I mit ph.d. projekt udvikler jeg teoretiske og numeriske metoder til analyse af nanofotoniske strukturer. En type af strukturer, som meget af arbejdet i min gruppe er bygget op omkring, er såkaldte fotoniske krystaller, der er periodiske strukturer, hvilket giver dem nogle særlige egenskaber.
I billedet nedenfor ses lysintensiteten i en 2D fotonisk krystal, hvilket er beregnet med min Matlab kode. Lyset kommer ind igennem bølgelederen nedefra, og pga. af valget af bølgelængde for lyset - som svarer til resonansbølgelængden for kaviteten ved siden af bølgelederen - virker denne sidekoblede kavitet som et spejl. Dermed slipper kun en lille andel af lyset igennem til den øverste bølgeleder, mens der i den nederste opstår et stående bølge mønster, som er resultatet af interferensen mellem det indkomne og det reflekterede lys.
De numeriske metoder, jeg arbejder med, er baseret på såkaldte mode udviklinger af de elektromagnetiske felter, hvor felterne i forskellige områder i rummet opskrives som uendelige summer af modes, som hver løser Maxwells ligninger i det givne område. Løsningerne i de forskellige rumlige områder kobles ved at tilfredsstille grænsebetingelserne for felterne, hvilket i sidste ende leder til spredningsmatricerne for det givne problem. Denne fremgangsmåde er fundamentalt forskellig fra metoder baseret på rumlig diskretisering som f.eks. finite element metoden (FEM), hvor løsning er baseret på at sætte det rumlige område på et gitter, og hvor løsningerne - de elektromagnetiske felter - bestemmes på dette gitter.
En fordel ved de metoder, jeg arbejder med og udvikler, er, at de giver adgang til modes - som har en direkte, fysisk fortolkning - og koblingen mellem alle disse modes igennem spredningsmatricerne. Omvendt er der i sammenligning med FEM lidt mere restriktive krav til, hvilke geometrier som (nemt) kan håndteres og løses, og et væsentligt mere sparsomt udvalg af kommercielt tilgængelige værktøjer, som er baseret på mode udviklinger - hvilket motiverer, at jeg, fordi vi tror på styrken i de her metoder, udvikler min egen kode.
I visse geometrier kan de omtalte modes opskrives analytisk, hvor kun de tilhørende bølgetal bestemmes numerisk ud fra en geometrispecifik dispersionsligning. Finite difference teknikker kan også benyttes, hvilket giver metoden et FEM-præg, og endelig kan Fourier række udviklinger benyttes.
Min ph.d. vejleder, som også arbejder med disse teknikker, har lavet en del arbejde med rotationssymmetriske strukturer, f.eks. til modellering af enkelt-foton kilder baseret på nanotråde. Pga. rotationssymmetrien kan der i disse tilfælde benyttes (semi-)analytiske modes.
I mere generelle, og altså mindre symmetriske, strukturer kan der ikke benyttes analytiske modes, og der benyttes i stedet Fourier række udviklinger - hvilket alt mit arbejde er baseret på, f.eks. til at modellere og analysere 3D udgaven af den fotoniske krystal vist ovenfor.
Brugen af Fourier række udviklinger inden for optik og fotonik blev i 1980'erne og 1990'erne udviklet med fokus på analyse af diffraktionsgitre (se f.eks. denne reference). Diffraktionsgitre er periodiske strukturer, hvor Fourier analyse er oplagt, og metoderne blev snart videreudviklet til at håndtere andre strukturer, både periodiske og ikke-periodiske. For ikke-periodiske strukturer kan metoden godt anvendes, men idet Fourier række analyse er baseret på periodiske funktioner, giver dette en kunstig periodisering i beregningen - som man f.eks., igen kunstigt, håndterer ved at introducere absorberende grænsebetingelser som PML.
Fourier række metoden er baseret på udvikling af hver komposant af de elektromagnetiske felter samt af de konstitutive parametre permittiviteten og permeabiliteten på Fourier rækker. Disse indsættes herefter i Maxwells ligninger, og man når således egenværdiligninger for Fourier koefficienterne af feltkomposanterne og deres z-bølgetal.
Et velkendt resultat fra Fourier analyse er, at Fourier transformationen af produktet af to funktioner giver en foldning (convolution) i Fourier rummet. Et tilsvarende resultat gælder i det diskrete tilfælde (integraler --> summer), hvor man får en diskret foldning.
Undervejs i Fourier analysen af Maxwells ligninger ved vi således f.eks., at Fourier koefficienterne for det elektriske forskydningsfelt D = epsilon * E (hvilket er den konstitutive relation, som er tilstrækkelig i vores tilfælde) bliver D_n = sum_m ( epsilon_{n-m} * E_m ), hvor epsilon_{n-m} er den (n-m)'te Fourier koefficient for permittiviteten epsilon, mens E_m er den m'te Fourier koefficient for det elektriske felt.
Idet vi trunkerer Fourier rækkerne - så vi kan behandle dem i en computer - kan vi repræsentere ovenstående som en matrixligning: D_vektor = Toeplitz(epsilon) * E_vektor, hvor D_vektor (E_vektor) er en vektor med alle Fourier koefficienterne for D-feltet (E-feltet). Toeplitz(epsilon) er en såkaldt Toeplitz matrix med Fourier koefficienterne for permittiviteten på diagonalerne.
Ovenstående giver umiddelbart en koncis beskrivelse af Fourier række metoden, men der viste sig midt i 1990'erne at være et problem med metoden. Specifikt viste beregningerne i den såkaldte TM-polarisation (hvor det magnetiske felt i 2D-tilfældet kun har en y-komposant, mens det elektriske felt har både en x- og en z-komposant - se akserne i billedet ovenfor) sig at konvergere overraskende langsomt med antallet af led i de anvendte Fourier rækker. Dette blev løst empirisk i denne og denne reference - og formelt af Li i denne reference.
Konkret består problemet i, at vi pga. den praktiske implementering benytter trunkerede Fourier rækker, som vi i computeren kan repræsentere igennem matricer og vektorer med endeligt mange pladser. Ovenfor repræsenterede vi den konstitutive relation som D = epsilon * E, hvilket i Fourier rummet og med trunkerede rækker blev til D_vektor = epsilon_matrix * E_vektor. Men vi kunne også have skrevet 1/epsilon * D = E, hvilket i Fourier rummet ville give (1/epsilon)_matrix * D_vektor = E_vektor. For ikke-trunkerede Fourier rækker er disse relationer identiske, idet vi i denne grænse har (1/epsilon)_matrix * epsilon_matrix = I (enhedsmatrix). Men for de trunkerede Fourier rækker, vi benytter rent praktisk, er det ikke det samme, og hvad er så den rigtige fremgangsmåde? Dette analyserede Li i referencen omtalt ovenfor, og dette ledte til, hvad der sidenhen er blevet kendt som Lis Fourier faktoriseringsregler.
Kort fortalt gælder den simple regel, som giver den diskrete foldning beskrevet ovenfor, hvis de funktioner, der udgør produktet, som Fourier analyseres, ikke begge er diskontinuerte. I TE-polarisationen (hvor det elektriske felt i 2D-tilfældet kun har en y-komposant, mens det magnetiske felt har både en x- og en z-komposant - se akserne i billedet ovenfor) er epsilon * E produktet af en diskontinuert funktion (epsilon, som kun varierer med x og z, og som Fourier analyseres i x) og en kontinuert funktion (E). I modsætning hertil er der i TM-tilfældet - hvor E specielt har en x-komposant - tale om produktet af to diskontinuerte funktioner i x, hvis produkt er kontinuert, og hvor Lis Fourier faktoriseringsregler således skal anvendes.
Beskrivelsen i det foregående afsnit gælder i 2D-tilfældet, hvor der kun Fourier analyseres mht. x-koordinaten. I 3D-tilfældet Fourier analyseres strukturerne i to dimensioner, nemlig både i x og y, og så bliver tingene en anelse mere avancerede. For så er f.eks. epsilon * Ex i x-variablen produktet af to diskontinuerte funktioner, hvis produkt er kontinuert, mens det er produktet af en diskontinuert og en kontinuert funktion i y-variablen. Dvs. så skal der anvendes forskellige Fourier faktoriseringsregler i de forskellige variable. Dette er beskrevet i flere detaljer i denne reference.
Jeg lærte på mit andet studieår på DTU første gang om Fourier rækker i kursus 01035: Matematik 2, og som de foregående afsnit dokumenterer, er der en hel masse mere i Fourier analyse end blot at opskrive analytiske Fourier koefficienter for kendte funktioner. Fourier analyse er et stærkt værktøj inden for mange grene af ingeniørvidenskaberne, og særligt når man bruger disse i praktiske beregninger i computere, skal man altså holde tungen lige i munden.
