Vi fejrer pi-dagen med en ny beregning

Amerikanerne med deres omvendte måde at skrive datoer fejrer, at 14. marts eller 3/14 er pi-dag.

I Danmark burde vi egentligt fejre 𝞹 den 22. juli (22/7), men da det dels er i sommerferien, hvor vi har andet at tænke på, og det internationalt er vedtaget at holde pidagen 14. marts, er Ingeniøren også med herpå.

Vi fejrer dagen med en ny lille beregning, der er dukket op det seneste år.

Det følgende er baseret på artiklen Relations between e and π: Nilakantha’s series and Stirling’s formula.

Arkimedes fandt, at 223/71 < 𝞹 < 22/7 ved at sammenligne omkredsen af regulære polygoner med 96 sider, der kunne indskrives i cirklen og omskrive cirklen.

Vi kan komme frem til 𝞹 ≈ 22/7 på anden og mere simpel vis ved at snyde lidt. For det kræver, at vi kender en tilnærmet decimalværdi for både 𝞹 og e, grundtallet for den naturlige logaritme.

Da 𝞹 ≈ 3,14159 og e ≈ 2,71828 gælder følgende med meget god tilnærmelse, hvilket er interessant i sig selv:

[latex] e+ 2\pi ≈ 9 [/latex]

[latex] \pi^2 ≈ 4e -1[/latex]

Disse to udtryk kan vi kombinere til

[latex] \pi^2 + 8\pi ≈ 35 [/latex]

Hvis vi erstatter ‘tilnærmet med’ med et lighedstegn, har vi en simpel andengradsligning med løsningen

[latex] \pi = \sqrt{51} - 4 = 7\sqrt{1 +2/49} - 4 [/latex]

Vi kan nu rækkeudvikle kvadratroden efter formlen

[latex] \sqrt{1 +2a} ≈ 1 +a [/latex]

og får

[latex] \pi ≈ 7(1+1/49) - 4 = 22/7 [/latex]

Herved kom vi på enkel vis frem til Arkimedes' udtryk for 𝞹, som var børnelærdom i skolen, før lommeregneren tog sit indtog.

Og hvad kan man så lære det af det? Ingenting. Men det er da en sjov lille beregning her på pi-dagen.

Hip, hip for pi. Og hvis du vil læse mere, er der et par link til nogle gamle artikler nedenfor.