Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.
forskningsingeniøren bloghoved

Coronavirus: Ideer til matematik- og naturvidenskabelig undervisning

Da jeg i starten af januar 2005 kom retur til gymnasieundervisningen efter jule- og nytårsferie, havde min fysiklærer imponerende nok nået at lave et større kompendium med fysikopgaver med udgangspunkt i den tsunami, der ramte i Asien i december 2004.

Opgaver om bølger, hastigheder og kræfter blandt meget andet, og alt sammen inspireret af ulykken og de informationer, der blev gjort tilgængelige i medier og andre steder i tiden lige efter ulykken.

I de her dage taler vi ikke om tsunami, men om coronavirus og verdensomspændende pandemi. Og også i dette tilfælde er der ekstremt mange aspekter, som man kan lave en masse spændende matematik- og naturvidenskabelig undervisning på baggrund af.

Eksponentialfunktionen er selvfølgelig helt central. Den møder man allerede i gymnasiematematik, men mest som én blandt en hel masse funktioner - lineære funktioner, polynomier, logaritmer, trigonometriske funktioner, eksponentialfunktioner.

At eksponentialfunktionen er den vildeste, når vi taler om hvor hurtigt funktionerne vokser, tror jeg imidlertid ikke nødvendigvis at man lærer eller forstår. Det kan man nu nemt kaste lidt konkret og praktisk lys over.

Fit af datapunkter til funktion - eksempelvis til eksponentialfunktionen - er også centralt, og der er masser af data - f.eks. for antal smittede, antal diagnosticerede, antal døde, antal helbredte - tilgængelig, ikke bare for situationen i Danmark, men globalt set.

Hvilke funktioner kan disse data fittes til? Kan nogen dele af data fittes til én type funktion (f.eks. i starten af epidemien) og senere til en anden?

Kurver og integraler har vi også, direkte eller indirekte, hørt en del om.

Epidemien skal forsinkes og trækkes i langdrag, så antal smittede - eller antal hospitalsindlagte - på et givent tidspunkt ikke overstiger kapaciteten i sundhedsvæsenet.

Påvirkning af formen af kurven samt betydningen af arealet under kurven, eller under en del af kurven, kan belyses.

Målinger og systematiske målefejl kan ligeledes belyses.

For hvad siger eksempelvis antal diagnosticerede (også kaldet antal bekræftet smittede) om udbredelsen af virussen, hvis man fra myndighedernes side har besluttet ikke at forsøge at diagnosticere alle smittede, men kun dem med bestemte symptomer? Kan data om antal diagnosticerede fra før og efter en ændring i målestrategien sammenholdes? Måske er antal patienter på hospitalerne og/eller antal patienter i intensiv behandling på hospitalerne et bedre mål for udbredelsen?

Visualisering og diskussion af disse forskellige typer af data sammenholdt med myndighedernes målestrategier kan belyse emnet.

Computersimuleringer bruges aktivt, fordi det kan være svært, eller måske endda umuligt, præcist at bestemme og fremskrive udviklingen af antal smittede, antal hospitalskrævende, antal døde m.fl.

Brug af computersimuleringer og, hvis det skal være mere avanceret, udvikling af programmer til at lave computersimuleringer er oplagte emner til undervisning eller projekter.

Sådanne computersimuleringer bygger på modeller, som kan være simplificerede eller avancerede, afhængigt af hvad formålet er.

Nogle modeller er meget simplificerede, men kan give en kvalitativ forståelse af dynamikken. Andre modeller er avancerede og komplicerede at løse, men kan til gengæld give ikke bare kvalitative, men også kvantitative resultater - som man f.eks. kan bruge til at forberede sundhedsvæsenet eller samfundet mere generelt på problemets omfang.

Opgaver og projekter, der kaster lys over forskellige modeller, hvilke begrænsninger en model har, samt hvad man kan forvente at kunne forudsige med en model, kan laves med udgangspunkt i coronavirus.

Listen er helt sikkert meget, meget længere - bidrag gerne i kommentarerne.

Et naivt håb kunne være, at matematik- og naturvidenskabelig undervisning på alle niveauer udnytter situationen og den store interesse for at forstå, beskrive og fremskrive dette fænomen til at skabe interesse for og resonans med vores fag.

Og hvem ved - måske kommer der så ikke bare corona-babyer om ni måneder, men også corona-ingeniørstuderende om et par år?

Jakob Rosenkrantz de Lasson er civilingeniør og ph.d. i nanofotonik fra DTU. Jakob arbejder som Product Lead og forskningsingeniør hos virksomheden TICRA i København og blogger om forskning, fotonik og rumteknologi. Jakobs blog har tidligere heddet DTU Indefra (2012-2016) og DTU Studenten (2012)
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Denne model der vises mangler måske hvilken indflydelse en mere aktiv screening og isolation ville give.
Måske det er for tungt og besværligt i forhold til effekten. Alt tyder jo på at begrænsning i kontakt med andre er meget effektivt. Som det blev nævnt i aftes, må vi desværre vente en uge eller to på at se om der er en virkning.
Set ovenfra er der meget interessant matematik og sandsynlighedsregning i forløbet.

  • 4
  • 2

Man kunne jo ogsådiskutere hvilken strategi man skulle følge. Hvis man kender dødelighed for forskellige aldersgruppe ved smitte etc.
Svenskerne mener man bare skal holde risikogrupper specielt afsondrede men godt kan tillade noget i retning af alle (uden immunproblemer og bagvedliggende sygdomme som hjertepatienter mv.) mellem 0 og 50 år at fortsætte da man ikke mener disse bliver specielt syge - nærmest som en almindelig influenza. Resten skal holde sig hjemme. -Derudover skal man blive hjemme hvis man får ondt i halsen eller hoster. Det skulle ifølge statsepidemiologen på svensk TV forleden være nok til at sygdommens epidemiudbredelse kvæles. Naturligvis må man så stramme op hvis det ikke bliver fulgt. Holland har vist noget af den samme tankegang - ligesom England indtil fornylig.. Interessant er det jo at finde ud af hvornår de forskellige aldersgrupper bliver værre stillet end ved en almindelig influenzaepidemi. Der er vi jo slet ikke kommet til endnu.
Endelig kan man diskutere hvor meget samfundet skal bruge af midler for at stoppe det her. Ved en almindelig influenzaepidemi så jeg noget i retning af op til 2400 døde et år (et af de sidste år) - det er der ingen der har opfattet som et specielt problem. Og der havde man endda vakcine. Men det havde jo til gengæld heller ingen indflydelse på samfundets økonomi, produktion mm. vil jeg tro. Det kunne man jo også tage med i undervisningen.

  • 1
  • 4

Endelig kan man diskutere hvor meget samfundet skal bruge af midler for at stoppe det her. Ved en almindelig influenzaepidemi så jeg noget i retning af op til 2400 døde et år (et af de sidste år) - det er der ingen der har opfattet som et specielt problem


Tallet 2400 er nok forkert - mener jeg så det et sted - det drejer sig om 2800 døde i 2017/2018 sæsonen ifølge dette link fra Satens Serum Institut
Her statistik med aldersgrupper 0-4 år, 5-14 år 14-65 år og over 65 år for alle årene siden 2013/14 søæsonen. (Statistik der dækker 2010- 2018 har man her .
2017/18 var en specielt slem sæson.
Gennemsnittet af døde i en sæson er ca 1000 baseret på 6 års statistik fra 2013.
Bemærk hvordan de forskellige aldersgrupper kan rammes forskelligt afhængigt af influenzatype.
Børn og unge ser ikke ud til at blive ramt noget særligt af coronavirussen - modsat nogle af de influenzatyper vi er blevet ramt af før - se linket. Så derfor kan det godt have stor betydning for den strategi man skal forfølge i den nuværende situation.

  • 2
  • 4

Myndighederne justerer på inddæmnings strategien for at flade kurven ud i takt med antal smittede, indlagte og døde - altså noget i retning af en reguleringssløjfe med P-, I- og D-feedback.

Men gad vist om myndighederne er opmærksomme på, at en sådan regulering bliver ustabil, hvis P, I og/eller D vælges forkert.

Den "2. bølge" - som myndighederne også taler om - er måske udtryk for at man skruer for højt op for inddæmningen.

  • 0
  • 3

Hej Niels,

Tak for dine kommentarer.

Man kunne jo ogsådiskutere hvilken strategi man skulle følge. Hvis man kender dødelighed for forskellige aldersgruppe ved smitte etc.
Svenskerne mener man bare skal holde risikogrupper specielt afsondrede men godt kan tillade noget i retning af alle (uden immunproblemer og bagvedliggende sygdomme som hjertepatienter mv.) mellem 0 og 50 år at fortsætte da man ikke mener disse bliver specielt syge - nærmest som en almindelig influenza. Resten skal holde sig hjemme. -Derudover skal man blive hjemme hvis man får ondt i halsen eller hoster. Det skulle ifølge statsepidemiologen på svensk TV forleden være nok til at sygdommens epidemiudbredelse kvæles. Naturligvis må man så stramme op hvis det ikke bliver fulgt. Holland har vist noget af den samme tankegang - ligesom England indtil fornylig.. Interessant er det jo at finde ud af hvornår de forskellige aldersgrupper bliver værre stillet end ved en almindelig influenzaepidemi. Der er vi jo slet ikke kommet til endnu.
Endelig kan man diskutere hvor meget samfundet skal bruge af midler for at stoppe det her. Ved en almindelig influenzaepidemi så jeg noget i retning af op til 2400 døde et år (et af de sidste år) - det er der ingen der har opfattet som et specielt problem. Og der havde man endda vakcine. Men det havde jo til gengæld heller ingen indflydelse på samfundets økonomi, produktion mm. vil jeg tro. Det kunne man jo også tage med i undervisningen.

Men er det så til matematik eller et naturvidenskabeligt fag? Det lyder i vid udstrækning som noget, man ville behandle og diskutere i historie, samfundsfag og på statskundskab - som jo også er vigtige, men ikke de vigtigste for os ingeniører:-)

  • 3
  • 1

Dette tal R (reproduktionsrate) betyder åbenbart hvor mange en smittet kan nå at smitte under sin sygdomsperiode. Antal smittede vil så vokse som R^n, og det lyder voldsomt.
Men der er en tidsfaktor i tallet R, da dem der bliver smittede efterhånden bliver raske og dels ikke bliver smittede mere og dels ikke smitter nogle.
Tallet R er dynamisk og vil altså falde under hele epidemien, indtil det er så lille at epidemien uddør.
Meget forenklet gælder at jo flere der er smittede desto flere bliver raske, og på et tidspunkt er der flere der bliver raske end der bliver smittede.

  • 1
  • 2

Dør du eller dør du ikke?


Tanken strejfede blot fordi jeg lige havde hjulpet med lektier, binomiafordelingen er pensum, opgaven var tilfældigvis helt aktuel, og handlede om sandsynligheden for at dem der tager på skiferie vælger Østrig!
Bortset fra det er jeg nærmest blank på statistik :-)

  • 1
  • 1

Men er det så til matematik eller et naturvidenskabeligt fag? Det lyder i vid udstrækning som noget, man ville behandle og diskutere i historie, samfundsfag og på statskundskab - som jo også er vigtige, men ikke de vigtigste for os ingeniører:-)


Jo, man kan tage aldersklasser med modeller for smittespredning mellem klasserne og regne på hvordan epidemi og mortalitet udvikler sig. En meget vigtig opgave og ligetil at formulere matematisk. Det ville give elever indblik i hvorfor man kan vælge forskellige strategier, isolere svage men f. Eks. tillade alle andre at agere normalt. Man kan inddrage Monte Carlo metoder med diverse fordelinger af inkubationstid og aldersfordeling blandt borgerne. Det går an at bruge regneark meget snildt med statistikfunktionerne som er indbygget. Måske mere for at give eleverne en indsigt i dette problem, som vi må leve med i andre varianter fremover.

  • 1
  • 2

Det går an at bruge regneark meget snildt med statistikfunktionerne som er indbygget. Måske mere for at give eleverne en indsigt i dette problem, som vi må leve med i andre varianter fremover.


Helt simpelt (måske også for simpelt) så vil et antal smittede til et givent tidspunkt øge mængden af smittede proportionalt pr. tid med konstanten a, og et givent antal smittede vil komme sig også proportionalt pr. tid med konstanten b. Det er ren rentesregning.
Smittede på et givent tidspunkt S(t) burde være S(0)e^(a-b)t.
Konstanten b er bestemt af corona, så det eneste vi kan påvirke er a. Gør vi intet begrænses a af at jo flere der er/har været smittet jo færre kan smittes.
Vi kan så med diverse begrænsninger gøre a mindre, men udviklingen bestemmes faktisk af hvor hurtigt vi kan mindske a i forhold til hvad naturen gør selv.
S(t) giver behovet for pleje på et givent tidspunkt, og integralet af S(t) giver det totale antal der har haft smitten. Det endelige totale antal er egentlig ligegyldigt nu (senere bør det være størst muligt), men det væsentlige nu, er jo at maksimalværdien er håndterbar.

  • 2
  • 1

Er der nogle bud på konstanten b i min meget simple formel?
Hvis tiden regnes i uger er et godt bud på b måske 0,5. Det betyder omvendt at a (smittespredning pr uge) helst skal under 0,5 også. Med alle mulige forbehold, sætter det dog begrænsningerne i relief.

  • 0
  • 1

Hvis det skulle bruges i undervisnings-sammenhæng skulle det nok være til en mere moden målgruppe, der kan forholde sig til evt. personlige oplevelser forbundet med det...

  • 0
  • 0

Antallet af døde (eller hospitalsindlæggelser) over tid er ret præcise data i modsætning til antallet af registrerede smittede, som iøvrigt heller ikke siger noget om selve smittetidspunktet.
Ud fra udvikling i antallet af døde er opgaven at regne baglæns for at finde det faktiske antal smittede. Det kan gøres ved at simulere antal døde ud fra en given kurve af smittede.
En model for hver enkelt smittet kunne bestå i en startperiode på N dage efterfulgt af M dages interval, hvor den samlede sandsynlighed for at dø er p% (evt flad fordeling), feks noget i stil med N = 7 , M = 12 og p = 1 %.
Med denne model er det rimeligt enkelt at simulere de tilfældige udfald for en given kurve af antal smittede, og man kan prøve af finde en smittekurve der resulterer i de observerede antal døde.
I princippet kan antallet døde vist ses som resultatet af en foldning af kurven for antal dagligt smittede og sandsynlighedsfordelingen over tid for at dø.
Det kan også bemærkes at som ved andre inverse problemer, kan der være mange løsninger, der giver det samme resultat.

  • 0
  • 0

@Jakob Rosenkrantz de Lasson (skriver i tweet):

"Ja, tak, for gode data og visualisering. Men er antal testede og antal positive repræsentative for udviklingen? Teststrategien er ændret undervejs - og derfor, formentlig, utroligt mange flere smittede end de positivt testede."

Faktisk ændrede de ikke strategien, sådan som Mette F. meldte det ud d. 12. Marts. Man fortsatte med at teste op imod 1000 pr dag (hvilket er højt ift 5.6m indb.).

Hvis man kun testede folk med alvorlige symptomer, sådan som Mette F. meldte ud, må man formode at hit-raten have været langt højere end de 5-10%, som kurven viser efter 12/3.

.

Det der karakteriserer denne kurve, er at den starter med en "falsk" eksponent, som ikke afspejler en eksponentiel smitte-spredning på dansk grund, men derimod de op imod 500 smittede skiturister, der lige var kommet hjem fra fest i Alperne.

Man vidste m.a.o. i højere grad hvem man skulle teste før d. 12/3 end efter, hvilket ses af at hit-raten var meget højere før denne dato end efter.

Ironisk nok kan man måske udlede af data at vores regering var fhv hurtigt ude med de effektive tiltag, fordi de blev skræmt af det voldsomt accelererende smittetal, foranledt af hjemrejsende skiturister.

Reaktionen har så heldigvis medført at smitten videre fra disse skiturister har været markant ringere end kurven forudsagde fra starten.

En fordoblingstid på mere end 10 dage siden d. 12/3 i forhold til et naturligt reproduktionstal på 2,5 må siges at være godt håndteret, alt taget i betragtning.

  • 2
  • 0

Helt klart en god ide at benytte den aktuelle situation til at gøre matematikundervisningen nærværende.

Her er en super god beskrivelse (Numberfile) af SIR modellen, simple koblede differentilligniner og som kommer med forklaringen på 'flatten the curve' mantraet som nævnes igen og igen.
https://www.youtube.com/watch?v=k6nLfCbAzgo

En anden ide er at arbejde med visualiseringer, for eksempel Gapminder tools offline.
https://www.linkedin.com/pulse/covid-2019-...

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten