Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.
forskningsingeniøren bloghoved

Fourier analyse for viderekomne

I mit ph.d. projekt udvikler jeg teoretiske og numeriske metoder til analyse af nanofotoniske strukturer. En type af strukturer, som meget af arbejdet i min gruppe er bygget op omkring, er såkaldte fotoniske krystaller, der er periodiske strukturer, hvilket giver dem nogle særlige egenskaber.

I billedet nedenfor ses lysintensiteten i en 2D fotonisk krystal, hvilket er beregnet med min Matlab kode. Lyset kommer ind igennem bølgelederen nedefra, og pga. af valget af bølgelængde for lyset - som svarer til resonansbølgelængden for kaviteten ved siden af bølgelederen - virker denne sidekoblede kavitet som et spejl. Dermed slipper kun en lille andel af lyset igennem til den øverste bølgeleder, mens der i den nederste opstår et stående bølge mønster, som er resultatet af interferensen mellem det indkomne og det reflekterede lys.

Illustration: Privatfoto

1. Numeriske metoder til modellering i nanofotonik

De numeriske metoder, jeg arbejder med, er baseret på såkaldte mode udviklinger af de elektromagnetiske felter, hvor felterne i forskellige områder i rummet opskrives som uendelige summer af modes, som hver løser Maxwells ligninger i det givne område. Løsningerne i de forskellige rumlige områder kobles ved at tilfredsstille grænsebetingelserne for felterne, hvilket i sidste ende leder til spredningsmatricerne for det givne problem. Denne fremgangsmåde er fundamentalt forskellig fra metoder baseret på rumlig diskretisering som f.eks. finite element metoden (FEM), hvor løsning er baseret på at sætte det rumlige område på et gitter, og hvor løsningerne - de elektromagnetiske felter - bestemmes på dette gitter.

En fordel ved de metoder, jeg arbejder med og udvikler, er, at de giver adgang til modes - som har en direkte, fysisk fortolkning - og koblingen mellem alle disse modes igennem spredningsmatricerne. Omvendt er der i sammenligning med FEM lidt mere restriktive krav til, hvilke geometrier som (nemt) kan håndteres og løses, og et væsentligt mere sparsomt udvalg af kommercielt tilgængelige værktøjer, som er baseret på mode udviklinger - hvilket motiverer, at jeg, fordi vi tror på styrken i de her metoder, udvikler min egen kode.

2. Mode udviklingsteknikker

I visse geometrier kan de omtalte modes opskrives analytisk, hvor kun de tilhørende bølgetal bestemmes numerisk ud fra en geometrispecifik dispersionsligning. Finite difference teknikker kan også benyttes, hvilket giver metoden et FEM-præg, og endelig kan Fourier række udviklinger benyttes.

Min ph.d. vejleder, som også arbejder med disse teknikker, har lavet en del arbejde med rotationssymmetriske strukturer, f.eks. til modellering af enkelt-foton kilder baseret på nanotråde. Pga. rotationssymmetrien kan der i disse tilfælde benyttes (semi-)analytiske modes.

I mere generelle, og altså mindre symmetriske, strukturer kan der ikke benyttes analytiske modes, og der benyttes i stedet Fourier række udviklinger - hvilket alt mit arbejde er baseret på, f.eks. til at modellere og analysere 3D udgaven af den fotoniske krystal vist ovenfor.

3. Fourier række udviklinger

Brugen af Fourier række udviklinger inden for optik og fotonik blev i 1980'erne og 1990'erne udviklet med fokus på analyse af diffraktionsgitre (se f.eks. denne reference). Diffraktionsgitre er periodiske strukturer, hvor Fourier analyse er oplagt, og metoderne blev snart videreudviklet til at håndtere andre strukturer, både periodiske og ikke-periodiske. For ikke-periodiske strukturer kan metoden godt anvendes, men idet Fourier række analyse er baseret på periodiske funktioner, giver dette en kunstig periodisering i beregningen - som man f.eks., igen kunstigt, håndterer ved at introducere absorberende grænsebetingelser som PML.

3.1 Det basale

Fourier række metoden er baseret på udvikling af hver komposant af de elektromagnetiske felter samt af de konstitutive parametre permittiviteten og permeabiliteten på Fourier rækker. Disse indsættes herefter i Maxwells ligninger, og man når således egenværdiligninger for Fourier koefficienterne af feltkomposanterne og deres z-bølgetal.

Et velkendt resultat fra Fourier analyse er, at Fourier transformationen af produktet af to funktioner giver en foldning (convolution) i Fourier rummet. Et tilsvarende resultat gælder i det diskrete tilfælde (integraler --> summer), hvor man får en diskret foldning.

Undervejs i Fourier analysen af Maxwells ligninger ved vi således f.eks., at Fourier koefficienterne for det elektriske forskydningsfelt D = epsilon * E (hvilket er den konstitutive relation, som er tilstrækkelig i vores tilfælde) bliver D_n = sum_m ( epsilon_{n-m} * E_m ), hvor epsilon_{n-m} er den (n-m)'te Fourier koefficient for permittiviteten epsilon, mens E_m er den m'te Fourier koefficient for det elektriske felt.

Idet vi trunkerer Fourier rækkerne - så vi kan behandle dem i en computer - kan vi repræsentere ovenstående som en matrixligning: D_vektor = Toeplitz(epsilon) * E_vektor, hvor D_vektor (E_vektor) er en vektor med alle Fourier koefficienterne for D-feltet (E-feltet). Toeplitz(epsilon) er en såkaldt Toeplitz matrix med Fourier koefficienterne for permittiviteten på diagonalerne.

3.2 Det avancerede

Ovenstående giver umiddelbart en koncis beskrivelse af Fourier række metoden, men der viste sig midt i 1990'erne at være et problem med metoden. Specifikt viste beregningerne i den såkaldte TM-polarisation (hvor det magnetiske felt i 2D-tilfældet kun har en y-komposant, mens det elektriske felt har både en x- og en z-komposant - se akserne i billedet ovenfor) sig at konvergere overraskende langsomt med antallet af led i de anvendte Fourier rækker. Dette blev løst empirisk i denne og denne reference - og formelt af Li i denne reference.

Konkret består problemet i, at vi pga. den praktiske implementering benytter trunkerede Fourier rækker, som vi i computeren kan repræsentere igennem matricer og vektorer med endeligt mange pladser. Ovenfor repræsenterede vi den konstitutive relation som D = epsilon * E, hvilket i Fourier rummet og med trunkerede rækker blev til D_vektor = epsilon_matrix * E_vektor. Men vi kunne også have skrevet 1/epsilon * D = E, hvilket i Fourier rummet ville give (1/epsilon)_matrix * D_vektor = E_vektor. For ikke-trunkerede Fourier rækker er disse relationer identiske, idet vi i denne grænse har (1/epsilon)_matrix * epsilon_matrix = I (enhedsmatrix). Men for de trunkerede Fourier rækker, vi benytter rent praktisk, er det ikke det samme, og hvad er så den rigtige fremgangsmåde? Dette analyserede Li i referencen omtalt ovenfor, og dette ledte til, hvad der sidenhen er blevet kendt som Lis Fourier faktoriseringsregler.

Kort fortalt gælder den simple regel, som giver den diskrete foldning beskrevet ovenfor, hvis de funktioner, der udgør produktet, som Fourier analyseres, ikke begge er diskontinuerte. I TE-polarisationen (hvor det elektriske felt i 2D-tilfældet kun har en y-komposant, mens det magnetiske felt har både en x- og en z-komposant - se akserne i billedet ovenfor) er epsilon * E produktet af en diskontinuert funktion (epsilon, som kun varierer med x og z, og som Fourier analyseres i x) og en kontinuert funktion (E). I modsætning hertil er der i TM-tilfældet - hvor E specielt har en x-komposant - tale om produktet af to diskontinuerte funktioner i x, hvis produkt er kontinuert, og hvor Lis Fourier faktoriseringsregler således skal anvendes.

3.3 Det endnu mere avancerede

Beskrivelsen i det foregående afsnit gælder i 2D-tilfældet, hvor der kun Fourier analyseres mht. x-koordinaten. I 3D-tilfældet Fourier analyseres strukturerne i to dimensioner, nemlig både i x og y, og så bliver tingene en anelse mere avancerede. For så er f.eks. epsilon * Ex i x-variablen produktet af to diskontinuerte funktioner, hvis produkt er kontinuert, mens det er produktet af en diskontinuert og en kontinuert funktion i y-variablen. Dvs. så skal der anvendes forskellige Fourier faktoriseringsregler i de forskellige variable. Dette er beskrevet i flere detaljer i denne reference.

4. Lidt mere i det end bare kursus 01035

Jeg lærte på mit andet studieår på DTU første gang om Fourier rækker i kursus 01035: Matematik 2, og som de foregående afsnit dokumenterer, er der en hel masse mere i Fourier analyse end blot at opskrive analytiske Fourier koefficienter for kendte funktioner. Fourier analyse er et stærkt værktøj inden for mange grene af ingeniørvidenskaberne, og særligt når man bruger disse i praktiske beregninger i computere, skal man altså holde tungen lige i munden.

Jakob Rosenkrantz de Lasson er civilingeniør og ph.d. i nanofotonik fra DTU. Jakob arbejder som Product Lead og forskningsingeniør hos virksomheden TICRA i København og blogger om forskning, fotonik og rumteknologi. Jakobs blog har tidligere heddet DTU Indefra (2012-2016) og DTU Studenten (2012)
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Skøn artikel, men jeg savner en tegning af kaviteten og bølgelederne ?

Bortset fra at 'egenvektor' fylder mere i teksten, er så en grund til at skrive 'modes' ?

God fornøjelse med forskningen ! :-)

Jens

  • 1
  • 0

Skøn artikel, men jeg savner en tegning af kaviteten og bølgelederne ?

Glimrende, jeg er glad for, at det var interessant læsning:-)

Strukturen er vist i billedet: Den fotoniske krystal udgøres af dielektriske søjler (med permittivitet epsilon_søjler = 8.9), som er ordnet i et rektangulært gitter og placeret i en baggrund af luft (epsilon_baggrund = 1). Søjlerne er indikeret med cirklerne i billedet.

Denne fotoniske krystal har et såkaldt fotonisk båndgab (http://www.icmm.csic.es/cefe/pbgs.htm), dvs. i et interval af bølgelængder for lyset reflekteres alt lyset fra strukturen. Ved at fjerne en række af huller - repræsenteret ved området midt i billedet, hvor der ikke er nogle cirkler - dannes en bølgeleder. Dette manifesterer sig ved, at der i bånddiagrammet for strukturen (se f.eks. http://203.249.80.32/figures/PBG-band.jpg, hvor der på førsteaksen er realdelen af bølgevektoren og på andenaksen er frekvensen), med introduktionen af denne bølgeleder, skabes en tilstand inde i båndgabet for den "bulk" fotoniske krystal - dvs. lyset kan ledes igennem strukturen i denne bølgeleder pga. dannelsen af denne tilstand (en såkaldt Bloch tilstand).

Endelig er der lavet en kavitet ved at fjerne en enkelt søjle ved siden af kaviteten; den er placeret, hvor lysintensiteten i billedet er højest.

Bortset fra at egenvektor fylder mere i teksten, er så en grund til at skrive modes ?

Ang. 'modes' og 'egenvektorer' så er disse i metoden baseret på Fourier rækker - den såkaldte Fourier Modal Method - ækvivalente; egenvektorerne indeholder i denne situation Fourier koefficienterne for modes, og man kan bruge dem begge til at omtale 'modes'. Men i situationen med analytiske 'modes' er der ikke nogen egenvektorer; de koefficienter, som 'modes' beskrives ved, er ikke egenvektorer, dvs. i denne situation taler vi om 'modes', men ikke om egenvektorer. Denne sidste pointe følger af, at man ikke omskriver Maxwells ligninger til et egenværdiproblem med analytiske 'modes'.

  • 0
  • 0

Læste artiklen uden at forstå ret meget. Men mon ikke det er korrekt, at der er en lille sammenhæng mellem dit arbejde, og Nanoplast gruppens forsøg på at give sprøjtestøbte plastoverfalder strukturer, der emulerer sommerfuglevingens evne til selektiv refleksion af visse bølgelængder? Så ser vi overfladerne som farvede, når de belyses med hvidt lys. Ifølge populær-vidneskabelige kilder reflekterer Sølvmyren i Afrika al sollys, så den kan færdes i den brændende middagshede, når de rovdyr der efterstræber den er tvunget til at gå under jorden. I princippet kunne vi vel lave noget tilsvarende på en plast-folie overflade, selv om Nanoplast gruppen indtil videre bare ser på små sprøjtestøbte dele. Hvis vi kunne eftergøre sølvmyrens trick på en folie, kunne vi så også gøre samme folie transparent i visse frekvensområder uden at det ville stride mod kendte naturlove? Altså en folie, som er transparent i visse udvalgte frekvensområder og reflekterende i alle andre, opnået allene ved nanostrukturering. Jeg spørger fordi det ville være kærkomment med en folie, som afviser/reflekterer alle solens frekvenser, bortset fra dem, som planterne kan absorbere i deres grønkorn, her skulle folien være transparent. Under en sådan folie kunne man dyrke planter uden at skulle vande så ekstremt meget, som det ellers er nødvendigt at gøre i en ørken hvis man vil have en afgrøde der. Men er det teoretisk muligt?

  • 0
  • 0

Læste artiklen uden at forstå ret meget. Men mon ikke det er korrekt, at der er en lille sammenhæng mellem dit arbejde, og Nanoplast gruppens forsøg på at give sprøjtestøbte plastoverfalder strukturer, der emulerer sommerfuglevingens evne til selektiv refleksion af visse bølgelængder? Så ser vi overfladerne som farvede, når de belyses med hvidt lys. Ifølge populær-vidneskabelige kilder reflekterer Sølvmyren i Afrika al sollys, så den kan færdes i den brændende middagshede, når de rovdyr der efterstræber den er tvunget til at gå under jorden. I princippet kunne vi vel lave noget tilsvarende på en plast-folie overflade, selv om Nanoplast gruppen indtil videre bare ser på små sprøjtestøbte dele. Hvis vi kunne eftergøre sølvmyrens trick på en folie, kunne vi så også gøre samme folie transparent i visse frekvensområder uden at det ville stride mod kendte naturlove? Altså en folie, som er transparent i visse udvalgte frekvensområder og reflekterende i alle andre, opnået allene ved nanostrukturering. Jeg spørger fordi det ville være kærkomment med en folie, som afviser/reflekterer alle solens frekvenser, bortset fra dem, som planterne kan absorbere i deres grønkorn, her skulle folien være transparent. Under en sådan folie kunne man dyrke planter uden at skulle vande så ekstremt meget, som det ellers er nødvendigt at gøre i en ørken hvis man vil have en afgrøde der. Men er det teoretisk muligt?

Det er korrekt, at mit arbejde minder om det, du beskriver, i den forstand, at jeg ligesom dem arbejder med vekselvirkningen mellem lys og materialer. Uanset om man, som mig, ønsker at beskrive udbredelsen af lys i fotoniske krystaller (f.eks. til brug i integrerede, optiske komponenter, til enkelt-foton kilder til fremtidens kvantecomputer mm.), ønsker at beskrive solstrålers vekselvirkning med overfladen på en solcelle eller ønsker at beskrive, hvordan en plastikkomponent reflekterer og absorberer lys, skal man kunne beskrive denne vekselvirkning.

På DTU Fotonik arbejder nogle af mine kolleger med nanostrukturering af plastoverflader (se punkt 1 på denne side; http://www.fotonik.dtu.dk/english/Research...), og der er ligeledes aktiviteter inden for strukturering af overflader på f.eks. solceller (http://www.fotonik.dtu.dk/english/Research...).

  • 0
  • 0

Det er dog rart at læse en artikel (blog) på denne hjemmeside som ikke lover mere end den leverer, men netop er for viderekomne!

Du skriver at en af årsagerne til at bruge Fourier analyse er at du får adgang til modes (som akustiker er min forståelse af elektriske felter lidt begrænset). Kan man ikke udlede disse fra en transformation/analyse af FEM resultater?

Ligeledes skriver du at du ender i rækkeudvikling når det bliver lidt mere avanceret. Det læser jeg som en numerisk metode frem for en anden.

Dette leder frem til mit faktiske spørgsmål: Hvad kan du lære/løse/forstå med din Fourier baserede analysemetode som man ikke kunne før?

Til Ing: Det ville være lækkert om blog'en understøttede lidt mere pæne ligningsbeskrivelser, så man undgik en masse af 'd_xdir' etc.

  • 0
  • 0

Det er dog rart at læse en artikel (blog) på denne hjemmeside som ikke lover mere end den leverer, men netop er for viderekomne!

Det glæder mig, at du synes om det. Jeg har knoklet en del med at forstå de her avancerede Fourier faktoriseringsregler, og jeg fik derfor den idé at dele min nyvundne indsigt herinde:-)

Du skriver at en af årsagerne til at bruge Fourier analyse er at du får adgang til modes (som akustiker er min forståelse af elektriske felter lidt begrænset). Kan man ikke udlede disse fra en transformation/analyse af FEM resultater?

Ligeledes skriver du at du ender i rækkeudvikling når det bliver lidt mere avanceret. Det læser jeg som en numerisk metode frem for en anden.

Dette leder frem til mit faktiske spørgsmål: Hvad kan du lære/løse/forstå med din Fourier baserede analysemetode som man ikke kunne før?

Blot for lige at være præcis: Det er ikke brugen af Fourier analyse, men derimod formuleringen i form af 'modes', som er løsninger til et transverst (z-uafhængigt) egenværdiproblem udledt fra Maxwells ligninger, som er den afgørende forskel.

At modes er løsninger i z-homogene områder betyder, at deres z-afhængighed er beskrevet analytisk - ved exp(i * beta * z), hvor beta^2 er egenværdierne fra omtalte egenværdiproblem - og dette gør analyse ved brug af disse af store (langs z) bølgeledere, fotoniske krystaller mv. oplagt. Fourier række udviklinger er én konkret teknik til at implementere denne overordnede strategi.

Disse 'modes' kan man godt, i et eller andet omfang, bestemme med metoder baseret på rumlig diskretisering (FEM, FDTD osv.). Men de er ikke lige så fundamentalt forankrede i disse metoder som i den metode, jeg arbejder med, og da meget af fysikken i de problemer, vi arbejder med, er forbundet til forståelsen af 'modes', hvordan de kobler til hinanden mv., bruger jeg mit ph.d. projekt på at udvikle disse metoder.

Som et eksempel kan jeg nævne arbejde på lysudbredelsen i aktive fotoniske krystaller - hvor der f.eks. er indlejret kvantepunkter eller kvantebrønde i en del af den fotoniske krystal, som kan forstærke felterne, når de udbreder sig igennem strukturen (se dette tweet: https://twitter.com/Jakobrdl/status/425640... ). Dette har vi arbejdet på i min gruppe, specielt nogle af mine kolleger, og de metoder, jeg arbejder med, kan benyttes til at beregne de Bloch tilstande, som lyset udbreder sig i i denne struktur. Dette kan min kollega, hvis arbejde er baseret på FEM (COMSOL), af forskellige årsager ikke, og jeg har derfor lavet beregninger for at validere en simpel, semi-analytisk model, de har udviklet for systemet.

Så de her metoder kan altså lave nogle typer af beregninger, som de veletablerede metoder enten ikke kan eller har svært ved. Omvendt er de metoder, mit arbejde er baseret på, mindre velkendte og veludviklede, og hvis man ikke har tid til at sætte sig ned og skrive koden selv, er det nemmere at starte COMSOL eller MEEP (http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/Meep ) op og lave beregninger med det samme.

  • 0
  • 0

Kan du give en link til Lis Fourier faktoriseringsregler, så jeg kan studere det nærmere?

De bedste referencer er Lis originale artikler, som jeg refererer i blogindlægget - denne (http://dx.doi.org/10.1364/JOSAA.13.001870) er den originale om Fourier analyse i 1D, denne (http://dx.doi.org/10.1364/JOSAA.14.002758) er generaliseringen til Fourier analyse i 2D.

Af frit tilgængelig litteratur er det f.eks. kort beskrevet (afsnit 2.3) i dette bogkapitel (http://www.intechopen.com/books/photonic-c... ). Detaljerne i udledninger mv. er ikke angivet, men reglerne - som Li udviklede i den første reference ovenfor - er præsenteret.

  • 0
  • 0

Jeg er interesseret i de ligninger som gir hukommelsessvigt i de numeriske metoder du bruger i matlab.
Kan du beskrive mer detaljeret hvilke type ligninger det gælder?

  • 0
  • 0

Jeg er interesseret i de ligninger som gir hukommelsessvigt i de numeriske metoder du bruger i matlab. Kan du beskrive mer detaljeret hvilke type ligninger det gælder?

Der er ingen specifikke ligninger, som giver hukommelsesproblemer, men der er ligninger, hvor matricer med de omtalte Fourier koefficienter og spredningsmatricer, som beskriver koblingen mellem alle de forskellige 'modes', indgår. Og hvis disse matricer er tilpas store, og der er tilpas mange af dem, løber computeren på et tidspunkt tør for hukommelse.

Dette er ikke pt. et problem i de 2D-beregninger, jeg indtil nu har lavet, men når jeg når til 3D - hvor der f.eks. både vil være x-Fourier koefficienter og y-Fourier koefficienter (se billedet i indlægget for definitionen af akserne) - kan dette blive kritisk.

Havde du noget specifikt i tankerne?

  • 0
  • 0

Jeg må tenke lidt over det svar du gav, og omformulere mitt spørgsmål ser jeg. Jeg kommer tilbage til det når jeg har set lidt nærmere på det. Dersom du har en epost adresse, så kan jeg skrive til dig siden.

Angående 2D-beregninger: Jeg så på den lenke du gav angående dine egne algoritmer. Der giver du jo udtrykk for at du har nogle former for problemer i 2D-beregninger?

  • 0
  • 0

Jeg må tenke lidt over det svar du gav, og omformulere mitt spørgsmål ser jeg. Jeg kommer tilbage til det når jeg har set lidt nærmere på det. Dersom du har en epost adresse, så kan jeg skrive til dig siden.

Du er velkommen til at vende tilbage.

Angående 2D-beregninger: Jeg så på den lenke du gav angående dine egne algoritmer. Der giver du jo udtrykk for at du har nogle former for problemer i 2D-beregninger?

Det er korrekt - jeg havde problemer, som siden er blevet løst:-) Der var ikke tale om fundamentale problemer, men det kan sikkert fortsat være inspirerende for, hvordan man kan optimere sin kode - se detaljerne i dette indlæg: http://ing.dk/blog/lavthaengende-frugter-o...

Ing.dk burde have et "citationstræ", så man f.eks. i mit originale blogindlæg om hukommelsesproblemer bliver vist videre til det nye blogindlæg, som viser tilbage til dette - på samme måde som at man med videnskabelige artikler kan se, hvilke som citerer hvilke og på den måde komme videre til ny information.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten