Integralligninger, singulariteter, hurtige algoritmer og foie gras i Byernes By

I sommers spandt jeg en ende over, om man som ingeniør skal gå efter specialist- eller generalistkurser, når man efteruddanner sig.

I kommentarerne var der gode indspark fra nogle af jer, og i sidste ende valgte jeg det nørdede specialistkursus, jeg omtalte i indlægget fra i sommers.

Således deltager jeg i denne uge i Paris i kurset Advanced Computational Electromagnetics, som er et kursus under paraplyen European School of Antennas (ESoA). Jeg var i foråret på et andet ESoA-kursus hos Det Europæiske Rumagentur.

Kurset har ikke gjort mig til en bedre projektleder, og jeg er ej heller blevet bedre til kommunikation eller andre "bløde" generalistkundskaber.

Til gengæld er jeg blevet særdeles grundigt introduceret til og har udvidet mine specialistevner inden for et område, som er centralt for de softwareprodukter, vi hos TICRA udvikler - integralligninger og den såkaldte Method of Moments (MoM) løsningsteknik.

Integralligninger

Integralligninger er ligninger, der involverer integraler over den ukendte funktion. Mere familiære er differentialligninger formentlig; disse er ligninger, hvor differentialer af den ukendte funktion indgår. Men eftersom integration og differentiation er tæt forbundne, er der konceptuelt ikke stor forskel på de to typer af ligninger. Og målet er i hvert fald det samme i begge tilfælde - at bestemme den ubekendte funktion, som eksempelvis kunne beskrive en fysisk størrelses variation i tid, rum, frekvens eller lignende.

For antenneproblemer - f.eks. hvis man ønsker at designe eller analysere en antenne på en satellit - er det særligt interessant at anvende integralligninger. Dette skyldes, at man for en antenne typisk er interesseret i en meget præcis beskrivelse af, hvad der sker langt væk fra antennen, i det såkaldte fjernfelt. Og netop fjernfeltet er særligt godt beskrevet, når man benytter integralligninger, mens det med differentialligninger er sværere [1].

Green's funktioner

En karakteristisk komponent i integralligninger er de såkaldte Green's funktioner. En Green's funktion, ofte angivet med bogstavet G, er løsningen til det problem, man betragter (f.eks. udstrålingen af elektromagnetiske bølger fra eller i nærheden af en antennestruktur), hvor kilden er en punktkilde. Denne kilde er placeret et eller andet sted - i punktet r' - og løsningen i et andet punkt r er så G(r, r').

Tager man f.eks. en streng og giver den et lille, hurtigt knips i punktet x', vil bølgerne, som danner sig på strengen, være beskrevet ved Green's funktionen for den endimensionelle bølgeligning.

Singulariteter

Et andet karakteristikum ved Green's funktioner er, at de ofte er singulære funktioner, når r nærmer sig r'. Dvs. deres værdi går imod uendelig, når observationspunktet nærmer sig kildepunktet.

Når Green's funktionen står under et integral, er dette i teorien ikke et problem, fordi integraler har en tendens til at udglatte funktioner; en funktion kan godt gå imod uendelig, samtidig med at et integral over den har en endelig værdi.

Men når man skal løse integralet numerisk - hvilket man er nødt til for alle problemer af praktisk interesse - bliver dette mere problematisk. For hvordan sikrer man sig at benytte en numerisk integrationsteknik, som opsamler alle funktionsbidrag - hvis størrelser varierer voldsomt, ja, faktisk uendelig meget - korrekt, så integralet får den rette værdi?

Dette kan f.eks. håndteres med en såkaldt singularitetssubtraktion. Idéen er at forsøge at beskrive den problematiske funktion - Green's funktionen i vores tilfælde - asymptotisk, når vi nærmer os det problematiske punkt r = r'. Dvs. i denne grænse skal vi kunne beskrive funktionen approksimativt, på en måde så tilnærmelsen bliver bedre og bedre efterhånden som r nærmer sig r'.

Denne asymptotiske approksimation trækker vi så fra og lægger til under integralet. Den oprindelige integrand minus den asymptotiske funktion går nu ikke imod uendelig, når r nærmer sig r', dvs. denne del kan integreres numerisk uden problemer. Men vi lagde også den asymptotiske funktion til, så denne del skal også integreres, og dette integral skal vi så kunne udregne analytisk (dvs. ikke med en numerisk integrationsteknik, men eksakt). Kan vi det, har vi vundet.

En alternativ tilgang - som er mere robust og derfor også anvendes mere i praksis i dag - består i at transformere integralet på en måde så den problematiske del af integranden kancelleres. Man skal her komme op med en variabeltransformation, således at den såkaldte Jacobian præcis kancellerer den problematiske del af integranden. Opnås dette, er integranden udtrykt i de nye integrationsvariable ikke længere singulær, og så kan integralet igen løses numerisk uden problemer.

Hurtige og effektive algoritmer

Jo større og mere kompleks en given struktur man ønsker at analysere er, jo mere krævende er det at løse integralligningen. Krævende i den forstand, at man behøver flere ubekendte til at beskrive løsningen, hvilket typisk kræver mere hukommelse og længere tid for at opnå løsningen.

I et givet problem benytter vi N ubekendte, og skaleringen af såvel hukommelse som løsningstid med N er da kritisk. I takt med at vi har fået bedre og bedre computere, er det blevet muligt at løse større og større problemer, dvs. benytte højere og højere værdier af N.

"In 1982, we could handle up to 140 matrix elements on the best computers" -Don Wilton #ESoA @TelecomPTech #Engineering #Progress— Jakob R. de Lasson (@Jakobrdl) 12. september 2016

Men hvis ikke skaleringen af algoritmerne med N er passende favorabel, rammer vi - både i dag og i morgen - et loft for, hvor store N som rent praktisk kan håndteres. Og så har vi brug for bedre, smartere og hurtigere algoritmer.

Netop dette problem behandles med den såkaldte fast multipole method (FMM). Heri repræsenterer man Green's funktionen på smart vis, hvilket betyder, at man i løsningsproceduren får en bedre skalering med N.

FMM samt udvidelsen multilevel fast multipole method (MLFMM) så jeg særligt frem til en introduktion til. Hos TICRA er disse teknikker i de senere år blevet udviklet og implementeret i vores software, og vi ser oftere og oftere et ønske om at anvende netop MoM-MLFMM til at løse meget store og komplicerede problemer - som ikke ville kunne løses uden de nye MLFMM-algoritmer.

Kursets koordinator gav i går en serie af entusiastiske og pædagogiske forelæsninger om FMM og MLFMM [2], hvilket var ganske lærerigt - både på et overordnet og didaktisk niveau og mere i detaljen, hvis man selv skulle ønske at give sig i kast med at skrive en MoM-MLFMM-kode.

Byernes By og foie gras

Alt i alt, med fire ud af fem kursusdage i kassen, et interessant og lærerigt nørdekursus. Til tider har det, hvad angår ligningerne og matematikken, været grænsende til det esoteriske, men jeg har en meget klar idé om, at al matematikken er særdeles brugbar, ikke blot i akademisk sammenhæng, men i høj grad også i udviklingen af fremtidens teknologi.

Og så må man naturligvis ikke, når man tilbringer et par dage i Paris og midt i alle ligningerne og integralerne, glemme at leve godt.

[1] Dette skyldes, at differentialligninger i princippet skal løses overalt i rummet, men i praksis må løses på et endeligt stort beregningsdomæne. På kanten af dette domæne må man vælge grænsebetingelser, således at løsningerne i princippet ikke "ser" denne kunstige domænekant. Dette er er svært i praksis, hvilket påvirker hvor præcist man kan beskrive antennens fjernfelt. En mere detaljeret beskrivelse af denne problemstilling kan findes i kapitel 4 i min ph.d.-afhandling.

[2] Så entusiastisk, at han i dag kort efter frokost kunne afslutte sin sidste forelæsning næsten uden nogen stemme tilbage.