Tænkeboks: Ventilationen skal yde 110,3 m3 luft pr. minut

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave fra Institut for Mekanik og Elektronik ved SDU i Sønderborg skulle 115 studerende til eksamen i et eksamenslokale på 8000 m3, hvor der desuden er fem eksamensvagter til stede. Når en person udskiller 980 cm3 CO2 pr. minut i gennemsnit, og CO2-indholdet i frisk luft er 0,04%, hvor meget luft skal så udskiftes pr. minut for at holde CO2-indholdet i eksamenslokalet under et maksimum på 1000 ppm, når der er tale om en eksamen af 1 times varighed og lokalet fra starten rummer frisk luft?

Illustration: Ingeniøren
Illustration: Ingeniøren

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge. /elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Hej,

Hvem kan hjælpe mig til at forstå matematikken her ? For det første bliver man helt rundtosset af det benævnes x(t) .. hvorfor ikke bruge y(t) ? :-)

Nå men spørgsmålet ... hvordan bliver denne diffentialligning løst: dy/dt = a + b* y(t) ?

mvh Jan

  • 0
  • 0

Springer opgavestilleren ikke lidt for let i mål til sidst?

Jeg forventede en analytisk løsning på opgaven, men der bliver jo kun præsenteret en analytisk løsning på opgavens første halvdel - løsning af selve differentialligningen.

Når man har løst differentialligningen og fået en ny ligning som resultat, skal denne ligning jo også løses for U, inden man er færdig. Men jeg ser ikke nogen løsning for U - kun en konstatering af, hvilken værdi af U, der tilfredsstiller ligningen.

Her er så to muligheder:

  1. Opgavestilleren antager, at løsningen på sidste ligning er umiddelbart indlysende og ikke behøver forklaring (heraf overskriften på mit indlæg).

  2. Opgavestilleren ved ikke, hvordan sidste ligning kan løses analytisk, så han har løst den numerisk.

Men hvis 2 er rigtig, hvorfor så overhovedet gå i gang med en analytisk løsning? Hvis numeriske metoder er en acceptabel løsning - hvilket jeg egentlig ikke mener er tilfældet for en tænkeboks-opgave - er opstilling og løsning af differentialligningen jo blot en unødvendig omvej.

Nu er spørgsmålet så: Findes der en analytisk løsning på den sidste ligning?

Jeg bilder mig ind, at ligningen må kunne omskrives til noget, der kan løses analytisk med Lambert-funktionen, men det er nok noget, man skal pusle lidt med på en dag, hvor man godt mentalt overskud og god tid.

  • 0
  • 0

Jeg bilder mig ind, at ligningen må kunne omskrives til noget, der kan løses analytisk med Lambert-funktionen, men det er nok noget, man skal pusle lidt med på en dag, hvor man godt mentalt overskud og god tid.

Mest simpelt omskrevet skal du kunne løse a=(1-e^-x)/x eller ax=(1-e^-x). Jeg finder ikke nogle oplagte substitutioner der gør det muligt.

Det er i øvrigt et meget brugt trick, at sige "man ser at løsningen er...". Lidt information om hvordan han så det, ville hjælpe.

  • 2
  • 0

Nu har jeg så den analytiske løsning på "Heraf ses det let, at...":

Vi har denne ligning, som vi ønsker at løse for U:

x(t) = 11,76 / U + 0,04 - 11,76 / U * e^(-0,000125 * U * t)

Først omskriver vi ligningen til:

U = 11,76 / (x(t) - 0,04) - 11,76 / (x(t) - 0,04) * e^(-0,000125 * U * t)

For at gøre ligningen lidt mere overskuelig, indfører vi konstanterne a og b:

a = 11,76 / (x(t) - 0,04)

b = -0,000125 * t

Ligningen kan nu forenkles til:

U = a - a * e^bU

...som derefter omarrangeres til:

(1 / ab) * (-bU+ab) = e^bU

e^bU kan omskrives:

e^bU = e^ab * e^(bU-ab)

e^bU = e^ab / e^(-bU+ab)

Det kan kombineres til:

(1 / ab) * (-bU+ab) = e^ab / e^(-bU+ab)

...som derefter omarrangeres til:

(-bU+ab) * e^(-bU+ab) = ab * e^ab

Leddet på ligningens venstre side kan løses med Lambert W-funktionen. Generelt om denne funktion: Hvis x * e^x = y, så er x = W(y).

Ligningen kan dermed løses for -bu+ab således:

-bU+ab = W(ab * e^ab)

..som omarrangeres, så vi har en løsning for U:

U = a - W(ab * e^ab) / b

Nu er det på tide med nogle rigtige tal for a og b.

Vi ved, at t = 60, og x(t) = 0,1

a = 11,76 / (x(t) - 0,04) = 11,76 / (0,1-0,04) = 196

b = -0,000125 * t = -0,000125 * 60 = -0,0075

ab = 196 * (-0,0075) = -1,47

Værdierne for a og b sættes ind i ligningen:

U = a - W(ab * e^ab) / b

U = 196 - W(-1,47 * e^-1,47) / (-0,0075)

U = 196 - W(-0,33799046) / (-0,0075)

Nu har min lommeregner så ikke lige en knap for W-funktionen. Men funktionen findes heldigvis i Python:

W(-0,33799046) = -0.642771

Løsningen bliver dermed:

U = 196 - (-0.642771) / (-0,0075) = 110,3 m³/minut

  • 2
  • 0

Leddet på ligningens venstre side kan løses med Lambert W-funktionen. Generelt om denne funktion: Hvis x * e^x = y, så er x = W(y).

xe^x optræder åbenbart så ofte at man har "tabellagt" den omvendte funktion. Det var nyt for mig, men det virkede noget kompliceret at komme frem til at bruge W-funktionen, og jeg ville sikkert lave fejl i alle disse substitutioner. Så var det hurtigere at iterere sig frem til resultatet ud fra udtrykket for x(t), som kun indeholder velkendte og meget brugte funktioner.

Der er åbenbart ikke nogen løsning ud fra de almindelige funktioner.

  • 1
  • 0

xe^x optræder åbenbart så ofte at man har "tabellagt" den omvendte funktion. Det var nyt for mig, men det virkede noget kompliceret at komme frem til at bruge W-funktionen, og jeg ville sikkert lave fejl i alle disse substitutioner.

Det var også nyt for mig, at den fandtes. Og ja, det krævede noget tænkearbejde* at få det samme udtryk til at stå i eksponenten og foran eksponenten, hvilket er en forudsætning for at bruge funktionen.

Men jeg kan simpelthen ikke acceptere, at en Tænkeboks-opgave skal løses numerisk. Det er jo det, vi alle gør til dagligt, hvor ingen arbejdsgiver vil betale os for at løse en regneopgave analytisk.

Skulle jeg på mit arbejde have løst opgaven, havde jeg hældt tallene ind i et regneark med 3600 rækker (1 række pr. sekund), og derefter brugt goal seek til at ændre startbetingelsen, indtil slutresultatet passede. Det havde taget få minutter. Men det er der jo ingen som helst intellektuel udfordring i.

(*: Det tog mig faktisk det meste af en eftermiddag at opstille en analytisk løsning, især fordi jeg flere gange undervejs troede, at jeg havde fået formlerne opstillet forkert, og derfor begyndte forfra.

Da jeg var færdig, fandt jeg så en en Wikipedia-side med en generel Lambert W-baseret løsning på:

x = a +b * e^cx

Den kunne jeg sagtens have brugt i stedet for min egen generelle løsning på: U = a - a * e^bU

Men i det mindste fik jeg dermed bekræftet, at jeg havde den rette løsning.

Puha, det er svært at lave rigtig matematik efter 30 år med regneark og diverse programmeringssprog.)

  • 2
  • 0

Puha, det er svært at lave rigtig matematik efter 30 år med regneark og diverse programmeringssprog.)

Tak for dine overvejelser om en "rigtig" løsning versus den enkle. Jeg fandt at a=(1-e^-x)/x kan omformes til b=ye^y, da jeg vidste hvad jeg skulle opnå. Hvorfra havde du at det var en nogenlunde brugt funktion?

Opgaverne er ofte en udfordring jeg kan lide, og en løsning med kendte funktioner/metoder er ønskeligt, men det er måske lige så væsentligt at kunne afgøre, at den ikke kan løses med de kendte funktioner/metoder. Nogle gange kører man bare på med rå kraft, hvor en lidt anden synsvinkel gør løsningen enklere.

I matematik husker jeg, at der var nogle regler for betingelserne for en løsning til et givet problem, som kunne hjælpe til at vælge metode . Som ingeniør var det ikke det store, for de fleste problemer vidste man havde en løsning, selvom man måske ikke kunne finde det optimale. De kendte funktioner som log, eksponent, sinus og tangens er jo heller ikke nogle man lige trækker op af hatten.

  • 0
  • 0

Hej Allan,

Flot matematik. Du er dog lige en postgang for sent ude som jeg ser det :-)

  1. Du havde ikke et bud på et svar inden løsningen kom
  2. Du løste en ligning som du fik gratis i svaret
  3. Du kendte resultatet da du løste ligningen

Som jeg personligt ser det, handler det mest om at kunne forstå og omsætte en given opgave til matematik. Om du så løser den numerisk eller analytisk er ikke det der rykker på bundlinjen (som du jo også nævner en arbejdsgiver vil sige).

alt det bedste Jan

  • 0
  • 2

Du er dog lige en postgang for sent ude som jeg ser det

Så har du ikke læst tråden.

Grunden til, at jeg kastede mig ud i en løsning, var min skuffelse over opgavestillerens mangelfulde løsning. Jeg er jo nødt til at se hans løsning, før denne skuffelse kan opstå.

Som jeg personligt ser det, handler det mest om at kunne forstå og omsætte en given opgave til matematik.

Uenig. Problemet i denne opgave er så simpelt at omsætte til matematik, at det ikke er der, den intellektuelle udfordring ligger.

Og det er vel intellektuel udfordring, der er målet med den slags opgaver. Ellers er det jo blot arbejde uden løn.

  • 3
  • 0

Opgaven må oprindelig være ca. 4-5 år gammel, idet atmosfærens CO2 indhold vokster med 2-2.5PPM/år og nu er oppe på 410PPM.

Tillægsspørgsmålene er derfor:

Antag at CO2 tilvæksten er 2PPM per år.

Hvor mange procent skal der skrues op for ventilationen hvert år ?

Hvor mange år går der før et ventilationsanlæg på 125 m³/minut er utilstrækkeligt ?

Begge tal overraskede mig...

  • 2
  • 1
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten