Tænkeboks: Svøm fra morderen

Illustration: Ingeniøren

Opgave 251:

Midt i en cirkulær sø med radius én kilometer sidder en pige på en sten. Hun svømmer og løber godt, men på bredden står en sindssyg morder og venter på hende.

Når pigen først er kommet i land, kan hun let løbe fra morderen, som heldigvis ikke kan svømme. Men han løber fire gange hurtigere, end hun svømmer. Kan hun komme i land uden straks at blive fanget af morderen?

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 399: Tænkeboks: Tag med på fisketur

Oles søn fanger syv fisk – og hedder i øvrigt Peter.

Peter og hans søn Jens har hver fanget x fisk, mens Ole har fanget 3y fisk og hans søn y fisk. Tilsammen har de fanget 35 fisk, altså er 2x + 4y = 35, som slet ikke har nogen løsninger for hele x og y.

Derfor må vi være ­kreative og finde en anden ­mulighed, nemlig at der kun er tre personer på fisketuren. Det er muligt, hvis Peter er Oles søn, og så er fangsterne x, x og 3x, hvoraf 5x = 35 eller x=7.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Så længe hun er mere end 750 meter fra bredden, kan hun holde ham på den stik modsatte side af øen ved at svømme i en tilpas flad vinkel og stadig komme tættere på bredden

Når hun når ind under 785 meters afstand fra bredden (pi/4), kan hun svømme direkte ind, uden han kan nå hende.

Men hun skal nok komme i gang, hvis han får trænet sig op til at løbe 4.15 gange så hurtigt som hende, er løbet kørt.

  • 1
  • 1

Dine 4,15 gange er ikke korrekte. Tallet er større.

Opgaveteksten indeholder et af mine irritationsmomenter. Vi ingeniører er opdragede til at udtrykke os præcist. Og man kan ikke sige, at manden løber 4 gange hurtigere end pigen når sagen er, at han løber 4 gange så hurtigt som pigen. 4 gane hurtigere er det samme som 5 gange så hurtigt, og hvis det er tilfældet her, har pigen ikke en chance.

  • 4
  • 3

Min teknik kan kun bruges op til 4.14 gange (pi+1) -- men der er muligvis en anden måde.

Af resten er jeg ikke enig, men det er en sproglig diskussion.

  • 1
  • 1

"...4 gange hurtigere er det samme som 5 gange så hurtigt"

Vi er nødt til at få en grundigere udredning af dette mystiske udsagn. Det eneste jeg kan komme i tanke om, der ligner: At lægge 400% til er det samme som at gange med 5.

Det vile også være interessant at høre, hvordan pigen skal svømme, hvis manden kan løbe 4.15 gange så hurtigt.

  • 0
  • 0

Jeg møder åbenbart lidt modstand. Er alle disse 3 udsagn rigtige?:

3 gange mere end 100 er 300

2 gange mere end 100 er 200

1 gang mere end 100 er 100 (!!!)

Tænk over, hvad "mere end" betyder sammenlignet med "lig med".

  • 4
  • 3

Ad #6, nu står der ikke "mere" i opgaven. Men er heller ikke enig i budskabet i #6 (de to første er rigtige, det tredje bruger man ikke).

Jeg tror ikke mange ville forstå det på din måde, hvis du bruger det i en samtale (ikke nogen jeg kender).

Hvad med de 4.15?

  • 0
  • 0

Hun svømmer 240 meter mod bredden, for at svømme i cirkler med morderen. Da hans baneradius er mere end 4 gange så stor som hendes (1000 m vs 240 m), er hendes vinkelhastighed størst, så hun svømmer rundt, indtil hun er modsat morderen (så stenen befinder sig på den rette linie mellem de to).

Nu har hun 760 meter til land. Han kan løbe 3040 meter på den tid, men så er der stadig omkring 100 meter hen til hende, når hun når i land, så hun slipper for at dø. Man kan naturligvis tweeke tallene, men hun overlever med disse tal.

Og ja, hun kommer hurtigere ind ved at svømme mod de 240 meter i en bue, men hun har jo tid nok iflg. opgaven...

  • 3
  • 1

"Den nye motor kører tre gange hurtigere end den gamle" ... ingen, heller ikke mine ing.kolleger er i tvivl om meningen.

(Jeg ville så bruge en mere præcis udtryksmåde i teknisk sammenhæng).

  • 1
  • 1

Det er lidt i stil med "næste stop". Betyder det det føst kommende stop eller det der kommer efter?

Du står først i køen og næste bedes så komme til skranken. Er det dig eller er det personen efter dig.

Nogen gange skal man ikke tænke for meget over ordene.

  • 1
  • 0

Jeg møder åbenbart lidt modstand. Er alle disse 3 udsagn rigtige?:

3 gange mere end 100 er 300

2 gange mere end 100 er 200

1 gang mere end 100 er 100 (!!!)

Tænk over, hvad "mere end" betyder sammenlignet med "lig med".

Jeg forstår dig godt, for absolutte forhold og relative (differentielle) forhold bruges i en pærevælling. Et eksempel kunne være inflation. Den er nu 10%, så alt koster 110% af hvad det kostede før. Når den er 100%, så koster det 200% af hvad det kostede før.

Normalt ville dobbelt så dyrt dog betyde at det nu koster 2 gange mere end det kostede før. Meget få ville tro at prisen så var 3 gange den originale pris.

Det er heller ikke alle der kan gennemskue at en forretning sætter prisen 20% op, og så får du 20% rabat og slipper billigere end originalprisen.

  • 2
  • 1

Vi er nok ret enige. Jeg vil dog ikke føre min indvending hen på "dobbelt så dyrt". Hvis noget er dyrt og noget andet er dobbelt så dyrt, så er der kun tale om en faktor 2, efter min mening. Der er ikke noget ord, der indikerer at man skal superponere.

  • 0
  • 0

Hvis vi nu vender tilbage til de r.25, hvad er så dit bud?

Hun kan godt svømme fra morderen, for hun kan svømme rundt til vedkommende står modsat hende. Bare hun er mindre end 250m fra stenen kan hun få ham/hende på den modsatte side, og så er det bare at svømme i land og løbe. Hun kan måske øge sit forspring ved ikke at svømme ret ind mod bredden, når hun ser hvad vej han/hun løber.

Jeg er enig i dit første bud.

  • 1
  • 1

Jeg kendte på forhånd løsningen på ugens opgave og vil derfor ikke meddele mig lige nu. Men for at holde gryden i kog, vil jeg gerne efterspørge præcise svar på disse 3 spørgsmål:

  1. Hvilken bane skal pigen følge for at have størst mulig afstand til manden ved søbredden?

  2. Hvor stor bliver denne afstand?

  3. Hvilken fart skal manden mindst have i forhold til pigen for at indhente hende selv om hun bærer sig bedst muligt ad?

  • 1
  • 0

Hvilken bane skal pigen følge for at have størst mulig afstand til manden ved søbredden?

Hvor stor bliver denne afstand?

Hvilken fart skal manden mindst have i forhold til pigen for at indhente hende selv om hun bærer sig bedst muligt ad?

Et lineært problem er at krydse en vej foran en bil. Hvis du tager en skrå bane vinder du et par meter uden at det tager meget længere tid. Noget jeg har tænkt på når jeg krydsede ringvejen om morgenen.

Aktuelt tænker jeg på hundekurver og brydningsindeks, men er spændt på en genial løsning. Kommer måske også an på hvor genial svømmeren er ud i matematik.

  • 0
  • 0

Der er faktisk 8 andre løsninger på fisketursopgaven, men det er korrekt at Oles søn hedder Peter. Peter (Oles søn) fanger X fisk, Ole fanger 3X, Jens fanger ligeså mange fisk som Oles søn og Jens's far Peter fanger Y fisk.

Ligningen hedder således 5X + Y = 35, og den kan løses for alle X mellem 0 og 7 uden at være i strid med opgaveteksten.

  • 0
  • 3

Når svømmeren når escape cirklen 250m fra stenen og morderen står modsat, kan hun vinde noget ved at svømme skråt ind mod bredden, forudsat at morderen bliver ved med at løbe samme vej rundt. Svømmerens afstand øges kun lidt i forhold til morderens vej.

Med afstandstilnærmelserne: Svømmer 1000-250cosV, Morder 1000pi + 1000V.

Svømmeren kan tage op til næsten 90 grader fra den korteste vej til bredden. Forudsætningen er at morderen ikke opdager fidusen for tidligt.

Morderen skal løbe 4710m, svømmeren skal svømme ~1000m, så der bliver 710m forspring.

  • 1
  • 0

Svar #2: hvis hun når hun forlader "safe zone" svømmer i en bue væk fra morderen, er det indlysende at tallet bliver større end 4.15.

  • 0
  • 0

Men hun skal nok komme i gang, hvis han får trænet sig op til at løbe 4.15 gange så hurtigt som hende, er løbet kørt.

Det er jeg enig i. Hvis morderen kan løbe (pi+1) gange hurtigere end hun kan svømme, kan hun ikke længere slippe fra morderen.

Hvis morderen kan løbe præcis pi+1 gange hurtigere end hun kan svømme, kan hun lige netop holde samme vinkelhastighed som morderen i en afstand af 1000/(pi+1) meter fra stenen i centrum af søen. Dermed har hun 1000 * pi/(pi+1) meter til land. Da morderen netop har 1000 * pi meter rundt til punktet, hvor hun svømmer i land, når de punktet på samme tid.

Kan han løbe langsommere end pi+1 gange hendes svømmehastighed, kan hun slippe i land, ved hele tiden at holde maksimal afstand til ham, indtil hun ikke længere har højere vinkelhastighed end morderen, hvorefter hun kan svømme i land. Den taktik vil give størst afstand til morderen, når hun når bredden.

Alternativt kan hun holde ham ved den modsatte bred, indtil hun nøjagtigt kan svømme til bredden uden at møde ham. Det vil give den korteste svømmerute.

  • 0
  • 0

Det er jeg enig i. Hvis morderen kan løbe (pi+1) gange hurtigere end hun kan svømme, kan hun ikke længere slippe fra morderen.

Vel at mærke under forudsætning af, at hun svømme lige i land, når hun ikke længere kan "overhale" ham ved en hurtigere vinkelhastighed. Hvis hun derefter opgiver at have højere vinkelhastighed end han, men blot have så stor en vinkelfordel som muligt hele vejen til bredden, kan hun sandsynligvis slippe fra ham ,selvom han er endnu hurtigere. Hvilken rute der så er optimal, har jeg ikke set på, Jeg har heller ikke set på, hvor meget hurtigere han i givet fald kan være?

  • 0
  • 0

Sandsynligvis ikke, men det er mere bekymrende at så mange ingeniører har problemer med heltalsmatematik. Godt nok er det svært, og det har forvirret mennesker siden år 628, hvor Brahmangupta opdagede tallet 0 og pludselig også kunne tegne med negative tal.

Men de får nok en bedre forståelse af konceptet, når politikerne snart skal til at indfrie sine valgløfter. God valgdag til alle.:-)

  • 0
  • 3

Hun skal ikke svømme i nogen bue

Jo, det giver hende en smule mere margin. Sålænge hendes forøgelse ved at skifte til bue er F gange mindre (undskyld Børge!) end det morderen skal løbe længere er der gevinst.

(F er faktoren mellem deres hastigheder, 4 i første opave, 4.?? for tillægsspørgsålet)

  • 0
  • 0

Forskellige svømmeruter, med den oprindelige betingelse, F=4. Svømmer mod land fra den inderst mulige radius 214,6m: http://www.test.airling.dk/Pictures/TestEr... Svømmer mod land fra den yderst mulige radius 250m: http://www.test.airling.dk/Pictures/TestEr... Svømmer mod land, r=250m, i en bue med R=960, giver en afstand på 301m. Ved ikke om det giver så meget mening. Løberen kunne opdage det og løbe modsat og møde svømmeren. http://www.test.airling.dk/Pictures/TestEr...

  • 0
  • 0

Hun skal lave buen, så hun ikke (igen) får morderen stik modsat sin position -- så vil han ikke få noget ud af at skifte retning. Jeg kender ikke buen, den er næppe banal.

  • 0
  • 0

I ugens opgave indlægger vi søen i et koordinatsystem med centrum O i begyndelsespunktet og radius 1. Desuden indlægges en "fricirkel" med centrum i begyndelsespunktet og radius n, der er forholdet mellem pigens og mandens hastighed (i opgaven lig med 1/4). Inden for fricirklen kan pigen altid placere sig diamentralt modsat manden, så vi anbringer manden i punkt (-1,0) og pigen i (n,0). Når pigen gør tegn til at svømme, må manden vælge omløbsretniong, så vi lader ham løbe nedad i diagrammet, hvilket får pigen til at vømme opad. Pigen skal fra starten vælge hvilket punkt P på søkanten , hun vil ankomme til og skal så svømme retlinet dertil fordi det er det hurtigste. Lader vi v være vinklen mellem radien OP og den positive x-akse, har hun ved ankomsten denne afstand a til manden (idet søens radius er sat til et 1-tal, så formlen er ikke dimensionskorrekt):

[latex] \qquad a = \pi + v - \frac{\sqrt{(\cos v - n)^2 +(\sin v)^2}}{n} [/latex]

[latex] \qquad a = \pi + v - \frac{1}{n} \sqrt{1+n^2 -2 n \cos v} [/latex]

De første 2 led er mandens vej til punkt P målt langs med cirklen, mens kvadratroden er pigens vej til P og hele brøken dermed er den vej, manden tilbagelægger mens pigen svømmer. Pigen ønsker afstanden a maksimeret:

[latex] \qquad \frac{da}{dv} =1 - \frac{1}{n} \frac{n \sin v}{\sqrt{1+n^2 -2 n \cos v}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \cos v = n [/latex]

Ankomstpunktet P ligger dermed på fricirklens tangen i pigens startpunkt, hvilket vil sige, at hun skal bevæge sig lodret opad i diagrammet. Den forfølgende mand har på intet tidspunkt gavn af at skifte sin omløbsretning. Pigens forspring ved ankomsten bliver

[latex] \qquad a = \pi + \arccos n - \frac{1}{n} \sqrt{1 - n^2} = 0,585\textrm { km for n = 1/4} [/latex]

Hvis manden vil indhente pigen, skal han træne sig op til en værdi af n svarende til a = 0, hvilket giver en implicit ligning, der kan løses ved iteration således

[latex] \qquad n = \frac{\sqrt{1 - n^2}}{\pi + \arccos n} [/latex]

Heraf fås værdien n =1/ 4,603.

  • 0
  • 0

Ugens opgave har en alternativ udgave, hvor pigen på stenen er så træt, at hun ønsker at følge den korteste vej til søbredden uden at blive indhentet. Hvor kort er den? Det er en lidt vanskeligere opgave, men den har en simpel løsning.

  • 0
  • 0

Her er pointe, at løberen så på et tidspunkt vil befinde sig diametralt modsat pigen. Så vælger hun denne for hende gunstigere situation end før til at skifte retning og følge tangenten til den cirkel hun nu befinder sig på.

  • 1
  • 0

Pigen kan ikke komme ud til den kritiske cirkel. Hun skal svømme i (mange) spiralomgange for at komme tættere og tættere på, hvis hun skal holde den løbende mand modsat. De kurver Erling viser i starten kan ikke anvendes, hvis manden løber.

Så i praksis er hun nødt til at tage tangenten før hun når den kritiske cirkel, og gør hun det med manden løbende stik modsat vil manden umiddelbart straks begynde at indhente hende i løberetningen. Hvis han derefter skifter retning kan hun gøre det samme og får større fordel.

  • 0
  • 1

Se lige bort fra det første afsnit ovenfor ... Erlings cirkler er perfekte, og en del af svaret på #33

  • 0
  • 0

Cirkel - må være 'rundingsradius' mellem den lodrette kurs og den nye kurs diamentralt modsat løberen, som svømmeren følger fra løberen skifter retning til de er diamentalt modsat. Er det gunstigt for svømmerens 'ankomstafstand' uanset hvornår løberen skifter retning, eller skal svømmeren ud i nye retningsskift hvis løberen skifter retning forholdsvis tidligt (før ca. 0,3xpi regnet fra den negtive x-akse) ?

  • 0
  • 0
Jeg har været abonnent siden 1975 og intet undgår min opmærksomhed.

Opgaven med pigen i søen (Tænkeboks 28-10-2022) blev bragt første gang 23-06-1995.

Om jeg indsendte løsningen dengang, husker jeg ikke, men jeg løste faktisk opgaven. Jeg er i besiddelse af en fil dateret den 03-07-1995. 

Jeg udarbejdede nemlig en simulering i det herlige programmeringssprog PostScript som er listet nedenfor.  
Et stykke kode i dette sprog udmærker sig ved at ingen forstår en bønne af det, ofte ikke engang ophavsmanden selv. Det turde således være indlysende at sproget er helt i Bagsidens ånd. Ikke desto mindre er PostScript blevet dyrket alt for lidt på Bagsiden i årenes løb (vistnok kun af mig selv ved et par lejligheder).

Løsningen blev bragt 04-08-1995.

Oprindelig opgave  
https://www.e-pages.dk/ingarkiv/9120/html5/?page=52

Oprindelig løsning  
https://www.e-pages.dk/ingarkiv/9124/html5/?page=60

%!PostScript  Svømmepige og voldsmand  
/mm {2.827 mul} def % 1 pkt=1/72 inch  
105 mm 148.5 mm translate %midt p† A4  
/R 90 mm def /dV  2 def % deltavinkel  
/r 0 def %pigens radius  
/dr 0 def %pigens deltaradius  
/dp dV 360 div 2 mul 3.14 mul R mul 4 div def %deltapige  
%--------------------------------------------------------------------  
5 setlinewidth  
%pigen lægger ud  
/dr dp def  
newpath 0 0 moveto dr neg 0 rlineto stroke  
/r r dr add def  
1 1 270 dV div {  
/cnt exch def  
r R 4 div lt  
{  
 newpath 0 0 R 0 dV arc stroke %manden  
 newpath 0 0 r 180 180 dV add arc stroke %pigen  
 dV rotate  
/dr dp dup mul r dV mul 360 div 2 mul 3.14 mul dup mul sub sqrt def  
newpath r neg 0 moveto dr neg 0 rlineto stroke  
/r r dr add def  
/slut cnt dV mul def  
}  
{  
%---------------------------------------------  
r R lt  
{  
/cur cnt dV mul def  
 newpath 0 0 R cur slut sub cur slut sub dV add arc stroke %manden  
/dr dp def  
newpath r neg 0 moveto dr neg 0 rlineto stroke  
/r r dr add def  
} if  
%---------------------------------------------  
} ifelse  
} for  
showpage
  • 4
  • 1

Det er en fin figur, du har her. Men jeg spørger mig selv hvorfor pigen ikke forlader cirkelbuen lidt tidligere og følger en ret linje hen til samme endepunkt. Det giver hende en kortere vej på en kortere tid, så manden når knap så langt. Og han har ingen fordel af at skifte retning. Er der et svar?

Man kan finde en lang beskrivelse af løsningen ved at google ordene quantamagazine hungry bear.

  • 1
  • 0

Mit umiddelbare gæt er at så vil manden skifte retning. Husk på at han på det sted du foreslår er diametralt modsat

  • 0
  • 0

Ad #42: Grundig gennemgang ... men det undrer at han gider sætte en radius på søen, endsige koble den med fartforskellen. Utroligt hvis han overser den detalje.

  • 0
  • 0

Med den måde, hun skifter retning på, bøjer hun jo af hen mod den bane, manden kommer ad, så han har da ikke noget motiv til at skifte retning, synes jeg.

  • 0
  • 0

Jeg har en plan for den trætte pige fundet ved et parameterstudie, men planen ses ikke i litteraturen, så jeg vil gerne høre om nogen kan finde fejl i den.t

Pigen sidder på en sten i begyndelsespunktet af et koordinatsystem og mnden står i punktet (-1,0). Når manden løber nedad, sørger pigen for at holde sig diametralt modsat, hvilket vil sige på en kurve med den polære ligning r = sin(v)/4, hvilket er en hlavcirkel med centrum i (0,1/8) og radius 1/8. Størrelsen v er den gennemløbne vinkel. Ved v= 0.6020 befinder pigen sig i punktet (x,y)=(sin(v) cos(v) /4, sin(v)^2/4) = (0.1167, 0.0802). Her skifter hun retning og svømmer direkye mod et punkt af bredden, der har vinklen u = 0.9289 med x-aksen. Hendes vej er den rette linje med længde 0.8671 og cirkelbuen med længde 0.6020/4 = 0.1505, i alt 1.0176. Manden tilbagelægger strækningen pi + u = 4.0705, hvilket er præcis 4 gange pigens længde. Altså et grænstilfælde. Da pigen skifter retning hen mod den del af den store cirkelbue, manden kommer ad, har ham ingen grund til at skifte retning.

  • 0
  • 0

Nå nu forstår jeg det. Du glemmer at manden ikke er nået særlig langt der hvor du vil have hende til at skifte retning. Prøv at lade dit forslag være startpositionen for opgaven. Så vil han løbe den anden vej

  • 0
  • 0

Argumentet for at pigen svømmer ad tangenten til cirklen 250m fra stenen er:

Morderen er diametralt modsat når hun starter 250m fra stenen. Morderens vinkelhastighed vil være lig pigens vinkelhastighed til at starte med, men bliver hurtigt større, og det gør at han fortsætter, da han hele tiden kommer nærmere.

Skulle morderen skifte retning vælger pigen blot tangenten til den nye cirkel hun er på men i modsat retning. I det tilfælde vil morderen faktisk have sværere ved at nå hende.

Med den taktik vil hun have ca 450m forspring når hun når bredden. Morderen skal løbe 3/2pix1000m -250m = 4460m, pigen skal svømme næsten 1000m.

I alle fald er den korteste vej mellem to punkter en ret linie.

Som sagt burde morderen opgive på forhånd, hvis han kan regne en smule.

  • 0
  • 3

Kortest svømmetur: http://www.test.airling.dk/Pictures/TestEr... Det ser fint ud, jeg har brugt dine tal i vedlagte, og får også dit resultat. Bemærk de 3 cirkler, Sikker - grøn, Kritisk - rød, Kortest - gul. Jeg ved ikke om det er tilfældigt, men den Gule cirkel har radius (pi - 3) * R ;-), (0,1167; 0,0802).

Længste landgangs afstand: Jeg er tror stadig det har betydning om løberen skifter retning, men kunne ikke finde noget i de links jeg har kikket i.

  • 0
  • 0

Jeg er blevet klogere i løbet af dagen: Svømmepigen kan i en optimal situation ikke forlade den lille cirkel med et knæk, for så ville der jo være en bedre løsning med et short-cut mellem to punkter på hver sin side af knækket. Hun skal altså forlade den lille cirkel tangentielt, og så er sagen let. Man vælger en vinkel v, som manden indledningsvis skal bevæge sig igennem, finde pigens placering på den lille cirkel diamentralt over for manden, tegne tangenten til hendes cirkelpunkt til skæring med søbredden og beregne hendes samlede tilbagelagte afstand. Dernæst føres manden frem fra startpunktet i (-1,0) med 4 gange denne afstand, hvorefter de to ankomstpunkter sammenlignes. Når de er sammenfaldende, er vi i den optimale nip-situation. Med v = 0.49174 finder man slutvinklen u = 0.92772 med den positive x-akse og pigens samlede svømmeafstand L = 1.01733. Da pigen efter den lille cirkel aldrig befinder sig diamentralt modsat manden, kan jeg ikke se nogen grund til, at han skulle skifte retning. Men jeg undrer mig over, at litteraturen giver en anden løsning, hvor pigen nærmest skal svømme vinkelret på cirklen, når hun forlader den.

  • 0
  • 0

Hvis løberen skifter retning ved v indhentes svømmeren, uligheden: pi - u + v >= pi + u - v skal være opfyldt for at dette ikke sker.

  • 0
  • 0

Du har fuldstændigt ret. Min forklaring kan ikke stå alene. For de hastighedsforhold (som her), hvor u>v, kan manden efter gennemløb af vinklen v vælge at skifte retning og løbe den kortere strækning pi+u-v (>pi) for at nå samme punkt. I så fald skal pigen ikke følge tangenten til den lille cirkel, men i stedet følge den store cirkels radius, hun allerede befinder sig på, og hermed nå et punkt på søbredden, der ligger vinklen pi fra mandens vendested. Dette punkt når pigen hurtigere end ellers og kommer derved først. Men det kræver at hun har øjne i nakken for at observere mandens retningsskift. Min tidligere løsning er vist stadig optimal hvis den tilføjes denne forklaring.

  • 0
  • 0

@Børge (#32) En lidt sen kommentar til hvordan pigen får størst muligt forspring: Jeg er enig i din konklusion, men din argumentation holder ikke helt. a er en voksende funktion, så det er ikke maksimum du finder

  • 0
  • 1

Da da/dv >= 0, er a(v) en voksende (eller i hvert fald "ikke aftagende") funktion. Når v opfylder cos(v)=n er a(v) blot "flad", men den vokser igen lige efter. Der skal derfor argumenteres for hvorfor der ikke kan sigtes på kanten for større værdier af v. Den direkte linje ved større v vil føre svømmeren tilbage i "fricirklen", og morderen vil bare vende om, men kan der findes en buet vej til punktet på kanten?

  • 0
  • 0

Det er rigtigt, at et noget større v end svarende til cos(v) = n giver en større afstand til manden ved ankomsten til bredden, men giver også problemer, sådan som du skriver det. Men der er vel ingen grund til at gøre v større end givet ved cos når dette er godt nok for pigen og manden ingen fordel har af at vende om med denne plan? Hvad vil du have ud af en løsning med et større v hvis en sådan ellers kan findes?

  • 0
  • 0

Jeg kan give et tydeligere svar end ovenfor. Pigen skal begynde med at følge tangenten. Hvis hun senere vil svømme til et andet punkt på søbredden, skal hun svømme derhen retlinet for at det sker hurtigst muligt. Men en beregning viser, at uanset hvor og hvordan retningsskiftet sker, vil deres afstand ved bredden være formindsket i forhold til at hun svømmer ligeud. Når den trætte pige i opgave 2 skulle følge en krum kurve, var det for at holde manden diametralt modsat, hvilket jo ikke er problemet her.

  • 0
  • 0

En ekstraopgave til weekenden. Hvor få gange undervejs kan pigen nøjes med at se hvor morderen er? Det antages at pigen kender mandens max-hastighed (4). Hvor høj max-hastighed kan manden have hvis pigen skal nøjes med at kigge én gang undervejs?

  • 0
  • 0

Det er en fin udformning af opgaven fordi den ikke forudsætter at pigen har øjne i nakken. Jeg forsøger en løsning, hvor pigen kun ser tilbage én gang. Pigen indleder med at svømme et ukendt stykke b radiært væk fra stenen mens manden løber vinklen b/n, hvilket også er længden b/n (med n som hastighedsforholdet af størrelsesordenen 0,25). Pigen skifter nu retning og svømmer mod søbredden diametralt modsat mandens nuværende placering. Afstanden a mellem dem ved hendes ankomst er så

[latex] \qquad a = \pi - \frac{1}{n} \sqrt{\left (\cos \frac{b}{n} - b \right)^2 + \left( \sin \frac{b}{n} \right)^2} [/latex]

[latex] \qquad a = \pi - \frac{1}{n} \sqrt{1 - 2 b \cos \frac{b}{n} + b^2 } [/latex]

Hvis afstanden skal være maksimal, har vi da/db = 0, og skal vi have grænsesituationen med maksimalt n, har vi a = 0, altså de 2 betingelser

[latex] \qquad \frac{b}{n} \sin \frac{b}{n} - \cos \frac{b}{n} + b = 0 [/latex] [latex] \qquad 1 - 2 b \cos \frac{b}{n} + b^2 = \pi^2n^2 [/latex] Man kan nu gætte på forskellige værdier af b/n og beregne b af den første ligning, hvorefter størrelserne indsættes i den anden ligning for test. Der bliver fit for b/n = 0,7568, hvoraf b = 0,2074 og n = 0,274 = 1/3,65. Manden skal altså bevæge sig mindst 3,65 gange så hurtigt som pigen for at nå hende. Det er langsommere end i den første opgave, men pigen starter jo i den aktuelle opgave helt inde ved stenen i midten af søen. En løsning med 2 kig bagud kræver vist en computerberegning, men jeg finder det for trivielt at skulle fitte sig frem. Findes der en smart metode?

  • 0
  • 0

Jeg troede jeg havde en løsning med 2 kig tilbage, men der havde desværre indsneget sig en fejl, og jeg har efterfølgende (vha computer) konstateret at det ikke kan gøres med 2 kig.

Nogle tanker... Hvis pigens sidste kig er i afstand x fra stenen, skal vinklen v til manden opfylde [latex] 4\sqrt{(cos(v)-x)^2 + sin(v)^2} \geq \pi \Rightarrow cos(v) \geq \frac{16x^2-\pi^2+16}{32x}[/latex]

Hver gang pigen kigger skal hendes næste stop (kig eller søbredden) være på linjen diametralt modsat manden (i forhold til stenen), da det ved næste stop vil give den samme maksimale vinkel (=4 * længden til næste stop) til manden uanset om manden fortsætter eller vender om. Hvis pigen kigger ved afstand x1 og x2 kan manden opnå vinklen [latex]v_{x_2} = 4\sqrt{(x_2cos(4x_1)-x_1)^2 + x_2sin(4x_1)^2}[/latex] For en given x2 skal pigen derfor vælge x1 der minimere dette [latex]\frac{dv_{x_2}}{dx_1} = 0 \Rightarrow (4 x_1 x_2 sin(4 x_1) - x_2 cos(4 x_1) + x_1) = 0[/latex] Og her gav jeg op satte computeren til at finde mandens maxvinkel, og konstarede at for alle x2 kan manden opnå en vinkel større end det tilladte fra formlen øverst.

Med tre kig kan pigen kigge ved fx afstand 100m, 200m og 250m [latex]v_1=0.4\quad v_2=4\sqrt{(0.2 cos(0.4)-0.1)^2+(0.2 sin(0.4))^2} \approx 0.4588[/latex] [latex]v_3=4\sqrt{(0.25 cos(v_2)-0.2)^2+(0.25 sin(v_2))^2} \approx 0.4533[/latex] hvilket opfylder betingelsen for at kunne slippe fra manden

  • 0
  • 0

Blot en lille sproglig kommentar: Når pigen forlader stenen, skal hun bemærke hvilken vej rundt, manden vælger. Herefter behøver hun ikke at kigge sig mere tilbage, for manden har ingen fordel af at skifte retning, så hun skal "blot" huske at følge dine retningslinjer vedrørende knækpunkter uden af se på ham. Hun ved jo, hvor han er.

Hvad er dit svar på hastighedsforholdet når der kun er 1 knækpunkt? Er du enig med mig i #60?

  • 0
  • 0

Hvis pigen skal være sikker på ikke at blive fanget bliver hun nødt til at kigge. Hvis pigen ikke kigger undervejs og mande vælger at skifte retning ved først knæk, vil han fange hende, og så det var jo tydeligvis en fordel for manden at skifte retning... Pigens strategi skal virke uanset hvad manden gør - også hvis han vælger at slå plat eller krone om hvilken vej han skal løbe for hver løbet meter.

Jeg er enig med dit svar fra #60. Dog med den ene tilføjelse, at det skal bemærkes, at hvis manden har løbet kortere når pigen kigger vil det bare give pigen en kortere afstand til søbredden diametralt modsat manden.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten