Tænkeboks: To stiger på kryds – hvor bred er gyden?

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer fra Institut for Mekanik og Elektronik, SDU-Sønderborg og lyder:

Opgave 36:
To stiger på henholdsvis 8 og 12 meter står ’på kryds’ i en smal gyde, så stigernes ender har kontakt til de lodrette husmure i gyden.

Illustration: Ingeniøren

Stigerne krydser hinanden 4 meter over gadeniveau.

Hvor bred er gyden?

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger. /elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Hvis højden op ad murene kaldes H1 og H2, så er højden H på krydset:

1/H = 1/H1 +1/H2, det giver så gydens bredde til 4,925. Jeg kan ikke finde nogen genial formel der giver bredden som funktion af H, kun H som funktion af bredden.

Minder lidt om komplekse impedanser i parallel.

  • 2
  • 0

Til Bagsiden,

Da jeg blev ansat på DGU (nu GEUS, De Nationale Geologiske Undersøgelser for Danmark og Grønland) i august 1977 efter endt militærtjeneste var ”Stigeopgaven” en slags optagelsesprøve for de nyansatte. Den blev administreret af Knud Højgaard, som var overlaborant i Boreprøvelaboratoriet. På det tidspunkt var der mere end 100 geologer ansat på DGU og vi var 4 ingeniører mig selv incl. Det siger sig selv, at de nyansatte geologer tumlede noget videre med ”Stigeopgaven” – matematik var helt klart ikke deres spidskompetence, hvorfor Knud Højgaard ofte kunne og elskede at ”åle” de stakkels unge geologer, som ikke kunne løse opgaven. Og den kan jo løses i ”i hånden” om end det tager tid, fordi der ikke er en eksakt løsning – man skal iterere sig frem til en løsning, som man så kan vælge, hvor præcis man vil have (hvor mange decimaler efter kommaet). De unge geologer blev helt klart bibragt den følelse, at de skulle være taknemmelige for at beholde deres nye job, hvis de ikke kunne løse ”Stigeopgaven” (selvfølgelig foregik alt med et stort glimt i øjet).

Nåh, jeg fik så også opgaven af Knud. Jeg havde lært at programmere og en del matematik på DTU (som det hedder i dag). Og DGU havde netop indkøbt sin første programmerbare TEXAS regnemaskine – med strimmel! Så i gang med den. Jeg lavede et program, som kunne løse ”Stigeopgaven” med vilkårlige stigelængder og vilkårlige afstande mellem skæringspunkt og vej – og med en valgfri nøjagtighed. Jeg valgte at etablere udskrifter på strimmelen i takt med at TEXAS maskinen kom fremad i processen (de første maskiner arbejdede utroligt langsomt). De sidst udskrevne kommentarer i forbindelse med iterationerne var fx ”rolig, rolig, jeg regner”, ”rolig, rolig, jeg regner”, ”rolig, ro…..” osv indtil resultatet kom frem med fx 5 betydende decimaler.

Jeg strøg ned (Boreprøvelaboratoriet lå i kælderen på Thoravej, Kbh. Nordvest) til Knud med TEXAS maskinen for at vise resultatet. Han observerede ivrigt ”dyret” og udskrifterne – og da resultatet kom frem observerede jeg en lille tåre i Knuds øjenkrog. Han var ked af det. Nu havde så mange geologer kæmpet i timer, dage og uger med ”Stigeopgaven” (man havde relativt god tid på DGU på det tidspunkt – stress var ikke fremherskende), og så kom sådan en ung noksagt fra DTU og havde løst opgaven for altid på et par timers tid. En del af Knuds liv faldt bort……

Med venlig hilsen Anders Bækgaard CB 76

  • 5
  • 0

Skæg historie. Det væsentlige er nok at indse tilstrækkeligt hurtigt, at en egentlig løsning er nærmest umulig og så finde et godt udtryk for h som funktion af b. Derefter er det ret hurtigt at iterere sig frem. Jeg gjorde det på telefonens lommeregner.

  • 0
  • 1

Hej. Jeg er ny her inde :) Er det for kedelige at bruge geobegra?? Her får jeg 4,93

  • 1
  • 1

Man kan tegne sig til en løsning på ca 4,9-5 m bredde, men den nøjagtige løsning er ved hjælp af to 4grads ligninger som giver det nøgagtige resultat på 4,925 m og de lodrette kateter bliver 10,304 m og 6,305 m som ved prøve passer.

  • 1
  • 0

Hej. Jeg er ny her inde :) Er det for kedelige at bruge geobegra?? Her får jeg 4,93

Velkommen :-) Det er nok mest dig selv, som kender svaret dit spørgsmål.

Ud fra spørgsmålet går jeg ud fra, at du ikke er færdiguddannet ingeniør. De fleste ingeniører nok vil svare "ja" til dit spørgsmål, fordi løsningen af opgaven ikke så meget går på at finde et numerisk (tilnærmet) resultat, som at opnå en indsigt og lede efter en "pæn" løsning eller smart metode.

For mig er pointen primært, at selv om opgaven er simpel, kan løsningen nok ikke skrives simplere end Claus Tøndering gør det ovenfor. Udtrykket kan omskrives til en fjerdegradsligning, som i princippet kan løses analytisk (https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equa...), men løsningen bliver ikke et simpelt udtryk.

  • 0
  • 0

Med gydens bredde w = u + v gælder [latex] u ^2 + 4^2 = \left(\frac{8u}{w} \right)^2 \qquad v^2 + 4^2 = \left(\frac{12v}{w} \right)^2 [/latex] [latex] w = u + v =\frac{4}{\sqrt{1-\left( \frac{8}{w} \right)^2} }+ \frac{4}{\sqrt{1-\left( \frac{12}{w}\right)^2}} [/latex] [latex] 1 = \frac{4}{\sqrt{64 -w^2}} + \frac{4}{\sqrt{144-w^2 }} [/latex] Med x = w^2 kan dette omformes til [latex] x^4 -352 x^3 +41728 x^2 -1859584 x + 25231360 = 0 [/latex] Til at løse en general 4. grads ligning skal først bestemmes én løsning (y) til den hjælpende 3. gradsligning, hvorefter 4. grads ligningens løsninger findes ved indsættelse i faste udtryk. [latex] x^4 + a x^3 + b x^2 +c x + d = 0 [/latex] [latex] y^3 - b y^2 +(a c - 4 d) y -a^2 d +4 b d -c^2 = 0 [/latex] Til at finde en løsning må 2. grads leddet først bortskaffes ved transformationen y =z + b/3, hvorved [latex] z^3 + r z +s = 0 \quad \text{ med} \quad r = -\frac{2372902322176}{3} \quad \text{ og } \quad s = - \frac{80281600}{27} [/latex] Standardløsningen for z er herefter [latex] z = \sqrt[3]{-\frac{s}{2}+ \sqrt{\left( \frac{s}{2} \right)^2 + \frac{r^3}{27} }}+\sqrt[3]{-\frac{s}{2}- \sqrt{\left( \frac{s}{2} \right)^2 + \frac{r^3}{27}}} = 5983[/latex] [latex] y = z + \frac{b}{3} = 5983+\frac{41728}{3} = 19892 [/latex] Denne løsning til 3. grads ligningen indsættes i de 2 af 4. grads ligningens standardformler, der kommer på tale her [latex] R =\sqrt{\frac{a^2}{2} - b - y} = 95,61 [/latex] [latex] D = \sqrt{\frac{3}{4} a^2 - R^2 - 2 b + \frac{4 a b - 8 c - a^3}{4 R }} = 31,89 [/latex] Endelig får vi 4. grads ligningens2 reelle rødder givet ved [latex] x = -\frac{a}{4} - \frac{R}{2} \pm \frac{D}{2}=40,20 \pm 15,94 = 24,26 \text{ eller } 66,14 [/latex] Kvadratroden af første værdi giver w = 4,92 m, mens anden værdi er en falsk løsning. Så er den ged rundbarberet og jeg fik øvet mig i Latex og 4. grads ligninger. Mon ikke stadsingentøren bliver begejstret for at få en så nøjagtig beregningsmetode for bredden af hans gyde?

  • 4
  • 0

Tredje grads ligningen ser altid ud som jeg har vist udtrykt ved 4. grads ligningens koefficienter. Jeg tillader mig lige at komme med en rettelse til min artikel: I 2. linje skal leddene under rodtegnet ombyttes i begge brøker.

  • 0
  • 0

En noget forsinket bemærkning til den eksakte løsning på: Principielt skal man regne sig frem til en 4. grads ligning, hvor koefficienterne på bogstavform er de tre opgivne paremetre og ud fra løsningen beregne gydens bredde. Det er surt arbejde, men så er det nemt at beregne, hvis stigerne bliver stillet i en anden gyde. Især hvis man anvender MathCad eller et andet matematik program.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten