Tænkeboks: Tøm automaten for sodavand

Illustration: Ingeniøren

Opgave 125:

Firmaets sodavandsautomat bliver fyldt hver mandag morgen, og i løbet af ugen drikker de ansatte indholdet.

Mandag forsvinder halvdelen af indholdet plus et halvt bæger. Tirsdag en tredjedel af resten plus en tredjedel bæger. Onsdag en fjerdedel af resten plus en fjerdedel bæger.

Tørsten bliver åbenbart mindre i ugens løb. Torsdag drikker de ansatte kun en femtedel af det resterende indhold plus en femtedel bæger. Og fredag en sjettedel af resten plus en sjettedel bæger. Men lørdag vender tørsten tilbage, og automaten tømmes til sidste dråbe.

De ansatte drikker kun hele bægre sodavand, og hver ansat drikker i løbet af ugen netop syv bægre. Hvor mange ansatte er der mindst i firmaet?

– – –
Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 126: Tænkeboks: Find et hotelværelse

Steen og Hans boede på værelse 63 – og Hans’ børn har aldrene 2, 3, 5 og 5.

Når Steen (som kender hotelværelsets nummer) ikke kan regne børnenes aldre ud i første omgang, må det være, fordi der er mere end én kombination med samme kvadratsum.

Vi gennemgår derfor alle kombinationer af aldre, som giver summen 15, og udvælger dem, som giver samme værelsesnummer som en anden kombination.

Det er muligt for værelses­numrene 63, 69 og 71, men kun 63 har en løsning, hvor de to ældste børn er tvillinger.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Indholdet i beholderen efter d dage er (nx7-d)/(d+1), og det skal være et helt tal for d fra 1 til 5.

Det gik faktisk op med 5 ansatte indtil jeg opdagede at torsdagen ikke endte med et helt tal.

En grænse findes også som (1+nx7) = 2x3x4x5.

  • 2
  • 0

Hej Svend

Jeg er enig i dit resultat, men forstår ikke helt dine metoder.

Selv opstillede jeg udtryk for forbrug og rest de enkelte dage som funktion af totalindholdet. Jeg kunne hurtigt se at det var arbejdssomt at finde det medarbejderantal, som gjorde samtlige tal til heltal, så skrev det ind i et regneark. Det gjorde det ment at se at 17 er minimum for denne situation.

Jeg bemærker to ting fra resultaterne: 1. Der er et heftigt forbrug om mandagen, hvor der kan være et ekstra behov for at nedtrappe weekendens udskejelser. 2. I forhold til at lørdagen formodentlig kun er en halv dag, er forbruget også her pænt. Der må noget trøst til at få denne arbejdsdag til at gå.

  • 2
  • 0

Jeg er enig i dit resultat, men forstår ikke helt dine metoder.

Metoden kom undervejs. Jeg startede med at se på indholdet i beholderen efter 5 dage. Det skulle jo ende med et helt tal. MEN alle andre dage skulle også være heltal.

Ved at trække indhold(efter d dage) fra nx7 fik jeg udtrykket d(1+nx7)/(1+d): 1+nx7 skal være 2x3x4x5 og måske x6. 120 viste sig at række med nx7=119 = 17x7.

Det var svært at finde en metode ud over kvalificerede gæt.

Jeg spekulerer noget over om der er et større antal medarbejdere der kan få det til at gå op. Måske man skal op på 7 gange så mange?

Heltalsopgaver er svære, hvis man ikke starter rigtigt.

  • 2
  • 0

Med beholdning b_n forud for dag n giver rekursion [latex] \qquad b_n = b_{n-1}-\frac{b_{n-1}+1}{n} = \frac{(n-1)\ b_{n-1}-1}{n} [/latex] [latex]\qquad n\ (b_n + 1) = (n-1)\ (b_{n-1} + 1) = \;\; ...\;\; = 1 \cdot ( b_1 + 1) [/latex] [latex]\qquad b_n + 1 = \frac{b_1 + 1} {n} [/latex] Højresidens brøk skal være heltallig for alle n fra 2 til 6, så tælleren skal være et multiplum af 60, hvor 120 er den mindste værdi, der opfylder bibetingelsen.

  • 1
  • 0

Hej Børge

Elegant formel. Med den kan Svends spørgsmål enkelt besvares: De højere løsninger findes ved at lægge multipla af 60 til de fundne 17.

  • 1
  • 0

Fra #1: Indholdet i beholderen efter d dage er (nx7-d)/(d+1), og det skal være et helt tal for d fra 1 til 5.

Hvis det ikke er et helt tal har nogle drukket kun dele af et glas undervejs.

  • 0
  • 0

Hej Svend. Vi tænker åbenbart lidt forskelligt, for jeg ser nu, at din restformel er den samme som min, blot regner du beholdningen efter dag d mens jeg regner beholdningen før dag n. Med min formel synes jeg ikke at der er problemer med at se konklusionen i #5. (Selv om der er 60 flere ansatte, dvs b_1 =119 + 420, skal n jo stadig kun antage værdier fra 2 til 6).

  • 0
  • 0

Hej Svend og Børge

Jeg vil ikke blande mig i jeres diskussion, men dog bemærke at mit regnerark bekræfter, at alle forbrug og rester er heltal ved de løsninger, der beregnes efter metoden i #5 - og kun i disse.

Jeg kan naturligvis ikke garantere, at der ikke findes en øvre grænse, men hvordan skulle den komme ind i billedet?

  • 0
  • 0

I stedet for n bægre starter vi med m = n+1. Efter første dag har vi m - m/2 = m/2 tilbage. Efter anden dag har vi m/2 – (m/2)/3 = m/3. Efter tredje dag har vi m/3 – (m/3)/4 = m/4. Efter fjerde dag har vi m/4 – (m/4)/5 = m/5. Efter femte dag har vi m/5 – (m/5)/6 = m/6.

Alle disse rester (m/2, m/3, m/4, m/5 og m/6) skal være heltal. Derfor skal m være et tal hvor 2, 3, 4, 5 og 6 går op i. F.eks. 60. Dvs. vi starteer med 59 bægre

Hver medarbejder drikker 7 bægre. Men 7 går ikke op i 59. Så vi prøver med næste mulighed 59 + 60 = 119. Og 7 går op i 119: 119/7 = 17.

Så vi starter med 119 bægre og der er 17 medarbejdere.

Der blev drukket henholdsvis 120/1/2, 120/2/3, 120/3/4, 120/4/5 og 12/5/6 = 60, 20, 10, 6 og 4 de 5 dage. Lørdag var der 120/6 – 1 = 19 bægre tilbage.

  • 4
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten