Tænkeboks: Ved f = 0,1 skal man bruge 0,5939 tests pr. person

Sidste uges opgave forudsatte, at man enkeltvis udtager prøver fra personer og samler prøverne fra N ad gangen i én beholder, som så testes for virus. Find den statistisk set optimale værdi af N, dvs. færrest mulige antal test, når sygdomsfrekvensen f er hhv. 10 % (dvs. 10 procent er faktisk syge), 30 %, 50 % og 1 %? Er der nogen grænse for, hvornår det kan betale sig at teste flere på én gang frem for enkeltvis?

Løsning: Sandsynligheden for ingen smittede blandt N personer er (1-f)N, så sandsynligheden for, at én eller flere er smittede, er 1-(1-f)N.

Det forventede antal tests for N personer er derfor 1 + (1 - (1-f)N)N (1 fælles, samt sandsynligheden for smittede gange antallet af personer), og dermed er det forventede antal tests pr. person (1 + (1 - (1-f)N)N)/N=1 + 1/N =- (1-f)N.

Skal dette være bedre end at teste hver person for sig, skal altså 1/N - (1-f)N < 0, hvilket kan opfyldes for et passende N, hvis f < 1 - 0exp(-1/e) =~ 0,308.

Problemet her er dog, at N skal være et heltal, og med dette yderligere krav fås, at vi skal have f < 1 - 3(-1/3) =~ 0,307.

Vi kan altså se, at hvis mere end ca. 30 % af de testede er positive, så kan metoden ikke betale sig. Med f = 0,3 kan metoden statistisk betale sig, idet man kan spare ca. 1 % af testene, hvis N = 3 (det optimale valg), hvis f = 0,1, skal man i snit bruge 0,5939 tests pr. person ved det optimale N = 4, og ved f = 0,01 skal man i snit bruge 0,195571 tests pr. person ved det optimale N=11. 

– – –

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave, når vi udkommer igen den 15. maj efter storebededags­ferien i næste uge.  Lynch