Tænkeboks: Udfyld en mærkelig tabel

Illustration: Ingeniøren

Opgave 27:

Illustration: Tænkeboxen

Tabellen er udfyldt efter et system, som nok kan være vanskeligt at gennemskue. Men når man finder fidusen, er det ikke svært at udfylde resten af tabellen.

– – –
Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 343: Tænkeboks: Placér 111 gæster

Sandsynligheden for, at den 111. person kommer til at sidde på sin egen plads er såmænd 50 procent.

Når den 111. person skal sætte sig, er enten plads 1 eller plads 111 ledig. Alle andre pladser vil være besat af deres ejer, hvis de har været ledige, da han kom ind.

Hver gang de to pladser 1 og 111 har været ledige, har hver enkelt person haft samme sandsynlighed for at sætte sig på én af dem, så der må altså være lige stor sandsynlighed for, at én af dem ender med at være ledig.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Kim! Tja. Det svarer til, at lægge to til tallene lagt sammem vandret og lodret ud for feltet, men hvorfor 2, det kunne lige så godt være et andet tal, og synes ikke at give en logik i skemaet.

  • 0
  • 0

Ugens opgave er dårlig i den forstand, at den undertrykker den frugtbare dialog, der normalt forekommer mellem læserne i et forsøg på at komme tættere på løsningen. Med ugens opgave er der larmende tavshed indtil et begavet menneske (måske) afslører løsningen, hvorefter der igen er larmende tavshed fordi alting er sagt. Der er ingen mellemstadier. Jeg vil forsøge at rette op på dette og bidrage til det sociale samvær og diskussionslysten på Bagsiden med en lille let opgave, der løses forkert af de fleste. Hvis Søren ikke synes om dette tiltag, må han skælde mig ud.

En tynd stav knækkes over et vilkårligt sted, hvorefter det største af stykkerne igen knækkes over et vilkårligt sted. Hvad er sandsynligheden for, at de tre stykker kan udspænde en trekant?

  • 2
  • 0

Ad #3. 100%, da man ved at knække en stav at vilkårlig længde må få 2 stykker. Altså ender man op med 3 rette stykker stav med en længde større end nul. Og de vil altid kunne udspænde en trekant.

Eller hvad har jeg overset?

  • 1
  • 0

Glem #4. Fuldstændig forkert antagelse jeg gjorde. Er spændt på hvad det rigtige svar er :-(

  • 0
  • 0
3:

For at sidestykkerne a,b og c kan udgøre en trekant, så kræver det at summen af 2 af siderne altid er større end den 3. side. a+b>c, b+c>a og a+c>b for at enderne kan nå sammen.

Da jeg er computer nørd, så lavede jeg selvfølgelig en simulation ;)

Og med den kunne jeg påvise at der er i gennemsnit 6% chance for at tilfældige knæk kan resultere i at stykkerne tilsammen kan udgøre en trekant.

Program:

     procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);  
     var  
        i,a,b,c,d,l:integer;  
        f:single;  
        success:integer;  
     begin  
          Randomize;  
          success:=0;  
          for i:=0 to 10000 do  
          begin

               // Knæk pinden tilfældigt sted.  
               f:=random;  
               l:=random(100);  
               a:=trunc(l*f);

               // Lad a være den længste del.  
               if a<(l div 2) then  
                  a:=l-a;

               // Lad d være resten.  
               d:=l-a;

               // Knæk d tilfældigt sted. Lad c og b være længderne  
               f:=random;  
               c:=trunc(d*f);  
               b:=d-c;

               // Hvis a længere end b+c så vil det aldrig kunne blive en trekant.  
               if (a>b+c) then  
               begin  
     //               Memo1.Lines.Add(Format('l=%d, a=%d, b=%d, c=%d',[l,a,b,c]));  
                    continue;  
               end;  
               inc(success);  
          end;  
          ShowMessage('Success:'+inttostr(success));  
     end;
  • 0
  • 3

En, to, tre, fire, fem, seks, syv, otte, ni, ti — disse har uregelmæssige navne — elleve, tolv, tretten, fjorten, femten, seksten, sytten, atten, nitten, — disse navne er bageste ciffer "over" eller "plus ti" eller som det hedder ten — tyve, denne vil sige to gange (ti), tredive, fyrre, ok. Men halvtredjesindstyve fra 2,5 x 20 idet 2,5 er halvtredje (hvor tredje er ordenstal) eller halvtreds, tresindstyve (tres uden stumt d fordi tre er kardinaltal, halvfjerdesindstyve, firsindstyve, halvfemsindstyve, og så siger man bagerste ciffer plus næstbagerste ciffer, for eksempel, femogtredive = 35, treoghalvtreds = 53. Forkert var og er og bliver fyrretyve som ikke er 4 x 20

  • 0
  • 2

En pind med længde 1 deles tilfældigt i 2 dele med længderne x (<= 1/2) og 1 - x. Lægges de to stykker ved siden af hinanden så de flugter i den ene ende, må snit 2 ikke ligge på den yderste halvdel af det frie stykke hvis de 3 dele skal udspænde en trekant. Tilsvarende hvis de 2 stykker flugter i den anden ende. Snit 2 skal altså ligge i et interval med længde x midt på den lange pind. Dette sker med sandsynligheden x/(1-x), der så integreres op for x mellem 0 og 1/2 og divideres med intervallængden 1/2, hvilket giver resultatet 2 ln(2) -1 = 0,386. Fik du også det?

En Monte Carlo beregning kan foretages således:

antal = 1000

hit = 0

for n = 1 to antal

  x = RAND/2  

  y = (1-x) RAND  

  hit = hit + (y<x)  

end

svar=hit/antal

Kommentarer: (i) RAND er en funktion der genererer et nyt tilfældigt tal mellem 0 og 1 ved hvert kald. (ii) Det undersøges om snit 2 ligger på den første strækning med længde x i stedet for den midterste strækning med længde x, hvilket giver det samme resultat. (iii) (y<x) er en logisk struktur, der antager værdien 1 hvis indholdet er sandt og værdien 0 hvis indholdet er falsk.

  • 2
  • 0

Tusind tak til H.B.P. for din for mig værdifulde oplysning

fjorir tigir = 40 = XXXX

Fordi jeg laver frivilligt arbejde med lektiehjælp og bør nemlig være i stand til at forklare danske talord til dem

Desuden kan i den sammenhæng oldromertallene være nyttige (kun addition af enere til højre for femmere til højre for tiere, o.s.v., for eksempel XVIIII = 19) til at tælle så dem synes jeg man burde omtale kort og godt i skolen

Faktisk benyttede antikkens astronomer sexagesimaltal som var positionstalsystem med base 60 og moderne tal med base 10 kaldes hindi-araber-tal og så findes der jo også binære tal med base 2 som alt sammen er pensum i Folkeskolen hvis eleven er lidt uheldig at komme op i det

"Der findes også andre som ved noget" (syrisk ordsprog)

  • 0
  • 0

Opgaven bliver mere og mere indviklet, for selvfølgelig kan det længste stykke knækkes så det afknækkede ikke kan nå tilbage om man så må sige.

Skyldes nok at man tænker som at knække en gren, hvor man ikke knækker meget korte stykker af.

  • 1
  • 0

En pind med længde 1 deles tilfældigt i 2 dele med længderne x (<= 1/2) og 1 - x. Lægges de to stykker ved siden af hinanden så de flugter i den ene ende, må snit 2 ikke ligge på den yderste halvdel af det frie stykke hvis de 3 dele skal udspænde en trekant.

Hvorfor ikke det? Hvis bare det længste stykke er kortere end halvdelen af pindens længde, må stykkerne da kunne danne en trekant?

Dette sker med sandsynligheden x/(1-x), der så integreres op for x mellem 0 og 1/2 og divideres med intervallængden 1/2, hvilket giver resultatet 2 ln(2) -1 = 0,386. Fik du også det?

Modsat dig får jeg derfor, at det er (x-0.5)/x der skal integreres fra 0,5 til 1. Og så ganges med 2, da begge stykker efter første bræk kan ende som det længste. Det giver resultatet 1-ln(2)=30,7% som sandsynlighed for at der ikke kan dannes en trekant. Og dermed ln(2)=69,3% for at der kan dannes en trekant.

  • 1
  • 0

hvilket giver resultatet 2 ln(2) -1 = 0,386. Fik du også det?

Det er så tilgengæld også det jeg får ved simulation.

from random import *

længde = 100000

antalTests = 1000000

trekantOK = 0

for i in range(antalTests):

# Bræk i tre tilfældige stykker  
stykke1 = randint(1,længde)  
stykke2 = længde - stykke1  
if stykke1 > stykke2:  
    knækkesIgen = stykke1  
    færdigtStykke1 = stykke2  
else:  
    knækkesIgen = stykke2  
    færdigtStykke1 = stykke1  
færdigtStykke2 = randint(1,knækkesIgen)  
færdigtStykke3 = knækkesIgen - færdigtStykke2  

# Kan det danne et trekant  
stykker = [færdigtStykke1,færdigtStykke2,færdigtStykke3]  
stykker.sort()  
if stykker[2] < (stykker[0]+stykker[1]):  
    trekantOK +=1  

print(100*trekantOK/antalTests)

  • 0
  • 0

Børge. I din MC rutine bruger du x og y. Jeg tænker at 'x' er længden af den korte pind efter første knæk og 'y' er længden af en af pindene efter andet knæk. Dvs. at den anden pind efter andet knæk må have længden (1 - x) - y. Mon det er rigtig forstået ? Hvordan sikre testen y < x at ingen af de 3 pinde er længere end 0,5 ?

For i = 1 To sLoop

x = 0.5 * Rnd  

y = (1 - x) * Rnd  

If y < x Then Hit = Hit + 1  

If ((1 - x) - y) < 0.5 And y < 0.5 Then Hit02 = Hit02 + 1  

Next

Jeg har kørt en MC med begge ovenstående tests. De giver samme sandsynlighed (0,386), men det er ikke alle pindene med x < y testen der kan bygges trekanter af.

  • 0
  • 0

Modsat dig får jeg derfor, at det er (x-0.5)/x der skal integreres fra 0,5 til 1. Og så ganges med 2, da begge stykker efter første bræk kan ende som det længste. Det giver resultatet 1-ln(2)=30,7% som sandsynlighed for at der ikke kan dannes en trekant. Og dermed ln(2)=69,3% for at der kan dannes en trekant.

Kommer i tanke om, at jeg kun får kigget på, om der brækkes af for tæt på den ene ende af længste stykke. Der er jo to ender, så der skal ganges med 2.

Dermed bliver sandsynligheden for at der ikke kan dannes en trekant 2-2ln(2). Og dermed sandsynligheden for, at der kan dannes en trekant 2ln(2)-1=38.6 %.

Så stemmer det også med simulationen.

  • 0
  • 0

Hvorfor ikke det? Hvis bare det længste stykke er kortere end halvdelen af pindens længde, må stykkerne da kunne danne en trekant?

Jeg taler om de to stykker efter første knæk, og her må det længste stykke nødvendigvis være >= 1/2. Det er lidt svært at følge din beregning med (x - 0,5) når x er <=0,5.

"Jeg har kørt en MC med begge ovenstående tests. De giver samme sandsynlighed (0,386), men det er ikke alle pindene med x < y testen der kan bygges trekanter af."

Det følgende er også et svar til Jens.

Simuleringen skal teste om snit 2 ligger på en strækning af længde x midt på det største af de 2 stykker, hvilket den gør med sandsynligheden x/(1-x). Det er programmeringsmæssigt lettere at teste om snit 2 ligger på begyndelsesstrækningen med læggde x, hvilket den gør med samme sandynlighed. Men det er kun et beregningsmæssigt trick, så i denne fiktion kan en trekant ikke nødvendigvis dannes.

  • 0
  • 0

Modsat dig får jeg derfor, at det er (x-0.5)/x der skal integreres fra 0,5 til 1. Og så ganges med 2, da begge stykker efter første bræk kan ende som det længste. Det giver resultatet 1-ln(2)=30,7%

Du betragter kun situationen når x (>=0,5) afsættes fra den ene ende, men den skal også afsættes fra den anden, hvorved du får det dobbelte, altså det samme som mig.

Undskyld at jeg i foregående indlæg ikke kan holde rede på Jens og Erling.

  • 0
  • 0

Det var jo egentlig den oprindelige opgave der skulle løses: Jeg ved ikke om der er noget i dette der kan anvendes

Den vandrette talrække 3,2,2,3,4,3,4,3,4,2 har den egenskab, at kvadreres alle tallene og lægges sammen for de mindste tals vedkommende og trækkes de tre største tal fra fås 0 dvs: 9+4+4+9-16+9-16+9-16+4 = 48-48=0 Tilsvarende fås for den lodrette række kvadreret: 9-4-16-49-25+81-16+100-16-64=0 Det er formentlig tilfældigheder, men de manglende 81 tal mangler stadig.

  • 1
  • 0

Der er igen en lidt mærkelig sammenhæng i tallene. Lægger man de vandrette rækker sammen i det færdige skema fås tallene - hvis ellers jeg har regnet rigtigt - , (30,57,85,115,95,135,87,142,84,126) og lagt sammen og trukket fra hinanden fås 30+57+85-115-95+135+87-142+84-126 = 478-478=0 Det er da lidt hokus pokus.

  • 0
  • 0

Den vandrette talrække 3,2,2,3,4,3,4,3,4,2 har den egenskab, at

...tallet svarer til antallet af bogstaver i ordet for tallet, nul, et, to osv.

Jeg vil lige sige at jeg ikke havde intention om at give løsningen som sådan. Jeg havde faktisk ikke gennemskuet resten af systemet ud over første linje da jeg skrev. Jeg havde prøvet alt muligt med summere, kvadrere osv med y-aksens tal uden held. Men et sekund efter jeg havde postet, så jeg lyset.

Som Børge skriver, er det ikke så meget en opgave som en gåde, der bare er overstået i samme øjeblik, 25øren er faldet. Så tak for supplereingsopgaven, som jeg også har rodet lidt med, uden dog at sætte matematik på.

  • 0
  • 0

En pind med længde 1 ... hvilket giver resultatet 2 ln(2) -1 = 0,386.

Det er et smart argument. Jeg måtte dog lige gennem lidt tænkearbejde for at overbevise mig om korrektheden. Min variant af forklaringen kan måske hjælpe nogen, så den kommer her:

Først bemærkes det, at betingelsen for, at man kan danne en trekant, er, at det længste stykke er kortere end de to øvrige stykkers samlede længde. Dette er ensbetydende med, at det længste stykke er kortere end 1/2.

Første deling sker på punktet "p" (0 < p < 1). Der er nu 2 symmetriske tilfælde: p < 1/2 og p >= 1/2 som indtræffer med samme sandsynlighed. Lad i begge tilfælde "x" betegne længden af det længste stykke (d.v.s. 1/2 <= x < 1), som derefter deles på et punkt "y", hvor 0 < y < x.

Vi kan lave en trekant hvis og kun hvis y < 1/2 og x-y < 1/2, dvs. x-1/2 < y < 1/2 (det er også en betingelse at 1-x < 1/2, men dette er opfyldt med sandsynligheden 1). Længden af dette interval er 1-x, hvilket y opfylder med sandsynligheden (1-x)/x = 1/x-1.

Den samlede sandsynlighed for, at vi kan lave en trekant bliver derfor: [latex]2 \cdot \int_{1/2}^1 \left ( \frac{1}{x} - 1 \right ) dx = 2 \cdot \mathrm{ln}(2)-1[/latex] (der skal ganges med to, idet der jo var to symmetriske tilfælde).

  • 0
  • 0

Du har ikke læst tråden, vel? Nogen gange kan det være en fordel før man poster et latterliggørende indlæg ...

  • 2
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten