Maxwells ligninger - sværere end kvantemekanik!

De har været kendt længe - derfor må de være nemme...

Maxwells ligninger har været kendt i halvandet århundrede og har næsten lige så længe spillet en central rolle i udviklingen af moderne teknologi. Og så må det da være velkendt og simpelt at løse dem i alle mulige og umulige situationer - eller hvad?

Forleden dag kom min kollega ind på vores fælles kontor på DTU Fotonik og opridsede et simpelt problem for mig: En rektangulær boks, med ét brydningsindeks indeni boksen, er omsluttet af et homogent materiale med et andet brydningsindeks. Hvad er løsningerne til Maxwells ligninger for denne geometri?

Dette tilsyneladende simple problem har ikke en kompakt, lukket-form løsning, dvs. løsningerne kan ikke beskrives ved en enkelt eller nogle få velkendte matematiske funktioner - hvilket er en direkte konsekvens af kompleksiteten af Maxwells ligninger!

Hvorfor er Maxwells ligninger komplicerede at løse?

Ligningerne er komplicerede at løse af i hvert fald to grunde:

1) De er koblede, partielle differentialligninger for komposanterne af de elektriske og magnetiske felter. Ligningerne kan afkobles til kun at omhandle komposanterne af enten det elektriske eller det magnetiske felt, men generelt vil de altid indeholde mere end én ubekendt funktion, f.eks. både x- og y-komposanterne af det elektriske felt (som hver, i det generelle tilfælde, afhænger af x-, y- og z-koordinaterne - og så også lige tiden eller frekvensen!).

2) Nogle af feltkomposanterne er kontinuerte, mens andre er diskontinuerte, på overflader mellem forskellige materialer. Dvs. man skal typisk i sin løsning finde både kontinuerte og diskontinuerte funktioner, hvoraf specielt sidstnævnte kan være krævende at bestemme korrekt.

Maxwells ligninger - sværere end kvantemekanik!

I modsætning til punkt 1) ovenfor løser man i kvantemekanik "bare" én partiel differentialligning, Schrödinger ligningen, for én ubekendt funktion, bølgefunktionen. Så mht. at finde løsninger er Maxwells ligninger faktisk sværere end kvantemekanik!

Konceptuelt er kvantemekanik mere udfordrende, og der er som tidligere omtalt gået lidt sport i at udråbe observationer og fænomener som kvantemekaniske - fordi det, såfremt der rent faktisk er tale om kvantemekanik, er mere eksotisk.

Nanofotonik og IBMs milliardforventninger

Kompleksiteten af Maxwells ligninger og deres evne til at beskrive fænomener på et ufatteligt spænd af længdeskalaer gør dem dog fortsat særdeles relevante, både hvad angår fundamentale og teknologiske spørgsmål. Et aktivt forskningsområde som plasmonics, er, som Bill Barnes skriver i forordet til Stefan Maiers lærebog om emnet, stort set ikke baseret på andet end løsninger til Maxwells ligninger:

"You just have Maxwell’s equations, some material properties and some boundary conditions, all classical stuff - what’s new about that?" Well, would you have predicted that just by imposing appropriate structure on a metal one could make a synthetic material that would turn Snell’s law on its head? Or that you could squeeze light into places less that one hundredth of a wavelength in size? No new fundamental particles, no new cosmology - but surprises, adventure, the quest to understand - yes, we have all of those, and more."

Skematisk illustration af lysudbredelse i en fotonisk krystal

I mit ph.d. projekt inden for nanofotonik arbejder jeg som tidligere omtalt på at udvikle beregningsteknikker til at løse Maxwells ligninger i komplicerede systemer, f.eks. fotoniske krystaller. Disse er bl.a. tiltænkt anvendelser i fremtidens integrerede optiske kredsløb til lynhurtig kommunikation, og spørg bare hvorfor Intel og IBM er interesseret i den slags.

Den rektangulære bølgeleder som en simpel byggeklods

Et første skridt i at kunne regne på disse strukturer er, for mit vedkommende, at kunne løse et problem, som er lidt simplere end det, min kollega opridsede: At løse Maxwells ligninger for en rektangulær bølgeleder, som principielt strækker sig uendeligt langs en af akserne (her langs z-aksen). Dette leder til et simplere problem, idet z-afhængigheden så nemt faktoriseres ud af differentialligningerne - og løsningerne er såkaldte transverse modes.

Dette problem er dog i sig selv - som artiklen "Why are accurate computations of mode fields in rectangular dielectric waveguides difficult?" for mere end 20 år siden forklarede - heller ikke specielt nemt, bl.a. på grund af hjørnerne, der er singulære punkter.

Jeg har imidlertid skrevet en formalisme og Matlab kode til at løse dette problem numerisk, og i går kom de første transverse modes, vist i tweetet nedenfor, ud fra disse beregninger. Plots viser absolutkvadratet af i-plannet (x-y-plannet) komposanterne af det elektriske felt for otte bundne modes, og kvalitativt har disse de rummelige symmetrier, jeg ville forvente.

Optical modes of z-invariant waveguide, calculated with my own Fourier Modal Method code. #DTU #DTUFotonik #PhD pic.twitter.com/VMetr0vTt6— Jakob R. de Lasson (@Jakobrdl) 3. juni 2014

Det er også muligt at udregne de optiske modes i strukturer med koblede bølgeledere som vist nedenfor.

...And it's also possible to calculate guided modes of coupled z-invariant waveguides. #DTU #DTUFotonik #PhD pic.twitter.com/kwILx7xEjY— Jakob R. de Lasson (@Jakobrdl) 3. juni 2014

De optiske modes i z-invariante sektioner er den første byggeklods, og snart skal flere af disse sektioner kobles sammen - ved at tilfredsstille grænsebetingelserne for felterne - ved brug af spredningsmatricer. På den måde kan komplicerede strukturer som fotoniske krystaller stykkes sammen, og løsningerne bestemmes med udgangspunkt i den relativt simple, z-invariante geometri.

Fra Maxwells ligninger til teknologisk design

Dette kan bruges til at designe de optiske egenskaber af forskellige strukturer og således f.eks. hjælpe til at svare på, hvordan man optimerer transmissionen igennem et kompliceret optisk netværk, eller hvordan man undertrykker eller forstærker lysudsendelsen fra lyskilder internt i sådanne netværk - hvilket, sammen med mange andre aspekter, er centralt i at udvikle hurtige, kompakte og energieffektive teknologiske løsninger.

Både som ingeniør og fysiker ser jeg frem til virkelig at kunne bidrage til dette, når min 3D Maxwell-løser er fuldt funktionsdygtig. Og så håber jeg i øvrigt at have overbevist om, at det ikke er simpelt at løse Maxwells ligninger!

Opdatering som svar til Lars Juul: Mit arbejde er baseret på såkaldte modal udviklingsteknikker, hvor de elektromagnetiske felter udvikles på løsningerne til Maxwells ligninger i z-invariante sektioner - de såkaldte transverse modes. Disse feltudviklinger kobles herefter sammen ved brug af spredningsmatricer, som sikrer, at grænsebetingelserne for felterne - som kommer direkte fra Maxwells ligninger - tilfredsstilles.

Konkret benytter jeg Fourier Modal Method til at bestemme de transverse modes (som jeg tidligere har skrevet om), og historiske referencer for disse metoder er bl.a. Noponen (1994), Moharam (1995), Li (1997) og Cao (2002) (detaljer om disse publikationer via min litteraturdatabase).