Tænkeboks: Vælg de rette tal under 100

Illustration: Ingeniøren

Opgave 271:

Vælg n positive heltal mindre end 100.

Ligegyldigt hvilke af disse tal man derefter lægger sammen, skal man få en sum, som ikke kan opnås ved at lægge andre af tallene sammen.

Find løsningen for n = 7, 8, 9 og 10.

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 374: Tænkeboks: Find en tid med forskellige cifre

Digitaluret viser første gang ti forskellige cifre, den 26/03 kl. 17:48:59 – og sidste gang den 28/09 kl. 17:56:43.

Løsningerne findes lettest ved at starte med måneden, hvor det hurtigt viser sig, at januar og februar er uforenlige med enhver dato – og at den tidligste mulighed i marts er den 26.

På samme vis findes den sidste dato ved først at udelukke december, november og oktober.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Hvad forstås der ved at lægge sammen. Er det kun to af tallene eller kan det også være flere end to?

For n = 7 kan det være 1,2,4,8,16,32,64. Opdelingen af værdier på mønter og sedler er også en god kandidat. Det giver et fingerpeg, men jeg mangler noget i at finde hele systemet.

  • 1
  • 3

n = 7: 93+94+95+96+97+98+99=672

n = 8: 92+93+94+95+96+97+98+99=764

n = 9: 91+92+93+94+95+96+97+98+99=855

n = 10: 90+91+92+93+94+95+96+97+98+99=945

Som jeg forstår opgaven, så kan ingen af summerne nås med andre tal, under 100, end netop disse (med mindre man må bruge det samme tal flere gange).

  • 0
  • 2

Du forstår ikke opgaven. Man skal ikke maksimere summen, man skal undgå 2 undergrupper med samme sum. Man må således ikke have 99 + 96 = 98 + 97.

  • 2
  • 0

Jeg har computerfrit fundet en skabelon, der kan danne 15 løsninger til ugens opgave. I opgaven skal man finde flest muligt tal i intervallet fra 1 til 99. Det skal være således, at en vilkårlig undergruppe af tallene og en vilkårlig undergruppe af de resterende tal aldrig må have samme sum. Det viser sig, at der så kun kan blive tale om 8 tal.

I min løsning vælger jeg tallene i den høje ende af skalaen fordi man så kun behøver at sammenligne undergrupper med lige mange tal, dvs. 1+1, 2+2, 3+3 og 4+4. Jeg vil forklare denne løsning:

[latex]\;t_1 \quad \; t_ 2 \quad t_ 3 \quad \; t_4 \quad \ t_5 \quad t_6 \quad \ t_7 \quad t_8 [/latex] [latex] 99 \quad 98 \quad 97 \quad 95 \quad 92 \quad 86 \quad 75 \quad 55 [/latex]

Jeg vælger ved opbygningen generelt de størst mulige tal, så de 3 første tal skal blot opfylde 1+1 betingelsen, dvs. være forskelleige. Men t4 og t5 skal også opfylde 2+2 betingelsen med at alle talpar skal have forskellig sum. Det opfylder jeg ved at det nye tal skal være mindre end summen af de to sidste tal minus det første tal: [latex] t_4 < 97 + 98 - 99 =96 \qquad t_5 < 95 + 97 - 99 = 93 [/latex]

De sidste 3 tal skal også opfylde 3+3 kriteriet, hvilket tilsvarende ovenfor kræver: [latex] t_6 < 92 + 95 + 97 - (99 + 98) = 87 \qquad t_7 < 86 + 92 + 95 - (99 + 98)= 76 [/latex] [latex] t_8 < 75 + 86 + 92 -(99 + 98) = 56 [/latex] Kriteriet 4+4 er opfyldt fordi summen af de 8 tal er 697, et ulige tal. Hermed er løsningen klar.

Der er tale om en skabelon fordi vi kan trække et vilkårligt tal x fra alle 8 tal og få nye løsninger. Dog skal x være så lille, at test med et forskelligt antal tal i de to undergrupper ikke kommer på tale, og her er 3+4 testen mest restriktiv. I ovenstående løsning giver summen af de 4 sidste tal minus summen af de tre første tal værdien 14. Med x = 14 forhindrer 3+4 testen således en løsning. Vi kan derfor kun benytte x-værdier fra 0 til 13 og i øvrigt også x = 15. En nøjere undersøgelse viser, at intet større x er muligt fordi de mange kriterier med uens antal led i undergrupperne spiller ind.

Hvis man ved dannelsen af en skabelon ikke insisterer på at benytte det størst mulige tal hver gang, får man massevis af skabeloner, der ved en computerberegning i alt frembringer 469 løsninger. For alle disse løsninger er det største tal i serien mindst 84 ligesom ovenfor med x = 15.

  • 1
  • 0

Opgavebogens løsning har en anden tilgang end min. Som et vink kan jeg foreslå, at man begynder med tallet 1 og fortsætter med 7 tal i 2-tabellen. Eller noget lignende. Svend var lidt på vej i #1.

  • 0
  • 1

Eftersom det er umuligt at finde 10 tal hvis løsningen indebærer at et vilkårligt antal skal kunne kombineres har jeg valgt at løse opgaven under den forudsætning at der altid er tale om summen af eksakt 2 forskellige tal.

Under den forudsætning er fx de 10 første Fibonacci-tal (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89) en gyldig løsning som er relativt nem at verificere.

Med computeren på opgaven er det lykkedes mig at finde løsninger med op til 13 tal, 14 er formodentlig umuligt, men jeg har ikke noget bevis. En løsning er eksempelvis: 2, 4, 6, 15, 24, 36, 42, 48, 67, 83, 90, 93, 98

  • 0
  • 1

Lidt løse tanker, som jeg ikke helt har gennemtænkt.

For 7 tal er 1, 2, 4 . . . 64 en løsning uanset hvordan man summerer sammen. Hvordan ser det ud hvis man lægger en konstant til alle tallene? Og hvad vil kravet være til denne konstant, udover at det største tal skal være mindre end eller lig med 100.

Det giver mange muligheder, men opgaven har flere dimensioner end jeg umiddelbart kan overskue. Jeg fornemmer at differensen mellem tallene er betydningsfuld.

  • 0
  • 4

Du finder jo ikke løsninger til den givne opgave, men til en anden opgave, du selv har udtænkt. Hvis du ikke kan finde løsninger med n = 10, så prøv med n = 8. Men det er ikke nok at sammenligne talpar, tripler og quadrupler skal også med.

  • 0
  • 1

Du forstår ikke opgaven. Man skal ikke maksimere summen, man skal undgå 2 undergrupper med samme sum. Man må således ikke have 99 + 96 = 98 + 97.

Altså, opgaven lyder:

Vælg n positive heltal mindre end 100.

Ligegyldigt hvilke af disse tal (positive heltal mindre end 100) man derefter lægger sammen, skal man få en sum, som ikke kan opnås ved at lægge andre af tallene (positive heltal mindre end 100) sammen.

Find løsningen for n = 7, 8, 9 og 10.

Altså, vælg hhv. 7, 8, 9 og 10 tal, der er under 100. Summen af disse tal må ikke kunne opnås ved kombinationen på hhv. 7, 8, 9 eller 10 af andre tal (under 100). Sådan læser jeg dét, der står.

Der står ikke noget om nogen undergrupper.

Derfor synes jeg at mene, at jeg har løst opgaven, som den er formuleret. Punktum og dejlig påske :)

  • 0
  • 4

Altså, opgaven lyder:

"ved at lægge andre af tallene sammen". Med andre menes de andre (de resterende) af de 7...10 tal man har valgt. Jo flere tal du har brugt til din sum desto færre bliver der tilbage at arbejde med. Opgaven er ikke krystalklart formuleret.

  • 0
  • 4

Opgaven er korrekt formuleret. Man skal vælge et tal n, fx. n = 8. Når man tager en undergruppe af disse tal og en undergruppe af de resterende tal, må disse undergrupper aldrig have samme sum. Opgaveteksten benytter ikke betegnelsen undergruppe, men det er tydeligvis det, der menes. Opgaven går så også ud på at fastslå hvor højt et n, man kan klare dette for. Men man skal regne hele opgaven igennem med et fast n. Der er ikke noget at være i tvivl om i opgaveteksten, men løsningsarbejdet kan virke ret uoverkommeligt.

  • 2
  • 1

Opgavens korte tekst virker tvetydig for mig og ud fra kommentar feltet er det samme tilfælde for andre læsere.

Mit første indskud var at bruge primtal, da de parvis ikke lader til at ramme samme sum. Jeg har dog ikke regnet efter, efter at læst ovenstående kommentarers fortolkning af opgaven.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten