forskningsingeniøren bloghoved

Coronavirus: Eksponentialfunktionen er lineær i starten

Et meget brugbart matematisk værktøj er såkaldte Taylorudviklinger eller Taylorrækker af funktioner.

En Taylorrække er en repræsentation af en given funktion, f(x), omkring et bestemt punkt, x0, hvor repræsentationen specifikt består af en uendelig sum af polynomier - altså f(x) som en sum af x^0, x^1, x^2 osv.

Som eksempler kan f(x) = cos(x) og f(x) = sin(x), med x0 = 0, repræsenteres som hhv. 1-x^2/2!+x^4/4!-... og x-x^3/3!+x^5/5!-...

Jo længere man er fra udviklingspunktet, x0, jo flere led behøver man at medtage for, at Taylorrækken præcist beskriver den underliggende funktion.

Omvendt kan man, når x er tæt på x0, klare sig med færre led.

Tager vi i eksemplerne fra ovenfor x til at være tæt på x0 - altså tæt på 0 - kan vi se, at cos(x) til laveste orden er lig med 1, og at sin(x) til laveste orden er lig med x - hvilket selvfølgelig stemmer med, hvordan disse funktioner opfører sig omkring x = 0; cos(x) er 1 i x = 0 og med flad tangent, mens sin(x) er 0 i x = 0 og med lineær tangent.

Et andet eksempel, som er mere relevant i disse coronavirus-tider, er eksponentialfunktionen, exp(x). Dennes Taylorrække, omkring x0 = 0, er 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+... [1].

Til laveste orden er exp(x) altså lig med 1, og til lineær orden er exp(x) lig med 1+x.

Eller med andre ord: Når x er lille, er eksponentialfunktionen essentielt en lineær funktion.

Så hvis man kigger på data som forventes at udvikle sig eksponentielt - eksempelvis for antal smittede eller antal hospitalsindlagte med coronavirus - som funktion af tiden og observerer, at disse i starten umiddelbart falder på en lineær kurve, behøver man altså ikke undre sig. For dette tilsiger matematikken.

I billedet herunder har jeg illustreret dette.

Figuren viser f(x) som funktion af x for hhv. f(x) = exp(x) og for f(x) = 1+x. Det store plot har x løbende fra 0 til 0.5, mens det lille indsatte plot er et zoom på området for små x-værdier (fra 0 til 0.1).

Som det ses, er exp(x) så godt som lineær i det lille indsatte plot, mens forskellen på exp(x) og dennes førsteordens Taylorrække bliver mere synlig, når vi kigger helt op til 0.5.

Illustration: Jakob Rosenkrantz de Lasson

Ofte, når man taler om en eksponentialfunktion som funktion af tiden, skriver vi den som exp(a * t), hvor a er en konstant, og t er tiden [2].

Tiden t vokser, men hvis a er - eller gøres - tilpas lille, vil argumentet x = a*t fortsætte med at være lille. Og den eksponentielle vækst vil fortsat være eksponentiel, men altså domineret af de laveste led i Taylorrækken [3].

Noter

[1] Med denne Taylorrække er det klart, hvorfor eksponentialfunktionen - som beskrevet i mit seneste indlæg - er "den vildeste, når vi taler om hvor hurtigt funktionerne vokser", idet den udgøres af alle polynomier og alle med en positiv præfaktor. Så uanset hvilket polynomium der sammenlignes med, udgøres eksponentialfunktionen af polynomier med højere eksponent, som på et tidspunkt, for tilpas stor værdi af x, vil gøre eksponentialfunktionen større end ethvert polynomium.

[2] Hvis a ikke er konstant, men afhænger af tiden - f.eks. fordi nye tiltag over tid tages i brug i samfundet for at mindske smitten i coronavirus-tilfældet - er billedet generelt set mere kompliceret. Men hvis a(t) i dette tilfælde varierer langsomt, kan a(t) - via sin Taylorrække - tilnærmes til en konstant, eller måske til en førsteordens-funktion af t.

[3] Den afledte, som beskriver en funktions vækst eller ændring, af f(x) = exp(x) er f'(x) = exp(x), altså eksponentialfunktionen selv. Så væksten eller ændringen opfører sig altså på samme måde som funktionen selv, inklusive den lineære opførsel for små værdier af x.

Jakob Rosenkrantz de Lasson er civilingeniør og ph.d. i nanofotonik fra DTU. Jakob arbejder som Product Lead og forskningsingeniør hos virksomheden TICRA i København og blogger om forskning, fotonik og rumteknologi. Jakobs blog har tidligere heddet DTU Indefra (2012-2016) og DTU Studenten (2012)
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Eksponentialfunktionen er almindelig kendt, alle husejere med lån bør kende den, så hvorfor blande potensrækker ind i det. Fordoblingshastighed eller halveringshastighed burde alle kunne regne på.

  • 1
  • 13

Går man et niveau op i abstraktion i tal teorien og indrager de komplekse tal holder rækkeudviklingen stadig, men endnu mere subtilt (hvis eksponentialfunktionen er ren imaginær).:

eʸⁱ = 1 + (yi) + (yi)²/2! + (yi)³/3! + (yi)⁴/4! + (yi)/5! + … =

(1 – y²/2! + y⁴/4! – …) + i (y – y³/3! + y⁵/5! – …) =

cos(y) + i sin(y)

Således er : |eᶻ| = |eˣ⁺ʸⁱ| = √(e²ˣ (cos²(y) + i sin²(y))) = eˣ

og arg(eᶻ) = arg(eʸⁱ) = arg (cos(y) + i sin(y)) = y

Den komplekse eksponentialfunktion kan udover, at beskrive den reelle eksponentielle udvikling i tid af antal smittede patienter (for i = 0, er eᶻ = eˣ), også beskrive selve kernen, nemlig helixen DNAet er snoet omkring. Den komplekse eksponentialfunktions geometri er en helix der borer sig ud af koordinatsystemets plan, hvor front projektionen er enhedscirklen og hhv. horisontal og vertikal projektion er, i sin(y) og cos(y)

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 1
  • 4

Hej Jakob,

Det er en nydelig diskussion af rækkeudviklinger, men for en ordens skyld burde du gøre opmærksom på at den ikke er relevant for de Covid-19 data du linker til. Fra dag 7-14, hvor funktionen med god tilnærmelse er lineær, stiger antallet af indlagte patienter med mere end en faktor 5. En lineær tilnærmelse til eksponentialfunktionen ville slet ikke holde over et sådant interval.

  • 8
  • 0

Hej Jakob,

Det er en nydelig diskussion af rækkeudviklinger, men for en ordens skyld burde du gøre opmærksom på at den ikke er relevant for de Covid-19 data du linker til. Fra dag 7-14, hvor funktionen med god tilnærmelse er lineær, stiger antallet af indlagte patienter med mere end en faktor 5. En lineær tilnærmelse til eksponentialfunktionen ville slet ikke holde over et sådant interval.

Hej Jesper,

Tak for dine kommentarer.

Faktisk har jeg ikke selv kigget på data eller på at fitte forskellige funktioner til dem. Jeg så blot diverse indspark - det, jeg har inkluderet fra Twitter, samt et par andre - hvor det blev nævnt, at data ikke udviklede sig eksponentielt, men snarere lineært.

Men din pointe er god og væsentlig at have in mente i det konkrete tilfælde. Som man kan se i mine hjemmelavede plots, er tilnærmelsen rimelig præcis inden for 10% forøgelse (lille indsat plot), men når eksponentialfunktionen er vokset med 50% (stort plot), begynder afvigelsen mellem eksponentialfunktionen og den lineære tilnærmelse at være mere udtalt og synlig.

  • 5
  • 2

Mon ikke de mente udviklingen de seneste dage. Den første uge udviklede antallet af indlagte sig meget tæt på eksponentielt. Nu er det nærmere linært

  • 3
  • 0

Eksponentialfunktionen er kun en god approximation til smittespredning når: * Andelen af smittede i befolkninge er lav, andelen af helbredte er lav og dermed at andelen af modtagelige overfor smitte er høj - altså den situation vi har lige nu. * Befolkningen er homogent smittet/helbredt/modtagelige. (en hel familie med COVID-19 er ikke så smitsom som 5 familier med en smittet i hver) - næsten den situation vi har nu. * At de parametre der driver smittespredning holdes konstant- ikke den situation vi har i øjeblikket pga. de tiltag vi har taget.

Man kan sige at de tiltag vi implementerer nu roder ved eksponenten, og det er ikke udelukket at den eksponent kan komme tæt på 0, hvilket giver ren linær spredning så længe de første betingelser stadig er opfyld. eller sågar bliver negativ, hvilket giver en halveringstid i stedet for en fordoblingstid. Det er det, der er sket i Kina.

Der findes rigtig mange modeller for smittespredning, som mere eller mindre fanger hele forløbet. En af de mest intuitive til forståelse af smittespredning, som dog kun er gyldig i en befolkning, som overholder punkt 2 og 3 i antagelserne, er SIR modellen. Jeg har leget lidt med den i OpenModelica, og den giver et ret godt indblik - omend den er mere aggressiv end virkeligheden pga antagelserne. Link her til SIR og venner: https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmenta...

Et interessant takeaway fra SIR modellen er, at når man observerer linær vækst, så er man halvvejs igennem epedimien. Hvis man ændrer parametre undervejs og går fra eksponentiel vækst til noget der ligner linær vækst, så er der håb.

Et problem som SIR modellen ikke medregner er så smitte udefra. Det forudser jeg vil være et stort problem. For når vores lokale epidemi klinger ud pga de mange tiltag, som giver en negativ eksponent, så vil den ikke klinge helt ud. Den vil ligge på et konstant lavt niveau, klar til at eksplodere så snart man løfter de nationale tiltag, og gør eksponenten positiv igen. Den situation er Kina i.

Hvis man derimod holder en linær vækst og opnår immunitet i befolkningen, så er man robust overfor smitte udefra, selv med løftede tiltag. Det vil dog tage rigtig lang tid at få 5 mio danskere igennem en corona infektion, og det vil utvivlsomt resultere i rigtig mange døde, dog meget færre end hvis man blot lader det eksplodere, som USA åbenbart har tænkt sig (!!!).

Dertil er der selvfølig jokeren; en vaccine, eller effektiv behandling. Hvis man kan det, så er alt løst. Men får vi det i tide?

Så for at opssummere, så er alternativerne:

  • Stramme tiltag i meget, meget lang tid. Det giver negativ eksponent, og få døde, men en høj pris.

  • Kontrollerede tiltag i relativt lang tid. Det giver rigtig mange døde, og er ikke meget billigere end det første tiltag.

  • Ren eksplosion. Ikke rigtigt et alternativ.

  • 10
  • 0

Enig. Fortrød lidt at jeg ikke inkluderede den mulighed, efter at have tænkt over det. Det er det man skal.

  • 1
  • 0

Jeg ved ikke hvor lineær den er i begyndelsen eller senere, for hvis du bruger en logaritmisk y-akse er den lineær hele vejen, grafisk set. Det er et godt trik at bruge, hvis man mistænker en eksponentiel vækst eller for den sags skyld et fald.

  • 2
  • 7

Jeg ved ikke hvor lineær den er i begyndelsen eller senere, for hvis du bruger en logaritmisk y-akse er den lineær hele vejen, grafisk set.

Jeg håber at det er ment som en spøg, for linær afbildning af eksponentielle forløb er jo lidt en pointe med log-akser ;-)

Noget jeg derimod undre mig over er hvorfor JKdL og andre ikke kan skrive deres matematiske udtryk på en mere læsbar måde som f.eks. [latex]\exp(x) \approx 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots;x_0=0[/latex] fremfor: x0 = 0, 1+x/1!+x^2/2!+x^3/3!+... siden blogsystemet trods alt har den mulighed. Det gør efter min mening en stor forskel hvis man skal forstå meningen med udtrykket og ikke meningen med forskellige menneskers forsøg på at oversætte formler til egne ASCII-formatteringer. :-)

  • 8
  • 0

Som du siger, så kan man nemt fitte en exp funktion på enden af noget som ser lineært ud. For at det giver mening, så bør der stilles en hypotese. Feks. at a til et vist punkt må følge smittespredningen med et tids-lag.

Og giver det overhovedet mening at snakke om en lineær stigning?

Funktionen er drevet af at der er en smittespredning i samfundet, og den kan vel i praksis aldrig være lineær (?) - Den er enten >1 eller modsat.

Sundhedsstyrelsen siger, at med de nuværende tiltag er smittespredningen måske 30% begrænset, så fra 2.3 til 1.6 - Men da ingen aner hvor mange som er syge, så må de tal være indformerede/kvalificerede gæt. Det kunne være spændende at opstille nogle hypoteser for hvordan hospitalsindlæggelser ser ud ved forskellige værdier, og udviklinger i de værdier.

  • 1
  • 0

R0 skal simpelthen under 1. Det er det i Kina, og så kan vi også her. Der er noget der tyder på at det er tæt på, for R0 = 1 er linær vækst.

Lad os sige R0 er 1,1. Det betyder, at hvis vi som nation nedsætter vores smittefare med 10-20% så er det forskellen på om 90% får det, eller om under 1% får det. Det er simpelthen så essentielt at vi alle gør alt hvad vi kan. Den marginale forbedring per marginal forøgelse af ansvarlighed i ENORM, når man er lige ved at runde R0 = 1.

  • 4
  • 0

Vi er præcist 14 dage bagud i forhold til Spanien, der havde fundet det samme antal smittede som os idag allerede 10 marts.

Problemet er at vores kurver 14 dage bagude er identiske med Spanien 25 februar.

Det første dødsfald i Spanien indtraf 3 marts. og 3 marts var der fundet 162 smittede og 25 februar blot 7.

Danmark passerede spaniens 3 marts nummer den 10 marts hvor antal smittede der var fundet nåede 262. Og 3 marts passerede vi Spaniens 7 smittede 25 februar.

I denne uge skal resultaterne af vores sociale distancering til at vise sig for alvor ellers er vi i samme situation som Spanien.

Skræmmende at erindre Sundhedsstyrelsens evindelige jubel optimisme og et rent og skært jubelheld at politikerne åbenbart var villige til at handle på trods af lange kæder af ringe rådgivning. Måske var den kendsgerning at Mette Frederiksen blev sløj og dermed skræmt nok til at hoppe over alle køer til test nok til at det her blev taget alvorligt.

Hvis antal af dødsfald stiger ligeså hurtigt i Danmark som i de 10 dage siden første dødsfald vi havde den 14 marts, så har vi om 10 dage ligeså mange dødsfald som spanien havde igår.

  • 1
  • 4

Hvor kommer eksponential funktionen så fra i SIR modellen?

En konstant population N = S(t)+I(t)+R(t) hvor S (susceptibles) er modtagelige for smitte, I (infected) er syge og R (recovered) er raske efter smitte - alle som funktion af tiden t.

Ligningerne er givet ved

[latex]\frac{dS(t)}{dt} = -aS(t)I(t) [/latex] Nye syge er givet ved antal modtagelige gange antal smittede syge, så giver en nedgang i modtagelige [latex]\frac{dI(t)}{dt} = aS(t)I(t)-bI(t) [/latex] Antal raske efter sygdommen giver en nedgang i antal smittede syge [latex]\frac{dR(t)}{dt} = bI(t) [/latex]

a og b er case specifikke konstanter.

Ved starten er S stor og næsten konstant hvorved ligning 2 kan skrives : [latex]\frac{dI(t)}{dt} = aS(0)I(t)-bI(t) [/latex]

Dette er en første ordens lineær differentialigning med løsningen.

[latex]\ I(t) = I(0)e^{(-b+aS(0))t} [/latex]

Rnul er større eller mindre end 1 ved om eksponenten er positiv eller negativ.

[latex]R_0 = \frac{aS(0)}{b} [/latex]

Tak til opfordringen til at øve lidt LaTex.

  • 5
  • 0

Helt rigtigt set! Tak for uddybende forklaring.

Tror forresten at man normalt bruger R_0 = a/b så den er enhedsløs.

Desuden arbejder man i normaliserede størrelser. Dvs S+I+R = 1. Ellers skal man lige skalere lidt her og der, men det er detaljer.

  • 0
  • 0

Vi er præcist 14 dage bagud i forhold til Spanien, der havde fundet det samme antal smittede som os idag allerede 10 marts.

Det passer så ikke. Spanien dobler antallet af smittede hver 5 dag (en nedgang fra at doble hver 3 'dag), Danmark er gået fra at doble antallet af smittede hver 4 dag til 'kun' at doble hver 12 dag. Restriktionerne virker altså.

Der er nogle illistrationer her som opdateres fra EU's data:

https://ourworldindata.org/coronavirus#cas...

  • 3
  • 0

En eksponentialfunktion vokser procentvis med størrelsen. Er der som eksempel 1000 smittede, så forventes at antallet af nye smittede per dag vokser en bestemt procentdel af dette - og med andre ord, at antallet er det dobbelte antal nye smittede dagligt, hvis der er 2000 smittede. Deraf er meget nemt at se om der er lineær vækst, eller eksponentielt vækst.

Imidlertid, så er smittespredning ikke en eksponentialfunktion i praksis, og vi kan nemt se lineære tendenser. Men, det har intet med eksponentialfunktionen at gøre. En eksponentialfunktion er eksponentiel, og vokser eksponentielt. Det vil sige, at antallet af smittede per dag er det dobbelte, når der er 2000 smittede, i forhold til da der var 1000 smittede. Dette kan man ikke fifle med, for så er det ikke en eksponentiel funktion.

  • 1
  • 2

Imidlertid, så er smittespredning ikke en eksponentialfunktion i praksis

Oh, Jens Peter Nielsen har 2 indlæg herover udledt for dig hvorfor det netop er en exp funktion.

En exp funktion vil iøvrigt have en fordobling over en bestemt konstant tid, men der er intet som siger at det skal være 1, i den reneste form, altså y=exp(x) og der vil det være ln(2) eller 0.693...

At formen ikke ser exp ud nu skyldes formentlig mere, at der er en dynamik i at signalet er 14 dage forsinket ifht. smittede, og at det er det summeret tal. Hvis den ukendte kurve for smittede feks disse dage har en Ro mindre end 1, så vil det summeret signal for en tid se lidt lineært ud. Men hvad angår antal indlæggelser, så ser jeg intet matematik som vil give lineær tendens, så før eller siden vil det bryde en retning.

  • 0
  • 0

Oh, Jens Peter Nielsen har 2 indlæg herover udledt for dig hvorfor det netop er en exp funktion.

Der er altid en række antagelser. Antager vi som eksempel, at alle er smittede, så siger sig selv at vi ikke ser nogen eksponentiel vækst. Søger vi for at isolere de smittede, påvirker det også væksten - og vi skal så over i nye formler, der indikerer hvor effektiv at vores isolationsmetode virker. Og det påvirker også kurven. Måske øges vores tiltag efterhånden som kurven stiger, og så længe vi kan overkomme dette, så kan komme lineær faktorer.

Endeligt, så har vi ved et lille antal smittede et stor usikkerhed/støj, og det kan derfor være svært at se om det er eksponentielt eller lineært voksende, før at antallet stiger. Netop dette gør, at det er mere præcist at se på internationale data end danske data, da vi må antage at selve sygdommen virker ens.

Er vi i stand til at isolere de smittede, eller undgå de smitter andre, så vil vores kurve være en indikation for dette, og ikke for virussen.

Derfor, skal vi også vise, at vores isolationsmetode ikke er perfekt, og at denne fejl medfører en eksponential funktion.

Så vil vi - måske - se til sidst, at den samlede kurve består af en række eksponentialfunktioner der multipliceres eller lægges sammen. Og så vil det ende med en eksponential funktion der er dominerende. Er der en lineær faktor, så kan den nemt være dominerende i starten, og så vil vores eksponential funktion vinde senere. Det er dog ikke korrekt, at vores eksponential funktion er lineær i starten, men vores sammenhæng kan godt være lineært i starten, og ende med at vokse eksponentielt, fordi den består af en sum af lineære og eksponentielle data.

Jeg er dog helt enig i, at funktionen er eksponentiel. Men, det kan godt vise sig at den eksponentielle stigning ændrer sig, og at den betydning at det har, kan medføre noget som i en periode kan ligne noget lineært. Får sygdommen lov til at udvikle sig uden indgriben, så er ingen tvivl om, at udviklingen er ekspoentiel, indtil hele befolkningen er smittet.

Vi er nu oppe på 2000 smittede, og det kunne måske være interessant at udregne om den tid som en fordobling tager har været konstant, i den tid sygdommen har været i landet. Hvis denne konstant forbliver at være ens, så har vi et problem.

  • 0
  • 1

En eksponentiel udvikling er ikke nødvendigvis dårligt. Hvis vi kan bringe antallet som en smittet smitter ned under en, så vil en eksponentiel udvikling hurtigt medføre sygdommen helt uddør, med mindre at vi begynder at sløse når det sker, så vi undgår det.

  • 0
  • 1

Det er meget let at lade sig snyde af afbildningen, så man tror det er nogenlunde lineært. En exponentiel funktion y = e^(ax+b) +c ser altid lineær ud med det rette udsnit, men uanset a, b og c er den altså exponentiel. Man kunne også vende den om og sige, at enhver tilsyneladende lineær sammenhæng er exponentiel. Det er også et meget brugt trik i andre sammenhænge, alt efter hvad man vil opnå.

  • 0
  • 7
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten