Ungarsk matematiker får toppris for at bevise sin læremesters formodning
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Ungarsk matematiker får toppris for at bevise sin læremesters formodning

Abelprisen i matematik går i år til den 71-årige ungarske matematiker Endre Szemerédi for 'hans fundamentale bidrag til diskret matematik og teoretisk informatik og som anerkendelse for disse bidrags gennemgribende og varige betydning for additiv talteori og ergodeteori'.

Ergodeteori er en gren af matematikken, der behandler dynamiske systemer og hænger sammen med statistisk fysik.

Prisen, der er på seks millioner norske kroner, uddeles af Det Norske Videnskaps-Akademi til ære for Nordens meste berømte matematiker gennem tiderne: Niels Henrik Abel, der døde i 1829 kun 26 år gammel.

Szemerédis vej til matematikken gik først over et medicinstudium og et arbejde på en fabrik, før hans talent blev opdaget af den legendariske matematiker Paul Erdös, som er den person i verdenshistorien, der har publiceret flest matematiske artikler.

Endre Szemerédi har i lighed med sin berømte mentor også været produktiv gennem årene, men hans berømthed skyldes ikke mindst Szemerédis teorem inden for kombinatorikken, som er et bevis fra 1975 på en formodning, der var opstillet i 1936 af Paul Erdös og Pál Turán.

Læs også: Amerikansk matematiker modtager pris for eksotiske sfærer i syv dimensioner

Den følgende beskrivelse af Szemerédis teorem er baseret på den udlægning, som den britiske matematiker Timothy Gowers gav i forbindelse med offentliggørelse af Endre Szemerédi som årets modtager af Abelprisen.

Teoremet vedrører aritmetiske progressioner eller differensrækker.

En differensrække er en sekvens af tal, hvor tallenes værdi vokser med samme størrelse, eksempelvis er 3, 9, 15, 21, 27 en differensrække med en differens på 6.

Antag nu, at du får udleveret et lille tal, eksempelvis 5, og et stort tal, eksempelvis 10.000. Opgaven er at vælge så mange heltal mellem 1 og 10.000 som muligt, uden at nogle af disse tal indgår i en differensrække bestående af fem tal. Du taber eksempelvis, hvis du vælger tallene 101, 1103, 2105, 3107 og 4109, da disse fem tal er en differensrække med differens 1002.

Hvis du bliver ved at vælge nye tal, vil du til sidst tabe. Hvis du har valgt alle tal mellem 1 og 10.000 er det nemlig indlysende, at der er mange differensrækker med differens 5.

Læs også: Matematikpris for store afvigelser

Szemerédis teorem siger, at selv hvis man følger den bedst mulige strategi, vil man tabe lang tid før, man har valgt alle tal.

Hvis k er længden på differensrækken, vi skal undgå, og n er det antal tal, vi kan vælge blandt, så er S(k,n) det størst antal tal, det er muligt at vælge uden en differensrække på k tal.

Szemerédis teorem siger, at når n er stor, vil S(k,n) være en lille procentdel af n, og andelen kan gøres vilkårligt lille, når n er tilstrækkelig stor.

Hvis man eksempelvis vil undgå en differensrække med differens 23, så siger Szemerédis teorem, at der findes et tal n, så vi ikke kan vælge mere end 1 promille af tallene, før vi må opgive at finde flere tal. Det tilsvarende gælder for alle andre differensrækker og alle andre procenter eller promiller.

Timothy Gowers forklarer, at beviset er elementært i en teknisk betydning, men kompliceret i andre betydninger, så vi kommer ikke beviset nærmere i denne beskrivelse.

Læs også: Svensk matematiker modtager Abelprisen

Har dette bevis nogen som helst praktisk betydning? Nej, siger Timothy Gowers.

Når matematikerne alligevel finder det fascinerende, er det på grund af kontrasten mellem det simple udsagn og bevisets sværhed.

Hvis man insisterer på at lede efter en praktisk betydning, så fremhæver Gowers, at det vigtigste ved et matematisk bevis ofte ikke er selv beviset, men den metode, der bruges til beviset.

Han fremhæver, at ikke mindst inden for kombinatorik, som er Szemerédis virkeområde, vil løsninger ofte kræve udvikling af nye matematiske værktøjer, der kan bruges i mange andre situationer.

Dokumentation

Abelprisen
W.T. Gowers: The work of Endre Szemerédi
Niels Henrik Abel
Endre Szemerédi

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

"Antag nu, at du får udleveret et lille tal, eksempelvis 5, og et stort tal, eksempelvis 10.000. Opgaven er at vælge så mange heltal mellem 1 og 10.000 som muligt, uden at nogle af disse tal indgår i en 5-tals differensrække. Du taber eksempelvis, hvis du vælger tallene 101, 1103, 2105, 3107 og 4109, da disse fem tal er en differensrække med differens 1002."

Hvad er det lige, at differensrækken med differens 1002 har med en 5-talsdifferensrække at gøre ?

  • 0
  • 0

Der er nogle formuleringer, der er forkludret i artiklen.
Tallet 5 er åbenbart længden af differensrækken, ikke at forveksle med selve differensen, som f.eks. kan være 1002.
Man udtager altså 5 tal, der ikke danner en differensrække. Og det bliver svært efterhånden!

  • 0
  • 0

Det er altid interessant at erfare, hvor læserne ikke kan følge forklaring. Jeg har lavet en lille ændring i den sproglige beskrivelse af differensrækken på de fem tal: 101, 1103, 2105, 3107, 4109 som har differensen 1002. Forhåbentlig er det blevet lettere at forstå nu, men jeg kan naturligvis ikke være sikker.

Husk at når vi taler om S(k,n), er det differensrækkens længde, der er givet ved tallet k, det er ikke differensrækkens differens! Er det til at forstå?

  • 0
  • 0

Hmm, ville en matematiker i dette tilfælde ikke vælge at udtrykke sig ved en differensrække med 5 elementer ?

Muligvis. Nu er jeg ikke matematiker, men ingeniør.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten