close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Mediehuset Ingeniøren og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Mediehuset Ingeniøren kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.
seiersen science

Den smukkeste matematik

Matematiske formler - videnskabens poesi. En række tegn, der kan beskrive alt fra hoppende bolde til stjerner, der eksploderer i fjerne galakser. Kræfter i komplekse bygningsværker, globale vejrsystemer, energirige partikler eller bare det lille barn, der cykler hen ad villavejen.

Alt beskrives med matematik.

Når komplicerede fænomener omsættes til ganske få, enkle tegn, begynder man ofte at tale om, at matematikken er smuk. For mange en mærkelig betegnelse om et fag, man måske fandt svært og ubrugeligt i folkeskolen, men for videnskabsfolk gerne noget, der trykkes på t-shirts og plakater.

CBS News har for nylig spurgt en række fysikere, astronomer og matematikere om deres yndlingsformler, og svarene dækker både Pythagoras' læresætning og Standardmodellens beskrivelse af alle universitets mindste byggesten.

Se de smukkeste formler her

KlausSeiersen
  • er oftest representeret i oversigten, verdens smukkeste formler.
    Een af disse er forkert, 1 = 0,9999999999999999999...... Enhver kvantitets ligning skal opfylde at to sider (højre og venstre) er lige store, hvilket er tilsidesat her. Ligger inde med beviset herfor, og får vel tid engang at sætte beviset op i en spiselig udgave. Denne ligning kunne erstattes med Maxwells ligninger.
  • 0
  • 2

Selv om Standardteoriens er opdelt i pæne matematiske afsnit, er den trods alt kaldt et "matematisk kludetæppe" - ikke en betegnelse der matcher ordet smuk.
Strengteoriens matematik kunne erstatte Standardteoriens.

  • 0
  • 0

Matematikkens opgave er at beskrive (så vidt muligt) alle kvantiteter.
Kvaliteter kan den ikke beskrive, her må et andet sprog tage over.

  • 0
  • 0

Det ender ud i at Euler tager alle pladser.
Spørgsmålet er om en smuk ligning skal udsige noget om ren matematik eller anvendt matematik. Eller, uafhængig af ren/anvendt, om det er ligningens egen "kraft" der er skønhedsidealet.

  • 0
  • 0

Er skøn, viser matematikkens mangler til at beskriver virkeligheden kort.
22/7

  • 0
  • 0

Er skøn, viser matematikkens mangler til at beskriver virkeligheden kort.
22/7

Matematik kan ikke altid beskrives kort, hvis den skal være korrekt :) og matematik er smukkest når den er korrekt

Personligt syntes jeg bedst om a^2 + b^2 = c^2

  • 0
  • 0

Relationen mellem tonehøjde ny Hz og tykkelse h m af kerneis:

..... ny*h=34 ... m/s

som Gunnar Lundmark på Akustikbyrån formodede var anledningen til, at ikke mange flere var druknede her på vores kolde breddegrader med nyislægning de siste 10 000 år.

For matematikken på svensk:

Koincidensfrekvens fc*istjocklek hi:

fchi=(3cl^5vkm(1-^2)/(Ei^2))^(1/3)

cl ....... m/s .................. ljudhastighet i luft
v ..... kg/m^3 ........... dencitet för vatten
km ..... 0,5*0,5^0,5 .....relativt medsvängande vatten
 ........0,3 ...................tvärkontraktion i is
Ei .......Pa ...................elasticitetskoeffecient i is

giver ca 34 m/s

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

dS/(dt)>=0

Når først man rigtig har forstået den, burde det løbe en koldt ned af ryggen.

Kan jeg ikke få lidt hjælp? Jeg ved godt jeg er dum ved ikke at kunne se det, men hvad er S(t) ? Der er også mange der hedder Jens jo...

  • 0
  • 0

[quote]dS/(dt)>=0

Når først man rigtig har forstået den, burde det løbe en koldt ned af ryggen.

Kan jeg ikke få lidt hjælp? Jeg ved godt jeg er dum ved ikke at kunne se det, men hvad er S(t) ? Der er også mange der hedder Jens jo...[/quote]

Jeg genkender formlen fra varmeteorien: S er entropi og t er tiden.

Entropien af et lukket system vokser med tiden.

  • 0
  • 0

"Alt beskrives med matematik". Næe, der har vi nok svinget os for højt op.
Det var Galilei der er fadder hertil, men selv en matematikbog bliver ulæselig hvis den blot omfatter matematik.

  • 0
  • 2

"Matematik kan ikke altid beskrives kort". Skønhedsidealet er den kortest mulige beskrivelse. Ordkværulanten er matematisk grim.

  • 0
  • 0

De udvalgte skønneste ligninger er overvejende udtrykt algebraisk.
En enkelt talligning (1 = 0,9999999999999999...) - der er forkert - har forvillet sig ind på listen. (En af mine favoritter er, A = a+b).

  • 0
  • 0

[quote]dS/(dt)>=0

Når først man rigtig har forstået den, burde det løbe en koldt ned af ryggen.

Kan jeg ikke få lidt hjælp? Jeg ved godt jeg er dum ved ikke at kunne se det, men hvad er S(t) ? Der er også mange der hedder Jens jo...[/quote]

Sorry jeg burde havde uddybet.

Det er termodynamikkens anden lov.
"du kan ikke omdanne varmeenergi til arbejde med 100% effektivitet"
er en måde at sige det på. Det vil sige at varme energi er den dårligste form for energi der er. Og da alt energi i universet er en endelig størrelse, ved vi hvordan universet ender med at være.

Og vi ved at "evighedsmaskinen" er ikke noget at bruge tid på.

  • 0
  • 0

Søren nævner universets varmedød, den var også fremherskende for nogle årtier siden. Men der er mekanismer der modvirker denne, og efterhånden mange forskere tror ikke mere på varmedøden.
Men termodynakikken er stadig fundamental fysik, blot ikke som afslutning på astrologiens ageren.

  • 0
  • 0

Heldigvis omfatter varmeteorien ikke hele fysikken eller universet, og jeg må nævne en enkel formel:

..... E*m=c^2 ..... (m/s)^2

som heller ikke er ren matematik, men som giver menneskeheden håb om at overleve varmedøden.

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Universet et lukket system, hvor den 2. lov skal overholdes.
Altså at universet ender med termodynamisk ligevægt.
Om det er "varmt" eller "koldt" er afhængig af om universet er lukket eller fladt.

Den eneste måde at komme uden om dette, er at finde en måde at tilføre universet ny energi.

@Kim hvad er det for mekanismer du refererer til ?
Det eneste jeg kender til, er at værdien for maximum mulig entropi stiger hurtigere end den faktiske entropi p.g.a. universets udvidelse. Dermed når vi aldrig maximum entropi. Dette er så vidt jeg ved ikke bekræftet.

@Tyge hvad har masse-energi ækvivalens at gøre med at entropi stiger med tiden ?

  • 0
  • 0
  • .
    Een af disse er forkert, 1 = 0,9999999999999999999...... Enhver kvantitets ligning skal opfylde at to sider (højre og venstre) er lige store, hvilket er tilsidesat her.

Vrøvl. vrøvl, vrøvl.

Kim, du har aldrig været, er ikke og bliver aldrig matematikkyndig. Det er forlængst og ubestrideligt bevist, at 1 = 0,9999...

At det så strider mod din jordbundne livsopfattelse, er dit og ikke matematikkens problem.

  • 1
  • 0

Min fomel::

..... E*m=c^2 ..... (m/s)^2
blev ikke så lidt forkert.

Den skal være:

..... E=m*c^2 ..... J

Søren Maagaard Andersen skriver 02. feb 2013 kl 13:36:

"@Tyge hvad har masse-energi ækvivalens at gøre med at entropi stiger med tiden ? "
og:
"Den eneste måde at komme uden om dette, er at finde en måde at tilføre universet ny energi."

Ja, hvordan skal det hele udvikles og slutte? Som mere energi eller mere masse?

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Vrøvl. vrøvl, vrøvl.

Kim, du har aldrig været, er ikke og bliver aldrig matematikkyndig. Det er forlængst og ubestrideligt bevist, at 1 = 0,9999...

Nu er i så to, Anders ;-)

  • 0
  • 0

I en 60´er bog angives universets død som værende et i tid "fastlåst" scenarie bestående af materiensomdannelse til lunknent jern (Fe).
Denne varmedød er der nu ikke megen opbakning til, den moderne kosmologi peger på flere scenarier for universets afslutning, men vi kommer for langt fra trådens emne at gå ind på denne astronomi.

  • 0
  • 1

Inden vi får udråbt hinanden til matematiske kvajpander, kunne det være interessant gå ind på nævnte lignings indhold:
Lighedstegnet kræver at højre/venstre side skal være lige store, hvis vi skal betegne ligheden som værende "rigtig". Er de to sider ikke lige store, betegnes ligheden som værende "forkert".
Ligheden 1 = 0,9999999999999999999999..... er forkert, idet de to sider ikke er lige store. Så er ballet åbnet.

  • 0
  • 5

Inden vi får udråbt hinanden til matematiske kvajpander, kunne det være interessant gå ind på nævnte lignings indhold:
Lighedstegnet kræver at højre/venstre side skal være lige store, hvis vi skal betegne ligheden som værende "rigtig". Er de to sider ikke lige store, betegnes ligheden som værende "forkert".
Ligheden 1 = 0,9999999999999999999999..... er forkert, idet de to sider ikke er lige store. Så er ballet åbnet.

Så længe uendeligheden er intakt er de da lige store.

  • 0
  • 0

Som en del af beviset for 1 = 0.999999999999999999999.... har vi i Cantors arbejder bl.a. den forkerte påstand, 10 x 0,333.... = 3,333....
Rigtigt er, 10 x 0,333.... = 3,33... I enhver matematikbog får vi rigtig at vide, at et decimaltal x med 10 udføres med at flytte kommaet een plads til venstre.

  • 0
  • 0

Men er 3,33......... = 3,333............. = 3,3333.............
Her er man nødt til at tage stilling til de af mig indførte emner, potentiel matematik og realiseret matematik. Vi starter med at spørge, er potentiel matematik = realiseret matematik?
På grundlag af et omfattende emperisk materiale, er svaret nej.
Et eks. De hele tal benævnes under eet som en talrække (et tallegeme). Denne række er potentiel uendelig, et matematisk potentiale der ikke kan realiseres matematisk.
3,33.... er ulig 3,333...

  • 0
  • 2

Kurt, uendeligheden 0,99999999999999999........... er intakt (godt set), men kun potentielt intakt.
Uendeligheden kan ikke realiseres, hvorfor angivelse af "uendelige" decimaltal altid er realiseret endeligt.

  • 0
  • 2

I en 60´er bog angives universets død som værende et i tid "fastlåst" scenarie bestående af materiensomdannelse til lunknent jern (Fe).
Denne varmedød er der nu ikke megen opbakning til, den moderne kosmologi peger på flere scenarier for universets afslutning, men vi kommer for langt fra trådens emne at gå ind på denne astronomi.

Er du sød og fortælle hvad de scenarier er ?

  • 0
  • 0

Frem med sølvpapirshatten:
"...de af mig indførte emner, potentiel matematik og realiseret matematik."

Sådan nogle selvindførte regler, kan man jo ikke argumentere imod.

Held og lykke i din verden.

  • 0
  • 0

Så længe uendeligheden er intakt er de da lige store.

Wikipedia har en fin beskrivelse af folks modvilje mod at acceptere ligheden:

"The equality 0.999... = 1 has long been accepted by mathematicians and is part of general mathematical education. Nonetheless, some students find it sufficiently counterintuitive that they question or reject it, commonly enough that the difficulty of convincing them of the validity of this identity has been the subject of several studies in mathematics education."

Læs mere i afsnittet "Skepticism in education":

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

  • 2
  • 0

Efter som uendeligheden eksisterer i virkeligheden må den også kunne beskrives matematisk, og hvis man siger en talrække er uendelig, så er den uendelig, for den beskriver en uendelighed.

  • 0
  • 0

Søren, kort om det spurgte. Kosmologi er i dag i høj grad præget af elementarpartikelfysikken, eller vi skulle vel sig at elementarfysikerne er så frække at gå ind på astronomiens enemærker. Elementarfysikken peger på en række kosmologiske scenarier, Big Bang er hjerteblod men i den anden ende af BB figurerer den store emplosion, og et universelt sort hul m.v.
Universets udvikling er knyttet tæt til rummets geometri, hvor der er muligheder for lukkede/åbne/balancerede gemetrier. Emnets vanskelighed bunder for en del i den ikke overensstemmende fysik: Den generelle relativitetsteori - kvantefysik.

  • 0
  • 1

Kurt, jo det potentielle er lige så virkeligt som det realiserede.
Blot er en realisering og et potentiale ikke det samme, det ene er en mulighed det andet er en vekselvirkning.
Tilsammen udgør de virkeligheden: Virkeligheden har ikke andet at byde på end disse to emner, og også matematikken må se sig indordnet under denne (strenge) virkelighed.

  • 0
  • 0

Her mødes enigheden, hans ligning er så afvæbende at alle er enige.
En ligning der har en ganske overbevisende karakter, som 1 = 0,9999999999999999999............. ikke er i besiddelse af - her må en del "overtalelse" til, for at gøre den spiselig. Og så kommer modargumenterne, der konkluderer at den er forkert.
Prøv at argumentere for at Phytagoras er forkert .............. så opdager man hvor svag Cantors ligning er.

  • 0
  • 1

Cantors 1 = 0,9999999.... er egentlig mere en lighed end en ligning, idet 1 og 0,99999.... påståes at være eet og det samme (blot er det to forskellige angivelses måder).
2 = 2 og 27 = 27 er heller ikke ligninger, men ligheder.
9+16 = 5^2 er en ligning, udregnet er det en lighed: 25 = 25.
Et = romertal et er en lighed og ikken en ligning o.s.v.

  • 0
  • 1

[quote]Vrøvl. vrøvl, vrøvl.

Kim, du har aldrig været, er ikke og bliver aldrig matematikkyndig. Det er forlængst og ubestrideligt bevist, at 1 = 0,9999...

Nu er i så to, Anders ;-)[/quote]

Du er altså uenig i dette:

The equality 0.999... = 1 has long been accepted by mathematicians and is part of general mathematical education.

Argumenter, tak!

  • 0
  • 0

Cantors 1 = 0,9999999.... er egentlig mere en lighed end en ligning, idet 1 og 0,99999.... påståes at være eet og det samme (blot er det to forskellige angivelses måder).
2 = 2 og 27 = 27 er heller ikke ligninger, men ligheder.
9+16 = 5^2 er en ligning, udregnet er det en lighed: 25 = 25.
Et = romertal et er en lighed og ikken en ligning o.s.v.

Det der selvopfundne sludder giver ingen mening i matematikken.

Efterhånden er det ganske tydeligt, at du simpelthen mangler evnen til at tænke abstrakt - kort og godt. Derfor opdigter du din besyndelige forskel mellem ligninger og ligheder, der er helt på linje med din ligeledes selvopfundne forskel mellem brøker og tal.

Det svarer til, at du påstår, at du er 6,3 meter høj. Det passer heller ikke, selv om du påstår det 100 gange.

  • 0
  • 0

Anders, lighed/ulighed behandler jeg i mit arbejde, "Naturelementernes grundlæggende egenskaber". Efter definition på natur og naturelementer, definerer jeg den fundamentale lighed/ulighed, citat, "Ethvert naturelement x er sig selv lig, en fundamental lighed kaldet naturelementets egenhed: x er lig x.
Ethvert naturelement x er alle andre naturelementer y ulig, en fundamental ulighed kaldet naturelementets uegenhed: x er ulig y."
Derfor er 25 = 25 en lighed og ikke en ligning, idet 25 er et naturelement.

Brøk. Den med brøken kan du ikke glemme - brøken påstod jeg, er en matematisk opgave bestående af to tal adskilt af en division, andre påstod at en brøk er et tal. Men et tal og en opgave er to forskellige natueelementer, og da ethvert naturelement er sig selv lig kan et tal og en opgave ikke være eet og det samme.
Holder stadig på at brøken er en matematisk opgave.

  • 0
  • 1

Anders, lighed/ulighed behandler jeg i mit arbejde, "Naturelementernes grundlæggende egenskaber". Efter definition på natur og naturelementer, definerer jeg den fundamentale lighed/ulighed, citat, "Ethvert naturelement x er sig selv lig, en fundamental lighed kaldet naturelementets egenhed: x er lig x.
Ethvert naturelement x er alle andre naturelementer y ulig, en fundamental ulighed kaldet naturelementets uegenhed: x er ulig y."
Derfor er 25 = 25 en lighed og ikke en ligning, idet 25 er et naturelement.

Brøk. Den med brøken kan du ikke glemme - brøken påstod jeg, er en matematisk opgave bestående af to tal adskilt af en division, andre påstod at en brøk er et tal. Men et tal og en opgave er to forskellige natueelementer, og da ethvert naturelement er sig selv lig kan et tal og en opgave ikke være eet og det samme.
Holder stadig på at brøken er en matematisk opgave.

Ikke desto mindre er det rent vrøvl, der ikke lever op til selv de mest grundlæggende krav til matematisk stringens. Matematik er faktisk noget, der hænger sammen og skal være i overensstemmelse med fundamentale definitioner, som man ikke bare kan vælge fra.

Hvis du skulle have ret, ville vi ingen infinitisimalregning have, og de reelle tal ville ikke være et sammenhængende tallegeme, fordi alle uendelige decimalbrøker efter din definition ikke er tal.

Dine definitioner på 'naturelementer' er nyreligiøst, pseudofilosofisk crap, som ikke en gang er konsistent med sig selv.

  • 0
  • 0

Anders, de der brøker, lad dem nu i fred.
Naturelementernes definition har jeg ikke angivet her, men lighed/ulighed er defineret - og matematikken har bare at rette ind efter sådanne fundamentale naturdefinitioner.
Kan du vise at nævnte defier vedr. lighed/ulighed er i strid med sig selv, er jeg meget villig til at holde en begravelsescermoni, men der skal noget mere til end at råbe højt om deres tilknytning til religiøst crappot.

  • 0
  • 1

Anders, de der brøker, lad dem nu i fred.

Nej, for netop denne påstand viser jo din nærmest uendelige uforstand.

Du fatter ikke en gang selv, hvor fundamentalt forkert du er på den, når du påstår, at uendelige decimalbrøker ikke er tal.

Kan du ikke forklare, hvordan vil du vil lave en integration af en funktion over et interval, hvis intervallet ikke er en del af et sammenhængende tallegeme.

Med den ene påstand, at fx 1/3 ikke er et tal, fordi det ikke kan skrives med et endeligt antal cifre i 10-talssystemet, forkaster du stort set al talteori og næsten al matematik.

I øvrigt:

Hvis 3 gange 1/3 er 1

1/3 er 0,333...

3 gange 0,333... er 0,999...

hvorfor er 0,999... så ikke lig 1.

Og stadigvæk - de såkaldte naturelementer er selvopfundet vrøvl og lommefilosofi. Tusinder har fremsat lignende teorier - alle er de faldet pladask.

Prøv at se lidt kritisk på dig selv.

  • 0
  • 0

Mener nu at hans talrække mangler på listen

Fn = F(n-1) + F(n-2) , for n>2
F(0) = 0 , F(1) =1

  • 0
  • 0

Anders, at jeg kaster lidt malurt ind i talteori med min brøkpåstand, betragter jeg som intellektuel adspredelse fra det tunge daglige forskerarbejde.

Jeg citerer fra "Matematihåndbogen" (det i parantes nævnte er mine kommentarer):
2:4 kan også skrives 2/4 (enig).
En brøk er et tal (nej, der er to tal adskilt af en matematisk operation).
Brøkens to tal kaldes tæller og nævner (enig).
Men kunne man slå bro over uenigheden, at brøken både er et tal og en matematisk opgave: Nej, for en brøk er et naturelement og et sådant er altid sig selv lig, og er aldrig noget andet lig - aldrig.

Dermed er det antydet hvor jeg vil hen, skærpe/præcisere det matematiske sprog for herigennem at luge ud i en række tyndt funderede matematiske rutiner, og indføre en streng matematik funderet på fundamentale natur definitioner.
Der er store klø til Cantor og en række andre skikkelser, der har forbrudt sig mod naturen.
Den indledende opgave består i at definere matematikken, hvad er matematik og hvad omfatter den.

  • 0
  • 1

Matematikken omfatter to (og kun to) emner, den endelige kvantiteternes matematik A1 (er realiserbar) og den uendelige kvantiteternes matematik A2 (er urealiserbar). A1 + A 2 = matematik.
Denne "naturmatematik", er ofte ikke sammenfaldende med "menneskematematik", som når den distancerer sig fra førstnævnte er en "fri" diciplin - kun begrænset af subjektiviteten.

  • 0
  • 1

Anders, at jeg kaster lidt malurt ind i talteori med min brøkpåstand, betragter jeg som intellektuel adspredelse fra det tunge daglige forskerarbejde.

Jeg citerer fra "Matematihåndbogen" (det i parantes nævnte er mine kommentarer):
2:4 kan også skrives 2/4 (enig).
En brøk er et tal (nej, der er to tal adskilt af en matematisk operation).
Brøkens to tal kaldes tæller og nævner (enig).
Men kunne man slå bro over uenigheden, at brøken både er et tal og en matematisk opgave: Nej, for en brøk er et naturelement og et sådant er altid sig selv lig, og er aldrig noget andet lig - aldrig.

Dermed er det antydet hvor jeg vil hen, skærpe/præcisere det matematiske sprog for herigennem at luge ud i en række tyndt funderede matematiske rutiner, og indføre en streng matematik funderet på fundamentale natur definitioner.
Der er store klø til Cantor og en række andre skikkelser, der har forbrudt sig mod naturen.
Den indledende opgave består i at definere matematikken, hvad er matematik og hvad omfatter den.

[b]storhedsvanvid,[/b] megalomani, sindslidelse præget af vrangforestillinger (se paranoid psykose) med storhedsindhold, dvs. urealistiske forestillinger om egen værdi, evner og muligheder. Storhedsvanvid er et karakteristisk symptom ved en række forskellige sindssygdomme, fx skizofreni og maniodepressiv psykose. Tidligere var udtalte storhedsforestillinger hyppigt led i en hjernesygdom som følge af syfilis.

Ved skizofreni er der typisk uoverensstemmelse mellem indholdet af storhedsforestillingerne og de faktiske forhold. En ensom og fattig person kan mene sig udvalgt til at frelse verden og stå i forbindelse med den amerikanske præsident, der beder om vedkommendes råd til løsning af internationale konflikter. Ved storhedsforestillinger som led i maniodepressiv psykose er indholdet af storhedsforestillinger ofte i overensstemmelse med det løftede stemningsleje og ikke så barokke. En manisk forfatter mener sig fortjent til at modtage nobelprisen eller forventer, at den næste bog bliver den mest solgte i verden

  • 0
  • 0

Anders: "1/3 er 0,333..."
Næ, 1/3 er en endelig brøk og 0,333... er et uendeligt tal. En endelig brøk og et uendeligt decimaltal er to forskellige naturelementer - og da to forskellige naturelementer aldrig er hinanden lig, er 1/3 ikke 0,333...
Naturelementets strenge definition udelukker at "1/3 er 0,333..."
Og naturelementernes grundlæggende egenskaber, lighed/ulighed, er ligeledes strengt defineret (se ovenstående).
1/3 = 1/3 og 0.333... = 0.333... Så langt er vi rørende enige.
At 1/3 > 0,333... er korrekt, bevises ved at vælge to korresponderende tal større og mindre end 0,333... hvor man så ender med at vise at alle tal = 1/3, hvilket er absurt.

  • 0
  • 1

Kim: Du skriver: "At 1/3 > 0.333... er korrekt ....."

Det bevis vil jer gerne se, og nu du er igang så vil jeg godt ved hvad du mener at 1/3 minus 0.333... giver. Hvor stor er forskellen?

-Eivind

  • 0
  • 0

Eivind, beviset du efterlyser vil jeg helst vise i en ordentlig udgave, hvor jeg har matematiske symboler til rådighed (sådan som potenser - 4^2 - er ikke pæn matematik). Og ikke som en undskyldning, men du kan se hvad man bliver udsat for af diagnoser og skæld ud. Der er grænser for hvor mange godter man vil give uartige børn.
Beviset er en optakt til at undersøge hele uendelighedens matematik, og de begrænsninger der ligger i talteoriernes systemer (her titalsystemet).

  • 0
  • 1

At 1/3 > 0,333... er korrekt, bevises ved at vælge to korresponderende tal større og mindre end 0,333... hvor man så ender med at vise at alle tal = 1/3, hvilket er absurt.

Det rabler da totalt nu.

Eivind, beviset du efterlyser vil jeg helst vise i en ordentlig udgave, hvor jeg har matematiske symboler til rådighed (sådan som potenser - 4^2 - er ikke pæn matematik).

Jamen, det er da også den nemmeste udvej - men dn holder næppe over for Nobelkomiteen.

Beviset er en optakt til at undersøge hele uendelighedens matematik, og de begrænsninger der ligger i talteoriernes systemer (her titalsystemet).

Jeg gentager blot: Megalomani.

  • 0
  • 0

Eivind, beviset du efterlyser vil jeg helst vise i en ordentlig udgave, hvor jeg har matematiske symboler til rådighed (sådan som potenser - 4^2 - er ikke pæn matematik). Og ikke som en undskyldning, men du kan se hvad man bliver udsat for af diagnoser og skæld ud. Der er grænser for hvor mange godter man vil give uartige børn.
Beviset er en optakt til at undersøge hele uendelighedens matematik, og de begrænsninger der ligger i talteoriernes systemer (her titalsystemet).

Hej Kim

Kan du ikke blot skrive hvad du mener værdien af forskellen er?

-Eivind

  • 0
  • 0

Hej Eivind
Vi har 1 > 0,9 og 1 < 1,1. For disse to uligheder er den numeriske kvantitet subtraktivt lige store. Den egenskab bevares i flg. symmetriske summationskorrespondance,

1 > 0,9/1 < 1,1
1 > 0,99/1 < 1,01
1 > 0,999/1 < 1,001
1 > 0,9999/1 < 1,0001
1 > 0,99999/1 < 1,00001
1 > 0,999999/1 < 1,000001
o.s.v.
Det bemærkes at de to sider er numerisk ligeberettiget m.h.t. 1.
Ved korrespodancens uendelige summation, vil (påstået) venstresiden ændre status fra en ulighed til en lighed: 1 = U1.
Herved ændrer også højresiden status (idet siderne er ligeberettiget): 1 = U2.
Idet 1 = 1, fås U1 = U2. Beviset for at 1 = 0,99999.... kræver altså at højresidens summering ligeledes giver 1, hvilket er absurd ved titallets positionerende egenskaber: 1,01/1,001/1,0001/1,00001......

Jeg har endda været flink ikke at påtale statusændringen "ulighed til en lighed". Her ligger problemets kerne idet, "Enhvert naturelement er lig selv selv lig, og er alle andre naturelementer ulig". Eller oversat til dansk : En lighed er ikke en ulighed.
Kort: Venstresiden vil altid være < 1 og højresiden altid > 1. Herved undgår vi urigtigheden: Lighed = ulighed.
Rigtigt: Lighed = lighed og ulighed = ulighed.

  • 0
  • 1

Hej Eivind
Vi har 1 > 0,9 og 1 < 1,1. For disse to uligheder er den numeriske kvantitet subtraktivt lige store. Den egenskab bevares i flg. symmetriske summationskorrespondance,

1 > 0,9/1 < 1,1
1 > 0,99/1 < 1,01
1 > 0,999/1 < 1,001
1 > 0,9999/1 < 1,0001
1 > 0,99999/1 < 1,00001
1 > 0,999999/1 < 1,000001
o.s.v.
Det bemærkes at de to sider er numerisk ligeberettiget m.h.t. 1.
Ved korrespodancens uendelige summation, vil (påstået) venstresiden ændre status fra en ulighed til en lighed: 1 = U1.
Herved ændrer også højresiden status (idet siderne er ligeberettiget): 1 = U2.
Idet 1 = 1, fås U1 = U2. Beviset for at 1 = 0,99999.... kræver altså at højresidens summering ligeledes giver 1, hvilket er absurd ved titallets positionerende egenskaber: 1,01/1,001/1,0001/1,00001......

Jeg har endda været flink ikke at påtale statusændringen "ulighed til en lighed". Her ligger problemets kerne idet, "Enhvert naturelement er lig selv selv lig, og er alle andre naturelementer ulig". Eller oversat til dansk : En lighed er ikke en ulighed.
Kort: Venstresiden vil altid være < 1 og højresiden altid > 1. Herved undgår vi urigtigheden: Lighed = ulighed.
Rigtigt: Lighed = lighed og ulighed = ulighed.

Lær nu at regne med uendelige rækker først. Når du ikke en gang kan det basale håndværk, kommer du hurtigt frem til skrupforkerte konklusioner som ovenfor.

Endelige rækker kan håndteres ved hjælp af elementær algebra. Uendelige rækker kræver redskaber fra den matematiske analyse for en stringent behandling.

Det roder du godt nok sammen i forsøget på at bringe religion og naturfilosofi ind i den rene matematik. Suk!

Rent faktisk beviser du, at 1 = 0,999..., idet forskellen går mod nul, når antallet af trin går mod uendelig.

  • 0
  • 0

Kim: Du skriver: "At 1/3 > 0.333... er korrekt ....."

Det bevis vil jer gerne se, og nu du er igang så vil jeg godt ved hvad du mener at 1/3 minus 0.333... giver. Hvor stor er forskellen?

-Eivind

Kim, hvorfor svarer du ikke bare på Eivinds enkle spørgsmål:

Hvad er resultatet af regnestykket: 1/3 minus 0,333... = ?

  • 0
  • 0

Søren Maagaard Andersen skrev 01. feb 2013 kl 11:21:

"dS/(dt)>=0
Når først man rigtig har forstået den, burde det løbe en koldt ned af ryggen."

og jeg skrev:

E = m * c^2

Måske ikke de smukkeste, men så de nødvendigste for at forstå, at vi mennesker endnu ikke har skabt en matematik, som kan beskrive hele udviklingen.

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

1/3 - 0.333...
Børn kan stille spørgsmål som de klogeste hoveder ikke kan svare på.
Nå, men først forlanger regnehierakiet brøken udregnet (en indrømmelse af at brøken ikke er et tal men en divisionsopgave).
Og så har vi for 0,333... gange 10 - en flytning af kommaet een plads til højre: 3,33... (og ikke 3,333...).
Angives 1/3 udregnet som 0,333... og subtraheres med 0,333... fås tilsyneladende 0, men det er ikke helt rigtigt idet 0,333 - 0,333 = 0,000. Egenskaberne ved titalsystemet er her at hver position skal udregnes, så subtraktionen 0,333 - 0,333 er ikke een men fire subtraktioner!
0,333... - 0,333... er ikke een men uendelig mange subtraktioner, og resultatet er 0,000...
Angives 1/3 udregnet som 0,33... og subtraheres med 0,333... ryger vi ind i et uudforsket felt - realiseret og potentiel matematik - et felt hvori man ikke frit kan springe herimellem, den naturlige tals række viser dette med frygtindgydende tydelighed: Potentielt er rækken uendelig, realiseret er den endelig. Stopper her Anders, du vil alligevel ikke noget matematisk, men hellere diagnostisere mine indlæg psykosomatisk.

  • 0
  • 1

Det genere min hjerne at der skulle være en enhed der er så lille så den ingen betydning har, for hvis man deler hele verden op i disse enheder burde verden ikke eksisterer da disse enheder ingen værdi har, og hvis man ikke kan påvise en enhed så lille at den ingen betydning har, er uendeligheden så ikke en realitet mere end den er et potentiale?

  • 0
  • 0

1/3 - 0.333...
Børn kan stille spørgsmål som de klogeste hoveder ikke kan svare på.
Nå, men først forlanger regnehierakiet brøken udregnet (en indrømmelse af at brøken ikke er et tal men en divisionsopgave).
Og så har vi for 0,333... gange 10 - en flytning af kommaet een plads til højre: 3,33... (og ikke 3,333...).
Angives 1/3 udregnet som 0,333... og subtraheres med 0,333... fås tilsyneladende 0, men det er ikke helt rigtigt idet 0,333 - 0,333 = 0,000. Egenskaberne ved titalsystemet er her at hver position skal udregnes, så subtraktionen 0,333 - 0,333 er ikke een men fire subtraktioner!
0,333... - 0,333... er ikke een men uendelig mange subtraktioner, og resultatet er 0,000...
Angives 1/3 udregnet som 0,33... og subtraheres med 0,333... ryger vi ind i et uudforsket felt - realiseret og potentiel matematik - et felt hvori man ikke frit kan springe herimellem, den naturlige tals række viser dette med frygtindgydende tydelighed: Potentielt er rækken uendelig, realiseret er den endelig. Stopper her Anders, du vil alligevel ikke noget matematisk, men hellere diagnostisere mine indlæg psykosomatisk.

Nå, den kunne han alligevel ikke svare på.

Angives 1/3 udregnet som 0,333... og subtraheres med 0,333... fås tilsyneladende 0, men det er ikke helt rigtigt idet 0,333 - 0,333 = 0,000.

'Ikke helt rigtigt' i matematik. Der findes kun rigtigt eller forkert. Enten er 1/3 - 0,333... lige med nul eller også er resultatet forskelligt fra nul.

Kim, hvis du mener, at resultatet er forskelligt fra nul, hvor mange tal findes der så mellem 1/3 og 0,333...?

Der må i så fald jo være mindst et tal, lad os kalde det z, der er større end 0,333... og mindre end 1/3.

Hvilket samtidig betyder, at der må være uendeligt mange tal imellem1/3 og 0,333, da z/2, z/3, z/4 osv. naturligvis også må ligge mellem 1/3 og 0,333...

Det rigtige svar er naturligvis, at 1/3 - 0,333... er og bliver 0. Alt andet er ulogisk sludder.

Og forskellen på potentiel og realiseret matematik er da heeelt ude i hampen på Bornholm. Det er jo bare noget, du finder på, når du ikke vil acceptere realiteterne.

Tallet Pi eksisterer rent faktisk - selv om der aldrig er nogen, der får nedskrevet alle decimalerne. At et tal har uendeligt mange decimaler er i bund og grund ligegyldigt for dets eksistens.

0,333... - 0,333... er ikke een men uendelig mange subtraktioner, og resultatet er 0,000...

Kim, gider du ikke lige forklare os forskellen på 0 og 0,000...

Eller mener du virkelig, at fx 5 og 5,000... er forskellige tal?

  • 0
  • 0

Anders, forskellen ml. 0 og 0,000... skal findes i "matematisk angiveri":
Differensen 8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 (ikke 0,0 eller 0,00 eller 0,000...).
2 - 0 = 2
2 - 0,0 = 2,0 - 0,0 = 2,0
2 - 0,000... = 2,000... - 0,000... = 2,000...
Og så er 0 - 0,000... = 0,000... - 0,000... = 0,000...
5 - 5,000... = 5,000... - 5,000... = 0,000...
Dette er eksempler på korrekt angiveri, det ser meget langhåret og nørdet ud - men er angiveriet ikke på plads kan der opstå problemer i matematiske analyser/beviser og uendelighedsarbejder.
Blot et eks. Cantor noterer at 0,999... x 10 = 9,999... på hvilket han "beviser" at 1 = 0,999... Han benytter forkert angiveri, og tilsidesætter min definition, "Ethvert naturelement er sig selv lig .....", udfra hvilken vi har 1 = 1 og 0.999... = 0.999...

Så skal vi finde forskellen på 0 og 0,000... skal opgaven først angives korrekt. Hvad er forskellen på 0 og 0: 0 - 0 = 0.
Hvad er forskellen på 0,000... og 0,0000.... : 0,0000... - 0,0000... = 0,0000...
Dette er en stærkere måde at undersøge matematik på, end Dronningens løse hilsen-håndled.

  • 0
  • 1

Pi er et geometrisk forhold ml. en perfekt cirkels omkreds og den tilhørende diameter.
Angives dette forhold ved titalssystemet, kan diameteren (vilkårligt) sættes til 1, og omkredsen er nu ikke mulig at angive: Angiveri har den egenskab altid at være endelig, og da denne omkreds er potentielt uendelig, er angivelsen ikke mulig.
Sættes omkredsen (vilkårligt) til 1, er diameteren ikke mulig at angive.
En angivelse er ikke blot en nedskrivning, men alt hvad der kan representere en angivelse, herunder en tanke - en tanke er ligeså angivende som noget nedskrevet.
Tallet Pi eksisterer kun potentielt, og ikke på nogen måde angivet.
Angivet er bogstavet "Pi", en vilkårlig angivelse der ikke kan erstatte tallet 3,14159.... der netop ikke representerer vilkårlighed. I matematisk angiveri er de angivne decimalcifre af betydning.

  • 0
  • 0

Anders, forskellen ml. 0 og 0,000... skal findes i "matematisk angiveri":
Differensen 8 - (2x4) = 8 - 8 = 0 (ikke 0,0 eller 0,00 eller 0,000...).
2 - 0 = 2
2 - 0,0 = 2,0 - 0,0 = 2,0
2 - 0,000... = 2,000... - 0,000... = 2,000...
Og så er 0 - 0,000... = 0,000... - 0,000... = 0,000...
5 - 5,000... = 5,000... - 5,000... = 0,000...
Dette er eksempler på korrekt angiveri, det ser meget langhåret og nørdet ud - men er angiveriet ikke på plads kan der opstå problemer i matematiske analyser/beviser og uendelighedsarbejder.
Blot et eks. Cantor noterer at 0,999... x 10 = 9,999... på hvilket han "beviser" at 1 = 0,999... Han benytter forkert angiveri, og tilsidesætter min definition, "Ethvert naturelement er sig selv lig .....", udfra hvilken vi har 1 = 1 og 0.999... = 0.999...

Så skal vi finde forskellen på 0 og 0,000... skal opgaven først angives korrekt. Hvad er forskellen på 0 og 0: 0 - 0 = 0.
Hvad er forskellen på 0,000... og 0,0000.... : 0,0000... - 0,0000... = 0,0000...
Dette er en stærkere måde at undersøge matematik på, end Dronningens løse hilsen-håndled.

Du graver jo bare dig selv længere og længere ned i sølet.

Blot et eks. Cantor noterer at 0,999... x 10 = 9,999... på hvilket han "beviser" at 1 = 0,999... Han benytter forkert angiveri, og tilsidesætter min definition, "Ethvert naturelement er sig selv lig .....", udfra hvilken vi har 1 = 1 og 0.999... = 0.999...

Hvilken skurk, at han tilsidesætter din definition og bruger forkert angiveri - hvad hulen et så måtte være. Eller lider du bare af storhedsvanvid?

  • 0
  • 0

Dette er eksempler på korrekt angiveri, det ser meget langhåret og nørdet ud -

Synes du det? For mig virker det barnligt og amatøragtigt!

  • 0
  • 0

Pi er et geometrisk forhold ml. en perfekt cirkels omkreds og den tilhørende diameter.
Angives dette forhold ved titalssystemet, kan diameteren (vilkårligt) sættes til 1, og omkredsen er nu ikke mulig at angive: Angiveri har den egenskab altid at være endelig, og da denne omkreds er potentielt uendelig, er angivelsen ikke mulig.
Sættes omkredsen (vilkårligt) til 1, er diameteren ikke mulig at angive.
En angivelse er ikke blot en nedskrivning, men alt hvad der kan representere en angivelse, herunder en tanke - en tanke er ligeså angivende som noget nedskrevet.
Tallet Pi eksisterer kun potentielt, og ikke på nogen måde angivet.
Angivet er bogstavet "Pi", en vilkårlig angivelse der ikke kan erstatte tallet 3,14159.... der netop ikke representerer vilkårlighed. I matematisk angiveri er de angivne decimalcifre af betydning.

Lige meget hvad du siger, er pi et ganske almindeligt reelt tal.

Lær at tænke abstrakt i stedet for den der religøse jordbundenhed, der stort set kun accepterer de naturlige tal. Ellers vedbliver du at være et matematisk 0.

Er 2,0 - 2,00 noget andet end 2,000 - 2,0000? Du må meget gerne udtrykke forskellen som et tal.

Og husk nu, at du tidligere lovede at blive væk!

  • 0
  • 0

1/3 - 0.333...

Nå, men først forlanger regnehierakiet brøken udregnet (en indrømmelse af at brøken ikke er et tal men en divisionsopgave).

Det vil sige, at man ikke kan regne således: 2/3 - 1/3 = 1/3?

Hvorfor ikke, Kim?

  • 0
  • 0

[quote]Pi er et geometrisk forhold ml. en perfekt cirkels omkreds og den tilhørende diameter.
Angives dette forhold ved titalssystemet, kan diameteren (vilkårligt) sættes til 1, og omkredsen er nu ikke mulig at angive: Angiveri har den egenskab altid at være endelig, og da denne omkreds er potentielt uendelig, er angivelsen ikke mulig.
Sættes omkredsen (vilkårligt) til 1, er diameteren ikke mulig at angive.
En angivelse er ikke blot en nedskrivning, men alt hvad der kan representere en angivelse, herunder en tanke - en tanke er ligeså angivende som noget nedskrevet.
Tallet Pi eksisterer kun potentielt, og ikke på nogen måde angivet.
Angivet er bogstavet "Pi", en vilkårlig angivelse der ikke kan erstatte tallet 3,14159.... der netop ikke representerer vilkårlighed. I matematisk angiveri er de angivne decimalcifre af betydning.

Lige meget hvad du siger, er pi et ganske almindeligt reelt tal.

Lær at tænke abstrakt i stedet for den der religøse jordbundenhed, der stort set kun accepterer de naturlige tal. Ellers vedbliver du at være et matematisk 0.

Er 2,0 - 2,00 noget andet end 2,000 - 2,0000? Du må meget gerne udtrykke forskellen som et tal.

Og husk nu, at du tidligere lovede at blive væk![/quote]

Kim, du burde læse dette. Denne opgave klarer wiki faktisk ret godt.

http://da.wikipedia.org/wiki/Reelle_tal

Bemærk den lille finesse, at de reelle tal repræsenterer en KONTINUERT tallinje.

  • 0
  • 0

Søren, "Hvad er 5x10 og 50/10". Gange/division er, via mangen en god bog (fysik ell. matematik), angivet som kommaflytninger: 5x10 = 5,0x10 = 50 og 50/10 = 5,0.

  • 0
  • 0

Til Anders, 2/3 - 1/3 = 1/3, beregnet efter brøkregningens regler, hvor regnehierarkiet ikke er aktuelt.
Men 0,666... - 0,333... = 0,333... og 0,6666... - 0.3333... = 0,3333...
Hvad er 0,666... - 0,6666... = 0,6666... - 0,6666... = 0,0000...

  • 0
  • 1

Reelle tal omfater alle tal (rationale/irrationale).
Iden vi begiver os ind på matematikkens kontinuitet, bør du kommentere min tidl. angivne korrespondance
1 > 0,9 / 1 < 1,1
1 > 0,99/ 1 < 1,01
1 > 0,999/ 1 < 1,001
o.s.v. i det uendelige ............................................................. (se 5/2 indlæg).

Denne korrespondance er en ubehagelig udfordring til 1 = 0,999... !
Matematik er en smuk men streng attraktion, der ikke lader sig kue af vores subjektivitet.

  • 0
  • 1

@Anders: Du skriver et sted : Der må i så fald være mindst ét tal Z, der er større end 0,333..... og mindre end 1/3.
Det mener jeg er forkert. Resultatet af regnestykket 1/3 - 0,333..... = uendelig lille. Ligesom uendelig ikke er et konkret tal, er uendelig lille heller ikke et konkret tal, og det betyder, at et hvilket som helst konkret tal, (uanset, hvor lille det måtte være), du vil forsøge at mase ind imellem 1/3 og o,333....,. vil være større end uendelig lille (og dermed for stort). Det eneste, man kan sige om uendelig lille, er, at det ikke er et konkret tal men >0. (forskellen på 1/3 og 0,333..... konvergerer mod 0 uden at være 0. Sådan ser jeg på det. Steen

  • 0
  • 0

Man kunne måske også formulere det sådan, at UE.lille er mindre end ethvert konkret tal, men større end 0. Steen

  • 0
  • 0

Reelle tal omfater alle tal (rationale/irrationale).
Iden vi begiver os ind på matematikkens kontinuitet, bør du kommentere min tidl. angivne korrespondance
1 > 0,9 / 1 < 1,1
1 > 0,99/ 1 < 1,01
1 > 0,999/ 1 < 1,001
o.s.v. i det uendelige ............................................................. (se 5/2 indlæg).

Denne korrespondance er en ubehagelig udfordring til 1 = 0,999... !
Matematik er en smuk men streng attraktion, der ikke lader sig kue af vores subjektivitet.

Øh, nej. Det er da absolut ingen udfordring over hovedet.

Du kommer med to uendelige rækker, der begge konvergerer mod 1, når x går mod uendelig. So what? 1=1=1 - det vidste vi godt i forvejen.

Den forskel, du dyrker, findes jo KUN, så længe der er tale om ENDELIGE rækker. Når du fortsætter i det uendelige, bliver forskellen 0.

Du beviser netop ligheden med dit eksempel, fordi der ikke findes noget, der hedder en uendelig lille forskel.

Hvis den uendeligt lille forskel var større end nul, ville der jo eksistere noget mindre end den uendelig lille forskel (fx forskellen delt med 2), og så var den jo slet ikke uendelig lille alligevel.

Du har simpelthen stadig ikke forstået, hvad uendelig betyder, og du lærer det åbenbart aldrig. Der er en grundlæggende forskel på noget, der er uendeligt, og noget, som bare er meget stort. Og en uendeligt lille forskel findes simpelthen ikke.

Du magter ikke det basale håndværk og opfører dig som en komplet tonedøv, der hamrer tilfældigt løs på et klaver og påstår at spille Hymn to freedom, fordi Oscar Peterson's udgave er helt forkert..

Men det er da fint, at du har indset, at pi er et af det reelle tal. Lille fremskridt. Nu skal du bare lære at komme ud over de begræsninger, dit jordnære bondesind sætter for dig, og droppe de nyreligiøse naturelementer, så kan du måske komme endnu videre. Bare husk: der er ingen forskel på uendelig lille og nul.

.

  • 0
  • 0

Undskyl Anders, jeg kom ind imellem dig og Kim. Men jeg kan også godt bruge dit svar. Det gav gav mig da lige lidt at tænke over indtil videre. Steen

  • 0
  • 0

Mest til Anders: Du skriver følgende til Kim: Du har ikke forstået, hvad uendelig betyder. Hvem, der har forstået hvad, skal jeg ikke kloge mig på, men har følgende kommentarer til dit svar, der også havde bud til mig.

Når jeg er meget tilbøjelig til at være på linie med Kim og på kant med dig, er det fordi: Det er SANDT, at uendeligheden kun findes som en slags potentiale, der ikke kan realiseres i vores verden (og heller ikke i tallenes for den sags skyld). Det betyder også, at jeg indtil videre tror, at talsystemet er et digitalt/diskret fænomen, der aldrig kan komme over i den kontinuerlige verden, selvom vi kan findele talrækken så rigeligt, at det er helt uden betydning.

Det er nemlig sandt som du skriver, at der er forskel på noget som er ue. (hvis det fandtes) og noget, som bare er meget stort. Det er to vidt forskellige ting, og man kommer ikke fra det meget store til ue. ved at fortsætte derudaf, uanset hvor længe man bliver ved.

Derfor må jeg også holde fast i mit sidste (og næstsidste) indlæg : Uendelig lille er ikke 0, men mindre end ethvert konkret tal (nøgleordet her er konkret).

Nu ved jeg godt, at i matematikernes forståelse sætter man ikke ue. mange decimaler på ved at holde tasten nede og så lade dem løbe på over tid. Man springer tidsfaktoren helt over og siger bare, GIVET, at rækken af nitaller er ue. (her og nu), er omtalte decimalbrøk det samme som 1, og det kan være svært at modsige.

Men dette kunstgreb er logisk uholdbart. Allerede Aristoteles var dybt skeptisk overfor den realiserede (aktualiserede hedder det, når det skal være rigtig fint) uendelighed på grund af de paradokser, den medførte. Som bekendt skyldes paradokser ofte sygdom i resonnementet. Den eneste uendelighed, der findes, er noget, der aldrig standser, men forbliver endeligt til evig tid.

Nu kommer der nogle påstande: Et tal er en KONKRET størrelse. Man har derfor ikke lov til at tale om en uendelig række 9-taller, her og nu.

Der kan ikke (her og nu) VÆRE ue. mange tal mellen f.eks. 0 og 1, ligesom der ikke her og nu kan være et uendeligt antal usynlige udstrækninsløse punkter (repræsenterende tal) på tallinien imellem 0 og 1. Antallet kan være vilkårlig stort, men det vil være altid være repræsenteret af et tal fra talrækken og disse fås kun i endelige versioner.

Tallinjen er digital/ikkekontinuerlig. Uanset hvor lille forskellen er på to tal, vil man altid ved hjælp af decimaler kunne mase et nyt tal ind imellem de to. men der vil altid være afstand mellem det nye tal og de andre. vi kan ikke nå ned til den "ubrudte" kontinuerlige sammenhæng.

De, der påstår, at f.eks. 0,99999999999999999999ue er det samme som 1, eller at0,00000000000000000000ue1 er det samme som 0, påkalder sig den her og nu realiserede uendelighed og roder sig derved ud i noget logisk snavs. Eksempel følger:

I stedet for tallinjen mellem 0 og 1 tager vi en snor på f.eks. 1m. De folk, som går ind for, at den uendelige deling (hvad enten det sker med decimaler eller en saks) fører til 0, lader vi nu dele snoren i uendelig mange dele. De påstar så, at hver af delene nu har en udstrækning på 0, og at der er uendelig mange af dem. Det medfører, at 0 gange ue. er 1m. Hvis vi havde haft 2m som udgangspunkt havde vi fået, at 0 gange ue.= 2, og begge dele er lige absurd.

Konklusion: Et stykke på tallinjen eller en afstand kan deles lige så mange gange, det skal være, men kan aldrig (ikke engang som tankeeksperiment) VÆRE delt i ue.mange dele her og nu.

Et antal decimaler kan være lige så stort, det overhovedet skal være, Men der kan aldrig (ikke engang som tankeeksperiment) her og nu VÆRE uendelig mange.

Hvis man vil hævde, at uendeligheden er realiserbar, som tankemæssigt arbejdsredskab, løber man ind i de ovefor nævnte absurditeter. Steen

P.S. Belæring modtages som altid med taknemlighed.

  • 0
  • 0

Begge størrelser 0 og 1/0 skal behandes separat ved den kvantitative løsning af matematiske opgaver som f. eks. beregning af silohældninger, hilser Tyge

  • 0
  • 0

...nok så meget og blive enig om det, men sålænge sagerne står på højre side af kommaet er tallet mindre end 1, jeg mener det er [b]det[/b] kommaet skal sige. Det er fuldstændig vanvittig at diskutere om 0,nok-så-mange-nital er identiske med 1 eller ej... det er det selvfølgelig [b]ikke[/b].

  • 0
  • 0

Har man vedtaget en konvention om at tallet 0,9… er det samme som tallet 1 er der jo intet at diskutere. Det er blot tale om to forskellige notationer. Venstresiden er det konkrete ettal og højresiden en abstrakt notation for det samme ettal.

Og forskellen på de to ettaller er nul.

Jeg mener nu godt man kan tale om at der er forskel på de to ettaller og nul kan også skrives i en abstrakt notation. Ser man på udtrykket

1 – (1/10)^n = 0,9… og n tilhører N og samtidig lader n gå mod uendeligt, har man en kvantitativ differens på de to ettaller og den kvantitative differens har værdien nul når n går mod uendeligt.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Sætter man sig til at tælle de naturlige tal fra nu af og indtil dommerdag kommer man ikke ind mængden af transfinite ordinattal eller transfinite kardinaltal. Det er lidt på samme måde at kvadratrod to ikke kan udtrykkes ved et rationelt tal. Man siger at kvadratrod to er et inkommensurabelt tal. Det vil sige det ikke sammenligneligt med et rationelt tal. På samme måde er det med uendeligheds tal.

At kvadratrod to er inkommensurabelt skyldes formentlig at de rationelle tal og de reelle tal har forskellig kardinalitet. På samme måde har uendeligheds tal en højere kardinalit end de reelle tal som har en højere kardinalitet end de rationelle tal og hele tal.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Kan man forestille sig at der på snoren på en meter er et punkt der ikke kan beskrives ved et antal decimaler, nej vel, så selv om 0,999.... ikke kan beskrives, så er enhver afstand på denne snor en realitet så snart den anerkendes og dermed også en realitet som eksistere i virkeligheden, men bare ikke som en mulighed for at beskrive som andet end en mulighed der er uendelig.

  • 0
  • 0

...nok så meget og blive enig om det, men sålænge sagerne står på højre side af kommaet er tallet mindre end 1, jeg mener det er [b]det[/b] kommaet skal sige. Det er fuldstændig vanvittig at diskutere om 0,nok-så-mange-nital er identiske med 1 eller ej... det er det selvfølgelig [b]ikke[/b].

Tja, i så fald er det ikke noget, der hedder integralregning. Det var en skam, det er ellers et nyttigt værktøj.

  • 0
  • 0

Det betyder også, at jeg indtil videre tror, at talsystemet er et digitalt/diskret fænomen, der aldrig kan komme over i den kontinuerlige verden, selvom vi kan findele talrækken så rigeligt, at det er helt uden betydning.

Fint nok - du skal så bare definere den mindste talenhed, der findes, og forklare os, hvorfor der ikke findes noget mindre end den mindste talenhed.

Al matematisk analyse har i øvrigt som FORUDSÆTNING, at tallegemerne er kontinuerte - så du mener, at al den matematik , vi bruger til daglig, er fejlbehæftet.

  • 0
  • 0

...nok så meget og blive enig om det, men sålænge sagerne står på højre side af kommaet er tallet mindre end 1, jeg mener det er [b]det[/b] kommaet skal sige. Det er fuldstændig vanvittig at diskutere om 0,nok-så-mange-nital er identiske med 1 eller ej... det er det selvfølgelig [b]ikke[/b].

Ingen har vedtaget ligheden - den er bevist matematisk med mindst fire forskellige beviser.

  • 0
  • 0

Det betyder også, at jeg indtil videre tror, at talsystemet er et digitalt/diskret fænomen, der aldrig kan komme over i den kontinuerlige verden, selvom vi kan findele talrækken så rigeligt, at det er helt uden betydning.

Du må også lige forholde dig til dette:

Vi antager, der findes et mindste tal. Vi kan jo kalde det 'mt'.

Så udregner du mt gange to - resultatet må være et ganske almindeligt tal. Vi kan jo kalde det 'at'.

Det vil sige:

2*mt = at.

Hvad er så resultatet af regnestykket "at divideret med 3"?

Hvorfor er det pludselig umuligt at dividere det ganske almindelige tal 'at' med det ganske almindelige tal 3 (eller noget som helst andet tal større end 2)?

Overfor har du et matematisk bevis for, at det fører til åbenlyst forkerte resultater at antage,at der findes et mindste tal. Hypotesen er derfor FALSIFICERET - lige meget, hvad du intuitivt mener, må være naturens orden.

QED

Det er sådan matematik fungerer.

  • 0
  • 0

Det er vel også sandt hvis man beskriver antallet af atomer på linje så når man ikke til et punkt hvor der er 1/3 atom.

Øhh, og?

For det første er atomer ikke de mindste enheder, der findes - for det andet kunne atomer vel jo godt være kvantificerede uden at tallene behøver være det.

Eller hører du også til dem, der mener, at en retvinklet trekant, hvor begge kateter er 1, ikke findes, fordi hypotenusen så har længden kvadratrod 2, der jo er en uendelig decimalbrøk...

For hvis tallene er kvantificerede, kan uendelige decimalbrøker jo ikke eksistere! - før eller siden må den sidste decimal jo blive mindre end det mindste tal...

Og så kan den ovennævnte trekant ikke eksistere, selv om den er ret nem at tegne. Endnu et bevis på, at hypotesen om kvantificerede tal fører til resultater, der er vås.

P.S.

I øvrigt har atomer en fysisk udstrækning, så det er faktisk ret nemt at udpege en distance på 1/3 atom. Du kan også udpege 1/3 fodbold ret på en linje af fodbolde.

  • 0
  • 0

Tanken var at der måske eksisterede en mindste afstand hvor man enten var til højre eller til venstre og man ikke kunne placere noget i mellem. Højre og venstre side kunne jo så sagtens være ulige størrelser der ikke var delelige i hele tal.

  • 0
  • 0

Tja, i så fald er det ikke noget, der hedder integralregning. Det var en skam, det er ellers et nyttigt værktøj.

Det er da noget vrøvl, du må sgu da acceptere at der står hele tal på venstre side og decimalerne på høre side af kommaet. Det har intet med integralregningen at gøre... at det så i praksis er ligegyldig om du skriver 1 eller 0,99999999.... er så en helt anden sag. Jeg vil i øvrigt gerne se det "bevis" du snakker om. Enhver digital sammenligning af 1 og 0,99999999.... med nok så mange nital ender med meldingen at 1>0,999999999..... men jeg er da enig i at det er ret penible at ville se en forskel, men når der ikke findes et mindste tal, fordi der altid er et der er mindre, kan 0,99999999... rækken i princippet aldrig blive 1, i hvert fald ikke ved digital sammenligning. Set med disse øjne er 1 forskellig fra 0,999999---> mod uendeligt. Afvigelsen er "mindre end forsvindende", men eksisterende ved ren digital sammenligning. Ligheden kan altså streng taget ikke bevises, men kun vedtages ...ville jeg da mene.

  • 0
  • 0

Tyge nævner at 1 og 0,99999..... er eet og det samme - blot er der tale om to forskellige notationsformer. I så fald skal der ikke noget bevis til, lige så lidt som 1 og romertal et er eet og det samme - denne identitet er en vedtagelse (og aldrig imodsagt), og et bevis kommer her ikke på tale.
Men 1 er en diskontinuerlig kvantitet, og 0,99999..... er en kontinuerlig kvantitet - hvilket betyder at 1 har den diskontinuerlige kvantitets egenskaber, og 0,99999..... har den kontinuerlige kvantitets egenskaber.
Vi har 1 = 1 og 0,99999..... = 0,99999..... der er en konsekvens af, "Ethvert naturelement x er sig selv lig". Fortsættelsen er nok så vigtig, "og er ethvert andet naturelement y ulig": 1 er ulig 0,99999..... fordi 1 og 0,99999..... ikke er eet og det samme naturelement. Lige så lidt som 1 og 1,0000....1 er det selv samme naturelement.
Kvantiteter findes i to (og kun to) udgaver:
1) den kontinuerte kvantitet
2) den diskontinuerte kvantitet
At gøre 1) og 2) til eet og det samme, er at gøre vold mod naturelementernes fundamentale egenskaber.

  • 0
  • 1

Kurt, måler du afstanden på et atom (fra start S1 til slut S2), er afstanden IS1 S2I = endelig, en endelighed der kan deles i det uendelige - netop en af rummets egenskaber.
Måles tiden for målingen IS1 S2I (fra start t1 til slut t2), er tidsafstanden It1 t2I = endelig, en endelighed der kan deles i det uendelige - netop en af tidens egenskaber.

  • 0
  • 1

Der findes potentielt uendelig mange (positive) hele tal, og korrosponderende hermed potentielt uendelig mange (negative) hele tal.
Forudsætningen herfor er 0, som hverken er positivt eller negativt. Herved er 4 elementer i spil, positiv/negativ og 0/uendelig, et naturelementernes spil der artigt følger: Positiv = positiv, negativ = negativ, 0 = 0, uendelig = uendelig.
At gøre 1 (en positiv diskontinuert kvantitet) til eet og det samme som 0,999... (en uendelig kontinuert kvantitet) går ikke an, uden accept af smartness matematique.

  • 0
  • 1

Hvert helt tal er identisk med en diskotinuitet.
Antallet af realiserede hele tal er ligeledes diskontinuert, men antallet af urealiserede (potentielle) hele tal er uendelig.
Det er nogle af tallenes grundlæggende egenskaber, egenskaber der ikke er tilknyttet smartness matematique - en smartness matematik der kan så meget mere end den fundamentale naturelementernes matematik, men som må se sig dødelig og timeligt begrænset. Men så længe den lever er den som en popstjerne uimodståelig.

  • 0
  • 1

Måske er det 1 den er galt med, findes en sådan endelig størrelse i virkeligheden, jo jo man kan sige man har et helt æble, men findes der ikke æbler der er lidt større og lidt mindre?

  • 0
  • 0

[quote]Tja, i så fald er det ikke noget, der hedder integralregning. Det var en skam, det er ellers et nyttigt værktøj.

Det er da noget vrøvl, du må sgu da acceptere at der står hele tal på venstre side og decimalerne på høre side af kommaet. Det har intet med integralregningen at gøre... at det så i praksis er ligegyldig om du skriver 1 eller 0,99999999.... er så en helt anden sag. Jeg vil i øvrigt gerne se det "bevis" du snakker om. Enhver digital sammenligning af 1 og 0,99999999.... med nok så mange nital ender med meldingen at 1>0,999999999..... men jeg er da enig i at det er ret penible at ville se en forskel, men når der ikke findes et mindste tal, fordi der altid er et der er mindre, kan 0,99999999... rækken i princippet aldrig blive 1, i hvert fald ikke ved digital sammenligning. Set med disse øjne er 1 forskellig fra 0,999999---> mod uendeligt. Afvigelsen er "mindre end forsvindende", men eksisterende ved ren digital sammenligning. Ligheden kan altså streng taget ikke bevises, men kun vedtages ...ville jeg da mene.
[/quote]

Her er nogle af de mest kendte beviser

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Du laver den sædvanlige begynderfejl, og det kan jo ikke undre:

Students of mathematics often reject the equality of 0.999... and 1, for reasons ranging from their disparate appearance to deep misgivings over the limit concept and disagreements over the nature of infinitesimals. There are many common contributing factors to the confusion:
Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.[35]
Some students interpret "0.999..." (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[36]
Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999..." as meaning the sequence rather than its limit

  • 0
  • 0

Om æblet er stort eller lille, er der dog stadig tale om eet (1) æble.
Det numeriske 1 er forudsætningen for de hele tal, og tælling. Ved tals positivitet og negativitet, opstår behovet for 0.
Det går fint med at summere/subtrahere/addere, men ved deling opstår behovet for uendeligheden.
Dermed er matematikkens grundlag etableret.

  • 0
  • 1

Joo men det er jo en sammenblanding af virkeligheden og en tænkt perfekt verden hvor alt kan betragtes som hele enheder, der er jo utallige parametre hvor æblet kan afvige fra at være et perfekt helt æble. Hvorfor skulle man ikke kunne tænke at det også gjaldt på atomniveau og afstande, altså at en perfekt meter kun eksistere i matematikken.

  • 0
  • 0

Uanset æblets perfektion (eller mangel på samme), er æblet ved sit antal kendetegnet ved 1 (dette kendetegn for at skelne netop denne kvantitet fra enhver anden kvantitet som 2 3 4 5 eller rod 2 o.s.v.).
En mindsteafstand. Denne må have afstandens egenskaber: En start og en slutning, og for at skelne disse må start/slutning være adskilt i rum.
Denne adskillelse har delingens egenskaber, som ethvert andet rum.
Den anden vej kan vi addere rummet (uendeligt) op, dette er dermed rummets modsatte egenskaber, deling og addition.

  • 0
  • 0

Vi har 0,111... er ulig 0,2
0,222... er ulig 0,3
0,333... er ulig 0,4
0,444... er ulig 0,5
0,555... er ulig 0,6
0,666... er ulig 0,7
0,777... er ulig 0,8
0,888... er ulig 0,9
0,999... er ulig 1
1,111... er ulig 2
o.s.v.

  • 0
  • 0

start og slutning kunne jo også genkendes ved at man kun kunne stå på en af siderne men aldrig imellem.
Og så vælger vi jo som mennesker at se bort fra æblets kvaliteter fordi det ødelægger vores fine regnestykke, ikke fordi vi måske burde sige vi har ca. 3 æbler

  • 0
  • 0

Start/slut. De kan optræde i to udgaver:
1) start/slut

2) slut/start

1) er tilknyttet en rumudstrækning > 0
2) er tilknyttet en rumudstrækning = 0

Det er denne forskel der gør dem identificerbare.
Så den mindste udstrækning = 0, se 2).
Den største udstrækning er tilknyttet 1.
En udstrækning < er fantasi.

Æblets kvalitet er kvantiteten underordnet, vi kunne udskifte æblet med en pære og stadig have 1 tallet bevaret.

  • 0
  • 1

Rettelse.
Den største udstrækning er tilknyttet 1).
En udstrækning < 0 er fantasi.

  • 0
  • 1

joo men hvis nu vi skal lave æblemos i en hvis mængde er det jo ikke nok at vide vi har 3 æbler, så er vi nødt til at sige de æbler der ikke opfylder massekravet kun er 2/3 æble i forhold til de æbler der er 1.

  • 0
  • 0

Thomas,
Præcis - heri består paradokset: Skildpadden indhentes ikke (matematisk), skildpadden indhentes (fysisk emperisk).

  • 0
  • 1

Moses et æble er det stadig et æble (et most æble).
Skal vi bruge et kilo mos, bruger vi måske 25 æbler + en smule af nr. 26.
Er denne smule mindre end den mindste æbledel (så lille at den ikke kan identificeres som "æble"), kan kiloet ikke realiseres eksakt.

  • 0
  • 1

I en enklere udgave kan strækningen IABI ikke gennemrejses, bevægelse er umulig: Først klares IABI/2 så (IABI/2)/2 o.s.v.
Allerede det føste skridt varsler sorte skyer, vi nåede ikke B. Vi når ikke B ved denne matematik, uanset hvor mange skridt-forsøg vi tager.
Der er kun een happy ending på denne skridtleg, en matematikleg hvor skridtene står til division: IABI/1. IABI gennemrejses ved eet enkelt skridt. Ved enhver anden deling kan IABI ikke gennemrejses.

  • 0
  • 1

Ovenstående opstilling,
0,111... er ulig 0,2
o.s.v.

  • ville se mystisk ud med 0,999... = 1:

0,777... er ulig 0,8
0,888... er ulig 0,9
1 er lig 1
1,111... er ulig 2
o.s.v.

  • 0
  • 1

Jeg tror du overser at 0.99999.... minimere forskellen til 1 i en uendelighed, det gør 0.888888... ikke til 0.9. Så skulle det være 0.89999...

  • 0
  • 0

Jeg tror du overser at 0.99999.... minimere forskellen til 1 i en uendelighed, det gør 0.888888... ikke til 0.9. Så skulle det være 0.89999...

Eller der bliver tabt 0,02 i starten som aldrig bliver tilnærmet siden.

  • 0
  • 0

@ Kurt: Ethvert punkt på snoren eller tallinien mellem 1 og 2 eksisterer (bortset fra, at det er uden udstrækning og derfor ikke findes fysisk), men hvis beskrivelsen af dets beliggenhed ville kræve ue. mange decimaler, ville jeg vælge at sige, at dette punkt ikke kan beskrives helt præcist på denne måde.
Der bliver ikke flere æbler af, at de er større. Jeg kan ikke helt gennemskue om du "ævler" vilje, eller om du er seriøs, og det må du selvfølgelig undskylde.

@ Anders: Nej, jeg skal netop ikke definere den mindste talenhed, der findes for at se på talrækken som værende digital, og det skyldes, at selvom jeg ikke anerkender en her-og-nu-postuleret uendelighed, så anerkender jeg heller ikke, at der er en grænse for, hvor lille eller stort et tal kan være, hvilket synes selvmodsigende i første omgang, men også kun i første.
Det er derfor ue. lille eller ue. stor, som ikke er konkreter til enhver tid vil banke ethvert KONKRET tal i henseende til lidenhed - eller storhed.
På tallegemerne kan du ikke have to forskellige tal, der ligger så tæt op af hinanden, at de støder op til hinanden, så der ikke kan kiles noget tal ind imellem. Alle FORSKELLIGE tal er adskilte (diskrete). Derfor digital/kvantiseret og ikke analog/kontinuerlig.
Dit regnestykke med det mindste tal (mt) kan jeg ikke bruge til noget, da jeg ikke anerkender et sådant tal.
I øvrigt ser jeg intet problem i, at ikke enhver størrelse (f.den omtalte hypotenuse) kan beskrives præcist med en decimalbrøk. Vi kan jo gøre det rigeligt nøjagtigt til det, vi skal bruge.

@ Kim: Hvorfor mener du, at 0,9999999999ue. hører til i en kontinuerlig afdeling ? For hvert 9-tal nærmer den "uendelige decimalbrøk" sig 1 i stadig mindre og mindre hak, men altid kun i hak. Det synes jeg ikke er kontinuitet. Hvad mener du ?

Om beviserne for påstanden om at 0,9999999999ue. er det samme som 1 dette: Som det fremgår af mit indlæg 24.feb.00.36 anerkender jeg ikke, at det er logisk lovligt at postulere en her-og-nu- realiseret uendelighed. Det fører til tossede påstande som at uendelig mange stykker snor, der hver især har udstrækningen 0 (det påstår I jo) tilsammen giver en snor på f. eks. en meter (eller andet absurd).
Så vidt jeg kan se, bygger alle beviserne på denne logisk forbudte påstand.
Men man kan ikke bare sige: GIVET at der her og nu er uendelig mange 9-taller har vi ret. Jeg synes lidt, svarer til, at jeg siger : Givet at jeg kan trylle, kan jeg flyve, og det beviser, at jeg kan flyve. Det var vidst ikke noget godt bevis. Steen

  • 0
  • 0

Ja Kurt, ved en korrospodance vil også 1,01/1,001/1,0001 o.s.v. minimere forskellen til 1, men enhver minimering har samme egenskab: Du tilnærmer dig en grænse, men når ikke denne.
Med 0,888... nærmer du dig 0,9 - og dette er så tallenes egenskaber: Minimering/maksimering, men ved 0 er denne egenskab borte.
Ved uendelighed nærmer du dig ingen grænser, idet grænsetilnærmelse er en egenskab ved endeligheden, og ikke en egenskab ved uendeligheden.
Læste et sted at, "Medens de fleste kan acceptere at 0,999... = 1, vil de fleste ikke kunne acceptere den uendelige række 1,01/1,001/1,0001 o.s.v. som værende = 1".

Ved subtraktion giver 1,01 - 0,99 = 0,02 og 1,001 - 0,999 = 0,002 o.s.v.
Ved addition fås 1,01 + 0,99 = 2 og 1,001 + 0,002 = 2 o.s.v.
Ved en operations ligeberettigelse (som den viste) burde vi få 1,01 - 0,99 = 0,00 (der kan bringes i korrospondance med 1,01 + 0,99 = 2,00) eller 1,01 + 0,99 = 1,98 (der kan bringes i korrospondance med 1,01 - 0,99 = 0,02).
Den mlg. korrospondance smadrer ligheden 0,999... = 1.

  • 0
  • 1

Steen, antallet af 9 er uendeligt i 0,999... Uendeligheden er identisk med uendelig mange diskontinuiteter, et antal kaldet kontinuerligt.
Et uendeligt stort tandhjul, du kan konstatere diskontinuiteten ved hvert hak, men da hjulet bestandigt vokser (hakkene og 9 tallerne bevarer samme størrelse, men forøges i antal) er antallet af hak kontinuerlig, d.v.s. vedvarende.

  • 0
  • 1

@ Anders:
I øvrigt ser jeg intet problem i, at ikke enhver størrelse (f.den omtalte hypotenuse) kan beskrives præcist med en decimalbrøk. Vi kan jo gøre det rigeligt nøjagtigt til det, vi skal bruge.

Ja, ja - Steen - du afsløre jo bare dig selv som en ualmindelig ukyndig amatør. Matematik er s'gu ikke et spørgsmål om nøjagtighed sådan som købmandsregning er - matematik er eksakt. Kvadratrod 2 er et eksakt tal.

Det er jo nemt nok, at afvise matematiske beviser med, ' at jeg anerkender ikke' og 'det ser ud for mig som om, de alle tager udgangspunkt i noget, jeg ikke anerkender' - men det holder ingen steder og er bare en dum påstand, der dokumenterer, at du ikke forstår, hvad der står.

Du vælger at afvise det, du ikke forstår - i stedet for at søge at forstå det. For eksempel at uendelig mange ikke betyder rigtig, rigtig mange.

Du er selvfølgelig ikke alene - tusindvis andre begyndere end dig begår de samme fejl hvert år - så mange, at der er skrevet bøger om det.

Du kan finde dig selv lige så tydeligt her. Bemærk for eksempel den allersidste sætning:

"Students of mathematics often reject the equality of 0.999... and 1, for reasons ranging from their disparate appearance to deep misgivings over the limit concept and disagreements over the nature of infinitesimals.

There are many common contributing factors to the confusion:

Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.[35]

Some students interpret "0.999..." (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[36]

Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999..." as meaning the sequence rather than its limit".

  • 0
  • 0

[quote

@ selvom jeg ikke anerkender en her-og-nu-postuleret uendelighed, [/quote]

Tja. mange vil nok mene, at tallene kvadratrod 2 og pi findes, selv om de i titalssystemet kun kan skrives som uendelige decimalbrøker.

Og i øvrigt kender jeg også et talsystem, hvor kvadratrod 2 helt eksakt skrives som "1". I det system skrives ti derimod som en uendelig decimalbrøk, som efter din mening så ikke findes.

Interessant - faktisk fører din påstand til, at tal kun eksisterer i bestemte talsystemer, hvorimod de ikke eksisterer i andre. Men talsystemer er jo blot forskellige repræsentationer af de samme tal.

Det er fuldt ud lige så legalt at bruge et 10-talssystem med base kvadratrod to som et med base 1.

  • 0
  • 0

: Du tilnærmer dig en grænse, men når ikke denne.

Fundamental misforståelse af en uendelig talsekvens.

Man nærmer sig ikke en decimal ad gangen - der ER uendelig mange decimaler, og derfor er talsekvensen 0.999... lig med sin grænseværdi, som er 1.

Uendelighed betyder ikke rigtig mange og så en til, en til, en til...

Det er åbenbart sværere at tænke abstrakt, end man skulle tro.

Og angående skildpadden - hvad i alverden skal vi med en såkaldt Sahlsk matematik (bvadr for en krukket megalomani), der fører til forkerte resultater i den virkelige verden.

En væsentlig del af matematikkens eksistensgrundlag er jo, at vi kan bruge den til at beskrive, simulere og forudsige verden med.

Skildpadden bliver indhentet - hvis matematikken siger noget andet, er det matematikken der er noget i vejen med.

Den gamle græker bag paradokset forstod for eksempel ikke infinitesimalregning
- det gør du heller ikke, når du insisterer på at gentage flere tusinde år gamle fejl.

  • 0
  • 0

Det fører til tossede påstande som at uendelig mange stykker snor, der hver især har udstrækningen 0 (det påstår I jo) tilsammen giver en snor på f. eks. en meter (eller andet absurd).
Så vidt jeg kan se, bygger alle beviserne på denne logisk forbudte påstand.

Har du nogen sinde lært integralregning?

Et integral er ikke andet end udregning af summen af uendeligt mange, uendeligt små arealer. Tilsammen giver det arealet under kurven.

http://da.wikipedia.org/wiki/Integralregning

Det er ikke spor absurd at integrere snorens uendelig mange, uendelig korte stykker til en snor med en given længde. Det er faktisk noget, man lærer i 1. G i gymnasiet.

  • 0
  • 0

Ok Anders, godt at nogen er vågen når vi andre sover i timen - jeg mener (i stedet 0,888...) rækkeudviklingen 0,8/0,88/0,888/0,8888 o.s.v. vil nærme sig 0,9 (men ikke nå 0,9).

Hvis du har rod 2 benævnt "1", er vores problem blot flyttet (men ikke løst).
Det er jo tallenes forholdsegenskaber (deres indbyrdes forhold) der omfatter både endeligheder og uendeligheder, der er problematisk:
Er en cirkels diameter = 1, vil omkredsen = pi, er omkredsen = 1 er diameteren = 1/pi. "Sorteper" er blot flyttet mellem diameter og omkreds, vi er ikke sluppet af med pi med den hertil gene tilknyttede uendelighed .
Allerede de gamle grækere og deres ønske om fuldendthed, så denne "uorden" som generende, en gene der vedvarende ikke ville kunne "løses" og med løsningen indordne sig matematisk skønhed.

  • 0
  • 0

Ok Anders, godt at nogen er vågen når vi andre sover i timen - jeg mener (i stedet 0,888...) rækkeudviklingen 0,8/0,88/0,888/0,8888 o.s.v. vil nærme sig 0,9 (men ikke nå 0,9).

Så kan du da lige så godt skrive, at talfølgen vil nærme sig 17 eller 2,3 millioner. Det giver lige så meget mening som 0,9.

For det første kommer du aldrig over 0,89. Heller ikke over 0,889 eller 0,8889 ...

Faktisk er 0,888... slet ikke en konvergent talfølge, så den nærmer sig ikke nogen grænseværdi overhovedet.

Lær nu infinitesimalregning, for pokker, i stedet for at digte selv.

Og lære at bruge de rette begreber. Rækkeudvikling giver ingen mening her.

  • 0
  • 0

).
Det er jo tallenes forholdsegenskaber (deres indbyrdes forhold) der omfatter både endeligheder og uendeligheder, der er problematisk:
denne "uorden" som generende, en gene der vedvarende ikke ville kunne "løses" og med løsningen indordne sig matematisk skønhed.

Der er ikke mange andre end dig, der opfatter det som et problem - endsige som noget generende.

For matematikkyndige er der intet problem, det er bare noget, du finder på i din uforstand.

  • 0
  • 0

Ok Anders, godt at nogen er vågen når vi andre sover i timen - jeg mener (i stedet 0,888...) rækkeudviklingen 0,8/0,88/0,888/0,8888 o.s.v. vil nærme sig 0,9 (men ikke nå 0,9).

Så kan du da lige så godt skrive, at talfølgen vil nærme sig 17 eller 2,3 millioner. Det giver lige så meget mening som 0,9.

For det første kommer du aldrig over 0,89. Heller ikke over 0,889 eller 0,8889 ...

Faktisk udgør dine tal slet ikke en konvergent talfølge, så den nærmer sig ikke nogen grænseværdi overhovedet.

Lær nu infinitesimalregning, for pokker, i stedet for at digte selv.

Og lære at bruge de rette begreber. Rækkeudvikling giver ingen mening her.

  • 0
  • 0

Anders, "min" matematik er i fuld overensstemmelse med virkeligheden: Deles IABI som angivet, kan IABI ikke gennemrejses i den virkelige verden.
Kun een eneste deling kan klare opgaven: IABI/1.
Uendelig summation betyder, x - x+x - x+x+x - x+x+x+x o.s.v.
1) Ved x = 0, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) 0.
2) Ved x forskellig fra 0, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) ikke 0.
3) Ved x = uendelig, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) uendelig.
Der er vandtætte skodder ml. disse tre muligheder, hvor x ikke kan antage andre kvantiteter.
Med smartness søges skodderne nedbrudt, smartness vil ikke lade sig begrænse af den strenge moder natur.

  • 0
  • 1

Anders, det er ikke kun mig der ser med rynkede bryn på uendeligheden, allerede grækere som Platon rynkede også brynene og søgte at perfektionere matematikken - sådan som den geocentriske model er en perfektion af naturens astronomi.
0,88/0,888/0,8888 o.s.v. nærmer sig 1 såvel som 45 såvel og 3000 - yes.
Ligesom 0,99/0,999/0,9999 o.s.v. nærmer sig 1 såvel som 45 og 3000.
Der er nemlig tale om samme egenskaber.
Har læst om infinititesimalregning, og har et anstrengt forhold hertil fordi den bagvedliggende opfattelse af grænseværdibegreberne ikke er skarpe nok: Uendelig lille og uendelig stor og grænsetilnærmelse m.v. er ikke tilstrækkelig stærkt fundamenteret.
Men er ikke blind og kan se nytten af Newtons opfindelse, ligesom geocentrikken i nogen grad var nyttig.

  • 0
  • 1

Anders, det er ikke kun mig der ser med rynkede bryn på uendeligheden, allerede grækere som Platon rynkede også brynene og søgte at perfektionere matematikken - sådan som den geocentriske model er en perfektion af naturens astronomi.

Verden er kommet videre siden antikken, og Platon tog jobare noget så forrygende fejl!

Lige som du gør.

Har læst om infinititesimalregning, og har et anstrengt forhold hertil fordi den bagvedliggende opfattelse af grænseværdibegreberne ikke er skarpe nok: Uendelig lille og uendelig stor og grænsetilnærmelse m.v. er ikke tilstrækkelig stærkt fundamenteret.

Come on - det er noget af det mest gennemarbejdede matematik, der overhovedet findes - af langt, langt bedre tænkere end dig.

Du skulle nok overveje at lære infinitesimalregning frem for at læse om det.

Det er jo bare dig, der ikke kan forstå det i din lille enfoldige knold.

Mener du i øvrigt 'funderet'? Fundamenteret er også noget, du selv har fundet på.

  • 0
  • 0

Anders, "min" matematik er i fuld overensstemmelse med virkeligheden: Deles IABI som angivet, kan IABI ikke gennemrejses i den virkelige verden.
Kun een eneste deling kan klare opgaven: IABI/1.
Uendelig summation betyder, x - x+x - x+x+x - x+x+x+x o.s.v.
1) Ved x = 0, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) 0.
2) Ved x forskellig fra 0, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) ikke 0.
3) Ved x = uendelig, giver summationen (eller en korrosponderende subtraktion) uendelig.
Der er vandtætte skodder ml. disse tre muligheder, hvor x ikke kan antage andre kvantiteter.
Med smartness søges skodderne nedbrudt, smartness vil ikke lade sig begrænse af den strenge moder natur.

Banal integration klarer opgaven nemt - både matematisk og i det virkelige liv. Men ikke for en arbejdsløs musiker uden akademisk uddannelse.

  • 0
  • 0

I ingen anden opstillingen af tal vil en stilførelse af en uendelig lille værdi ændre en uendelig række af tal til værdien 1.

  • 0
  • 0

I ingen anden opstillingen af tal vil en stilførelse af en uendelig lille værdi ændre en uendelig række af tal til værdien 1.

Du kan ikke tilføje noget til en uendelig række af tal.

Derfor er 0,999... = 1.

A 2003 edition of the general-interest newspaper column The Straight Dope discusses 0.999... via 1&#8260;3 and limits, saying of misconceptions:

The lower primate in us still resists, saying: .999~ doesn't really represent a number, then, but a process. To find a number we have to halt the process, at which point the .999~ = 1 thing falls apart. Nonsense.

  • 0
  • 0

En smule rettelse Anders, jeg har to akademiske uddannelser (organist/pianist) og er ikke just arbejdsløs (tværtom, har for meget om ørene - ville gerne fordybe mig mere, der ligger mange bøger her ulæst).
"Banal integration klarer opgaven" - jeg ville udskifte banal med smart.
Øh, nej jeg skal ikke have ros for "fundamenteret" - wiki: "Den fundamentale matematik synes at skride, ved Gödels arbejde" m.v.
Platon tog "fejl" - jo, men forskere sidder stadig og arbejder med problematikken, og der udgives hvert år uhyrlige mængder matematiske arbejder der sætter spørgsmål på ellers sikker viden (ligesom Einsteins relativitetsteori vedvarende hævdes tilbagevist).
Men der er vist fremskridt at spore, fra storhedsvanvid og matematisk 0 til enfoldig - tak.
Men nu er der jo kommet meget på bordet, og druknemuligheden er nær - så derfor udgangspunktet, "Ethvert naturelement x er sig selv lig, og er alle andre naturelementer y ulig", som du jo kan starte med at tilbagevise....
Et naturelement er ethvert i naturen afgrænset omfang.
Anders, her er smartness matematique utilstrækkelig - her går denne på grund, og søværnet må rykke ud.

  • 0
  • 0

Thomas,
Præcis - heri består paradokset: Skildpadden indhentes ikke (matematisk), skildpadden indhentes (fysisk emperisk).

Det er da ganske enkelt at summere et uendeligt antal uendeligt små skridt til en endelig distance. Man lærer det tidligt i gymnasiet.

Så jo, skildpadden indhentes også matematisk.

  • 0
  • 0

Ok, hvis skildpadden indhentes er forudsætningen at hvert skridt x > 0, og at x ikke under summationen minimeres (det vil sige at x ikke må underdeles - idet division egentlig er en subtraktion, og subtraktioner "modvirker" addition).
Herved kan så IABI ikke gennemrejses ved underdeling - bortset fra underdelingen IABI/1.

Summeres et uendelig lille skridt x > 0 i det uendelige, fås ikke en endelig distance men derimod en uendelig distance.
Summeres et uendelig lille skridt x = 0 i det uendelige, fås distancen 0.

Er x = 0, indhentes skildpadden ikke.

  • 0
  • 1

Summeres et uendelig lille skridt x > 0 i det uendelige, fås ikke en endelig distance men derimod en uendelig distance.

Lær at integrere - 1. G pensum.

Integration for dummies: Integraler er summen af uendelig mange uendeligt små skridt.

[/quote]

  • 0
  • 0

Platon tog "fejl" - jo, men forskere sidder stadig og arbejder med problematikken,

Med grundlæggende infinitesimalregning - vel gør de ej.

  • 0
  • 0

"Ethvert naturelement x er sig selv lig, og er alle andre naturelementer y ulig", som du jo kan starte med at tilbagevise....
Et naturelement er ethvert i naturen afgrænset omfang.

Beklager, men jeg erkender blankt, at jeg ikke kan begå mig i den nyreligiøse verden. Jeg aner ikke, hvad du taler om, og jeg har ingen intentioner om at blande mig. Jeg kender ikke Moder Natur, og jeg tror ikke på gud. Jeg har ikke den ringeste mening om, hvad 'ethvert i naturen afgrænset omfang' betyder. En hundelort eller higgs-partikeln?

Jeg har derimod en naturvidenskabelig uddannelse på ph.d.-niveau, og jeg 'tror' på den videnskabelige metode som den bedste til at skabe erkendelse og viden.

Du kan derimod ikke begå dig i hverken matematikken eller naturvidenskaben - men det afholder dig ikke fra at hjemsøge den med vrøvl og sludder, som ikke en gang er originalt. Tusinder har gentaget de samme fejl gennem tiderne. Aldrig har de haft ret.

Og nej, man skal ikke være åben overfor enhver idiotisk tanke, som en crackpot fremsætter.

Hvorfor bliver du ikke i din egen sfære og finder en blog for jordstråler, rosenkvarts, new age filosofier, ufo'er og hjemmedyrket pladdermatematik? Der er der sikkert nogen, der vil synes, du er dygtig.

Hvis du vil blive her, må du sejle din egen sø. Du er ikke - og bliver aldrig - noget der bare minder om matematiker eller forsker. Primært fordi du ikke ejer tre af forskerens vigtigste egenskaber: Videngrundlag, metodekendskab og selvkritik.

  • 1
  • 0

[quote][quote]Tja, i så fald er det ikke noget, der hedder integralregning. Det var en skam, det er ellers et nyttigt værktøj.

Det er da noget vrøvl, du må sgu da acceptere at der står hele tal på venstre side og decimalerne på høre side af kommaet. Det har intet med integralregningen at gøre... at det så i praksis er ligegyldig om du skriver 1 eller 0,99999999.... er så en helt anden sag. Jeg vil i øvrigt gerne se det "bevis" du snakker om. Enhver digital sammenligning af 1 og 0,99999999.... med nok så mange nital ender med meldingen at 1>0,999999999..... men jeg er da enig i at det er ret penible at ville se en forskel, men når der ikke findes et mindste tal, fordi der altid er et der er mindre, kan 0,99999999... rækken i princippet aldrig blive 1, i hvert fald ikke ved digital sammenligning. Set med disse øjne er 1 forskellig fra 0,999999---> mod uendeligt. Afvigelsen er "mindre end forsvindende", men eksisterende ved ren digital sammenligning. Ligheden kan altså streng taget ikke bevises, men kun vedtages ...ville jeg da mene.
[/quote]

Her er nogle af de mest kendte beviser

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

Du laver den sædvanlige begynderfejl, og det kan jo ikke undre:

Students of mathematics often reject the equality of 0.999... and 1, for reasons ranging from their disparate appearance to deep misgivings over the limit concept and disagreements over the nature of infinitesimals. There are many common contributing factors to the confusion:
Students are often "mentally committed to the notion that a number can be represented in one and only one way by a decimal." Seeing two manifestly different decimals representing the same number appears to be a paradox, which is amplified by the appearance of the seemingly well-understood number 1.[35]
Some students interpret "0.999..." (or similar notation) as a large but finite string of 9s, possibly with a variable, unspecified length. If they accept an infinite string of nines, they may still expect a last 9 "at infinity".[36]
Intuition and ambiguous teaching lead students to think of the limit of a sequence as a kind of infinite process rather than a fixed value, since a sequence need not reach its limit. Where students accept the difference between a sequence of numbers and its limit, they might read "0.999..." as meaning the sequence rather than its limit

[/quote]

Nå, den ku' Mangenavnet ikke komme igen på.

  • 0
  • 0

Anders: "jeg aner ikke hvad du taler om".
Ok, hvis jeg udtrykker mig sort forklarer det jo hvorfor vores snak altid finder sted på crackniveau.
Ikke bare videnskabeligt men også musisk har der på min ryg været klø, Fyns biskop, "Kim Sahl er uduelig som organist". Min musiklærer, "Kim er uegnet for en musisk uddannelse". Jeg elsker disse store barometerudsving. Det gjorde Einstein også, hans lærer "Einstein bliver aldrig til noget". Sokrates kokketerede med, "Jeg ved ingenting".
Det er som bekendt koldt på toppen, så det er fint med mig på bunden.

  • 0
  • 0

Den realiserede uendelighed findes ikke. Uendeligheden er en idé, et begreb, der kun findes i vores hjerner og ikke i naturen. Tankernes verden er spændende nok, og idéen om uendeligheden kan vi lave meget ballade, matematik og andet sjov med. At tale om summen af noget uendeligt (f.eks. talrækker) lyder for mig som noget vrøvl.

@ Anders. Jo jeg har som sproglig fået et års undervisning i mat. herunder integralregning, men må erkende at det på grund af manglende brug
forlængst er blevet uanvendeligt.

Jamen selvfølgelig findes både pi og kvadratrod 2 og har deres plads på tallinien. Det anerkender jeg 100% (og ikke kun 99,999999ue% :-)). Det eneste, jeg siger er jo bare, at jeg har det fint med, at tallene ikke kan angives præcist ved hjælp af decimalbrøker. Hvorfor det afslører mig som en ualmindelig ukyndig amatør, forstår jeg ikke. At jeg så ér det, er jo en ganske anden sag, som ikke har noget med det at gøre.

Naturligvis har jeg lov til ikke at anerkende den her-og-nu-realiserede uendelighed. Men det er et trosanliggende. At skrive "mener jeg", hver gang jeg udtaler mig, er ikke nødvendigt herinde.

Jeg har selv givet udtryk for, at man ikke kan nå til uendeligt ved at fortsætte en endelig række over tid, men jeg tror godt, jeg forstår, hvorfor du mistænkte mig for ikke at kende forskel på meget stort og uendeligt. Jeg gætter på, at det er fordi, jeg ikke anerkender, at man kan tale om, at f.ks. en afstand (eller snor) her og nu kan VÆRE delt (bare mentalt) i uendelig mange dele, og at disse dele så skulle have en udstrækning på 0, (som du påstår) der skulle kunne give 1 igen, hvis vi "integrerede" dem. Det tvivler jeg også på, at du selv forstår uanset, hvad vi lærte i 1.g, Men hvis du kan forklare det MED DINE EGNE ord, vil jeg gerne give det et forsøg..

Min påstand er, at vi kun her og nu kan have et endeligt antal dele, som hver især har har en udstrækning >0. Sådan nogle vil jeg sagtens kunne integrere. Men der er ingen øvre grænse for hvor stort dette endelige tal kan være, ligesom der ikke er nogen nedre grænse for hvor lille en del kan være. Det er om denne mangel på grænser for "vækst" og "skrump" af endelige størrelser, jeg bruger ordet uendelig. Det er måske forkert, for selv om der ikke er grænser, kan vi ikke bevæge os ind i det uendelige, som tilhører begrebernes og idéernes verden. (MENER JEG).

Hvis du havde afstand på (f.eks 1m.), der kunne gennemløbes af en lille vogn på 10sek. og en komputer, der registrerede hver gang, den havde gennemløbet 9/10 af resten af afstanden og hver gang skrev et 9-tal ud på en strimmel, ville du ikke efter 10 sek. have hele universet og mere til fyldt op med en strimmel med med 9-taller. Komputeren ville inden den brændte sammen finde ud af i stedet at skrive: O,9999n + 0,000(n-1)1 = 1, og så ville den tilføje: "Lad være med at bede mig om sådan noget en anden gang".

Når skildpadden bliver indhentet, og Akkilleus når i mål, er det ikke i kraft af uendelig mange dele, men fordi naturen heldigvis er skruet sådan sammen, at det er muligt at flytte sig fra A til B.

Steen

  • 0
  • 0

Den realiserede uendelighed findes ikke. Uendeligheden er en idé, et begreb, der kun findes i vores hjerner og ikke i naturen. Tankernes verden er spændende nok, og idéen om uendeligheden kan vi lave meget ballade, matematik og andet sjov med. At tale om summen af noget uendeligt (f.eks. talrækker) lyder for mig som noget vrøvl.

@ Anders. Jo jeg har som sproglig fået et års undervisning i mat. herunder integralregning, men må erkende at det på grund af manglende brug
forlængst er blevet uanvendeligt.

Jamen selvfølgelig findes både pi og kvadratrod 2 og har deres plads på tallinien. Det anerkender jeg 100% (og ikke kun 99,999999ue% :-)). Det eneste, jeg siger er jo bare, at jeg har det fint med, at tallene ikke kan angives præcist ved hjælp af decimalbrøker. Hvorfor det afslører mig som en ualmindelig ukyndig amatør, forstår jeg ikke. At jeg så ér det, er jo en ganske anden sag, som ikke har noget med det at gøre.

Naturligvis har jeg lov til ikke at anerkende den her-og-nu-realiserede uendelighed. Men det er et trosanliggende. At skrive "mener jeg", hver gang jeg udtaler mig, er ikke nødvendigt herinde.

Jeg har selv givet udtryk for, at man ikke kan nå til uendeligt ved at fortsætte en endelig række over tid, men jeg tror godt, jeg forstår, hvorfor du mistænkte mig for ikke at kende forskel på meget stort og uendeligt. Jeg gætter på, at det er fordi, jeg ikke anerkender, at man kan tale om, at f.ks. en afstand (eller snor) her og nu kan VÆRE delt (bare mentalt) i uendelig mange dele, og at disse dele så skulle have en udstrækning på 0, (som du påstår) der skulle kunne give 1 igen, hvis vi "integrerede" dem. Det tvivler jeg også på, at du selv forstår uanset, hvad vi lærte i 1.g, Men hvis du kan forklare det MED DINE EGNE ord, vil jeg gerne give det et forsøg..

Min påstand er, at vi kun her og nu kan have et endeligt antal dele, som hver især har har en udstrækning >0. Sådan nogle vil jeg sagtens kunne integrere. Men der er ingen øvre grænse for hvor stort dette endelige tal kan være, ligesom der ikke er nogen nedre grænse for hvor lille en del kan være. Det er om denne mangel på grænser for "vækst" og "skrump" af endelige størrelser, jeg bruger ordet uendelig. Det er måske forkert, for selv om der ikke er grænser, kan vi ikke bevæge os ind i det uendelige, som tilhører begrebernes og idéernes verden. (MENER JEG).

Hvis du havde afstand på (f.eks 1m.), der kunne gennemløbes af en lille vogn på 10sek. og en komputer, der registrerede hver gang, den havde gennemløbet 9/10 af resten af afstanden og hver gang skrev et 9-tal ud på en strimmel, ville du ikke efter 10 sek. have hele universet og mere til fyldt op med en strimmel med med 9-taller. Komputeren ville inden den brændte sammen finde ud af i stedet at skrive: O,9999n + 0,000(n-1)1 = 1, og så ville den tilføje: "Lad være med at bede mig om sådan noget en anden gang".

Når skildpadden bliver indhentet, og Akkilleus når i mål, er det ikke i kraft af uendelig mange dele, men fordi naturen heldigvis er skruet sådan sammen, at det er muligt at flytte sig fra A til B.

Steen

Hvorfor vil absolut blande tid og her-og-nu ind i det.

0,999... er ikke en proces, hvor der skal skrives en masse decimaler, det er bare en anden måde at skrive 1 på.

Og så helt fra begyndelsen:

Når du integrere en funktion - lad os sige en kurve på et stykke papir - fra for eksempel 1 til 2 på x-aksen, så deler du så at sige arealet under kurven op i uendelig mange lodrette felter mellem 1 og 2.

Hvert felt har en højde, der svarer til kurven, og en bredde, der er uendelig lille.

http://da.wikipedia.org/wiki/Fil:Integral_...

Det svarer til, at snorestykkerne er uendelig små, og at der er uendelig mange af dem.

Når du så lægger de uendelig mange felter med uendelig lille bredde sammen (det vil sige placerer dem ved siden af hinanden mellem 1 og 2), så udgør de tilsammen præcist arealet under kurven, selv om hvert enkelt stykke ikke har noget areal på grund af den uendelig lille bredde.

Man kan måske forklare det sådan, at 'uendelig mange x uendelig lille' rent faktisk giver et endeligt resultat, som afhænger af den funktion, man integrerer.

Du skulle læse dette om integration - det forklarer sådan set det hele. Meget enkelt og grundlæggende.

http://da.wikipedia.org/wiki/Integralregning

På den anden side set - hvis du ikke kan følge med i den forklaring, skal du nok ikke debattere matematik her. Så er det for pinligt.

Jeg synes faktisk, det er meget nemt at forstå, men jeg er så heller ikke sproglig.

Det er i øvrigt ganske simpel integralregning at beregne, præcist hvornår skildpadden bliver indhentet...

  • 0
  • 0

Hvis du havde afstand på (f.eks 1m.), der kunne gennemløbes af en lille vogn på 10sek. og en komputer, der registrerede hver gang, den havde gennemløbet 9/10 af resten af afstanden og hver gang skrev et 9-tal ud på en strimmel, ville du ikke efter 10 sek. have hele universet og mere til fyldt op med en strimmel med med 9-taller. Komputeren ville inden den brændte sammen finde ud af i stedet at skrive: O,9999n + 0,000(n-1)1 = 1, og så ville den tilføje: "Lad være med at bede mig om sådan noget en anden gang".

Steen

Efter 10 sekunder ville vognen passere 1 meter og efter 20 sekunder 2 meter - hvad er der mærkeligt ved det.

Hvis vognen ikke passerer 1 meter er den eneste forklaring, at den er gået i stå. Du laver nøjagtigt den samme fejl, som en græker jorde for tusindvis af år siden. Er du virkelig ikke klogere?

I øvrigt skal du da bare skrive uendenligt små 9-taller, så kan de allesammen være på bagsiden af et frimærkte - uendeligt mange gange.

Men du skal bare forstå, at 0,999... IKKE er en proces, men en notation. De uendelig mange decimaler skal ikke skrives - der er der bare. Hvorfor dog gøre det så svært.

  • 0
  • 0

Nej Anders ! Mig narrer du ikke :-). Du siger selv, at uendelig lille er det samme som 0, og nu vil du have, at alle disse felter på denne bredde (0) tilsammen udgør et areal. Det vil jeg simpelthen ikke være med til. Men det er fornuftigt at tage så mange målinger med som muligt, og jeg vil godt være med alligevel, hvis du så vil være med til, at antallet af målinger kun kan være uendeligt i den forstand, at der ikke er en øvre grænse for hvor stort et ENDELIGT antal, der kan være tale om. Men det ville medføre, at du under den definition måtte indrømme, at det, vi kalder uendelig lille, ikke er en konkret størrelse, og er nødt til at være >0.
Jeg kan ikke lige se, på hvilken måde, det ville skade matematikken. Tværtimod synes jeg, det ville gøre det hele lidt mere forståeligt.

Nej, det er ikke pinligt ikke at forstå noget uforståeligt, som at uendelig mange stykker ingenting tilsammen bliver til noget (et areal). Hvordan, du bærer dig ad med at forstå det, er mig en gåde, men tak for forklaring og links. Selvfølgelig vil jeg kunne lære at udføre det (uden at stille spørgsmål) lige så godt som alle andre.

Nej, jeg har registreret, at du ikke er sproglig, men du klarer det da fint nok.
En enkelt detalje, som du slet ikke er ene om, kunne jeg godt hjælpe med, men da det er fuldstændig irrelevant for debatten, vil jeg kun gøre det, hvis du selv be`r om det.

Vi kan godt lade være, at blande tid ind i det, da vi alligevel ikke kan komme op på uendelig tid, men det mener jeg ikke ændrer på, at en realiseret uendelighed er logisk umulighed (også indenfor et endeligt område). Steen

  • 0
  • 0

Ja. Nitallerne skrumper selvfølgelig. Det er rimeligt nok, og vognen går slet ikke i stå før den er fremme, hvorfor skulle den også det ? Ja små stykker er hurtigere at gennemkøre end store stykker, og det er jo så heldigt, at man kan flytte sig et endeligt stykke på endelig tid, så der er ingen problem.
Steen

  • 0
  • 0

Nej Anders ! Mig narrer du ikke :-). Du siger selv, at uendelig lille er det samme som 0, og nu vil du have, at alle disse felter på denne bredde (0) tilsammen udgør et areal. Det vil jeg simpelthen ikke være med til. Men det er fornuftigt at tage så mange målinger med som muligt, og jeg vil godt være med alligevel, hvis du så vil være med til, at antallet af målinger kun kan være uendeligt i den forstand, at der ikke er en øvre grænse for hvor stort et ENDELIGT antal, der kan være tale om. Men det ville medføre, at du under den definition måtte indrømme, at det, vi kalder uendelig lille, ikke er en konkret størrelse, og er nødt til at være >0.
Jeg kan ikke lige se, på hvilken måde, det ville skade matematikken. Tværtimod synes jeg, det ville gøre det hele lidt mere forståeligt.

Nej, det er ikke pinligt ikke at forstå noget uforståeligt, som at uendelig mange stykker ingenting tilsammen bliver til noget (et areal). Hvordan, du bærer dig ad med at forstå det, er mig en gåde, men tak for forklaring og links. Selvfølgelig vil jeg kunne lære at udføre det (uden at stille spørgsmål) lige så godt som alle andre.

Nej, jeg har registreret, at du ikke er sproglig, men du klarer det da fint nok.
En enkelt detalje, som du slet ikke er ene om, kunne jeg godt hjælpe med, men da det er fuldstændig irrelevant for debatten, vil jeg kun gøre det, hvis du selv be`r om det.

Vi kan godt lade være, at blande tid ind i det, da vi alligevel ikke kan komme op på uendelig tid, men det mener jeg ikke ændrer på, at en realiseret uendelighed er logisk umulighed (også indenfor et endeligt område). Steen

Tja, sådan er integralregning nu en gang, og det har fungeret i 350 år.

Hvis du ikke vil tror på det, er der ikke andet end at konkludere håbløst tilfælde totalt uden for pædagogisk rækkevidde.

Hvorfor tror du egentlig, at nul gange uendelig skal give nul - det er der intet belæg for.

Og hvis manden ikke skal overhale skildpadden, kræver det, at tiden går i stå - og det er jo en lidt sær forudsætning at lægge ind.

  • 0
  • 0

Hvorfor tror du egentlig, at nul gange uendelig skal give nul - det er der intet belæg for.

Sandsynligvis fordi man har fået tudet ørerne fulde om at ethvert tal gange med nul er.... nul.

Men for lige at vende tilbage til den med:
x=0.999999999...
10x = 9.9999999 osv

så prøv at brug hvilket som helst andet tal end 0.9999999. F.eks 0.999919999199991, 0.888888888888, 1.12345678901234567890.
Prøv at gange med 9 i stedet for 10.
Hver eneste gang jeg prøver med andet end n.9999999999999, hvor n er et heltal, får jeg den samme værdi igen. (med forbehold for præcisionen i regneark/computer), og ellers får jeg n+1
Muligvis er der noget, som jeg ikke helt kan gennemskue, eller også må det betyde en af følgende 2 ting:
1) n.9999999999999 = n+1, eller
2) alle andre tal er forskellig fra sig selv

  • 0
  • 0

at det så i praksis er ligegyldig om du skriver 1 eller 0,99999999.... er så en helt anden sag. Jeg vil i øvrigt gerne se det "bevis" du snakker om. Enhver digital sammenligning af 1 og 0,99999999.... med nok så mange nital ender med meldingen at 1>0,999999999.....

Ved ikke om beviset er vist, TL;DR. Lad "---" betyde biimplikation. Her er det:

A) Løs ligningen 10x - 9 = x:

10x - 9 = x
9x = 9

x = 1.

B) Vis, at x = 0.99... opfylder ligningen ovenfor:

10x - 9
= 10*0.99... - 9
= 9.99... - 9
= 0.99...
= x.

Det følger nu pr. A) at 0.99... = 1. QED

  • 0
  • 0

Da jeg som Anders også er uddannet indenfor naturvidenskab og matematik, kan jeg selvfølgelig kun være enig med ham i alt hvad han har sagt omkring uendelighed og den berygtede ligning. Det virker som om at mange jer virkelig har svært ved at forstå begrebet uendelighed, og da Anders ikke har været særlig pædagogisk i sin forklaringer, vil jeg vil derfor gøre et forsøg på at forklare det på en lidt anden måde.

  1. Uendelig er ikke et tal, Uendelig er et begreb for sig selv.

For nu at tage eksemplet med snoren der deles i uendelig mange stykker, og stadig bliver en hel snor når den samles, så misforstår i begrebet uendelig fuldstændig. I misforstår det ved, at i straks tænker, at på et tidspunkt må længden af hvert stykke snor blive 0.
Det gør stykkerne bare ikke. De bliver aldrig 0!! Du kan dele snoren ligeså tosset du vil, og du vil ALTID stå tilbage med individuelle stykker der alle har en udstrækning, og når du samler dem så får du hele din snor.

Det er her hvor matematikkens verden på et tidspunkt forlader den virkelig og fysiske verden (Der er intet videnskabeligt belæg for at man kan dele en fysisk genstand uendeligt, men det kan sagtens lade sig gøre i folks hoveder). Matematik er et redskab/værktøj opfundet af mennesker, og har i realiteten intet med virkeligheden at gøre. Men det er et værktøj der fungerer pokkers godt til at beskrive den virkelige verden. Med det mener jeg at alle tal bliver ubrugelig hvis ikke du sætter en enhed på. En enhed kan fx. være et æble. Man kan fx. tale om 1 æble eller 2 æbler, men først bliver man nød til at definere hvad et æble er ( hvor stor det er, hvilken form og farve det har osv.) . Et æble er et menneskeligt defineret begreb (et ord), præcis ligesom ethvert tal er det. Et tal er et begreb der bruges til at beskrive hvor mange enheder (fx. æbler der er). Det er altsammen noget vi skaber oppe i vores hoveder!!

Jeg indrømmer at uendelighed er et meget abstrakt begreb, og derfor er det selvfølgelig ikke pinligt hvis man ikke forstår det. Det tager tid, og det gjorde det også for mig. Hvis i synes det er spændene og gerne vil forstå det, så synes jeg i skulle tage at læse noget mere generelt om matematik, prøve at forstå det og bagefter kan i kaste jer ud i at lære de forskellige matematiske dicipliner! Man kan nemlig sagtens lære integralregning uden at forstå det. Det er nemt! Vil man forstå det, så kræver det noget mere tænkearbejde, og der findes helt sikkert masser bøger det forklarer det på et lidt mere grundlæggende plan. Ved ikke om jeg har forklaret det godt nok, men i velkommen til at spørge uddybende!

  • 0
  • 0

Steen, "Nej Anders ! Mig narrer du ikke".
Men det er det smartness matematik går ud på. Lader vi os narre, "er alt i den skønneste orden" (som en professor skrev).
Anders noterer at integralregning har fungeret i 350 år, og hvad så? Den geocentriske verdensmodel fungerede i over 1000 år.
I den indledende regnelære var lagkager meget illustrativ: Hvis Steen har 0 lagkager og deler ud til Anders, hvor meget lagkage får den Anders?
Tilføjelse, Steen deler ud uendelig mange gange.
Med Anders integration fås et endeligt stykke > 0.
Det er her smartness træder hjælpende til vores mentale krykker.

  • 0
  • 1

Hvis steen dele 0 lagkager ud til anders uendelig mange gange får anders stadig kun 0 lagkager.

0 er ikke et uendelig lille tal. Der findes nemlig ikke uendelig små tal. 0 betyder ingen ting, men er stadig et tal. uendelig er ikke et tal!

  • 0
  • 0

Adam, skal pædagogik være slagkraftig sættes indholdet på spidsen, tak.
"Uendelig er ikke et tal, men et begreb for sig".
Matematik er læren om naturens kvantiteter.
Der findes 4 kvantiteter
1) 0
2) positive kvantiteter, disse er > 0
3) negative kvantiteter, disse er < 0
4) uendelighed
1) og 2) er modsætninger, og 2) og 3) er modsætninger
Adam, din uendelighed er en matematisk kvantitet.
Det er nu den grundlæggende matematiks opgave at blotlægge egenskaberne tilknyttet de 4 forskellige kvantiteter.

Du er helt enig med Anders skønt du noterer noget diamentalt modsat ikke så få gange, det duer bare ikke.

  • 0
  • 1

Kim du har åbenbart også misforstået hvad matematik er, men jeg kan godt prøve at forklare det lidt nærmere!
Matematik har ikke noget med naturen at gøre. Dette er grunden til at man sagtens kan arbejde med matematik kun for matematikkens skyld.

Matematik er et redskab/værktøj opfundet af mennesker og findes kun i den menneskelige bevidsthed. Uden mennesker ville alle tal og formler ingen mening have.

Matematik er et værktøj som bl.a. indbefatter begrebet tal. Et tal er et begreb der beskriver hvor mange enheder (antal enheder) af en eller anden enhed du har. Alle enheder defineres desuden af mennesker.
Uendelighed er et andet begreb inden for matematikken, der beskriver en talrække der aldrig stopper!

Hvad er kvantiteter? mener du antal?

Du mener hvist at 2 og 3 er modsætninger. 3 og 4 er to helt forskellige ting og kan ikke sammenlignes.

Der findes ikke negative tal, med mindre du definerer et nulpunkt!
Nul er defineret som fraværet af enheder.

Jer er enig med Anders ja, og jeg kan ikke se hvor jeg modsiger ham. Jeg siger bare det han mener på anden måde!

  • 0
  • 0

Adam, naturen er det hele (jeg har accepteret definitionen, "Naturen er den overordnede betegnelse for det fuldstændig altomfattende").
Dermed er også matematik en del af naturen. Enhver del af naturen benævnes et naturelement: Matematik er et naturelement.
"Matematik er opfundet af mennesket" - nej - matematik (d.v.s. naturens kvantiteter), var en del af naturen langt tid før vi trådte ind på naturens scene. På lørdag kl.19 TV-vises 2.del af dyrs matematiske færdigheder, dyr var trådt ind på naturens scene før os (faktisk kom vi ret sent ind på scenen) og udfoldede her deres (enkle?) matematiske færdigheder.
Men også i den livløse verden (fysikken) er matematik dybt integreret, og vi er blot i den indledende face ved at blotlægge (opdage) dette emne.
Tal og enheder. Tal kan studeres enten tilknyttet enheder, eller studeres ved tallenes egenhed (deres egne egenskaber som f.eks. lige/ulige tal, egenskaber der ikke er relateret til nogen enheder).
Kvantiteter: Størrelse - modsat kvalitet (indhold).
Tal er symboler til angivelse af kvantiteter.
Positive/negative tal er relateret til tallet 0, og er ikke en egenskab ved enheder (eller fravær heraf) men en egenskab ved kvantiteten.

  • 0
  • 1

@Anders. Ja, jeg tror nok indtil videre må henregnes til de håbløse tilfælde.
Når jeg står af, er det jo fordi, jeg synes følgende rumler i mit hoved :

Der, hvor jeg kommer fra, betyder 0 ingenting eller ingen. Eks. Peter har to æbler, som han sælger for 2kr. pr. styk. Hvor mange penge og hvor mange æbler har Peter efter handelen. Svar : 4 kr. og 0 æbler.

Ny opgave: Hvor mange æbler er 0 æbler gange uendeligt. jeg ville stadig sige 0 æbler, hvad er det rigtige svar ?

Der kan ikke være uendelig mange tal mellem 1 og 2 (ingen kontinuitet), fordi to FORSKELLIGE tal altid vil have afstand (der vil altid kunne kiles et tal ind imellem, uanset hvor lille forskellen er. Kontinuitet og uendelighed forudsætter, at to forskellige tal er ens, og det er noget vrøvl.

På NØJAGTIG samme måde gælder, at en afstand eller snor ikke ikke kan VÆRE delt i uendelig mange dele, men der er SLET INGEN GRÆNSE for hvor stort et endeligt antal dele, den kan være delt i (antal er altid endelige og konkrete), og hvor lille en del kan være, dog er den nødt til at være >0 (det her handler ikke om Louis Nielsen eller Planck eller lign.)

Om integralregn: Der hvor jeg kommer fra, gælder også, at en linie uden udstrækning i bredden ikke er det samme som et rektangel. Jeg vil også gerne vide, hvordan man vil foretage uendelig mange registreringer af længderne op til kurven. Men jeg bestrider ikke at integralregn. er et uundværligt redskab.

At tiden skulle gå i stå, hvis skildpadden ikke skulle overhales, tror jeg da ikke, jeg har givet udtryk for, men på den anden side kan jeg ikke se, at det skulle være forkert (medmindre Akilleus ikke gider alligevel)

At man skulle kunne skrive 1 ved hjælp af 9-taller tror jeg ikke på. 9/10 + 9/100 + 9/1000 osv. uendeligt giver ikke 1, selvom udregningen foregik momentant. Men 0.999...er bare en anden notationsform for 1 siger man og påkalder sig i samme åndedrag den realiserede uendelighed.
Jeg tror ikke på det, men indrømmer, at DER SLET IKKE ER NOGEN GRÆNSE for hvor tæt på, det kan være. Men forskellen er >0. (Mener jeg stadig).

Indtil videre sidder jeg fast i dette, og jeg tror ikke, du kan hjælpe mig stort mere, end du har forsøgt, men skal ikke afvise, at jeg en dag får en aha-oplevelse og ser lyset.

Du har gjort, hvad du kunne, og efterkommet mit ønske om en forklaring med dine egne ord, og lige meget hjalp det. Personlige nedladenskaber har det været meget småt med, og langt under min smertegrænse. Over for andre har der været enkelte smuttere, men jeg tror, du er på rette vej.

Så tak for undervisning og en god diskussion. Steen

  • 0
  • 0

Nu begynder det at blive filosofisk! Jeg er ikke enig, og min forklaring kommer her:

ja, i den forstand at mennesket er en del af naturen, og matematik er et redskab opfundet af mennesket, så er matematik også en del af naturen. Men kun i kraft af mennesket! Dyr fatter ikke matematik, med mindre du er i stand til at lære dem at forstå den, hvilket nogle dyr til hvis grænse er i stand til. Nogen dyr er måske også i stand til at udtænke deres egen form for matematik. Det ved jeg ikke så meget om. Men uanset hvad, så tror jeg næppe at et dyr der udtænker sin egen matematik, vil komme frem til den samme form for matematik som vi mennesker benytter. Husk på at menneske har brugt matematik i mange tusinde år, men det var først da araber tallene blev populære og ved indførelsen af tallet nul, at man for alvor lærte at bruge den.

Men matematik er ikke andet end symboler, der i vores bevidsthed giver mening og hjælper os med at forstå naturen. Naturen kan beskrives ved hjælp af matematik, ligesom at et æble kan beskrives ved hjælp af ord. Men ord ville stadig være meningsløse hvis der ikke var nogen til at forstå dem, og det samme gælder matematik.

Vi ser at naturen opfører sig på en bestemt måde, og ser ud på en bestemt måde. Den indeholder mønstre og farver. Mønstre der kan beskrives ved hjælp af matematik, og vi kan som bekendt ved hjælp af matematik og viden om fysik, forudsige ganske mange ting med større og større præcision, men alt er som bekendt relativt. Hvad der kan ligne en perfekt cirkel eller kugle fra afstand, er i virkeligheden langt fra perfekt, og fyldt med ujævnheder, og sådan kan man blive ved. Matematik er og bliver en tilnærmelsesvis beskrivelse af naturen. Den perfekte cirkel findes ikke i naturen, men den er nem at definere inden for matematikken. Men selv hvis du gjorde dig ufattelig umage med din passer, ville du aldrig kunne tegne en perfekt cirkel. Hvis du zoomer ind vil din cirkel være langt fra perfekt! Her er vi nød til at gå på kompromi og acceptere en hvis fejl i vores beregninger. Og hvad er en perfekt cirkel uden nogen til at definere hvad en cirkel er? Den er intet andet end en lang række et eller andet, der ligger på en bestemt måde i forhold til hinanden.

  • 0
  • 0

@ Adam. Jeg har først nu set dit indlæg og vil gerne sige, at når jeg har postuleret, at snorens uendelig delte småstumper ikke har udstrækning, er det ud fra en påstand fra mig om at en uendelig deling resulterer i uendelig små udstrækninger og en påstand fra Anders om, at uendelig lille ikke kan være større end 0 og derfor ér 0. Dette har jeg i diskussionen foreholdt Anders uden at blive modsagt, så det ser ikke ud til, at I to er helt enige i dette spørgsmål.
Men hvis du vil hævde, at stykkerne har udstrækning >0, betyder det så ikke, at stumperne kun kan være et resultat af et antal delinger, som er hinsides ethvert KONKRET fastlagt tal men ikke uendeligt. Steen

  • 0
  • 0

... også i den fysiske verden.

Et eksempel er når man spejler sig ind i to spejle og ser sit spejlbillede gentage sig i det uendelige. Aktuel uendelighed, her og nu, for at bruge nogle begreber fra tråden.

Et andet eksempel er fraktaler. Konkrete geometriske figurere, form om man vil. Fraktaler kan ikke konstrueres uden uendelighed.

Uendelighed er mere end et begreb i den menneskelige hjerne, opfundet til brug i infinitesimalregningen og uendelighed optræder mange steder i matematikken. Uendeligheden eller uendelighederne har mange former.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Adam, "dyr fatter ikke matematik".
Vores forhold til dyr har gennem tiden gået fra dumhed og at dyr ingen følelser har (men blot instinkter, Descartes), til i dag hvor dyr rent ud sagt forbløffer forskerne igen og igen - husk at se nævnte tv-udsendelse -
At tælle er en af matematikkens grundlæggende dicipliner, og dyr kan tælle selv om de ikke har været menneskepræget: Fugle kan tælle antal æg i reden, og dyr kan finde hjem ved tælling - og - et næsehorn (en han) i Givskud var ganske klar over at han stod overfor to hunner (når der er to, har han lært at holde lav profil).
Matematik er den overordnede betegnelse for naturens kvantiteter.
"Naturen kan beskrives ved hjælp af matematik", næe det ville være en uforståelig beskrivelse - men naturen kan beskrives ved kvantitet/kvalitet, hvor kvantitet kan oversættes med matematik.
Naturen er dynamisk (foranderlig) og statisk (uforanderlig). En statisk beskrivelse af dynamik er altid tilnærmet, ligesom en dynamisk beskrivelse af statisk natur altid er tilnærmelse - en statisk beskrivelse af en statisk natur kan godt ramme plet (som f.eks. Phytagoras a2+b2 =c2), og en dynamisk beskrivelse af dynamisk natur kan ramme plet (f.eks. "universets udvidelse er tilknyttet dynamikkens egenskaber").
Så, enige er vi just ikke.

  • 0
  • 0

En spejling vil aldrig fysisk kunne gengives i det uendelige, selv om de to spejlinger nævnt af Peter vil se mangfoldige ud. Det er lysets bølgelængde der begrænser mangfoldigheden.
Heller ikke fraktalelementers teoretiske uendelige gentagen kan reproduceres fysisk:
Enhver fraktals element har udstrækning, og en fuldkommen fysisk reproduktion vil kræve et uendelig stort rum - et uendelig stort rum er ikke fysisk.

  • 0
  • 1

@Steen

Anders har ikke været god til at udtrykke sig klart, men jeg mindes at Anders i et af sine indlæg har skrevet at der ikke findes noget der hedder uendelig lille, og det må jeg give ham ret i. Uendelig og tallet 0 er som sagt to forskellige begreber inden for matematikken. Der findes uendelige talrækker der går mod nul, og så findes der talrækker der går mod uendelig, men nul er for sig selv et konkret tal, og har ikke noget med uendelighed at gøre.

Det jeg tror Anders mener med at uendelig ikke kan være større end 0, er at hvis noget er større end nul, så har du forudsat at der er et nulpunkt. Den gælder ikke når du opererer med tallet uendelig. Hvis du siger at en uendelig talrække går mod nul, så rammer du rent faktisk aldrig nul.

"Men hvis du vil hævde, at stykkerne har udstrækning >0, betyder det så ikke, at stumperne kun kan være et resultat af et antal delinger, som er hinsides ethvert KONKRET fastlagt tal men ikke uendeligt."

Du er ved at nærme dig noget af det rigtige. I det øjeblik du beslutter dig for at stoppe med at dividere, så har du et konkret fastlagt tal. Men det betyder ikke, at du ikke kan fortsætte med at dividere, og det samme gælder hvis du tæller! Derfor kan du ikke tale om uendelig som et tal. Det er et begreb, der inbefatter, at du altid kan dividere engang mere, eller tælle en gang mere, og det her begrebet konvergens kommer ind i billedet, som du kan læse om her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_se...

@Peter
Den med spejlbilledet er jo i virkeligheden en illusion. Det føles som om du kigger ind i en uendelig gang af nye spejle, men i virkeligheden er det jo en reflektion i 2 dimensioner. Du ser spejlbilledet blive reflekteret og de ting der reflekteres igen bliver mindre og mindre og konvergere til sidst mod et enkelt punkt på spejlet. Når punkter bliver lille nok, så bliver det mudret, og det kan diskuteres om det reelt er det oprindelige spejlbilled du ser. Svært at forklare umiddelbart, men det er mit bedste bud lige nu.

Fraktaler i naturen er ikke helt så fraktal agtige når du zoomer langt nok ind. Men inden for matematikken er det ikke noget problem.

  • Adam
  • 0
  • 0

@Kim
Når jeg siger at "dyr fatter ikke matematik", så mener jeg at dyr som udgangspunkt ikke fatter den menneskeskabte matematik, da den jo er menneskeskabt, med mindre vi lærer dem det, hvilket har vist sig at være svært, men ikke helt umuligt med nogle dyrearter, men stadig kun til en hvis grænse. Dermed ikke sagt at mange dyr ikke har en form for matematisk sans. Matematisk sans i den forstand at de ligesom os er i stand til at genkende mønstre og forbinde dem med noget!

Der ikke nogen tvivl fra min side om, at nogen dyr besidder flere af de samme egenskaber som mennesker.

  • 0
  • 0

@ Adam : Det var dog et dejligt svar. Men det, du skriver, synes jeg stadig afviger fra Anders´ udtalelser. Forskellen er, at du taler mere om at rækker GÅR mod uendeligt og nul. ( For mig hænger, en uendelighed, som ikke GÅR, men bare er der og 0 på en eller anden måde sammen, selvom 0, udgør et konkret sted på tallinjen.
Det, du skriver synes jeg antyder, at forskellen på o,999ue. og 1 ikke er 0 (altså uden udstrækning), men mindre end ethvert KONKRET fastlagt tal. Og det er jo min påstand, så der er nok noget, jeg alligevel har misforstået. Steen

  • 0
  • 0

"Dyr fatter ikke menneskeskabt matematik" og, dyr har "en form for matematisk sans".
Ok - der må så være tale om dyreskabt matematik, men naturen er det hele, så matematik må være naturskabt bedre end menneskeskabt/fugleskabt/fiskeskabt/abeskabt/hundeskabt/katteskabt samt (hvis man må erkende at også matematik er en del af planteriget) - blomsterskabt.
At den højere "menneskeskabte" matematik ikke kan optages hos dyr, viser ikke bare dyrs begrænsninger - mange mange mennesker kan heller ikke matche denne matematik.

  • 0
  • 0

@steen ørsted

Måske kan begrebet grænseværdi være til hjælp: http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_se...

I analyse definerer man summen af en (konvergent) række som det tal du kommer tættere og på, jo længere du lader summeringen fortsætte.

Lighedstegnet i 0.99... = 1 kan så forstås ved at man siger "0.99... kommer tættere og tættere på 1 jo flere 9-taller vi skriver efter kommaet. Lad os definerer 0.99... til at være grænseværdien af denne proces og skrive lighedstegn fra nu af."

Definer Sn som 9/10 + 9/100 + ... + 9/10^n = 0.99...9 (n ni-taller).

Sn --> S såfremt |S - Sn| --> 0 for n --> uendelig, og i det tilfælde siger vi, at "rækkens sum er S".

Det vil sige vi skriver 0.99... = S, hvor prikkerne angiver "grænseværdien for n gående mod uendelig."

|S - Sn| --> 0 såfremt der "for alle epsilon over 0 findes et N i de naturlige tal, så hvis n er over N medfører det, at |S - Sn| er mindre end epsilon."

At Sn --> S = 1 ses nu ved at vælge N = ceil( -log10(epsilon) + 1).

  • 0
  • 0

Troels angiver tidl. det "klassiske" bevis for 0,999... = 1, under A) og B).
A) er ok, og tilsyneladende er også B) ok:
Men - når 0,999... ganges med 10 fås tilsyneladende 9,999... idet kommaet flyttes en plads til højre, sådan er børnelæren og genvejen for multiplikation med 10 (og 100/1000/10000 o.s.v).
Jeg skal her vise at denne børnelære ikke uden videre kan benyttes ved 100,999...
1) 10
0,999... betyder en tifoldig addition af 0,999...
2) 0,999... hvor vi har uendeligheden angivet til højre, kan også anskues i den "anden ende": .... 999 hvor uendeligheden er angivet til venstre.
3) Vi adderer
... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999

+ ... 999
(... 99)990

Denne addition frembringer et for beviset (0,999... = 1) uheldigt 0.
4) Med andre ord erstattes (i 10*0,32 = 3,20) pladsen for hundrededele, 2 med 0. Det er denne mekanisme der er på spil i additionen 3).
5) 9,999... er ikke identisk med 9.999...0
6) Deles 0,999... med 10 fås 0,099... og her opfattes 0'et på pladsen for tiendedele ikke uheldigt - men de to omtalte 0'er har begge en matematisk betydning, som ikke er behandlet seriøst i smartness matematikken.
7)

  • 0
  • 1

Troels angiver tidl. det "klassiske" bevis for 0,999... = 1, under A) og B).
A) er ok, og tilsyneladende er også B) ok:
Men - når 0,999... ganges med 10 fås tilsyneladende 9,999... idet kommaet flyttes en plads til højre, sådan er børnelæren og genvejen for multiplikation med 10 (og 100/1000/10000 o.s.v).
Jeg skal her vise at denne børnelære ikke uden videre kan benyttes ved 100,999...
1) 10
0,999... betyder en tifoldig addition af 0,999...
2) 0,999... hvor vi har uendeligheden angivet til højre, kan også anskues i den "anden ende": .... 999 hvor uendeligheden er angivet til venstre.
3) Vi adderer
... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999
+ ... 999

+ ... 999
(... 99)990

Denne addition frembringer et for beviset (0,999... = 1) uheldigt 0.
4) Med andre ord erstattes (i 10*0,32 = 3,20) pladsen for hundrededele, 2 med 0. Det er denne mekanisme der er på spil i additionen 3).
5) 9,999... er ikke identisk med 9.999...0
6) Deles 0,999... med 10 fås 0,099... og her opfattes 0'et på pladsen for tiendedele ikke uheldigt - men de to omtalte 0'er har begge en matematisk betydning, som ikke er behandlet seriøst i smartness matematikken.
7)

Man kan s'gu da ikke føje noget til EFTER en uendelighed af nitaller.

Man kan kun tilføje noget efter et endeligt antal decimaler.

Bevis DUMPET.

  • 0
  • 0

2) 0,999... hvor vi har uendeligheden angivet til højre, kan også anskues i den "anden ende": .... 999 hvor uendeligheden er angivet til venstre.

Nej, det kan det ikke.

Idet du vælger en placering for det sidste 9-tal har du besluttet at der alligevel ikke skal være uendeligt mange af dem.

Det er definitionen på uendelig: større end noget konkret tal.

  • 0
  • 0

Anders/Troels, der kan jo ikke tilføjes noget "efter" en uendelig række tal.
Uendelig: større end noget konkret tal.

0,9/0,99/0,999 o.s.v. hvor 0,999... er "endestationen". Som realitet er denne række bestandig endelig, men processen er potentielt uendelig.
Den omvendte proces er ligeberittiget hermed, hvor 0,9 er "endestationen". Som realitet er denne række bestandig endelig, men procesessen er potentielt uendelig.

Vi kan udmærket have uendelighed angivet til højre og venstre, ...9 og 9...
samt i midten, 9...9 men ikke 9...0 - det er præcis det der sker i ovenstående ved 100,999...
Ved at gange med ti underkastes 0,999... egenskaber der er tilknyttet denne operation (som f.eks. 10
0,32 = 3,20): noget i retning af resultatet 9,9...9990 hvor vi har vendt læseretningen - addition foretages nemlig fra højre mod venstre.
Vi kan jo udmærket addere 2222...... og 5555...... = 7777...... og ligeberettiget (idet addition korrekt sker modsatrettet, fra højre mod venstre) ...222 + ...555 = ...777
Vi ser at læseretning og additionsretning er stridende, men at striden tilgodeser beviset for 0,999... = 1, idet der så ikke tages stilling til problemnullet i 9,99....0 der er erstattet af børnelæren 9,99...

  • 0
  • 0

Anders/Troels, der kan jo ikke tilføjes noget "efter" en uendelig række tal.
Uendelig: større end noget konkret tal.

0,9/0,99/0,999 o.s.v. hvor 0,999... er "endestationen". Som realitet er denne række bestandig endelig, men processen er potentielt uendelig.
Den omvendte proces er ligeberittiget hermed, hvor 0,9 er "endestationen". Som realitet er denne række bestandig endelig, men procesessen er potentielt uendelig.

Vi kan udmærket have uendelighed angivet til højre og venstre, ...9 og 9...
samt i midten, 9...9 men ikke 9...0 - det er præcis det der sker i ovenstående ved 100,999...
Ved at gange med ti underkastes 0,999... egenskaber der er tilknyttet denne operation (som f.eks. 10
0,32 = 3,20): noget i retning af resultatet 9,9...9990 hvor vi har vendt læseretningen - addition foretages nemlig fra højre mod venstre.
Vi kan jo udmærket addere 2222...... og 5555...... = 7777...... og ligeberettiget (idet addition korrekt sker modsatrettet, fra højre mod venstre) ...222 + ...555 = ...777
Vi ser at læseretning og additionsretning er stridende, men at striden tilgodeser beviset for 0,999... = 1, idet der så ikke tages stilling til problemnullet i 9,99....0 der er erstattet af børnelæren 9,99...

Pløp plim pluddaq tosr plyf plfa slim slum puhhhh

  • 0
  • 0

Håber alle er enige i at 0,00... = 0, og at summationen 0,0/0,00/0,000/0,0000 o.s.v. = 0.
og at alle er enige i at > 0,00... > 0.

Har nogen et klart bud på om uendelig lille = 0 eller er > 0 eller er < 0.
Har nogen et klart bud på om uendelig stort = uendelig eller > uendelig eller < uendelig.

Ikke noget udenomsnak, tak.

  • 0
  • 0

Vi kan udmærket have uendelighed angivet til højre og venstre, ...9 og 9... samt i midten, 9...9

Det følger heraf med al ønskelig tydelighed, at du ikke har gjort dig nogle frugtbare overvejelser omkring uendelighed.

Du siger man kan give mening til begrebet 0.9...90, altså uendeligt mange 9-taller efterfulgt af et 0. Tillad mig en analogi; (jeg ved ikke om om du kender til programmering) hvornår bliver følgende program færdigt?:

print 0.9
while 1:
print 9

print 0

  • 0
  • 0

Har nogen et klart bud på om uendelig lille = 0 eller er > 0 eller er < 0.
Har nogen et klart bud på om uendelig stort = uendelig eller > uendelig eller < uendelig.

Jeg ved ikke hvad 'uendelig lille' betyder, men måske noget i stil med infinitesimalt?

I så fald betragter man havd der sker i den grænse, hvor en eller anden størrelse går mod 0. Som når man differentierer, og lader h gå mod nul:

f'(x) = lim(h --> 0) (f(x+h) - f(x)) / h

Og uendeligt stort må vel være det samme som uendelig: en størrelse der vokser uden øvre grænse.

  • 0
  • 0

Prøver igen, hurtige/korte indlæg ellers kappes tråden.
Beviset for 0,999... = 1 har centralt placeret børnefunktionen kommaflytning i 10*0,999...
Ønskes operationen additativt forskriftmæssigt udført, ryger vi ind i en problematik med Gardiners tegnliste (læseretningen venstre/højre) vs retningen for additionsregning (vertikale kolonner adderes højre/venstre).
Mit forsøg på den tifoldige addition af 0,999... viste et uheldigt 0, et 0 der ikke behøves at bekymre ved børnelæren kommaflytning.

  • 0
  • 1

Vores titalsystem er jo et positionssystem hvor hver plads ændres ved en faktor 10 i læseretningen, og de grundlæggende operationer (+/-) udføres i modsatte retning. Det ser uskyldigt ud,
0,999... bliver ved kommaflytning til 9,99... men enten 1) er det kommaet der flyttes til højre eller også 2) flyttes hele talrækken 0,999... een plads til venstre - 1) og 2) er ligeberettiget.
Der skal smartness til at forklare vores røveri af et enkelt nital fra den uendelige decimalrække af nitaller.
Troels, "Uendelig stort, en størrelse (x) der vokser uden øvre grænse" - meget enig, men x kan kun vokse hvis x < uendelig!
Korrosponderende har vi: Uendelig lille, en størrelse (y) der mindskes uden nedre grænse - y kan kun mindskes hvis y > 0!

  • 0
  • 0

Troels, "Uendelig stort, en størrelse (x) der vokser uden øvre grænse" - meget enig, men x kan kun vokse hvis x < uendelig!

Hvorfor det? Det ser ud som om du stadig tænker på uendelig som et eller andet fast tal.

Uendelig + 1 = uendelig.
Uendelig + 1 + 1 + 1 +... = uendelig.

Og så videre.

[...] retningen for additionsregning (vertikale kolonner adderes højre/venstre).

Selvopfundet regel til lejligheden. Jeg tror du blander +operationen sammen med metoden man lærte i 1. klasse.

  • 0
  • 0

Vokse og mindskning sker i intervallet > 0 og < uendelig.
Ovenstående x og y forbliver derved endelige størrelser.
Kurt, 1 + 0,999... = 1,999... en addition der synes at forbigå problemet med at addition sker højre/venstre - men 1 = 1,000... så additionen sker ved 1,000... + 0,999... = 1,999...
I et udsnit af "den anden ende" har vi
...... 000

+ ... 999
.......999

Opstillingen er en tilsnigelse, matematikken kan p.t. ikke behandle denne problematik.

  • 0
  • 0

Troels,
778
+
678
+
445
+
456
------- beregnes vertikalt fra højre mod venstre. Det er talsystemets positionsegenskab der kræver denne retning.
"Hvorfor det?" Fordi der længere oppe i tråden står at i 0,999... "kan du ikke presse flere nitaller ind i decimalrækken". 0,999... kan altså ikke vokse decimalt.

  • 0
  • 0

1 + 0,999... = ?

1,000...
+

0,999...
1,999...

.... 000
+

.... 999
.....000 -------> 2,000... ?
  • 0
  • 0

778
+
678
+
445
+
456
------- beregnes vertikalt fra højre mod venstre.

= 6 + 50 + 400 + 5 + 40 + 400 + 8 + 70 + 600 + 8 +70 + 700 = 2357.

Udregnet horisontalt fra venstre mod højre, og vertikalt nedefra og op. Du roder rundt i regnemetoder fra første klasse og glemmer, at addition er kommutativ og multiplikation er distributiv.

Vokse og mindskning sker i intervallet > 0 og < uendelig

Du tænker dig ikke om.

1) Er -100 + 1 + 1 + 1 + ... ikke en voksende serie?

2) Hvad er uendelig + 1?

  • 0
  • 0

Uendelig. Til uendelig man der kun adderes/subtraheres kvantiteten 0. Andre kvantiteter kan ikke adderes/subtraheres uendelig.
Troels, du er nok med på at der kun findes 4 (og kun 4) valide kvantiteter:
1) 0
2) > 0
3) < 0
4) uendelig

4) lader sig ikke addere/subrahere kvantiteterne 2) og 3).

6 + 50 + 0,2 + 567 =

6,0  

+
50,0
+
0,2
+

567,0
623,2

Kan opstilles på forskellig vis, men positionssystemets egenskaber kræver addition "fra højre mod venstre". Min kolonneopstilling er giver flest point i blækregningsdiciplinen: Orden.
Kommutativt kan opgaven opstilles som,
567,0
+
50,0
+
0,2
+

6,0

I matematiske opgavesamlinger, er opgaverne angivet i "grov" form og det første du gør er at ordne/sortere så opgaverne bliver til at håndtere og et overblik kan etableres. En opgave kan dog være så simpel at vi umiddelbart kan overskue den og springe sorteringen over.
345+67+0,78+45+6778,1+0,00708+675543+1,008 er enkel nok men det er risikofyldt (for at regne galt) ikke at opstille "korrekt" i en vertikal kolonne og følge positionssystemets egenskab: højre/venstre regning.

  • 0
  • 1

Troels, - 100+1+1+1+1 er, jo, voksende.
Havde ikke lige nagative tal i hovedet.

  • 0
  • 0

Kim skrev 24. feb. 2013:

"Tyge nævner at 1 og 0,99999..... er eet og det samme - blot er der tale om to forskellige notationsformer."

Det har jeg ikke nævnt i denne tråd! Og tror heller ikke på!

Derimod har jeg skrevet:

Størrelserne 0 og 1/0 skal behandles separat i den praktiske ing. matematik. Type silohældning og istykkelse.

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Troels, du er nok med på at der kun findes 4 (og kun 4) valide kvantiteter:
1) 0
2) > 0
3) < 0
4) uendelig

4) lader sig ikke addere/subrahere kvantiteterne 2) og 3).

Det er en påstand uden argument, og tilmed en fejlagtig påstand. Det berømte "Hilbert's Hotel" illustrerer simpelt, hvorfor du tager fejl. Link: http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_h...

Når det så er sagt, så er din opdeling fuldstændig uden relevans. Vi taler om tal, og dit begreb 'kvantiteter' er ikke tal. Addition af heltal kan du ikke bare uden videre overføre til addition af kvantiteter.

Du skal være velkommen til koncist at definere 'kvantiteter'. Groft forsimplet så kan positive heltal defineres ud fra simpel mængdelære. Heltal er en udvidelse for at give addition en invers; brøker en udvidelse for at give multiplikation en invers; reelle tal for at give konvergente Cauchy-følger en grænseværdi.

Selve konstruktionen af reelle tal medfører trivielt, at 0.999... = 1

Jeg vil varmt anbefale at læse om dette i stedet for at trampe rundt i alverdens selvopfundne diffuse begreber; alt andet er næsten ubehøvlet.

  • 0
  • 0

Claus, matematiske hotelhistorier findes mangfoldige - der påståes de utroligste ting der her kan lade sig gøre. Fandt selv på en variant, hvor en grådig hotelfatter på sit hotel med uendelig mange værelser (alle udlejet), fordopler prisen men opdager at indtjeningen ikke er øget.

  • 0
  • 0

Nå, men på ingen af hotellerne fandt jeg kvantiteter der var forskellige fra mine 4 anførte og påståede eneste kvantiteter.
Kvantitet = "størrelse".
Kvantitet er den overordnede betegnelse for enhver størrelse, og er modsætning til kvalitet.
Disse størrelser/kvantiteter findes alene som
1) endelige størrelser (0 og > 0 og < 0)
2) uendelige størrelser

Claus, en lille opgave: 10*999... = ?

  • 0
  • 0

0,9 < 1,0
0,99 < 1,00
0,999 < 1,000
0,9999 < 1,0000
0,99999 < 1,00000
0,999999 < 1,000000
0,9999999 < 1,0000000
0,99999999 < 1,00000000
0,999999999 < 1,000000000
o.s.v.
0,9999999999... < 1,0000000000...

  • 0
  • 2

Din definition er intet værd i matematisk forstand. Og som sagt, dine kvantiteter har intet at gøre med tal. I en diskussion om tallet 0.999... er dine kvantiteter lige så relevante som begonier eller rødbeder.

Din regneopgave giver strengt taget ingen mening. Du ønsker at multiplicere et tal med hvad? 999... er ikke en grænseværdi for noget og derfor ikke et tal. Multiplikation med noget divergent er ikke veldefineret.

Hvorfor fortsætte med at vrøvle rundt i hjemmestrikkede definitioner, når de veldefinerede tal, som bruges i matematikken er så brugbare både matematisk og praktisk?

  • 1
  • 0

Her er nogle flere matematiske udtryk for tallet 1. Der findes sikkert mange flere?

1 = log(10)

1 = ln(e)

1 = sin(π/2)

1 = cos(0)

1 = tan(π/4)

1 = cosh(0)

1 = -(i)^2

1 = 0^0

1 = x^0

1 = 1^x

1 = 0!

1 = 1!

1 = {Ø}

1 = {{ }}

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Aage gør opmærksom på at 1 = 3 (1/3) = 30,333... = 0,999... joeeeee ?
Aages opstilling er et specialtilfælde af, x = n (1/n) = n
y = 0,999... eller x = n (1/n) = n*y = 1 hvor x =1 og y = 1/n
Aage kan fair nok holde på at 1 = 0,999... ved at vælge n = 3 (eller 6,7,9 m.fl.)
Kim kan fair nok holde på at 1 = 1 ved at vælge n = 2 (eller 4,5,8 m.fl.)

  • 0
  • 0

Vi har x = (n1/n) = 1n/n = 1*1 = 1, hvor x = 1 og n = et tal af N = (1,2,3,4,5...)

  • 0
  • 0

Overhovedet alt i naturen er enten kvantitativt eller kvalitativt.
Naturens kvantiteter kan angives med tal eller andre symboler. Begonia eller rødbede er ikke gangbart, idet disse betegnelser er optaget af kvaliteterne begonia/rødbede.
Claus nu er 10888... ikke veldefineret, men 100,888... er jo ikke heller tilknyttet en grænseværdi - men er dog 8,88... må lige have genopfrisket konvergens/divergens.
Troels, 0,99... = 0,999999............ (= gælder potentielt, men gælder ikke realiseret idet enhver realisering er endelig - med 0,99... er to 9'er realiseret og med 0,999999... er seks 9'er realiseret).

  • 0
  • 1

@Kim
Du roder rundt i alverdens forskellige begreber, og misforstår alting.

Jeg siger det lige en gang til: Uendelig er IKKE et tal. Det er et helt andet begreb!!

99999... = uendelig og er derfor ikke et tal som vi normalt forstår dem. Du kan derfor hverken ligge noget til eller fra.

En hotel ejer med uendelig mange værelser vil have en uendelig indtjening. Fordobler han prisen har han stadig en uendelig indtjening, og ser derfor ingen ændring i sin indkomst, da den jo er uendelig!

Uendelig + Uendelig = Uendelig , men regnestykket giver ikke mening da det ikke er tal der lægges sammen! Det er kun for at illustrere hvad meningen med uendelig betyder.

Tag og læs noget om uendelighed :

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity

  • 0
  • 0

Adam, jeg er på linie med dit indlæg - siger ikke at uendelig er et tal (men siger at det er en kvantitet) - siger at man, "ikke kan hverken addere eller subtrahere uendelig" - og mener at vores hotelfatter tjener uendeligt, og at han skuffes når han sætter værelsesprisen x op til 2x (mens gæsterne ærgrer sig) og opdager "at indtjeningen ikke er øget".

En af wikis hotelhistorier indeholder en skævert, "Hvad gør en ny gæst ved ankomsten til et hotel (uendelig mange værelser) hvor alt er optaget".
Da hotellet huser uendelig mange gæster, vil der ikke kunne ankomme en "ny" gæst - alle gæster er allerede under tag.

  • 0
  • 1

Kurt, den "nye" gæst er gæst i betydningen poententiel gæst - et ygyldigt potentiale idet "gæstpotentialet" er opbrugt, og realiseret i hotellets uendelig mange gæster.
Denne realisering er i sig selv problematisk ...

  • 0
  • 1

Aage, at 1 = 1 er uomtvistelg - en konsekvens af, "Ethvert naturelement er sig selv lig".
1 = 0,999... er mere speget.
Vi har
9 < 10
99 < 100
999 < 1000
o.s.v. ulighedens afstand er bestandig kvantitativt = 1.
Vi har,
0,9 < 1
0,99 < 1
0,999 < 1
0,9999 < 1
o.s.v. Her er ulighedens kvantitet i hvert trin tilknyttet en faktor 10, og vil 1) asymptotisk ikke nå grænsen 1 eller 2) differentielt nå grænsen 1.

  • 0
  • 1

Matematikken (og jeg) er fløjtende ligeglade med besynderlige opdelinger som du finder på. Kvantitet og kvalitet har ikke noget med matematik og gøre og dermed ikke gangbare størrelser i en diskussion om tal. Du er tydeligvis komplet ubekendt med matematik efter 1870, hvilket i sig selv er fint nok; men pinligt i denne diskussion.

Mens du så læser op på konvergens og divergens, så HAR 0.888... en grænseværdi - den er 8/9. Tidligere i tråden er du allerede blevet fanget i at tro 0.888... nærmer sig 0.9, hvilket oplagt er forkert; men det betyder ikke at der ikke er konvergens. Der er vist en del der skal læses op på...

Du må for en god ordens skyld også læse op på, hvorfor det er dumt at antage at egenskaber på elementer i en følge kan overføres til en eventuel grænseværdi (dit 0.9 < 1; 0.99 < 1; 0.999 < 1 osv). Det gælder ikke! Et af de mest berømte eksempler er at summere differentiable funktioner: ikke blot findes der eksempler hvor grænseværdi funktionen ikke bare er ikke-differentiabel; der findes eksempler hvor grænseværdi funktionen er kontinuert men ikke-differentiabel i ethvert punkt.

Igen: jeg kan varmt anbefale at læse om matematikkens udvikling i modernismen; hvilket tydeligvis vil være førstegangslæsning for dig og så meget desto mere spændende!

  • 0
  • 0

Ok, Claus
Pinligt bliver det vel først hvis jeg påstår at være matematisk ekspert - det er jeg langt fra og betragter mig som begynder. I en tråd går det nogle gange lidt hastigt - 0,888... nærmer sig 0,9 hvor jeg mente 0,8/0,88/0,888/0,8888 o.s.v. nærmer sig 0,9, så lidt nybegynder er jeg nu heller ikke. Hvis jeg læser om grænseværdibegrebet, må du endelig læse om kvantitet/kvalitet som er overordnede betegnelser som selv matematikken må indordne sig. Men matematik er måske så selvrådig at stå uden for naturen, og at kunne klare sig uden kvantiteten - denne overordnede betegnelse for enhver "størrelse", en overordnet betegnelse hvilende på 4 kvantitetselementer der gennemsyrer al matematik.
Sådan ser matematik ud for en nybegynder som mig.

  • 0
  • 1

Nej 0,888.... nærmer sig aldrig 0,9, hvert nyt 8-tal laver sit eget hul på værdien 1 i sin række som ikke kan lukkes og ikke tilnærmes. rækken af 0,888... har ikke samme funktion indbygget som 0,999...

  • 1
  • 0

"Men matematik er måske så selvrådig at stå uden for naturen"
Ja. Modernismen skete indenfor mange områder - også matematikken. Groft sagt blev matematikken frigjort fra naturens snærende bånd sidst i 1800 tallet. Og hurra for det!

  • 0
  • 0

Matematikken blev "frigjort fra naturens snærende bånd".
Men det er i strid med min skærpede og særdeles nyttige definition, "Naturen er den overordnede betegnelse for det fuldstændig altomfattende".
Som et naturelement må matematikken se sig indordnet under dette element, under hvilket den kan udvikle sig dynamisk (foranderligt).
Men mange vil se matematikkens abstraktion som gjort af "en anden natur" end naturen, men det duer ikke for mig. Matematik står ikke over eller på anden vis udenfor naturen, men bøjer sig under min kvantitative firkløver.

  • 0
  • 1

@Kim Sahl,

== citat ==
0,99... = 0,999999............ (= gælder potentielt, men gælder ikke realiseret idet enhver realisering er endelig - med 0,99... er to 9'er realiseret og med 0,999999... er seks 9'er realiseret).
== slut citat ==

samt

== citat ==
0,9 < 1 0,99 < 1 0,999 < 1 0,9999 < 1 o.s.v.
== slut citat ==

Idet du benægter al matematik post Cauchy, Weierstrass og Riemann så lad os prøve din terminologi: hvad får dig til at tro at der gælder de samme regneregler for 'potentielle kvantiteter' som for 'realiserede kvantiteter'?

Hvordan vil du udtale dig om værdien af en 'potentiel kvantitet' (altså en grænseværdi) som 0.99... - den er jo ikke 'realiseret'? Hvordan kan du så konstatere at den er / ikke er lig med en 'realiseret kvantitet' som 1?

Det må du have gjort dig nogle tanker om.

  • 0
  • 0

Tak for links til "grænseværdi". Undskyld, jeg lige kaster et kort spørgsmål ind. Jeg spørger, fordi jeg ikke synes, linksne er helt tydelige om denne detalje, og fordi, jeg nogen gange synes, debatten indimellem viser lidt uenighed. At jeg SYNES dette, er givetvis min egen fejl, men alligevel vil jeg for egen klarheds skyld bede om et ganske kort svar.
Spørgsmål om grænseværdi:
Hvis man har en række, som konvergerer mod mod et tal eks: 0,999... , som konvergerer mod 1, er grænseværdien så 0,999... , eller er grænseværdien 1 ? (her ser vi helt bort fra spørgsmålet om hvorvidt de to ting er et og det samme) Tak. Steen

  • 0
  • 0

Er den uendelige række

1/2 +1/4 + 1/8 + 1/16 + …

konvergent eller divergent? Spørgsmål er helt centralt for forståelsen af Zenons paradoks. Forfatteren til Zenons paradox og hans samtid antog fejlagtigt at rækken er divergent. Derfor paradokset. Det var den franske matematiker Gregoire de Saint-Vecent (1584-1667) der redegjorde for rækkens konvergens.

Og grænseværdien er 1.

1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

@steen ørsted, i det tilfælde du nævner er grænseværdien 1, og rækken er 0.99...

Du kan tænke på det som "værdien for summen af rækken 9/10 + 9/10^2 + 9/10^3 + ... + 9/10^N i grænsen N gående mod uendelig."

  • 0
  • 0

Troels, vil have en flanke åbnet vedr. potentiel/realiseret matematik - det er nok for voldsomt for tråden, hvor der er ligeligt at tage fat på. Jeg kommenterer lidt af hvert.

  • 0
  • 1

Zenon. Hans bevægelsesparadoks består i at en matematisk divergens (A/2, A/4, A/8, A/16 ...) dikterer bevægelsens umulighed vs den fysiske emperi, bevægelsens mulighed. Grundlæggende mener vi ikke at naturen kan være i strid med sig selv (bevægelse er mulig/bevægelse er umulig), og denne naturstridighed benævnes så et paradoks. Et paradoks stirrer på os og siger "løs mig", gør mig fri af de menneskesnærende bånd.

  • 0
  • 1

Når divergensen (A/2, A/4, A/8 ...) ombyttes med en konvergens, er paradokset løst: Bevægelse er mulig.
Men sprogligt og m.h.t. fysisk bevægelse, kan vi pege på en ganske anden løsning - en løsning befriet for al smartness, en løsning der ender ud i min bevægelsesdefinition (kaldt det glade vanvid, fordi lysets bevægelse reduceres fra en universel konstant til et banalt fysisk fænomen).
Hvorvidt vi behandler bevægelsesemnet matematisk, er den fysisk mulig fordi: Bevægelse kan måles. Derfor bliver man nødt til at indrette matematikken så den kan rumme denne bevægelse. Emperien står over matematikken

  • 0
  • 1

Tallet 1 er et element stammende fra et uendeligt kvantitetspotentiale. Elementet er sig selv lig (1 = 1), og er kvantitativt identisk med forskellige elementer større eller mindre end 1:
Brøkregning. 1/2+1/2 = 1 og 4/3 - 1/3 = 1
Decimalregning. 0,5+0,5 = 1 og 4,7 - 3,7 = 1

Vi har (1/3+1/3+1/3) = (3/3), og (1/3)+(1/3)+(1/3) = 0,333...+ 0,333... 0,333... =>
1) 3/3 = 1
2) 0,333...+ 0,333...+ 0,333... = 0,999...
Så langt må alle være enige. Videre må vi spørge om hvilken kvantitet 0,333... repræsenterer/symboliserer.
0,333... er sig selv lig, men er kvantiteten også lig 1/3 - i så fald er 0,333...+ 0,333...+ 0,333... = 1 (en konsekvens af ovenstående 1/3 + 1/3 + 1/3 = 1).
0,333... angiver en uendelig kvantitet, og 1/3 er en opgave bestående af to kvantiteter adskilt af en divisionsoperation. Først når opgaven udregnes reduceres den til een kvantitet.

  • 0
  • 1

Troels, håbede at du ikke opdagede flankens svaghed.
Vi nåede til at
1) 1/3+1/3+1/3 = 1
2) 0,333... + 0,333 + 0,333... = 0,999...
Hvis 1) = 2), er forudsætningen at 1/3 = 0,333...
Er 1/3 = 0,333... ? Heri er omtrent hele grænseværdiemnet koncentreret.

  • 0
  • 0

Vi har 1/2 = 0,5 - det er alle enige i - men er 1/3 = 0,333... udtrykker de to sider af lighedstegnet en og samme kvantitet (lighedstegnets 100 % sandhed forlanger samme kvantitet), eller er 0,333... bare det "bedste" decimale bud på en kvantitet ved 1/3 udregnet?
Her tvinges vi af omstændighederne til at tage stilling til potentiel/realiseret matematik, idet 0,333... som en uendelig kvantitet har andre egenskaber end f.eks. tallet 2 som er en endelig kvantitet og dermed besidder den endelige kvantitets egenskaber.

  • 0
  • 1

=== citat ===
0,333... angiver en uendelig kvantitet, og 1/3 er en opgave bestående af to kvantiteter adskilt af en divisionsoperation. Først når opgaven udregnes reduceres den til een kvantitet.
=== citat slut ===

Hvorfor denne skelnen mellem opgaver og tal?? Vi snakker om analyse, ikke færdighedsregning fra 1. klasse. Jeg tror det var cirka heromkring jeg gav op sidst vi diskuterede.

Kim - læs en bog. Jeg anbefaler http://www.saxo.com/dk/principles-of-mathe...

  • 0
  • 0

En af wikis hotelhistorier indeholder en skævert, "Hvad gør en ny gæst ved ankomsten til et hotel (uendelig mange værelser) hvor alt er optaget".
Da hotellet huser uendelig mange gæster, vil der ikke kunne ankomme en "ny" gæst - alle gæster er allerede under tag.


Selvfølgelig kan der ankomme en ny gæst og der er plads til ham, selv om alt er optaget. Det er det der karakteriserer det uendelige.

  • 0
  • 0

Troels, vi dumper ned i en 1.klasse hvor der med en forkølelsepedemi er 3 drenge (A, B, C) tilbage til at dele en lagkage. Børn i den alder er meget nøjeregnende - så kagen skal skæres præcist ud. Læreren vil benytte lejligheden til lidt pædagogik, og skærer det første stykke ud som 1/3 og A er tilfreds. Nu siger læreren at 1/3 = 0,333.. og B og C udbeder sig bevis herfor.
Der knivangives potentielt et cut på 0,3 i C favør (B er utilfreds), og potentialecuttet flyttes nu - tvunget af omstændighederne - til 0,4 (nu er C utilfreds/B er tilfreds).
Læreren får sved på panden, der knivangives potentielt 0,33 - så 0,333 - så 0,3333. Det bliver en udholdenhedsprøve, et år senere er de kommet til cutpotentialet (lagkagen er ikke delt) 0,3333333333333
og læreren tilbyder nu en integration med grænsen 1/3, hvilket C er tilfreds med da han som en kvik dreng kan se den konvergente egenskab tilknyttet lærerens tilbud. B er ikke tilfreds og mener at en grænsetilnærmelse er divergent idet hver nyt potententiale er tilknyttet en faktor 10, idet han henviser til de mange potentialer i det sidste års tid, og tilføjer at det ikke nytter at fortsætte: Han medgiver at retfærdigheden bestandig øges, men en tilnærmet retfærdighed er ikke lig retfærdighed. B har en trumf i ærmet: Zenon. Vi kan potentielt dele i en uendelighed, uden at delingen er retfærdig. B har Kim Sahls bevægelseslære med (der siger at en distance D kun kan gennemrejses i eet skridt). Hverken læreren eller C forstår et muk af det hele, men lader kagen dele ved den refærdige 1/3 til B og 1/3 til C. (B og C er tilfredse).
Bagefter spekulerer læreren over om hans integration ikke også ville have været retfærdig.

  • 0
  • 2

Hvis et potentiale 0,99... hævdes at omfatte uendelig mange decimaler - ville det sikre være at tjekke påstanden, at rejse ud og tælle efter.
Men en sådan rejse forudsætter noget at tælle (de uendelig mange 9 taller). Tælle, er en kvantitativ endelig realiseringsproces.
Et talpotentiale x (f.eks. 0,99...) er IKKE identisk med at disse mange 9 taller er "derude" et eller andet sted, noget vi som en strandmusling kan tage på en tur og finde: De mange 9 taller findes ikke realiseret som strandmuslingen, men de findes som et potentiale hvilket nævnte strandmusling ikke gør idet den er realiseret. 0,99... er en mulighed der ikke kan realiseres. Uendelig mange 9 taller har aldrig set "dagens lys", men er et potentielt mørke. 9 taller opnår først eksistens når de (på baggrund af x) realiseres. Har vi opgaven 2 * 4,5 er den først identisk med realiseringen 9, når beregningen i et "nu" realiseres - udfra x. Nu er opgaven tidl. foretaget (mange gange) så beregningen (to gange fem er ti, en i mente o.s.v.) kan så ved hjælp af hukommelsen overspringes. Men en opgave der aldrig er udregnet, skal altid realiseres ud fra x.

  • 0
  • 1

0,99... eksisterer ikke realiseret. 0,99... eksisterer som et potentiale, et potentiale der ikke er identisk med uendelig mange 9 taller - men eksisterer som en mulighed for disse mange tal, en mulighed der ikke kan realiseres. Men hvad skal vi så med dette potentiale hvis det ikke kan realiseres: Udvikles der en regnekraft større/hurtigere end man nu kan forestille sig, og en googol bliver et sølle begreb, er et uendeligt talpotentiale nu meget rart at have i baghånden.
De matematiske funktioner ligger heller ikke derude og venter på deres opdagelse, men er potentialer der ser dagens lys ved deres realisering.
Ja matematikken selv er potentiel, indtil nogen/noget gider at ulejlige sig dets realisering.
Det er forholdet ml. potentiale/realisering der er matematikkens grundlag, hvor kvantitet og kvalitet er helt nødvendige begreber for beskrivelsen af matematikkens egenskaber.

  • 0
  • 1

Troels, som du kan se er det en tung flanke vi fik åbnet - og har fået flere til at opgive emnet om de matematiske potentialer/realiseringer.
Så det bliver nok kun et lille overfladisk kig ind i denne forunderlige verden, og vi springer tilbage hvor 0,99... er lige "så virkelig som alle andre tal".

  • 0
  • 0

Kl. 12 skriver vi et 9tal. 30 sekunder efter skriver vi et til. !5 sekunder efter nok et nital og 7 et halvt sekund efter endnu et, og efter det mønster, bliver vi ved med at sætte farten op. Til sidst får vi lidt travlt, men pyt. Efter et minut er vi heldigvis færdige, og har skrevet uendelig mange 9taller. Herefter vil det ikke være muligt at skrive flere 9taller lige meget, hvor meget, vi prøver.
Eks 2: Vi har en hjul på en aksel med en omdrejningstæller. Vi lader hjulet køre en omdrejning på et halvt minut. Næste omdrejning tager et kvart minut, og hver ny omgang tager den halve tid. Efter et minut har hjulet drejet uendelig mange gange rundt, og herefter er det umuligt, at det kan dreje flere omgange. Men hvis man nu drejer det med håndkraft, kunne man så ikke få det bare én enkelt gang mere rundt ? Steen

  • 0
  • 0

@ Anders: Som jeg ser det, er der en sammenhængende konsekvens og logik i Kims system. Jeg kan i hvert fald ikke få øje på nogen ulogik nogen steder, og jeg opfatter hans bestræbelser som et forsøg få at få orden i sagerne og synes sagtens, jeg kan følge ham. At det så er irriterende, at han ikke accepterer en realiseret uendelighed (det gør jeg indtil videre heller ikke), kan jeg godt forstå, hvis der er en almen konsensus om en sådan på det matematisle bjerg. Som sagt før, har jeg mere respekt for Klods Hans, der tænker selv, end hans to kloge brødre, hvor den ene kunne kvantemekanikken forfra og bagfra, og den anden kunne citere hele differentialregnebogen udenad. I øvrigt er flere ting i naturen opbygget efter matematiske formler: eks: Solsikkeblomstens kernehusarrangement, nautilmuslingen (samme formel som det gyldne snit) og meget mere, ligesom dyr også har en vis tal og mængde forståelse.
Om den realisere uendelighed: 1) Alle nitallerne er der bare. Vi skal ikke skrive dem op, og derfor kan vi bare sige, at 0,999... under forudsætning af denne præmis er en anden måde, at skrive 1 på. Det forstår jeg, er dit synspunkt, ellers korriger mig.
1) Ligeledes mener du, at der er uendelig mange tal mellem 0 og 1. Man behøver ikke at skrive dem.
2) Og på samme måde mener du, at en afstand - løbebane -, (må jeg gå ud fra), i princippet har uendelig mange delepunkter. Man behøver ikke at afmærke dem "korporligt", fordi de steder (koordinater), hvor man ville have sat mærkerne er der, selvom mærkerne ikke er anbragt fysisk.
Sådan har jeg forstået din og de fleste andre matematikeres måde at se på tingene på, og kunne godt tænke mig en kort diskussion med dig om det ud fra en helt anden vinkel end Kims, men jeg må først lige vide, om du principielt er enig i det, jeg har skrevet.
Hvis du ikke vil, vil jeg bede en anden matematiker om at tage den. Det handler bare om, at få klarhed på nogle ting. Steen

  • 0
  • 0

@Kim
@Steen
@Alle andre matematiske tosser

Følgende uendelige række kaldes Grandis række som bl.a Euler betragtede:

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Prøv og kom med løsningsforslag til en sum.

Det er tilladt at sætte parenteser.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

@Steen
Du bliver nød til at forstå, at matematik som sådan ikke er noget der befinder sig i naturen. Jo, hvis man tæller menneskelige tanker med som en del af naturen, så er matematik også en del af naturen, selvfølgelig. Matematik er opfundet af mennesker, og bruges til at beskrive naturen, men naturener stadig sin egen.

"I øvrigt er flere ting i naturen opbygget efter matematiske formler: eks: Solsikkeblomstens kernehusarrangement, nautilmuslingen (samme formel som det gyldne snit) og meget mere, ligesom dyr også har en vis tal og mængde forståelse."

Nej! tingene er ikke opbygget efter matematiske formler, men vi har lært at beskrive dem vha. matematiske formler.

Det giver ikke mening at forsøge at vise at 0,999... ikke er lig med 1! Hvis dette ikke var tilfældet ville vores matematiske beskrivelse af naturen ikke længere passe, og paradokset med grækeren og skilpadden ville pludselig være en realitet.

Uendelig er et begreb! Et begreb der indbefatter at du altid kan lægge en til, trække en fra, dividere en gang mere, eller multiplicere en gang mere. Det er ikke sikkert du kan det i den virkelige verden, men i matematikken kan du, fordi matematik ikke er begrænset af virkeligheden, men kun af vores forestillingsevne. Det er ret nemt at forestille sig et uendelig antal tal mellem 0 og 1. Tal betyder som bekendt ikke noget med mindre du sætter en enhed på, så du bruger bare de normale regneregler og siger: 1/2+1/3 +1/n og lader n gå mod uendelig!
Til dit eksempel med løbebanen, så vil antallet af punkter nok være afgjort af antallet af atomer. Hvis man derimod tager rummet imellem hvert atom med ind i billedet og antager at det er tomt, så kan man vha. matematik sagtens forestille sig et uendeligt antal punkter. Men du bliver nød til at sige at de konvergerer fordi ellers så har vi paradokset med grækeren og skilpadden igen.

  • 0
  • 0

=== citat ===
Som sagt før, har jeg mere respekt for Klods Hans, der tænker selv, end hans to kloge brødre, hvor den ene kunne kvantemekanikken forfra og bagfra, og den anden kunne citere hele differentialregnebogen udenad.
=== citat slut===

Hvem siger at de to brødre ikke tænker selv? ;-) Dermed ikke sagt at jeg kan hverken al differentialregning eller kvantemekanik udenad.

Hvordan ligger det med respekten for en uuddannet person der gladeligt forkaster den samlede menneskeheds resultater fra ca. 2400 års matematikstudier, tilsyneladende fordi resultaterne er svære at forstå?

Jeg mener ordet 'crackpot' er 99.999...% dækkende; lad mig citere Konfutse:

»He who learns but does not think, is lost. He who thinks but does not learn is in great danger.«

  • 0
  • 0

=== citat ===
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

Prøv og kom med løsningsforslag til en sum.
=== citat slut ===

1 - (1 + 1) - (1+1) - ... = 1 - 2 - 2 - ... = -inf, og
(1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) = 0 + 0 + 0 + ... = 0.

Rækken ses dermed at være divergent (i moderne matematisk forstand), ganske enkelt fordi den ikke konvergerer mod noget fast tal. http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathe...

  • 0
  • 0

@ Peter. Noget uendeligt lader sig ikke addere.
@ Adam. Tak for svar. Du skriver : Hvis ikke 0,999... er lig 1, kunne vi ikke beskrive naturen, og skildpaddeproblemet ville være en realitet. Uenig i det sidste (det første kan jeg ikke gennemskue). Zenons paradokser er ikke reelle. Ikke fordi uendeligheden kan realiseres, så reststykket skrumper til 0, men fordi en opdeling af en bevægelse er noget fiktivt. Det er den fordi de delepunkter, der deler en afstand, er uden udstrækning. Den ene del, støder uden afbrydelse (afstand) op til den næste. Så både afstand og gennemløb er udelte og kontinuerlige, og da det er muligt at komme gennem en endelig afstand (fra A til B) på endelig tid, er der ingen problem.
Banen er kontinuerlig. Helt anderledes med delepunkterne. De vil altid være adskilte - med afstand imellem (diskrete), og det betyder, at du har uret, når du siger, at det er let at forestille sig et uendeligt antal (uendelig er ikke et antal) punkter mellem A og B. Det er det ikke, og det er heller ikke tilladt af logiske grunde. Et gennemført uendeligt antal punkter ville betyde, at de lå så tæt, at de rørte ved hinanden, men det er umuligt, hvis de ikke har samme koordinat (husk, det er punkter uden udstrækning, vi taler om), og det ville betyde, at en afstand (eller snor) består af dele uden udstrækning, og sådan forholder det sig ikke. På et tidspunkt spurgte Anders mig, hvorfor jeg mente, det var ulogisk at mene, at 0 gange ue. var 1. Jeg må indrømme, jeg blev ham svar skyldig, og der blev helt stille i mit hoved.
Det samme med antal tal mellem 1 og 2. Her må man heller ikke forestille sig et uendeligt antal. Det ville betyde, at mindsteafstanden mellem to forskellige tal var 0, og det kan den ikke være, for det ville betyde, at denne mindsteafstand lagt ved siden af sig selv ue. mange gange ville blive 1,
Når vi ikke kan have ue. mange tal eller punkter inden for noget endeligt. Hvad kan vi så have ? Vi kan have et vilkårlig stort antal. Et antal, der kan være lige så stort, det overhovedet skal være. Der er slet ingen grænse, ligesom der slet ikke er nogen grænse for hvor små, de resulterende dele eller tal kan være.
Men når antallet kan være fuldstændig grænseløst, hvilken forskel er der så på udtrykket "vilkårlig (grænseløst) stort" og "uendeligt". Der er den helt afgørende forskel, at under den første betegnelse, forbliver vi i al evighed inden for talrækken og endeligheden, og de resulterende dele forsvinder aldrig helt, mens vi under den sidste betegnelse forlader tallenes verden og bevæger os ind i en trylleverden, som medfører ovennævnte ulogik.
Zenons løber Akilleus løb gennem et endeligt vilkårlig stort antal vilkårlig små dele alle med udstrækning, og det kan man sagtens gøre på endelig tid. Og især fordi det at flytte sig fra A til B ikke har noget med en fiktiv opdeling, foretaget med punkter uden udstrækning, at gøre.
P.S. I øvrigt mener jeg udtrykket "går mod uendeligt" er logisk forkert, jeg kan bedre forlige mig, med noget, der går mod 0, selvom det aldrig helt bliver 0.
Jeg kan sagtens acceptere at nogle kan vedtage, at to forskellige notationer kan betyde det samme, men så må de også acceptere, at vi andre synes, at deres notation er udtryk for en bare uendelig lille ulogik. Her kan jeg lige høre Anders : "Netop. uendelig lille er 0, og derfor har du lige givet udtryk for, at der er 0 ulogik", men det er jo dét, jeg ikke er helt enig i. Uendelig lille er ikke 0, men mindre end ethvert konkret fastlagt tal. Og husk, at der efter alt, jeg har skrevet står, MENER JEG LIGE FOR TIDEN med usynligt blæk. Steen

  • 0
  • 0

=== citat ===
[...] det betyder, at du har uret, når du siger, at det er let at forestille sig et uendeligt antal (uendelig er ikke et antal) punkter mellem A og B. Det er det ikke, og det er heller ikke tilladt af logiske grunde.
=== citat slut ===

Kontstruktion af et tælleligt uendeligt antal punkter {Pn} mellem A og B (antager det er et reelt interval og A < B); sæt d1 = B-A:

Pn = A + d1/n for n et naturligt tal fra og med 2.

=== citat ===
Et gennemført uendeligt antal punkter ville betyde, at de lå så tæt, at de rørte ved hinanden, men det er umuligt, hvis de ikke har samme koordinat (husk, det er punkter uden udstrækning, vi taler om), og det ville betyde, at en afstand (eller snor) består af dele uden udstrækning, og sådan forholder det sig ikke.
=== citat slut ===

Kontstruktion af et tælleligt uendeligt antal punkter {Pk} mellem Pn og P(n+1); sæt d2 = P(n+1) - Pn:

Pk = Pn + d2/n for n et naturligt tal fra og med 2.

  • 0
  • 0

=== citat ===
Når vi ikke kan have ue. mange tal eller punkter inden for noget endeligt. Hvad kan vi så have ? Vi kan have et vilkårlig stort antal. Et antal, der kan være lige så stort, det overhovedet skal være.
=== citat slut ===

... det er netop definitionen på uendeligt: vilkårligt stort, uden øvre grænse.

  • 0
  • 0

@ Thomas: Undskyld, jeg overså dine regnestykker ovenfor. Jeg forstår det ikke og slet ikke, hvordan de skaber uendelig mange TÆLLELIGE punkter. Det tror jeg ikke på. Men vilkårlig store tal, tror jeg på, sålænge, de er at finde på tallinjen, hvor uendeligheden ikke har sin gang. Steen

  • 0
  • 0

=== citat ===
Hej Troels, ja det mener jeg også. men forskellen på vilkårlig (grænseløst) stor og så det magiske begreb uendelig, synes jeg er, at hvis vi "kan nøjes med" det vilkårlig store, forlader vi ALDRIG endeligheden, og så vil forskellen på 0,999... og 1 ikke være helt 0, men kun meget tæt på.
=== citat slut ===

Prøv at se hvordan man definerer grænseværdien af en sum, ligning 3 fra oven: http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathe...

Den diskussion du er ude i har voldt matematikere mange problemer gennem tiden, men diskussionen ophørte da man definerede summen af en uendelig række som en GRÆNSEVÆRDI. Vi behøver altså ikke lægge uendeligt mange tal sammen, men forholder os til hvorvidt "vi kan komme vilkårligt tæt på" et eller andet - kan vi det, så kalder vi det tal for rækkens sum.

  • 0
  • 0

Steen,
a = b + c, hvor a = 1/3, b = en (realiserbar) endelig kvantitet og c = en (potentiel) uendelig kvantitet.
Så kører vi,
b = 0,3 og c = 1/3 - 0,3 (= 0,0333...)
b = 0,33 og c = 1/3 - 0,33 (= 0,00333...)
b = 0,333 og c = 1/3 - 0,333 (= 0,000333...)
b = 0,3333 og c = 1/3 - 0,3333 (=0,0000333...)
Jeg har ikke teknisk så meget taletid, men opstillingen bør du studere nøje.

  • 0
  • 1

@ Troels. Tak for tålmodighed. Hvis det bare er, som du siger, tror jeg godt, jeg kan være med et meget langt stykke af vejen. Jeg vil gerne være med til, at vi ved at lade n blive vilkårligt stort (jeg accepterer ikke, at n går mod uendeligt), kan komme vilkårligt tæt på grænseværdien. Og jeg accepterer også, at vi af praktiske grunde ikke skelner mellem summen af en vilkårligt lang serie og grænseværdien (summen af noget uendeligt er noget vrøvl), da det er det eneste praktiske. Og hvis den kunne lande dér, havde jeg ingen forbehold. Men jeg er ikke sikker på, at alle herinde ville være enige, For forskellen på seriens sum og grænseværdien påstås at være ABSOLUT OG NØJAGTIGT INGENTING. Og her deler vandene sig, for denne påstand, kræver, at vi påkalder os den realiserede uendelighed, som vi ikke engang i tankerne kan påkalde os, uden at det medfører logiske problemer som f.eks at en snor består af uendelig mange dele uden udstrækning.
Men at der i det praktiske matematiske arbejde absolut ikke er grund til at skelne mellem en series sum og grænseværdi, vil jeg gerne skrive under på.
@ Kurt. Hvor er det bare smukt, men passer det ?
@ Kim Jeg forstår ikke helt, hvad der er din pointe. Jeg ved godt, at flere decimaler bringer os tættere på sandheden. Er det dét ? Steen

  • 0
  • 0

@Steen. Jeg kan ikke bevise det, men den døde fysik har hvis ikke vist eksempler på at den vælger en vej med mere modstand. den levende fysik er lidt mere svær at gennemskue, især når man selv er en del af det der skal gennemskues.

  • 0
  • 0

Steen, vi skal bemærke at jo større realiseringen b bliver jo mindre bliver potentialet c.
Da c potentielt omfatter uendelig mange tretaller (... symboliseret), vil c bestandig > 0, og b bestandig være < 0,333... idet a = b + c
Decimalt er 1/3 derfor lig en realiseret kvantitet b adderet med en potentiel kvantitet c.
I f.eks. 0,3333... er 0,3333 = b og ... = c (= 0,0000333...).

  • 0
  • 0

Kurt, fysik kan vel ikke dø (idet den så må omfatte negationen liv), men er den overordnede betegnelse for det livløse.
For et par år siden skrev jeg, "Naturen er uhyre simpel og uhyre kompleks, hvorfor der både er plads til den enfoldige og geniet".
I dette interval befinder naturen sig.

  • 0
  • 0

7 er et primtal (1 ciffer)
727 er et primtal (3 ciffre)
72727 er et primtal (5 ciffre)
727272727 er et primtal (9 ciffre)
72727272727272727 er et primtal (17 ciffre)
7272727272727272727272727… 72727 er et primtal (99 ciffre)

...eller alternativt denne smukke palindromiske primtalspyramide (hvis den vises korrekt)

                                          2  
                                     30203  
                                133020331  
                           1713302033171  
                      12171330203317121  
                  151217133020331712151  
              1815121713302033171215181  
          16181512171330203317121518161  
     331618151217133020331712151816133  
9333161815121713302033171215181613339  

11933316181512171330203317121518161333911

Beklager. Den smukke geometri går tabt.

Hvor vises det skrevne ikke med samme typografi, som det er indtastet i ?

  • 0
  • 0

nu med forhåbentlig korrekt geometri

____________________2____________________
__________________30203__________________
________________133020331________________
______________1713302033171______________
____________12171330203317121____________
__________151217133020331712151__________
________1815121713302033171215181________
______16181512171330203317121518161______
X___331618151217133020331712151816133___X
X_9333161815121713302033171215181613339_X
11933316181512171330203317121518161333911

Bingo. Uden X fremstår næstsidste linie med fed skrift !?

  • 1
  • 0

@Troels

Når du sætter minus parentes i Grandis række så husk at der skal vendes fortegn inde i parentesen. Lidt pedantisk men sådan er aritmetik og matematik jo også. Jeg er dog enig i hovedkonklusionen, at Grandis række er divergent.

@Steen

Du skriver ”Noget uendeligt lader sig ikke addere”. Jeg ved ikke præcist hvad du mener? Men en uendelig sumrække kan godt adderes. Gør mad det rent praktisk ved at adderer hvert enkelt led, bliver man selvfølgeligt aldrig færdig, i hvert fald ikke på denne side af dommedag. Men værktøjet findes i den matematiske værktøjskasse. Grænseværdi, integralregning o.s.v.

Jeg mener i øvrigt at når man anvender notationen … så har man i princippet foretaget grænseovergangen.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

@ Kim. Ja tallene ændrer sig, og kommer tættere på, men realiseringen går ikke mod uendeligt (det er der ikke noget, der gør trinvis), og potentialet forbliver lige uendeligt. Den eneste måde, vi kan nå ind i uendeligheden på, er ved at PÅSTÅ den. Vi siger: Der ER uendelig mange nitaller, og derfor ER det det samme som 1, eller banen ER delt i uendelig mange dele, og derfor ER reststykket skrumpet ind til 0, og det kan sikkert ikke modbevises, men påstanden om uendeligheden er ikke uden logiske omkostninger. Forestil dig, at ALLE en løbebanes dele er delt op i uendelig mange dele, og se for dit indre blik to af disse punkter, der ligger side om side og støder op til hinanden. Deres udstrækning er 0, og hvis ikke der skal være afstand imellem dem, må de nødvendigvis smelte sammen til samme punkt uden udstrækning. Det samme gælder alle de andre udstrækningsløse dele. De forsvinder i et og samme udstrækningsløse punkt (hvis der ikke må være afstand med udstrækning imellem dem.
Jeg har følgende løsninger på Zenns paradoks:
1) Banen og løbet er i realiteten udelt/kontinuerlig. Delepunkterne er uden udstrækning og eksisterer som sådan ikke (kun som abstraktioner). Det hele er jævnt og uden afbræk. Zenons idé om de uendelig mange dele, der ikke kunne gennemløbes på endelig tid, er defor forkert. I stedet gælder det helt almindelige, at en endelig bane (eller del af en bane) kan gennemløbes på endelig tid. Gennemløbets tid hænger direkte sammen med banens længde.
2) Om dele: En afstand A - B kan ikke VÆRE eller blive delt i uendelig mange dele, Men antallet kan være vilkårlig stort alt efter hvor små dele, man vælger at kigge på (som beskrevet ovenfor). Det betyder, at HVER ENESTE del på banen, MAN NOGENSINDE VIL KUNNE PRODUCERE også bare i tankerne må og vil udtrykke endelighed. Mostandere vil sige: Dette gælder kun, så længe, vi ikke har ført delingen igennem ned til 0. Til dette er at sige: Man kan ikke engang i tankerne føre en deling igennem ned til 0 (uden at blive skør). Modstandere vil sige: Men Akilleus KOM jo frem til mål ikke ved hjælp af påstande, men i praksis. hvorved den sidste del blev til 0. Til dette er at sige: Akilleus løb delte ikke banen op i noget somhelst. Se 1) Spekulationer om dele er en ganske anden sag, og her gælder, alle dele på banen vil altid udtrykke ENDELIGHED (uanset, hvor små, delene er). Målsituationen er i en helt anden kategori. Bane er ét, mål er noget
andet.
Om 9-taller gælder det samme: Det hedder i et af beviserne: 0,999... er 1 fordi: Der findes ikke et tal, der er lille nok til at blive klemt ind imellem 0.999. og 1. Til det er der at sige to ting: Når man siger 0,999... påkalder man sig noget, man muligvis ikke har mandat til at påkalde sig - nemlig uendeligheden. Det andet er, at hvert eneste af de uendelig mange 9-taller udtrykker endelighed. Ikke ét kan gå fri. Så ligesom, jeg før sagde, at banen er i én kategori - målet i en anden gælder det, at 9-tallerne er i én kategori (den endelige), 1 (målet) er i en anden. 9-tallerne er derfor ikke det samme som 1.

Dele af ovenstående kalder selvfølgelig på modsigelse (også i mig selv), men det er jo sjovt, og jeg kan ikke komme det nærmere, og selvfølgelig anerkender jeg matematikeres ret til at bruge grænseværdier som endeligt resultat. Dét ville jeg til enhver tid gøre, hvis jeg var matematiker, fordi vi ikke kan komme det nærmere, men i en uendelig krakilsk diskussion ved jeg ikke helt, hvad jeg ville gøre.

@Kurt. Liv og død: Der findes jo spredende uordenskabende tendenser i det døde, og samlende ordensskabende principper i det levende. Men det levende er jo i sin tid opstået af noget dødt - hvis man tror på det (jeg gør ikke). Det levende skaber jo også under afbrænding af energi uorden og spredning eks: afføring og legetøj i børneværelset. Og tyngdekraften er jo (skønt død) en samlende (ordnende?) kraft. Og hvad vil jeg så med det ? Det ved jeg da ikke.
Steen

P.S: Er der nogen, der ved, hvordan, man gør linierne så korte, at billedet ikke hele tiden skal flyttes, uden at det bliver så småt, at man ikke kan læse det ? (jeg er ikke synshæmmet)

  • 0
  • 0

=== citat ===
@Troels

Når du sætter minus parentes i Grandis række så husk at der skal vendes fortegn inde i parentesen. Lidt pedantisk men sådan er aritmetik og matematik jo også. Jeg er dog enig i hovedkonklusionen, at Grandis række er divergent.
=== citat slut ===

versus

=== citerer sig selv ===
1 - 1 + 1 - 1 + ... =
1 - (1 + 1) - (1+1) - ... = 1 - 2 - 2 - ... = -inf
=== citerer sig selv slut ===

Ja, den var vist ikke helt god ;-) Og nej, det er overhovedet ikke pedantisk at påpege dårlig matematik.

  • 0
  • 0

@steen,

=== citat ===
Jeg vil gerne være med til, at vi ved at lade n blive vilkårligt stort (jeg accepterer ikke, at n går mod uendeligt)
=== citat slut ===

At lade n gå mod uendelig betyder blot at vi lader n vokse uden øvre grænse.

=== citat ===
Men jeg er ikke sikker på, at alle herinde ville være enige, For forskellen på seriens sum og grænseværdien påstås at være ABSOLUT OG NØJAGTIGT INGENTING.
=== citat slut ===

Seriens sum DEFINERES som en grænseværdi: http://tinypic.com/view.php?pic=mhasjq&s=6

Jeg tror det der mudrer diskussionen er, at matematikere har en tendens til at springe definitionen i overnstående over og gå direkte til lighedstegnet - det opfattes som underforstået.

  • 0
  • 0

Troels,
Du nævner at n vokser uden øvre grænse - er det ok at kalde n en kvantitet, derved har du en kvantitet (en "størrelse") der vokser uden
øvre grænse: Et tal kan ikke vokse, et stort eller lille ettal er uden mening (når en dommer mundtlig afgiver et "stort" 10 tal, menes der måske 10,7 - en karakter der ikke figurerer i karaktervejledningen).
Det geometriske pi kan ikke vokse, den er en konstant uafhængig af en aktuel angivet cirkels kvantitet.
Decimalt kan pi vokse,
1) potentielt uendeligt
2) realiseret endeligt

  • 0
  • 0

Kim, kan den Salhske matematik ikke rumme ideen om forskellen mellem konstanter og variable?

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Realiseret må pi være decimalt divergerende, men være tilknyttet en potentiel konvergens.
Men det giver rynker i panden.
Og det hele handler om en ofte lille "rest" der ikke så nemt lader sig mane i jorden: Læste en artikel om 1/3, hvor en decimalangivelse som 0,33333333333333333333333333 " må betragtes som værende så tæt på 1/3, at et lighedstegn mellem de to er fuldt ud gyldig".
Er vi ovre i den boldgade forsvinder alle problemer tilsyneladende, tilsyneladende idet problemerne nu blot har fået et andet navn: Smartness.

  • 0
  • 0

Peter, du tænker på konstanten geometri-pi vs det varierende decimal-pi. Her er som nævnt en forskel.

  • 0
  • 0

Steen, du udtrykker det måske ikke helt klart, men du har overordnet efter min mening helt ret: En distance D = IABI der gennemrejses er ikke fysisk tilknyttet nogle delepunkter, IABI kan derfor kun gennemrejses i eet spring - springet fra A til B! Zenons delinger eller integrering er ikke relevant matematik for denne bevægelse.
Anbefaler at lytte til Troels, selv om i ikke er enige.
Har selv læst en del om uendeligheder, og ser ingen anden udvej end at starte forfra - men uden at kassere alt arvesølv, og restaureringen af uendeligheden skal så ske militaristisk hårdt og der skal slås hårdt ned på ethvert navlepilleri.
Som med al anden Grundforskning (med stort G), startes med naturens grundlæggende egenskaber - egenskaber som også matematikken må
føje sig under, egenskaber der udstikker rammerne inden for hvilke der kan udfolde sig et rigt naturkvantitativt liv.
En proffessor skrev til mig, "Alt er i den skønneste orden", men naturvidenskaben er ikke realiseret i den skønneste orden, det er den derimod potentielt.

  • 0
  • 0

Cantors diagonal argument.

Cantors diagonal bevis er et modstridsbevis. Da jeg selv forstod beviset myldrede det frem med tal inde i mit hoved. Jeg kan kun opfordre til at læse beviset som er enkelt, smukt og til at forstå. Man opskriver alle kendte uendelige decimalbrøker mellem 0 og 1, således at der står en decimalbrøk på hver horisontal række i en vertikal kolonne. Der er altså uendelige mange decimaler horisontalt og der er uendelig mange forskellige tal i den vertikale kolonne. Så har man opskrevet alle tal mellem 0 og 1.

Spørgsmålet er om der findes endnu et tal mellem 0 og 1, gør der det er antagelsen om at man har opskrevet alle tal jo forkert.

For at vise at det forholder sig således så Cantor på diagonalen i decimalbrøkerne således: første ciffer efter kommaet i det første tal omkodes til et andet tal som skrives nederst under kolonnen. Det samme gør man med andet ciffer i tal nummer 2 og så fremdeles. Det nye tal man har kodet er forskelligt fra alle de andre tal i kolonnen idet det er forskelligt fra tal nummer 1 og det er forskelligt fra tal nummer 2 og så videre. Der findes altså mange mange flere reelle tal end der er rationelle, og de rationelle tal er der jo uendelig mange af.

Det betyder at der er forskel på uendeligheder og Cantor bruger selv ordet mægtighed om forskellen på den uendelig mængde af rationale tal og de den uendelige mængde af reelle tal. Man kan også sige at de reelle tal har en højere kardinalitet.

Over for Gud er vi alle lige, men det er samtidigt klart at der er funktionel forskel på degnen, diakonen og kardinalen som henholdsvis præstens hjælper, bispens hjælper og pavens hjælper.

For at forstå at der er rigtigt mange flere reelle tal og deres natur på tal linien er væsentlig forskellig fra tallene på den rationelle tal linie, vil jeg forsøge med følgende analogi: betragtes elementet vand i dampform med noget rigtigt skrapt optik, kan man tælle de enkelte damp molekyler som er adskilte. Det svare til de rationelle tal som altså kan tælles (fordi de er adskilte). Fortættes damp molekylerne til vand udgør elementet et kontinuum, det er ikke længere muligt at tælle de enkelte vandmolekyler (fordi de ikke er adskilte), vand fasen svare de reelle tal som altså er overtællelige. Jeg mener virkeligt at tallene på den reelle tallinie er fortættede. Og tallene er simpelthen flydt sammen.

  • 0
  • 0

vand fasen svare de reelle tal som altså er overtællelige. Jeg mener virkeligt at tallene på den reelle tallinie er fortættede. Og tallene er simpelthen flydt sammen.

Nu kan man jo godt tælle tal på den tallinie, det man ikke kan er at blive færdig. Men et godt billede på hvordan man kunne forestille sig talværdierne flyder sammen.

  • 0
  • 0

Som jeg skrev, at delepunkterne er diskontinuerlige, synes jeg at tal på tallinjen er at ligne med disse (de er også i princippet uden udstrækning), derfor mener jeg også (indtil videre), at tallinien er i princippet er diskontinuerlig/digital. Der kan således ikke findes to konkrete tal, som ikke adskilte (diskrete). Man vil altid kunne mase et andet konkret tal ind imellem dem.

Hvis vi betragter en flade som består af 2 værdier der udfylder hele fladen fra hver sin side, så kan man på denne flade ikke presse nogen værdi ind.
Om 0.999...kan være den ene værdi er så spørgsmålet. Men fladens mangel på udstrækning er ikke til diskussion.

  • 0
  • 0

Hej Kim mf.

Efter 1 måned under østens sol og sommer kan jeg se at er stadig er gang i denne debat.
Spring alle beviserne over og svar mig på dette simple spørgsmål som endnu ikke er blevet besvaret:
"Hvad er resultatet af regnestykket: 1/3 minus 0,333...?"

-Eivind

  • 0
  • 0

Hej Eivind: Mit korte bud, som har udgangspunt i, at jeg mener, at en færdiggjort uendelighed ikke er helt logisk lovlig, hvis man skal være krakiler, og den mest rigtige måde at betragte uendeligheden på er, som noget, der aldrig stopper (forøges uden øvre grænse) er, at resultatet må være et tal, som er mindre end ethvert KONKRET fastlagt tal, men >0. Fordi o.333. i denne fortolkning ikke er et helt konkret tal, bliver resultatet heller ikke et helt konkret tal. Steen

  • 0
  • 0

… er den første dag i dit liv hvor der er gået uendeligt mange dage før denne dag.

Det er et citat fra teksten ”Jessens balsal“ som er forfattet af nestoren i dansk abstrakt matematik Flemming Topsøe. Hr. Jessen selv er en salig matematik professor. Teksten kan Googles. At der er gået uendeligt mange dage indtil den yderste dag siger vel noget om at vi er kommet frem til en grænse evt. har foretaget en grænseovergang? På den anden side ligger dommedag, læs selv videre i Judas Bog (den er til at overskue, Judas fik kun et kapitel med.).

Det er klart for deltagerne i denne debat at uendelighedsaksiomet ikke er nok til at forklare at en grænseværdi er lig 0 når x går mod uendeligt, eks. f(x) = 1/x.

Det er derfor på tide at introducere komprehesions aksiomet. (komprehesions: at fatte, fatteevne, hvad tanken kan omfatte). Aksiomet giver mulighed for par dannelse og dannelse af nye mængder.

Jeg kan godt forstå at Kim, Steen og til dels Kurt ikke overbeviste og de endelige mængders matematik giver jo en lige så god forklaring, om end den er sværere at håndterer rent matematisk.

Tilbage eller frem til den yderste dag igen. Der er noget efter denne dag, det står skrevet i Judas Bog. Der er noget der følger efter selv om der er gået uendelig mange dage før den yderste dag.

Kombinerer man uendelighedsaksiomet med komprehesions aksiomet er det muligt, at der er nogle efterfølgere for de naturlige tal, nemlig de transfinite kardinaltal.

@Steen, vil du vide mere om uendelighed matematisk behandlet, skal din forskning begynde ved det første bogstav i det hæbraiske alfabet som hedder alef.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

1) 1/3 - 0,333... kan først brøkberegnes når 0,333... er erstattet af en brøk: 1/3 - 0,333... = 1/3 - 1/3 = 0/0 = 0.
Denne beregning forudsætter at 0,333... = 1/3.

2) 1/3 - 0,333... kan først decimalberegnes når 1/3, i følge regnehieriarkiet, er erstattet med et decimalt tal:
1/3 - 0,333... = 0,333... - 0,333... = 0,000... Denne beregning forudsætter at 1/3 = 0,333...

Men er realiseringen 0,333 + potentialet 0,000333... = 1/3?

  • 0
  • 0

@ Peter. Rigtig mange tak for fine oplysninger. Spændende med diagonalbeviset, som jeg synes var godt fundet på, men udfra følgende
kommentar, vil det sikker fremgå, at jeg alligevel ikke helt har forstået det: Beviset tager jo udgangspunkt i, at vi HAR uendelig mange
uendelig lange decimalbrøker mellen 0 og 1, hvis jeg har forstået dig rigtigt, PÅ ÉN GANG, og som du ved, er det dén idé, jeg har det svært med.
Selvfølgelig kan vi ikke selv skrive dem allesammen op, men hvis vi bad Gud om at gøre det for os, tror jeg han ville svare: "Dét må I ikke bede
mig om, for det er umuligt selv for mig, og hvis jeg forsøgte, ville I kunne påvise, at jeg ikke gjort mit arbejde ordentligt, så dét får I mig ikke til".
Som jeg lige nu ser det, beviser Cantor (uden at ville det), at vi ikke kan påkalde os den "færdige" uendelighed, fordi vi i al evighed vil kunne
tilføje nye tal, lige meget hvor mange, vi har i forvejen. Ethvert nyt tal vil kunne sattes øverst på listen, hvorefter vi kan tegne en ny diagonal og
konstruere endnu et nyt tal, og sådan kan vi blive ved i al evighed. Så vidt jeg lige nu kan se, er det eneste, der adskiller et nyt tal fra dem, der
var i forvejen PÅSTANDEN (som jo er præmis og udgangspunkt) om den færdiggjorte uendelighed, som jeg (og andre) har det så svært med.
Så hvis man kunne fjerne den påstand, ville ethvert nyt tal Cantor kunne producere bare være det sidste, der var kommet på i en række uden øvre
grænse.
Ja dampmolekyler kan tælles og vand flyder sammen, men mit problem er, at jeg betragter ethvert tal på tallinien uanset, hvad man kalder dem,
og hvilken kardinalitet, de tillægges, som værende noget konkret punktformet og altså uden udstrækning. Hvis dét er rigtigt, må det vel gælde, at to
punkter (tal) HVIS DE ER FORSKELLIGE må have udstrækning imellem sig. Ellers var det nemlig ét og samme punkt (tal). Det, synes jeg, er nemt
at forstå. Det modsatte er derimod svært at forstå.
Jessens balsal og Judas bog har jeg ikke kunnet finde, så jeg kunne læse det, men eftersøgningen er ikke slut. Alef (Aleph) synes jeg jeg har stødt
på før måske hos Tor Nørretranders? Det skal jeg også have kigget nærmere på.
Men tak for spændende nyt indput.
@ Kurt. Jeg ved ikke, om om jeg forstod dit eksempel med de to flader rigtigt, men når du skriver, at de to værdier udfylder HELE fladen fra hver
sin side, bliver jeg skeptisk. Værdierne er tallene (tror jeg), og de udfylder ikke noget som helst, da de er punktformige og uden udstrækning. Det,
der udfylder "fladen" er afstandene imellem dem.
@ Begge og andre. Noget af dét, der er mit problem er givetvis manglende forudsætninger med hensyn til matematik, og så det, at det er svært at
abstrahere fra de måder at tænke på, jeg har benyttet i lang tid. Men jeg synes jo, at ting helst skal være logiske, og helst på så enkelt en måde
som muligt.
Endelig skal vi vel også huske på, at spørgsmålet om tallenes kontinuitet (for det er vel det, det hele handler om ?) vel også bare en lillesmule er et trosspørgssmål. Tror jeg nok :-) Tak og venlig hilsen Steen

  • 0
  • 0

Det er mulig at tallene som værktøj er uendelige i deres anvendelse og derfor geniale til at måle virkeligheden, men det jeg mener er at fladen mellem to værdier er 0 i sin udstrækning uanset hvor små bider man så ellers kan nærme sig den.
Hvis du har 9 æbler +1 som står i række op af hinanden, så er berøringsfladen (matematisk) ikke 9,999... men mellem 9 og 10.
Problemet er vel at vi ikke kan begribe hvilken egenskab en uendelig lille afstand må indeholde og om en sådan findes?

  • 0
  • 0

Hej Kurt. Mine indlæg er nu tre gange forsvundet midt i skriveprocessen. Så jeg prøver igen om et par dage. Jeg tror ikke den nye Ingeniør kan
lide mig :-) Har forstået dit indlæg nu, og er stort set enig. Især i sidste linie. Steen
Jeg tror, jeg nåede det denne gang.

  • 0
  • 0

Hvad med dette regnestykke til at bevise, at 1 = 0,999..

Hvis 1 virkeligt er forskelligt fra 0,999.. så må der altså findes et tal i mellem de to størrelser:
Således må der kunne findes et tal, hvor 1 - 0,999.. = X
Hvad er X så ?

Uanset hvilket lille-bitte tal man prøver at trække fra 1, vil der ikke kunne findes et tal i mellem - da der er en uendelig række af 9 -taller efter nullet.
Ergo der findes ikke noget tal imellem 1 og 0,999.. så derfor ER 1 = 0,999...
Nøglen til forståelse ligger formentlig i at begribe udtrykket uendeligt - at uanset hvor langt du når ud..... kan du altid gå længere endnu! Der er ingen afslutning.

ELLER man kunne lave regnestykket
10X = 9,999...
1X = 0,999...

Altså må 9X = 9,999... - 0,999... = 9
Og denne ligning løses let til X = 1 :-)
.


En tredje variant af et tidligere indlæg er
9 x 1 / 9 = 1
1 / 9 = 0,111...
Så derfor er 1 = 9 x 1 / 9 = 9 x 0,111... = 0,999... (igen!)

  • 0
  • 0

@Kurt: Ja, men nu er æbler, mursten og andet, man kan lægge på række op ad hinanden fysiske ting, med udstrækning, mens tal på talrækken
udgør punkter uden udstrækning. Hvis æble nr. 9 og æble nr.10 ikke havde udstrækning, og afstanden mellem dem heller ikke havde udstrækning,
ville de være et og samme æble (bortset fra, at de ikke ville smage af noget særligt eller mætte ret meget). Det, jeg mener, er, som før sagt: Hvis to tal på tallinien er FORSKELLIGE, så er der også "luft" imellem dem. Ellers er der tale om ét og samme tal. Steen

  • 0
  • 0

@Jacob: Efter min mening er o.999... ikke et KONKRET tal. Som du selv giver udtryk for: Man kan altid sætte flere nitaller på. Det betyder, at det x, du efterlyser heller ikke er et KONKRET tal. Det er >0, men mindre end ethvert KONKRET tal, du vil kunne finde på. Som du siger, man kan altid gøre det mindre, og det er, som du så rigtigt påpeger, dét uendelighed betyder. Steen

  • 0
  • 0

Kære debattører.
For en god ordens skyld, vil jeg gøre opmærksom på at jeg har fjernet få indlæg, som indeholdt personangreb og var uden for debattens emne. Indlæggene lå et godt stykke tilbage i debatten, og det bør ikke påvirke den videre debat på denne tråd.

Fortsæt god dag,
Caroline Persson - ing.dk

  • 0
  • 0

@Jacob: Så vidt jeg kan se, forudsætter dine regnestykker det, de skal bevise, og det må de ikke.
Som jeg ser det, indtil jeg har set lyset, konvergerer 0.999... og 1 og "mødes" i punktet uendeligt, ligesom X og 0 konvergerer og mødes i punktet
uendeligt. Og hvor er det lige, det punkt ligger henne, og "ligger" eller findes det overhovedet ?. Det har jeg lidt svært ved at tro, selvom jeg har
fået megen hjælp. Men jeg anerkender fuldstændig, at det er krakileri, og at man man har lov til at definere 0,999... som værende det samme
som 1. Det er jo fuldstændig ligegyldigt.
Det, der vækker krakileren i mig, er, at man udover bare at bruge det, også vil BEVISE, at det rent faktisk ER sådan, det hænger sammen.
Men jeg vil gerne gå med til, at færre end ue. mange 9 taller ikke er nok til at give 1, og at man derfor måske kan sige : GIVET, at vi har alle de
uendelig mange 9 taller på én gang, så må det jo nok være 1. Men hvis konvergeringen aldrig kan fuldbyrdes, fordi punktet uendelig, hvor den
skulle have foregået, simpelthen ikke kan eksistere, må jeg mene, at der må mangle et stykke som skrumper uden nedre grænse, ligesom
9-tallerene aldrig kan andet end vokse uden øvre grænse. Ellers vis mig punktet uendelig. Steen
ikke kan eksistere,

  • 0
  • 0

a + b = c, hvor a og b er decimaltal n > 0
a: b: c:
0,9 + 0,1 = 1
0,99 + 0,01 = 1
0,999 + 0,001 = 1
0,9999 + 0,0001 = 1
o.s.v.
Som det ses er a og b i en faktor 10-korrospondance, hvor a > 0 og b > 0 i overensstemmelse med ovenstående n > 0.

Ved 0,999... = 1 er det nu opgaven at vise hvordan b = 0.

  • 0
  • 0

Hej Steen

Uendelighedsbegrebet bygger på et aksiom, som er en slags matematisk antagelse der ikke kan eller skal bevises. Fjerner man uendelighedsaksiomet har man kun endelige mængder at arbejde med. For mængden af naturlige tal betyder det så at der må være et største overtal, og så skal man altså finder det. Har du et forslag til et største overtal for den naturlige tal mængde, Steen. Matematikken bliver ikke mere simpel uden uendelighedsaksiomet. Som jeg har skrevet tidligere kan man opfatte uendeligheds tal som en forlængelse af de naturlige tal, f.eks. således:

{ 1, 2, 3, …, n-1, n, n+1, …, ∞-1, ∞, ∞+1, …}

Men det kræver en hel matematisk teori at redegøre for denne opfattelse.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 1
  • 0

Skal vi vise at 0,999... = 1 sker det som en realiseret visning (en potentiel visning er ikke mulig, idet vi ender med at "0,999... muligvis er = 1, som ikke er det samme som 0,999... = 1).
Imidlertid kan kan en realiseret visning ikke lade sig gøre, idet ovenstående realiserings korrospondance kan bevises at indeholde kvantiteten
b > 0, hvorfor 0,999... + b vil være lig 1 i strid med 0,999... = 1.

  • 0
  • 0

Skal man vise at 0,999... = 1 sker det som en realiseret visning - idet en potentiel visning ender med at 0,999... muligvis = 1 hvilket ikke er det samme som 0,999... = 1.
Imidlertid er en realiseret visning i strid med min ovenstående korrospondance, der kan bevises at indeholde kvantiteten b > 0 gældende for ethvert led i denne korrospondance der realiseres.

  • 0
  • 0

Peter,
Aksiomet for uendelighed, definition, har du et bud?
Meget enig, uden uendeligheden bliver matematik noget "indelukket".

  • 0
  • 0

Peter,
Uendeligheds aksiomet, definition, har du et bud?
Meget enig, matematik bliver noget "indelukket" uden uendeligheden - en googol kan risikere at blive for lille.

  • 0
  • 0

Hvad sker der lige her - det hopper og danser, men Steen har vist oplevet noget lign.

  • 0
  • 0

Nå sådan, der er bladvend ved 300 indlæg - men jeg kan ikke umiddelbart se næste side, og tror at jeg teknisk er smidt af.
Min pjuter er ikke glad for den brede visning, og der er somme tider spring på siden ved tasttryk.
Nå, men synes ikke at uendelighedstal er en "forlængelse" af tallegemet N = (0,1, 2, 3 ...), men legemet er potentielt uendelig, en uendelighed der noteres uendelig +.
Tallene n = (0, -1, -2, -3 ...), et legeme der erpotentielt uendelig, en uendelighed der noteres uendelig - og symmetripunktet er 0, som jeg hverken opfatter som + eller - (0 ligger hverken på + eller minussiden).

  • 0
  • 0

Hej Peter! Der behøver vel ikke være et største overtal, selvom vi dropper den færdiggjorte uendelighed. Talrækken har jo heller ikke et
største overtal, (eller et uendeligt stort tal ). Selvom den fortsætter uden øvre grænse, kan tallene i den kun være endelige. En potentiel
mulighed for et uendelig tal (eller et største tal findes jo ikke). Hvis vi skyder en raket ud i rummet på en rejse, der aldrig stopper, vil den altid
være et endeligt, men stadigt voksende antal kilometer fra jorden. Der er ikke engang potentiale for at den kan komme uendelig langt væk,
for det er udenfor mulighedernes grænse (og den vil heller aldrig nærme sig en uendelig afstand fra jorden). Men den kan komme længere
væk end et hvilket som helst KONKRET antal kilometer, vi nogensinde vil kunne finde på at nævne. En øvre grænse findes ikke, og derfor skal
heller ikke stille med et øverste overtal, synes jeg.
Jeg synes, det er helt fint, at man vedtager, at den færdiggjorte uendelighed findes i matematikken, hvis det er mest praktisk. Så er det
bare sådan, matematikreglerne er. Men jeg synes jo som sagt før, at det medfører den ulogik, at f.eks. et stykke snor (eller afstanden A-B) består af
uendelig mange dele, der hver især har udstrækningen 0. Jeg har tidligere fået at vide, at delenes udstrækning er >0, men hvis man siger dét
siger , man også at forskellen på 0,999... 1 er >0, og det er jo netop dét, man siger og forsøger BEVISE, at den IKKE er.
Til Kim: Jeg er helt enig med dig, men mener at have læst (her på tråden?), at når 0,000...1 er = 0, er det fordi 1-tallet er så langt væk, at vi aldrig
vil kunne få fat i det, og derfor har det ingen betydning (eller sådan noget lignende). Men den slags lader vi os jo ikke narre af :-) Steen

  • 0
  • 0

@steen ørsted 21 timer siden
Du skriver, at efter din mening er o.999... ikke et KONKRET tal. ... men hvis du deler et æble i 3 dele,så
er de måske ikke hver i sær 1/3 æble og så er 0,333.. måske heller ikke et "konkret tal" i dine øjne ?
Måske stirrer du dig blind på at tal skal kunne udtrykkes præcist ved hjælp af vores almindelige 10 tals system,
og kunne skrives med et præcist antal decimaler for at være forståeligt?

Men 1/3 er et letforståeligt matematisk begreb der svarer til 0,333... og hvis man har 3 af den slags får man "en hel"....

Du skriver også at du opfatter det som om at de konvergerer så 0,999... og 1 og "mødes" i punktet uendeligt, men du skal tænke på at 0,999... IKKE betyder, at der sættes et nyt 9 tal efter det forrige igen og igen, tallet 0,999... vokser ikke, for der ER allerede en uendelig række 9 taller efter kommaet!
Og da der således ikke findes et tal imellem 0,999... og 1, så må det jo være det samme tal ;-)

  • 0
  • 0

I syvendesidste linje skulle der selvfølgelig stå : forskellen på o,999... og 1
Længere oppe skulle der stå : og derfor skal jeg heller ikke stille med et øverste overtal.
Vi mangler en rettefunktion. Steen

  • 0
  • 0

@Kim Sahl

Jeg kommer formentlig til at fortryde, at jeg svarer dig, men alligevel kan jeg ikke lade være:

"0,999... = 1
a + b = c, hvor a og b er decimaltal n > 0
o.s.v.
Ved 0,999... = 1 er det nu opgaven at vise hvordan b = 0."

Jeg synes snarere, at det er DIN opgave at bevise hvilket tal b overhovedet KAN være hvis IKKE det må være nul !
Løs venligst ligningen b = 1 - 0,999... og fortæl hvilket "kvantitativt potentielt realiseret tal" som kan være b, hvis det ikke er nul.

  • 0
  • 0

Aage/Jacob
1 - 0,999...
En matematisk opgave består altid af to kvantiteter, her er den ene realiseret og den anden er potentiel.
Opgavens resultat omfatter så en realiseret del samt en potentiel del, ikke lige det i havde sat næsen op efter. Ønskes et rent realiseret resultat fås svaret i smartness matematik, et matematisk fortryllende område - og her rækker min blindhed ikke langt.

I mine noter står at uendeligheden både kan være åben samt være lukket, dette sidste er en afgrænset uendelighed i strid med, "Uendelighed vokser ud over alle grænser". Tværtom, uendelighed er tæt forbundet med begrænsninger.
Men her er min mund mere lukket end åben.

  • 0
  • 0

Steen,
tydeligt at du ikke vil spises af med matematisk junkfood, men er dog så åben at du gerne vil smage.
At man så høvles ned ved at ens junkfood indsigt er begrænset, underforstået at ved større indsigt glider matematikken lettere ned som et velsmagende måltid - men måske lader man sig ikke narre, og tror på en større kvalitet benævnt økologisk matematik (for nu at blive i den jargon).

  • 0
  • 0

@Aage Andersen

Nej han bruger en eller anden form for Erasmus Montanus logik, der blander matematik, mekanik, fysik, retorik og filosofi, på en måde der efterviser, at jorden er flad....
Men det er fin underholdning.

  • 0
  • 0

1 - 0,999...

1,000000000... (10 realiserede cifre og potentielt uendelig mange 0)
0,999999999... (10 realiserede cifre og potentielt uendelig mange 9)

0,000000001... (10 realiserede cifre og potentielt uendelig mange 0)

De 10 realiserede cifre er et specialtilfælde af antallet N =
(1, 2, 3 gående mod < uendelig).

  • 0
  • 0

Det er ikke "potentielt uendeligt mange" .... der ER allerede uendeligt mange 9-taller efter kommaet,
ligesom der er uendeligt mange 3- taller når brøken 1/3 skal skrives på decimalform.

Ikke noget med hverken at afrunde eller opfatte det som "gående imod", sådan som du prøver.

  • 1
  • 0

Men det er jo kun i matematikken man er nød til at betragte det sådan, i virkeligheden vil man jo aldrig have 0.333... æble eller omdrejning.

  • 0
  • 0

øhhh er det ikke også netop matematik der diskuteres her ?
Og hvorfor kan man ikke have en tredjedel æble? Brøken 1/3 er endda et rationelt tal.

  • 0
  • 0

"Der ER allerede uendelig mange 9-taller efter kommaet".
Hvis noget ER, vil man altid (principielt) kunne vise dette ER. Derfor, hvor er alle disse 9-taller? og jeg køber ikke svaret: 9-tallerne forefindes efter kommaet, for tjekker efter jeg får jeg en lang næse - og finder kun tre prikker ... Det duer ikke.
Problemet er at en visning altid må være en realisering og ikke et potentiale, idet et potentiale er en mulighed - en mulighed for at realisere uendelig mange 9-taller.

  • 0
  • 1

"En mulighed for at realisere uendelig mange 9-taller" - denne mulighed kan ikke realiseres!
Men er matematikken ikke hævet over sådanne småtterier, jo det er den - denne form for matematik kaldes smartness.

  • 0
  • 0

@Jacob
fordi i virkeligheden vil der altid være unøjagtigheder til en side, i hvert fald over en hvis størrelse.

"Kim
Værdien "uendelig mange 9-taller" er jo realiseret i virkeligheden, vi kan bare ikke beskrive det anderledes end som en uendelighed. Lige som værdien 1/3 eller 0.333... også er en realitet.

  • 0
  • 0

Kurt,
man kan ikke realisere en uendelighed, kun endeligheder lader sig realisere. Men uendeligheden HAR eksistens, blot ikke realiseret men som et potentiale - et potentiale der ikke kan realiseres.
Enhver endelig værdi kan realiseres, og enhver uendelig værdi kan ikke realiseres (i smartness kan dog alt jo lade sig gøre).

  • 0
  • 0

Hej Kim

Jeg gad godt se dig realisere den endelige mængde:

{ 1, 2, 3, ..., 100^100}

Med den økologiske matematik naturligvis og dermed mener jeg med blyant og papir. Vis realiserbarhed med eksemplets magt. Så har du noget at give dig til og i tilgift vil du finde mange interessante primtal.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Det eneste potentiale der ikke kan opfyldes endelig er vores beskrivelse af mængden af uendelighed, men eftersom den eksisterer i virkeligheden må vi jo beskrive den med det du kalder smart matematik.

  • 0
  • 0

@ Jacob : HVIS 1=0,999... , så ER 1/3 også = 0, 333...
Selvfølgelig. Men hvad beviser det ?
@ Peter : Store endelige tal er besværlige at realisere. Uendeligheden er umulig.
@ Kurt : At mængden af uendelighed eksisterer er muligvis en sandhed med "multiplikationer" :-) Steen

  • 0
  • 0

Det beviser bare, at mange mennesker har svært ved at rumme så abstrakt et begreber som "uendeligt".
Det er ikke muligt at bringe det videre, hvis matematik kun kan diskuteres hvis det kan føles og berøres i den fysiske verden.

  • 0
  • 0

Smart matematik afviser fysikken som dets begrænsning, men når nøden er størst er fysikken nærmest.
Matematik eksisterer ikke som en selvstændig abstraktion, men den er kvantiteternes sprog -et sprog tilknyttet det levende/det livløse, og ikke andet.
Der findes for os den "bundne" matematik - der kan opdages og som er grundet i fundamentale natur sammenhænge, og den "frie" matematik: lige så eventyrlig og fjerlet som en fri fugl, fuld af abstraktioner (hvad er det den skal abstrahere fra ? - det er den bundne matematik) og en iboet overtalelseskunst, det matematiske bevis.
Men, men - virkeligheden overgår fantasien, en virkelighed der stiller mange gange større krav til tålmodigheden end fantasiens abstraktioner.

  • 0
  • 0

a * b = c, hvor a = 1:

1 * 0,9000... = 0,9000...
1 * 0,99000... = 0,99000...
1 * 0,999000... = 0,999000...
1 * 0,9999000... = 0,9999000...
Antallet af 9, afhænger af b.
1 * 0.999... = 0,999... (idet b = 0,999... fås c = 0,999...)


1 * 1,000 = 1,000
1 * 1,0000 = 1,0000
1 * 1,00000 = 1,00000
Antallet af 0, afhænger af b.
1 * 1,000... = 1,000... (idet b = 1,000... fås c = 1,000...)

Jeg finder ingen identitet mellem 1,000... og 0,999...

  • 0
  • 0

Peter,
Måske lidt pjuter hjælp: jeg bliver bare træt og fejlene sniger sig på - selvfølgelig når jeg er nået til 100^97.
Læste i går om et program til primtalssøgning.

  • 0
  • 0

Kurt, du skal nok skelne skarpt mellem potentiale og realisering: Disse er vidt forskellige kvaliteter, og der findes intet potentiale der "næsten" er en realisering - det er enten eller.
Du kan godt (på forskellig vis) beskrive uendeligheden, blot kan du ikke realisere den kvantitativt.
Peter har tidl. nævnt noget om en definition på uendelighed, den ser jeg da gerne.

  • 0
  • 0

desværre det rene Monty Python matematik med gakkede regnearter.
Matematik er abstrakt med redskaber for talteori og beregningmetoder i modsætning til naturvidenskab og den virkelige verden, som du ikke kan løsrive dig fra.

  • 0
  • 0

Kære Kim

Du beder og du skal få.

Uendeligheds aksiomet er mere end en definition. Det er resultatet af den menneskelige tankes fylogenese. Du får aksiomet serveret råt og usødet fordi du beder om det. Det er totalt upædagogisk.

Aksioms systemet skal opfattes som en helhed og aksioms systemet ZFC består af 9 aksiomer. ZFC er grundlaget for al kendt matematik. Men der findes andre aksioms systemer f.eks. Peanos aksioms system og det bør du starte med at sætter dig ind i.

Uendeligheds aksiomet som det ser ud i ZFC:

∃I (∅ ∈ I ∧ ∀x ∈ I (x ∪ {x} ∈ I ))

Så enkelt, så elegant, så smukt. Men for den der ikke prøver at forstå er det måske bare smartness?

Og hvad er forståelse egentligt, kan mennesket overhovedet forstå eller er forståelsesgraden bare et andet udtryk for graden af tilvænning.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Tak Peter, det er ok at servere aksiomerne uindpakket.
I hedengangne tider lærte jeg i mængdelæren om Peanos aksiomer tilknyttet N og han undersøger så egenskaberne for N, og tilføjer senere også 0.
Men tallegemet N har spejlbilledet -N (undskyld udtrykket) som en fundamental egenskab, hvor (+N) + (-N) = Z. Denne operation antyder at 0 både er et element i +N og -N, idet den kvantitative afstand mellem to på hinanden flg. tal er numerisk = 1.
For Z er 0 og +uendelig / -uendelig en forudsætning for mængdens validitet.

  • 0
  • 0

En ubevist grundantagelse, er jo godt og vel et postulat. En definition har til formål et afgrænsende formål, og uendeligheden defineres ofte som den "genstand" der vokser ud over alle grænser. En rigtig dårlig defi, der undergraver denne så forunderlige kvantitets egenskaber.

  • 0
  • 0

Peter, "To mængder x og y er lige store hvis deres mængdekvantitet er identiske. x og y er altid kvalitativt forskellige" - står der i mine noter, for nu at nævne på et eksempel (aksiom 1, ZFC) på en lidt forskellig tilgang til matematik, ZFC vs Kim.
Jeg skal skåne dig for flere noter.

Er lidt misundelig på dine muligheder for at indtaste matematiske tegn.

  • 0
  • 0

Ligesom et = kan have forskellige betydninger, kan forståelse ligedan være flertydig. Accept bruges også som en forståelsesombytning.
Tilvænning taler ofte til svinehunden i os, men kan også være en evolutionens beskyttelse af individets åndelige tilstand.

  • 0
  • 0

Når jeg dykker ned i Cantors arbejder om uendelighed (mængdelære) stiger blodtrykket, og så foreslåes det bare at læse videre indtil åbenbaringen viser sig.
Det er accepten det kniber med, og der er dystre udsigter for at acceptere hans oplæg til ZFC.

  • 0
  • 0

Hej Kim

Aksiom 1. ∀x∀y∀z (z ∈ x ⇔ z ∈ y) ⇒ x = y

Når vi taler om ZFC 1. er det ekstensionalitet vi taler om : En mængde er bestemt ved sine elementer, dvs. to mængder, der indeholder de samme elementer, er identiske.

Det er faktisk til at have med at gøre. Det svare til to enæggede tvillinger der har to forskellige navne for at skelne mellem dem. x og y er blot to forskellige navne på de to mængder der indeholder de samme elementer. Foretages en afbildning af x ind i y altså y = f(x) fås det grafiske billede af den rette linje gennem (0,0) med hældningen lig 1. (Såfremt elementerne er tal og der er mindst to tal i hver mængde og der slås en linje gennem tal parrenes punkter).

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Peter, det ser da fornuftigt ud, blot må man (hvor det drejer sig om det matematiske grundlag) have både kvantitet og kvalitet inde over - "To mængder x og y er altid kvalitativt uidentiske, men er kvantitativt identiske hvis de indeholder samme elementer". Elementer kan oversættes til kvantiteter, og så er identiteten ikke overraskende: "To mængder der indeholder samme kvantiteter, er kvantitativt identiske".
Jeg har, "Ethvert naturelement x er sig selv lig, og er alle andre naturelementer y ulig".
Denne sætning er mange gange mere spændende, end at 124 og 124 er kvantitativt identiske.
Du nævner "En mængde er bestemt ved sine elementer", jeg har "En mængde x er bestemt ved de elementer den omfatter samt de elementer y den ikke omfatter".

  • 0
  • 0

Jørgen, utroligt så lidt en avisartikel kan indeholde - der står bare at man er vred, idet man ikke er enig.

  • 0
  • 0

Videre,
ekstensionalitet - eksistens er bestemt ved både kvantitet og kvalitet, så ZFC er utilstrækkeligt ved blot at nævne elementers kvantitative identiteter. Nå, verden går jo ikke under af den grund.

  • 0
  • 0

Kim, jeg får dette ud af hvad du skriver: ZFC kan skærpes så ZFC er utilstrækkelig.

Hvad er meningen i dette udsagn?

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Peter,
ZFC har jo fungeret i et 100 år, med et par aksiom tilføjelser og så er aksiomernes indhold blevet kritisk studeret (og bliver det fortsat).
På den led er ZFC stort set tilstrækkelig.
Når jeg så kommer med en ganske anden tilgang, og ser på matematikkens grundlag ved at træde nogle skridt tilbage af hensyn til at få et overblik, forekommer ZFC utilstrækkelig.
Kunne jeg bestemme en smule, ville jeg ikke skærpe eller på anden måde ændre ZFC, men begynde helt forfra og naturligvis skele til ZFC (andet ville være dumt): Et fundamentalt matematikstudie begynder ikke med matematik, men tager sit udgangspunkt i Naturen! Hvilken indsigt kan her erhverves, og hvordan forbereder vi os på (så vidt muligt) at undgå de hovsa problemer der vil kunne opstå i et grundlæggende studie. Vi vil opdage at sprog og semantik er væsentlige elementer for dette studie: Når vi er velforberedte, kan matematikken bare komme an!

  • 0
  • 0

Vi skal lige se et eks. på hvordan man kunne tage fat.
N, de naturlige tal. Duer ikke: Disse + tal er ikke mere "naturlige" end - tal.
De hele tal har en fundamental spejlings egenskab - de er symmetrisk ligeberettigede. Det betyder at de er lige "naturlige".
De "naturlige" tal er tallene Z, hvor 0 spiller en central rolle. Ved nøje at studere egenskaberne for Z, får vi grundpillerne for matematikkens grundlag etableret gennem egenskaben Naturens duale kvalitative/kvantitative entitet. Vi vil opdage at udtrykket kvantitet er stærkere end mængde udtrykket, og at naturelementet er Naturens eneste indhold - et indhold der omfatter den ganske matematik, både den sande og den falske.

  • 0
  • 0

Kim, det er i orden at have ambitioner, men det kræver format at bringe ambitionerne ud i livet. Er du mand for din sag, så tag og vis det. Jeg har fulgt en del af dine indlæg i flere tråde og du har fået masser af guldkorn. Ikke mindst i denne tråd.

Skal retten bestå af andet end våde nirvana drømme garneret med god dansk molbo logik, og krydret med totalitære fantasier, skal der mere til end det du har fremlagt. Mit råd til dig er at holde mund de næste fem år (som den svage trappister, den stærke trappister bruger 25 år) og i dette tidsrum gør du dit program færdigt. Så kan du fremlægge det for videnskaben og så må programmet stå sin prøve.

Du er som alle andre (der har noget at byde på) inviteret med til den videnskabelige fest. Og det er faktisk storsindet af videnskaben at invitere dig med. Pas nu på at det ikke er dig selv der inviterer videnskaben og hvad der ellers kan kravle og gå (selv Gud?) til at deltage i dit personlige projekt. For så har du fuldstændig misforstået hvad der er op og ned. Sådan spiller hverken klaveret eller kirkeorglet, og du bør vide bedre?

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

N, de naturlige tal. Duer ikke: Disse + tal er ikke mere "naturlige" end - tal.
De hele tal har en fundamental spejlings egenskab - de er symmetrisk ligeberettigede. Det betyder at de er lige "naturlige".

Det giver nu ret god mening at have defineret N, som man gør, for de positive heltal er håndgribelige (og dermed naturlige) i ordets bogstaveligste forstand, fordi man kan tælle dem på fingrene (hvis man altså er folk nok).

De negative heltal er altså et abstraktionsniveau højere oppe, netop fordi de, som du skriver er en spejling af de positive tal, og altså ikke er håndgribelige, men højest kan visualiseres som fx. gæld.

Min datter på tre år forstår fx. nogenlunde de naturlige tal hun kan tælle på fingre og tæer, men er langt fra overhovedet at forstå negative tal.

Det er muligt, at du ikke synes, at trinnet fra positive til negative tal er særligt stort, og mener at man kan springe det over, men for andre giver det god mening at sætte et skel der.

Et trin højere oppe ad abstraktionsstigen ved Q ankommer brøkerne med hvad deraf følger af decimaltal. Du og andre er godt med, selv om filmen flosser lidt ved fx. "0,9 med streg over 9" som i 0,999...

Det har der vist været tærsket nok langhalm på, og jeg vil ikke yderligere forsøge at sælge dig ideen, men bare minde dig om at alt er nemt, når man kan det, og svært når man ikke kan det.
Du synes at trinnet fra N til Z er småt og vil springe det over, men mangler endnu at forstå Q på helt samme måde som os andre.

Kan du se ironien?

(PS og så er jo også R og C).

  • 0
  • 0

Peter, jo jeg er meget enig. Også i tidshorisonten, skrev for nogen tid siden om mit Grundforsknings projekt, "Giv mig 5 år.." Imidlertid er projektet ikke matematisk - men - emnet popper bestandigt op, og så må jeg i bøgerne og her er det tilbudte ikke tilfredsstillende (kan give masser af eks. herpå).
Det der vendes i sådanne tråde her er blot små indputs (til dels impulsive), og ikke velgennemtænkte afhandlinger (N.Bohr vendte og drejede sine udgivelser i en uendelighed, han ville gardere sig mod indsigelser).
Alle kan give sit besyv med, herved er en vis underholdningsværdi sikret.
Men jeg tænker bredt over om der skal køres solo eller i et hold , her ved indgangen til min begynder-forskning, samt om der skal arbejdes hen mod enkeltartikler eller mod en samlet oversigt over, "Naturelementernes grundlæggende egenskaber" (hvorunder matematikkens grundlag vil figurere). En ting er sikkert, denne forskning har et højt skønhedsideal.

  • 0
  • 0

Hertz,
ok sjovt nok, men satiren i "Korsaren" i 1800 tallet var lige en tand bedre.
Kirkegaard blev her omtalt, han var blevet rost og det frabad han sig ligesom han frabad sig ris, "Roses vil han ikke, ej heller vil han rises - om han bliver rost eller får ris er for ham det samme. Han byder på kaffe, og den må hverken roses eller rises, eller er der ingen kaffe".

  • 0
  • 0

Hertz,
+ og - tal er matematisk fuldstændig ligeberettigede, de kan kvantitativt sættes i en symmetrisk korrospondancede der bekræfter ligeberettigelsen. Disse egenskabers forudsætning er 0 (der skiller + og -). Herved er + tal og - tal lige "naturlige", men kun adskilt af deres spejlegenskaber: Vi kan lige så godt spejle + tallene, som vi kan spejle - tallene.
Med andre ord, kvaliteten "naturlige" tal er matematisk meningsløst idet du kan kalde ALLE tal "naturlige".

  • 0
  • 0

Steen, du har rod i hovedet og derfor kommer du frem til fejlslutningerne. Nogle vælger terapi for at rydde op i rodet men det koster jo penge. De kloge vælger at studerer matematik bl.a. for at strukturerer tankegangen. Et sidste forsøg på at hjælpe dig er:

Punktet og uendeligheden er hinandens reciprokke.

Sådan så matematikker på uendelighed før grænseværdibegrebet blev indført. Karl Weiestrass, som er en central person når vi taler om grænseværdi, lægger navn til en funktion som stort set opfylder din forestilling om tallinjen. Den hedder Weierstrass funktion. Funktionen er kontinuert i ethvert punkt men samtidig knækker den i ethvert punkt så den er ikke differentiabel i noget punkt. Funktionens punktgeometri er forskellig i ethvert punkt. Se linket:

http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_f...

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Steen,
Jeg synes at Peter (og Troels) har værdifulde og meget relevante link- henvisninger. Skal selv passe på at se efter dem - smart matematik sætter mit blodtryk i vejret, arrrg.
Men altså, visse matematiske punktfunktioner f er gjort kontinuerlige - rolig Kim, rolig nu - skønt punkter aldrig kan have kontinuerte egenskaber... stopper, kan ikke gennemføre det her.

  • 0
  • 0

Steen: Kære Gud, nu har jeg tjent dig langt ad åre, og det er nu vel rimeligt at få blot et enkelt ønske opfyldt - at vise mig i Ånd potentiale eller realisering, to forskellige tal kontinuerligt sammenstødende.
Som du ved er jeg en sølle enfoldig og skal have et svar uden alt for mange krummeluer.
G: Tænd to lys ved alteret og gentag din bøn tre gange.
S: Tager du gas på mig?
G: Nej for pokker, tre bønner ellers er der lukket for det varme vand
S: Ok, hvis ovenstående kan gælde for første bøn
G: Yes - du er godt nok nemmere at have med at gøre end de der KL og lærene
S: Bøn
G: Gå til alterbordet og læs i bunden af kirketjenerens gulvspand
S: Læser: 0,999... og 1
S: Hov du, den går ikke
G: Vil du mig noget, er det til alteret med tre bønner
S: Hvor længe skal det fortsætte?
G: Hvor bliver bønnerne af
S: Gider ikke, jeg er blevet taget ved næsen - vil selv hige og søge
G: Uden mig kommer du ingen vegne
S: Skal vi vædde tre bønner
G: Top

  • 1
  • 0

Steen,
Tror Gud driver dig rundt i manegen.
Men svaret finder du i, "Ethvert naturelement x er sig selv lig, og er alle andre naturelementer y ulig".
To forskellige tal (to forskellige naturelementer) har en fundamental kvalitativ egenskab tilknyttet - de er adskilt af en "afstand" (D). D kan ikke være 0, idet 0 = en ikke-afstand og D = en afstand:
Grundlæggende har vi at x og ikke-x (benævnt y) er forskellige, en fundamentalsætning i overensstemmelse med ovenstående "Ethvert naturelement x...".

Gør du denne afstand = 0, er x og y identiske, en mulighed

  • 0
  • 0

Skulle være,
Gør du denne afstand = 0, kan x og y være identiske, en mulighed der tilhører fantasiens eller løgnens rige.
Steen, når præmissen er "to forskellige tal..." er valgets anatomi
1) ja
2) nej
og her er svaret 2).
Kan bevise at valganatomien blankt afviser "måske".
Nå, slut.

  • 0
  • 0

Hej Kim. Tak for din meget veloplagte sketch. Den var rigtig sjov og slet ikke uden uden talent.

Men bortset fra dét, var mit sidste indlæg jo seriøst.

Næe. Jeg tror ikke Gud trækker rundt med mig, men han er helt med på, at jeg (mis?)bruger ham lidt til at anskueliggøre, hvad jeg mener. For selvom Gud kan alt, er der jo ting, han ikke kan. Han kan f.eks. ikke udvirke, at 2x3 ikke er det samme som 3x2, og han kan heller ikke færdiggøre det uladsigfærdiggørbare (uendeligheden), og det var just mit ærinde.

Hvis du mener, at der MÅ være afstand mellem to forskellige tal, må dette vel i din (og i hvert fald min) optik betyde, at talrækken ikke KAN være et kontinuerligt fænomen. (Andre må også gerne kommentere på dette). Steen

  • 0
  • 0

Tal er låste værdier og derfor ubrugelig til at beskrive uendeligheder, i hvert fald hvis det skal være tal man skal kunne afslutte regnestykker fuldt udregnet.

  • 0
  • 0

Hertz,
+ og - tal er matematisk fuldstændig ligeberettigede, de kan kvantitativt sættes i en symmetrisk korrospondancede der bekræfter ligeberettigelsen. Disse egenskabers forudsætning er 0 (der skiller + og -). Herved er + tal og - tal lige "naturlige", men kun adskilt af deres spejlegenskaber: Vi kan lige så godt spejle + tallene, som vi kan spejle - tallene.


Ja, det har jeg forstået, at du mener, men du svarer jo slet ikke på mine argumenter, du gentager bare dine egne?

Iøvrigt kan man ikke have negative tal uden at have de positive først. Man kan derimod godt forstå positive tal, uden at begribe de negative, som fx. et barn, der tæller på fingrene eller en forhistorisk hyrde, der tæller sine får.
Så det ikke rigtigt, at du skriver, at man erkendelsesmæssigt og filosofisk kan spejle begge veje over nullet. Ægget kommer her tydeligt før hønen.

  • 0
  • 0

I funktionsteorien er Weierstrass definition på kontinuitet følgende:

f : R → R er kontinuert i x0 ,
hvis og kun vis der for et vilkårligt ε > 0
findes et δ > 0
så ⎢f(x) - f(x0)⎢< ε for alle x, hvor ⎢x – x0⎢< δ

I funktionsteorien er den reelle tallinje identisk med funktionen f(x) = 0,
for alle x.

Jeg vil tillade mig at have berettiget tvivl angående din påstand Steen, men har du selv forslag til nogle huller i den reelle tallinje.

Jeg mener at du kun har rationelle tal inde i dit hoved på samme måde som pythagoræerne.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

PS, i notationen x0 skal 0 være nedsænket men formateringen driller.

  • 0
  • 0

For mig som ingeniør er det den anvendelige matematik, der er smuk. Al den matematik vi bruger til at komprimere data som fx levende billeder med - det meste opfundet af Fourier. Eller Gauss' matematik, for ikke at forglemme Shannon, Wiener og de mange andre, der har udviklet al den matematik vi bruger i praksis i al det meget elektroniske apparatur, der fylder vor hverdag.

  • 0
  • 0

Hertz, et barn og en forhistorisk hulemands beskedne matematiske indsigt, er nok ikke relevant i en snak om grundlaget for matematik - men - jeg er meget enig i den for de naturlige tals umiddelbarhed: Alle kan være med ved bordet, ikke mindst hvor retten er simpel addition.
0 har den egenskab at enhver kvatitativ ageren +x modsvares symmetrisk af negationen -x, symmetrien sikrer en ligeberettigelse: Enhver kvantitativ ageren -x modsvares symmetrisk af negationen +x. Oversat til dansk, det er matematisk lige "naturligt" at sætte penge i banken som det er at hæve dem - det er matematisk lige "naturligt" at hælde vand i en flaske som det er at tømme den. Man har (anskueligt) de symmetriske venstre/højre hænder (tommel mod tommel), og tæller fingre på højre hånd 1 2 3 4 5 samt 5 4 3 2 1. Så tæller vi på venstre hånd 1 2 3 4 5 samt 5 4 3 2 1 og fortæller børn i 1.klasse at vi kalder de to første tællinger + og de to sidste -. Endelig nævnes at de to sæt tællinger er adskilt af 0 (de to tomler der symmetrisk representerer +1 og -1 er adskilt af 0). Præcis her er der givet børn en langt større matematisk indsigt, end at fremhæve højre hånds tælling som "naturlig".
Man afslutter (stadig i 1.klasse) med at kalde det hele for Z.
Og så kommer børnene hjem, "Mor, mor nu skal du høre..." Bagefter siger hun til far, "Forstod du noget af det?" Far: Næ.

  • 0
  • 0

Svend-Olof
Jo, den anvendte matematik kan bestemt være lige så facinerende som den ideale matematik.
Det er netop den sidst nævnte der er skyld i naturfagenes dårlige rygte.
En god populærvidenskabelig forfatter ved at, "Enhver formel halverer læserskaren".

  • 0
  • 0

Steen, kunne du ikke være sød og sætte sagen på spidsen - skriv 1) 0,999... = 1, som 2) 0,999... = 1,000...
De to angivelser er kvantitativt identiske, 1) = 2).

  • 0
  • 1

0,1+0,9 = 0,999...
0,2+0,8 = 0,999...
25-24 = 0,999...
0,999... x 0,999... = 1
1,999 - 0,999 = 0,999...
1,999... - 0,999... = 0.999...
Kan jeg ikke falde i søvn, tæller jeg 9 taller.

  • 0
  • 1

Steen, det glæder mig så meget at vi kun er punktets afstand fra at forstå hinanden. Og hvor er du god til matematik, på den sproglige måde. Jeg er fuldstændig enig med dig i at der er flere forskellige uendeligheder. Den naturlige tal mængde, den hele tal mængde, den rationale tal mængde, har en uendelighed der er tællelig. Og den reelle tal mængde har en uendelighed der er ikke tællelig eller overtællelig. Det er hvad Cantors diagonal bevis viser os.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Steen, du har længe kredset omkring kontinuitet og diskontinuitet.
Det er på tide at du indser hvad tidsforskellen på disse er.
Står af tråden her, ellers fortsætter den uendeligt.
Venlige hilsner Kim

  • 0
  • 0

@Peter. Jeg synes, det er meget klogt af dig, at tvivle på mine påstande. Det gør jeg også selv.

Når jeg bruger ordet "tal" mener jeg bare numeriske størrelser, hvis værdi hører til et helt bestemt og KONKRET sted på tallinjen, hvor de kan repræsenteres i et og kun et punkt uden udstrækning. Altså ikke noget med knap og nap og godt og vel og gående imod, eller i den ene eller den anden ende af punktet, men noget, der udtrykker en helt præcis punktformig numerisk værdi. Så vi kan godt tale om de reelle tals række. Hvor mange decimaler, der er i spil, er jeg ligeglad med (dog med den tilføjelse, at jeg jo kun tror på uendelig mange i den forstand, at det er noget endeligt, der vokser uden øvre grænse og derfor er større end ethvert KONKRET tal, vi kan opstøve).

Men jeg kommer jo på glatis, når du beder mig angive et hul i rækken af reelle tal, for fuldstændig ligemeget hvilket KONKRET hul jeg kan pege på, vil du altid kunne anbringe et tal i dette hul. Og det værste er, at du ikke engang behøver et uendeligt antal decimaler for at gøre det. Du kan hver gang gøre det med blot et endeligt antal. Og det vil du kunne gøre, lige så mange gange, jeg vil kunne pege på et hul.

Mit svar på dét skulle så være, at den prop, du har sat i hullet, aldrig vil kunne være stor nok til at stoppe hullet. Du vil aldrig kunne stoppe et hul med udstrækning med et punkt uden udstrækning, og det vil være det evige vilkår. I denne (min) uendelighedsforståelse, vil tallinjens udstrækning altid bestå af huller med udstrækning, der afgrænses af tal uden udstrækning. (der er ingen nedre grænse for hvor lille et sådant hul kan være, men det vil altid have udstrækning).

Du vil kunne svare, at der slet ikke ér nogen huller, der skal stoppes nogen steder. For det vil sikkert være tilfældet i den kontinuerlige talforståelse, hvor den færdiggjorte uendelighed er en realitet.

Men jeg synes jo, at dét ville betyde, at den mindst forekommende forskel på to FORSKELLIGE tal skulle være =0, for ellers ville der jo være "hul" imellem dem, og det må der jo ikke. Dvs. Tal2 minus Tal1 = 0, men så kan de to tal jo ikke være FORSKELLIGE. De må være ét og samme tal.

Dette ville udgøre et logisk problem for mig (ved siden af "tøjsnorsproblemet", som jeg tidligere har beskrevet, som også udgør et logisk problem for mig i den færdiggjorte uendeligheds verden).

Så derfor må jeg indtil videre tro, at den ufærdiggjorte uendelighed, som er uden øvre grænse, altid endelig men større end ethvert KONKRET tal, er den version, der gælder i logikkens og derfor også i realiteternes verden.

Derfor må jeg også synes, at hvis jeg skal være krakilsk, kan 0,999... ikke være 1. Man kan i denne verden ikke lave 1 af 9-taller.

Til gengæld anerkender jeg fuldt ud, at matematikernes kontinuerlige verden, hvor uendeligheden er gjort færdig, funger lydefrit. Jeg fornemmer helt tydeligt, at infinitetssystemerne, integral-, differential-, grænseværdiregning, og hvad der ellers kan være, virker perfekt og på en praktisk måde fører til de HELT RIGTIGE resultater, så det er bestemt superværktøjer, og det funker bare, og i denne verden er det måske rigtigt, at 0,999...=1,000...

Så jeg har på fornemmelsen, at der MÅSKE er to uendelighedsfortolkninger, som MÅSKE begge er berettigede, alt efter hvilken verden, vi vælger at opholde os i.

Om dette er rigtigt ved jeg ikke, men det kan da godt være. (Det er i hvert fald diplomatisk :-)) Venligst Steen

  • 0
  • 0

Til Peter. Tak for ros og stor tålmodighed. Ja, jeg har jo kun den sproglige matematik, fordi jeg ikke mestrer matematikkens sprog og synes også, at det kun er et uendelig lille punkt, der skiller os. Dét, du skrev her til sidst om forskellen på "tælletallene" (de naturlige hele tal) og de reelle tal, tror jeg, fik endnu et lille skæl til at løsne sig fra mine øjne. Så tak for det, og for en rigtig fin diskussion.

Til Kim. Den rettelse, du har foreslået, har jeg nu foretaget, da den ikke betyder noget for mig, og glæder dig. Om tid dette: Jeg har hele tiden bøvlet med, at tidsbegrebet forsøgte at blande sig i diskussionen og er også af Anders blevet bebrejdet dette og har derfor forsøgt at ændre et udtryk som "uendelighed her og nu" til "den færdiggjorte uendelighed", men jeg indrømmer, at tidsbegrebet presser sig lidt på, når vi snakker om disse ting. (Det, med at tælle 9-taller, når vi ikke kan sove, er en fin idé. Det vil jeg prøve :-))

Til begge (og flere andre): Jeg tror også, jeg står af her af samme grund som Kim. Jeg synes heller ikke, jeg har mere at tilføje i denne omgang. Så tak for nu. Venlig hilsen Steen

  • 0
  • 0

Hej Troels, ja det mener jeg også. men forskellen på vilkårlig (grænseløst) stor og så det magiske begreb uendelig, synes jeg er, at hvis vi "kan nøjes med" det vilkårlig store, forlader vi ALDRIG endeligheden, og så vil forskellen på 0,999... og 1 ikke være helt 0, men kun meget tæt på. Det er jo flueknepperi og krakileri af værste slags, vi er ude i, fordi det handler om den ABSOLUTTE sandhed om spørgsmålet. Hvis det bare og kun er et spørgsmål om notation, synes jeg ikke man skal henvise til matematiske beviser, men bare sige, nu vedtager vi at gøre sådan.
Om brødrene: Selvfølgelig kan folk, der ved en masse som oftest også tænke selv, akkurat som folk, der ikke ved noget. Men jeg har altid syntes, at debatfora var til - ikke for folk, der var enige, men for dem, der ikke var det. Så kunne man brydes lidt mentalt i al respekt og i bedste fald blive klogere. Som sagt ser jeg ikke så negativt på Kim S. som andre. I de tilfælde, jeg har været uenig med ham, har jeg altid bare skrevet hvorfor, og som oftest fået en kommentar, men er aldrig blevet dårligt behandlet. Men den med Klods Hans skal der ikke læses mere ind i, end der stod, så ingen behøver at føle sig ramt, med mindre, de ikke kan tænke selv, og det kan folk herinde.
@Adam. Ja naturens former er nok ikke lavet efter matematiske formler, men skyldes egenskaber i atomerne. Men nogen gange kan det ligne en tanke.
@Thomas. Jamen jeg accepterer og er endda sikker på, at 0.333... er endog meget tæt på at være 1/3. Steen

  • 0
  • 0

@ Anders, Adam, Peter, Troels og andre. Tak for hjælp indtil videre. Spændende at få genopfrisket lidt om integralregning og grænseværdier. Jeg må jo anerkende, at matematikere har et praktisk værktøj, der virker til hver en tid. Jeg har langsomt accepteret Anders´ første budskab om, at 0.999... defineres som værende grænseværdien 1, og at man har vedtaget, at man kan addere uendelige rækker ved hjælp af grænseværdier. Jeg fornemmer dog, at Adam med nogle af sine bemærkninger også har haft en lilletå inde i min lejr.
Hvad så ? Er 0.999... og 1 det samme ? Jeg må desværre sige, at hvis rækken "bare" vokser uden øvre grænse, vil det kun være 1 minus den lille smule, der altid vil mangle, så længe den vokser (det er da pokkers som begrebet tid næsten ikke kan undgå at blande sig, når man snakker om uendelighed). Hvis rækken ér holdt op med at vokse, fordi (fordi vi, som Peter siger, med ... overskrider grænsen til uendeligheden, og) alle de uendelig mange nitaller allerede er på plads, så er resultatet 1. Under ingen omstændigheder spiller forskellen på de to nogen som helst rolle som andet end diskussionsobjekt.
Så ja, hvis 0.999... defineres til at være 1, så siger vi da bare dét og er glade til. Men beviserne for det kræver , så vidt jeg lige kan se, at vi faktisk har at gøre med uendelig mange 9-taller på én gang. Ellers beviser beviserne ikke dét, de skal. Og denne forudsætning mener jeg stadig koster en lille smule på logikkens konto, hvis man skal være krakilsk (og det ærgrer mig næsten lidt). Men det er jo ligegyldigt.

@ Kim. Jamen jeg mener jo bare, at en afstand og en bevægelse er en kontinuerlig jævn ting, fordi det, der der deler den op er noget fiktivt/begrebmæssigt, som punkter uden udstrækning, der ikke findes i den fysiske verden (delene er ikke adskilt af noget somhelt), så der er bare én jævn bane og bevægelse.
Derimod mener jeg, at delepunkterne til evig tid vil være diskontinuerlige/digitale, fordi, der ALTID vil være den dels afstand, som punkterne afgrænser. Man kunne godt tænke sig uendelig mange delepunkter realiseret, men ikke helt uden de nævnte logiske problemer.
Men det er da til at blive skør af, at der ikke findes en mindste del, så måske skal vi ty til Planck eller Louis nielsen, men det synes jeg er lidt snyd i denne her forbindelse.

@ Alle: Som jeg skrev, at delepunkterne er diskontinuerlige, synes jeg at tal på tallinjen er at ligne med disse (de er også i princippet uden udstrækning), derfor mener jeg også (indtil videre), at tallinien er i princippet er diskontinuerlig/digital. Der kan således ikke findes to forskellige konkrete tal, som ikke adskilte (diskrete). Man vil altid kunne mase et andet konkret tal ind imellem dem.

@ Troels: Fin stil med et citat og en kort kommentar uden dikkedarer. Det kan vi lære noget af.

@ Kurt: I atomerne siges der jo at ske akausale ting, så det er ikke sikkert, du beregne alt det døde helt præcist.

@ Henrik: Tak for eksemplerne på "smuk matematik". Måske er der flere ?

Steen

  • 0
  • 0

For mig at se, er spørgsmålet om den matematiske (færdiggjorte) uendelighed, opdelingens kontinuitet - hvad enten den foretages med decimaler på tallinjen eller delepunkter på en afstand, eller spørgsmålet om, hvorvidt o,999... =1 eller ej, det samme spørgsmål, og svaret på det handler måske om tro.

Jeg håber, det er fremgået, at min egen tro går ud på følgende:
!) 0,999... er <1, men tættere på 1 end et hvilket som helst KONKRET tal, man nogensinde vil kunne stille op med.
2) En afstand (A-B) er er et kontinuerligt endeligt fænomen, men opdelingen af den (delepunkterne) udgør et diskontinuerligt fænomen. Det betyder, at en afstand (a-b) ikke kan VÆRE opdelt i uendelig mange (usynlige) dele, men delenes antal kan være større end et hvilket som helst KONKRET antal, man nogensinde vil kunne stille op med.
3) Tallinjen er ikke kontinuerlig. Antallet af tal mellem f.eks. 1 og 2 er (ligesom ovennævnte delepunkter) ikke uendeligt, men større end et hvilket somhelst KONKRET antal, man nogensinde vil kunne stille op med.

Det handler for mig om ret enkle logiske forhold, som jeg ikke synes, man kan gøre vold på uden at ende i ulogik, som jeg flere gange har forsøgt at beskrive på tråden.

Når jeg bliver bedt om at stille med et tal, der kan mases ind mellem 0,999... og 1, svarer jeg, at kravet er umuligt at opfylde. Ikke fordi, der begrebsmæssigt ER en færdig række på uendelig mange nitaller-taller, men fordi 0,999... repræsenterer et tal, der er tættere på 1 end noget KONKRET tal, nogen nogensinde vil kunne stille op med.

Udfordring til dem, der går ind for tallenes kontinuitet, og den færdiggjorte matematiske uendelighed : Vis mig to forskellige KONKRETE tal, som støder op til hinanden.

(Det skulle da lige være o,999... og 1. Nåe nej. De er jo ikke forskellige :-)) Steen

  • 0
  • 0

@ Peter. Tak for din tålmodige baksen. Ja, der er måske lidt rod. Som H.C Andersen jo så rigtigt skrev :"Her har jeg rod. Herfra min verden går".

Jeg blev glad for din tidligere bemærkning (ikke til mig) om, at forståelse måske er et udtryk for tilvænning (genkendelse), for jeg tænker jo i mine vante baner.

Ja, jeg har også altid syntes, at et punkt uden udstrækning og uendelig har en slags "omvendt" slægtskab.

Med hensyn til uendelighed er jeg ikke helt sikker på, at det vil hjælpe mig at studere matematik, for jeg anerkender som før sagt 100% (ikke bare 99,999...%), at differentialregning, integralregning og grænseværdisystemet, og hvad der ellers er, er super opdagelser, som det ville være tosset ikke at bruge, og jeg anerkender i lige så høj grad sætningen f.eks: "GIVET, at "decimalbrøken" 0,999... HAR uendelig mange decimaler, så ER dens værdi, det samme som grænseværdien - nemlig 1 OG IKKE NOGET SOM HELST ANDET, så jeg synes ikke, jeg har noget problem med den matematiske færdiggjorte uendelighed. Den må matematikerne gerne beholde (så længe, de bare ved, den er en abstraktion, der ikke direkte knytter an til virkeligheden).

Det, der er mit problem, er mere af, hvad man måske kunne kalde logisk "filosofisk" art. Jeg er som før antydet overbevist om, at hvis vi på en afstand eller linie bad Gud om her og nu at afsætte uendelig mange udstrækningsløse (og derfor usynlige) delepunkter, således, at alle disse punkter stødte kontinuerligt op til hinanden, ville han svare : Det I beder mig om, er umuligt, men jeg vil gerne lave et ligeså stort KONKRET antal, det skal være, plus tusind millioner, men uendelig mange, kan ikke lade sig gøre.

Dette er indtil videre en ret stærk tro, og derfor påstår jeg også gerne, at en afstand eller tallinje ikke kan VÆRE delt i uendelig mange dele hverken af udstrækningsløse (usynlige) punkter eller tal på tallinjen.

Nu kan det jo godt være, at Gud både spiller med terninger og laver uendelige delinger, men indtil videre, tror jeg at Anders Bargmann havde ret i, at jeg er et håbløst tilfælde, men det har været spændende ved hjælp af jeres links at få bare et lille kig ind i et hjørne af matematikkens verden, og måske får jeg en aha-oplevelse en dag.

Tak for links og anden hjælp.
Venligst. Steen

P.S. Hvis nogen skulle få lyst, efterlyser jeg stadig to FORSKELLIGE tal, som kontinuerligt støder op til hinanden.

  • 0
  • 0

fra 01. feb. 2012 kl. 15.28
blev desværre ødelagt ved overgangen til ing.dk, så jegforsøger igen:

Koincidensfrekvens fc Hz og istykkelse hi m:

fchi=(3cl^5rovkm(1-nyi^2)/(Eipi^2))^(1/3)

cl ....... m/s ........ 331,5 ............. lydhastighet i luft ................. 0 C

rov ..... kg/m^3 ... 1000............... dencitet for vatten ............... 0 C

km ..... - ............ 0,5*0,5^0,5 ..... relativt medsvingande vatten

nyi ..... - ............ 0,3 ................. tværkontraktion i is

Ei ...... Pa ......... 9,69*10^9 ....... elasticitetskoeffecient i is ...... 0 C

pi ....... - ........... 3,14

giver ... fc*hi = 34,5 ... m/s eller det samme med fc kHz og hi mm

så er tonen fc over 1 kHz er istykkelsen hi under 34,5 mm, og det gælder om at være forsigtig, hilser Tyge

Desvære ret ulæselig formel pga. ing. egne skriveregler, hilser Tyge
Jeg prøver med:
fchi=3cl^5rovkm(1-nyi^2)/(Eipi^2))^(1/3)

En gang til:

... fc*hi=(3 * cl^5 * rov * km * (1-nyi^2)/(Ei * pi^2))^(1/3) ... m/s

  • 0
  • 0