at den fysiske intuition, som beskrevet ovenfor, ofte kan udgøre en genvej til løsning og forståelse.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten