Tænkeboks: Sandsynlighed med seksløbere

Illustration: Ingeniøren

Opgave 146:

Fire revolvermænd mødes til en særegen pistolkamp, hvor de hver især har et skud efter tur og må skyde på hvem, de vil – indtil tre er døde.

Wesson, som kun rammer hver 4. gang, skyder først. Derefter Smith, som rammer hver 2. gang. Så Brown, som har en træfsikkerhed på 75 procent. Og endelig Colt, som altid rammer det, han sigter på.

Hver af de fire tænker naturligvis kun på at overleve, så det bestemmer deres strategier for, hvem de vil skyde på. Hvordan er de, og hvad er deres respektive chancer for at overleve?

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 178: Tænkeboks: Find tre heltal

(a, b, c) er (2,4,8) eller (3,5,15)

N = (a-1)(b-1)(c-1) skulle gå op i T = abc-1. Hvis bare et af tallene a, b og c er lige, bliver T ulige. Så kan N også være ulige, og det kræver, at alle tre tal a, b og c er lige.

Omvendt bliver N lige, hvis bare ét af tallene a, b, og c er ulige, og det betyder, at T også er lige. Det kræver bare, at alle tre tal a, b og c er ulige. Så a, b og c er altså alle lige eller alle ulige.

Brøken T/N aftager mod 1, når a, b eller c vokser. Allerede når a=4, må b være mindst 6 og c mindst 8, og så bliver brøkens størsteværdi 191/105, der er mindre end 2 – altså N kan ikke gå op i T. Så der findes kun løsninger for a=2 eller a=3, og de er ikke svære at finde.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Sandsynlighedsregning i lyntempo blev udført for over 100 år siden, da Wyatt Earp i 1881 i den berømte begivenhed kendt som "Gunfight in OK Corral" blev tvunget til at træffe en hurtig beslutning. På "forbrydernes" side var det Billy Clanton, som trak og skød først, og han forsøgte at ramme Wyatt Earp. Wyatt reagerede lynhurtigt, trak og skød så hurtigt, så de to kombattanters skud næsten lød som ét. Men Wyatt skød ikke mod Billy Clanton, men derimod mod Frank McLaury, som han anså for den skrappeste af modstanderholdets skytter. Han ramte Frank i maven, og det var nok udslagsgivende for, at det var sherifholdet, der trak sig sejrrigt ud af kampen. Som forøvrigt endte 3-0: 3 døde skurke, 0 døde sheriffer.

  • 3
  • 0

For at kunne regne på denne opgave har jeg gjort følgende nærliggende antagelser: 1. Deltagerne kender deres modstanderes træfsikkerhed på forhånd. 2. Skydningen fortsætter i samme rækkefølge som angivet - bortset fra overspringning af de afdøde - så længe der er mindst to deltagere. 3. Deltagerne skyder konsekvent efter den bedste af de overlevende skytter.

Og så er det jo 'bare' at holde regnskab med alle de mulige udfald af skydningerne!

Efter 8 skudrunder kan jeg dog se at processen aldrig vil ende. Der er jo ingen garanti for Colt er med i finalen! Tværimod vil han modtage mange skudforsøg i henhold til pkt. 3.

Jeg finder, at der efter afgivelse af 8 skud stadig er 1587/8192 (ca. 20%) chance for at processen ikke er slut. Og chancen for at Colt stadig er med er kun ca. 2,5 %.

Mvh Ebbe Münster.

  • 3
  • 0

Jeg har ingen løsningsmetode, men iler dig blot til hjælp med at klare det uendelige. Lad os som eksempel sige, at vi at vi med sandsynligheden s1 er i en situation med personerne a, b og c med a som først skydende. Vi spreder nu mulighederne ud i de følgende 3 runder (til a bliver først skydende igen) og får blanndt de nye muliger samme situation, men nu med sansynligheden s2. Nu kan denne nye situation negligeres ved at vi til gengæld multiplicerer alle de andre sandsynligheder i de 3 runder med s1/(s1-s2). Og så er vi færdige med at sprede yderligere situationer ud.

  • 0
  • 2

Jeg forstår det sådan at hver 4. gang og hver 2. gang, ikke skal forstås som 25% eller 50%. Så Colt må skyde Smith i 1. runde, så fremt Brown ikke får skudt Colt først. Ellers er Colt sikker på at blive skudt af Smith i 2. runde.

  • 1
  • 3

Umiddelbart ville man sige at hver især skyder efter den mest træfsikre af de tilbageværende.

Men: den dårligste skytte ved at han står sidst for tur, og at den andenmest træfsikre, kun kan overleve 1. runde så fremt Colt bliver skudt.

Med 100% sikkerhed dør Brown eller Colt - eller begge - i 1. runde.

Kan det tænkes at den ringeste øger sine chancer ved at skyde på en anden end den bedste?

  • 2
  • 0

Til #5:

Jeg er fuldstændigt enig i, at “hver 4. gang” er noget helt andet end en træfsikkerhed på 25%.

Men vi ved jo stadig ikke, om han starter med træfferen, eller den først kommer senere. Så reelt ved vi kun, at hans første træffer - når den indtræffer - vil blive efterfulgt af 3 forbiere.

Det kommer nok ikke til at betyde ret meget for taktikken mod Wesson.

Men det må betyde ret meget for taktikken mod Smith, som skyder skiftevis træffere og forbiere. Hvis Colt overlever frem til sit første forsøg, og Smith har skudt forbi (mod Colt?), så ved Colt, at Smiths næste forsøg vil være en træffer, og derfor er Smith en større trussel end Brown.

  • 0
  • 2

Til #5: Beklager mit foregående svar. Jeg misforstod, hvad du havde skrevet. Jeg kan se, at vi er fuldstændigt enige, og at jeg blot har gentaget, hvad du skrev.

  • 2
  • 1

Beklager mit foregående svar. Jeg misforstod, hvad du havde skrevet.

Det skal du ikke beklage, for du har forstået det rigtigt i forhold til hvad jeg mente. Din måde at forstå det på giver nu 2 muligheder at forstå "hver 4. og 2. gang" som jeg ikke rigtig kan gennemskue hvilken giver mest mening.

Med "min" måde at forstå det på, så skal Smith skyde Wesson i 2. runde, for overlever de begge til 4. runde, vil Wesson skyde Smith før Smith kan nå at skyde Wesson. På den måde mente jeg at kunne regne baglæns til en løsning, men så kom der lige en mand på en hundeslæde og ødelagde det hele.

  • 0
  • 0

Til #6:

Nej, der er ikke 100% sandsynlighed for, at Brown eller Colt dør i første runde.

Hvis Wesson og Smith skyder forbi, så ved både Browning og Colt, at Smiths næste skud vil ramme.

Hvis Browning skyder mod Colt og rammer, vil han være mål for Smiths næste træffer. Så det vil være dumt at skyde mod Colt.

Det vil også være dumt af Browning at skyde mod Smith, da han så vil være mål for Colts næste skud, som ellers ville være gået mod Smith.

Så Browning har ikke andet valg end at skyde mod Wesson, den dårligste af de tre skytter.

Hvilket jo egentlig alligevel bekræfter udgangspunktet for din teori: Det kan for nogle af skytterne betale sig at skyde mod en dårligere skytte.

Jeg tror også, at du muligvis har ret i, at det kan betale sig for Wesson at skyde mod en anden end Colt. Men jeg kan ikke overskue alle scenarierne i hovedet.

  • 0
  • 2

Jeg ser meget frem til løsningen på denne her opgave, som synes overordentligt svær at klare uden simulering. Ser 12 søvnløse nætter foran mig🤔 Jeg går i seng!

  • 1
  • 0

Jeg tror bestem ikke at opgaven skal forstås sådan, att Wesson altid rammer forbi tre gange efterfulgt af en træffer. Meningen må være at hans træfsikkerhed er 25% og tilsvarende med de andre skytter.

  • 5
  • 1

Jeg tror bestem ikke at opgaven skal forstås sådan, att Wesson altid rammer forbi tre gange efterfulgt af en træffer.

Hvad skal man forstå ved hver fjerde, hver anden og så 75%? Har det betydning at det er skrevet sådan?

Med 50% træfning, skal der i værste fald skydes mange gange før målet rammes. Det eneste sikre er at hvis Colt når at skyde, så rammer han. Hvis bare han overlever til slutningen af tredie runde, så er kampen slut.

  • 1
  • 3

Jeg tror bestem ikke at opgaven skal forstås sådan, att Wesson altid rammer forbi tre gange efterfulgt af en træffer. Meningen må være at hans træfsikkerhed er 25% og tilsvarende med de andre skytter.

Ditto, det må være statistiske tal.

Et andet spørgsmål om opgaven, er hvad der menes med strategien.

Hvem man skyder på, må nødvendigvis afhænge af hvem der stadig står, når man når sin tur.

Der er der så enten 3 eller 2 overlevende, man skal altså have 4 strategier.

Skytterne, hvoraf nogle er middelmådige, er excellente statistikere, så hver især kender de andres strategier, i kraft af at de er optimale.

  • 0
  • 1

Hvis det er rent statistiske tal, så er der en sandsynlighed for at de ender i en uendelig duel. Det tror jeg ikke på.

Hvis hver 2. gang betyder 50% træfsikkerhed for første skud, men samtidig at andet skud vil være det modsatte af første skud (og samme forståelse for hver 4. gang), bliver opgaven nogenlunde overkommelig at løse og med en endelig løsning i løbet af 4 runder.

Hvis hver 2. gang betyder at der ikke rammes i første skud (men i andet skud), så begynder opgaven at kunne løses på bagsiden af en serviet.

Uanset, så må det gælde for de 3 andre om at få skudt Colt hurtigst muligt. Hvad der er så er bedst efterfølgende afhænger af hvordan hver 2. og 4. skal forstås!

  • 0
  • 2

Til #14, CJ:

Vedr. dit sidste afsnit: Jeg har i #10 redegjort for et scenarie, hvor Brown er 100 % sikker på at dø, hvis han dræber Colt.

(Altså forudsat, at “hvert andet” virkelig betyder hvert andet og ikke bare en tilfældig halvdel. Men den forudsætning er vi to jo enige om.)

Så dit “uanset hvad” holder ikke.

  • 0
  • 1

Hvis det er rent statistiske tal, så er der en sandsynlighed for at de ender i en uendelig duel. Det tror jeg ikke på

Der er en meget lille sandsynlighed for at duellen bliver meget lang, det ville svare til at du ikke ville vente på at slå plat ved mange slag fordi det i princippet kan tage uendelig lang tid.

Vi skal ikke svare, hvordan forløbet bliver, kun finde deres strategier.

Jeg er fuldstændig overbevist om, at beskrivelsen skal forstås som sandsynlighederne henholdsvis 25%, 50%, 75% og 100%. Det giver på alle måder bedst mening

  • 4
  • 1

Jeg forudsætter at alle altid skyder mod den dygtigste modstander og finder ved 1 million gennemregninger med de givne procentsatser følgende overlevelsesprocenter:

W: 0,321 S: 0,305 B: 0,347 C: 0,026

Til sammenligning giver opgavebogens løsning:

W: 0,222 S: 0,418 B: 0,278 C: 0,082

De store afvigelser affejer min hypotese. Jeg har tilladt mig at aftrykke opgavebogens løsning fordi det ikke er løsningen, men løsningsmetoden, der er interessant. I øvrigt giver opgavebogen kun de indledende fragmenter af en løsning, så I må selv lege detektiver eller opstøve opgaven på Nettet.

Det er underligt med sammenblandingen af oplysningerne om træfsikkerhed. Oven i dette kommer at opgavebogens løsning lader en deltager skyde op i luften fordi det er mest fordelagtigt, men det invaliderer jo helt procentangivelserne.

  • 1
  • 2

For de to dygtigste af de tilbageværende skytter vil det hver gang gælde at de med fordel skal skyde mod den dygtigste konkurrent. Dvs. Brown og Colt behøver at tænke sig synderligt om for at optimere deres strategi.

For Smith gælder det samme, med undtagelse af første runde HVIS Wesson misser første skud. I denne situation vil det være skidt at skyde på Brown eller Colt fordi den anden da vil skyde på Smith. I stedet skal Smith skyde efter Wesson, og lade en af de to gode skytter eliminere den anden.

For Wesson er der en fordel i at prøve at komme af med Colt i første skud (for ikke at blive skudt på af Smith), men ellers maksimerer han faktisk sine vindermuligheder hvis han misser med vilje, indtil der kun er én anden konkurrent tilbage. Fordi de andre generelt ikke skyder efter ham ligger hans bedste chance i at skyde først i 1:1 finalen, dvs hvis der er 2 konkurrenter tilbage bør han undlade at ramme.

  • 2
  • 1

Dette må jeg have forklaret nærmere. Hvis der med "før" menes "foregående", dvs. mindre dygtige, skydes der jo ikke mod ham. Der skydes kun fremad mod de dygtigere bortset fra at den dygtigste skyder bagud mod den næstdygtigste.

  • 1
  • 1

Det er jo ikke sikkert, at alle bør benytte samme strategi.

Wesson (25%) vil regne sig som sikker finalist. Så for ham drejer det sig først og fremmest om at klare finalen bedst muligt. Og det gør ham ved at skyde først. Og det opnår han ved at vente med at skyde til finalen.

Alle andre er nødt til at skyde sig til finalen. Og at skyde den bedste giver bedst chance for at klare den.

Det står ikke direkte i opgaven, at man må skyde ved siden af med vilje. Men ifølge Børge længere oppe, er det en del af den oprindelige opgave, simpelt hen at springe over.

  • 0
  • 1

Han kan lade være med at skyde lige så længe han vil ... men det forhindrer da ikke de andre i at skyde ham ???

Men han regner ikke med, at der er andre, der gider skyde på ham, så længe der er andre og dygtigere modstandere i live.

Så han lurepasser indtil der kun er én modstander tilbage. Hvorefter han har første skud i "finalen".

25% plus et skud mere for hvert skud modstanderen misser efterfølgende. Det ender sgu nok omkring de 32% som facitlisten angiver jævnfør Børge i #19.

  • 1
  • 0

Den vigtigste undtaglse til til skyd-mod-den-bedste reglen er i runde 1. Hvis alle 4 er tilbage når Smith skal skyde skal han IKKE skyde på Colt. Brown vil forventeligt skyde på Colt og Colt (hvis han lever) vil forventeligt skyde på Brown. Hvis Smith skyder Colt i denne situation vil Brown jo skyde på Smith i stedet med meget høj træfsikkerhed! Derfor skal han skyde på Wesson i denne situation.

Den anden undtagelse er Wesson, hvis han er tilbage mod Smith og Brown (eller Smith og Colt). Hvis han skyder Brown/Colt i denne situation vil Smith starte ”finalen” mod Wesson og vinde 80% af gangene. Hvis Wesson undlader at skyde nogen af dem maksimerer han sine chancer, selv om han risikerer at ende i finale mod en endnu bedre modstander, bare i kraft af at skyde først. Hans finaleodds er da 40% (mod Smith), 30,8% (mod Brown) eller 25% (mod Colt)

  • 1
  • 0

Du har nogle flotte betragtninger. Hvis jeg lader alle deltagere skyde mod den dygtigste levende modstander men indbygger dine 2 undtagelser, giver en Monte Carlo beregning

W= 0.208 & S= 0,459 & C= 0,252 & C=0,082

Det er godt derhenad mod det rigtige.

  • 2
  • 0

Hej Børge.

Jeg forstår ikke helt din imødegåelse (#4) af min påstand om, at de præcise fordelinger for overlevelseschancerne ikke kan bestemmes, fordi processen i princippet fortsætter i det uendelige.

Baseret på mine manuelle beregninger af foreløbig de 9 første skudrunder, ser jeg sådan på det:

Colt har stor risiko for at ret hurtigt at blive skudt på grund af hans problematiske position som mesterskytte. Det efterlader tre skytter, som altid efterlader den mulighed, at de IKKE rammer.

Jeg kan oplyse at Colt udgår af spillet i niende skudrunde, hvor han – godt nok med en ringe sandsynlighed – opnår at komme i en afsluttende skudduel (med Weston). Det sker med sandsynligheden 27/1024 svarende til 2,6%. Altså samme resultat, som din Monte Carlo beregning!

På dette tidspunkt er der 3600/32768 svarende til 11% chance for spillet fortsætter med 3 eller to deltagere. Tre deltagere dog kun 117/32768 svarende til 0,36 %.

Hvordan fungerede dette i øvrigt i din Monte Carlo beregning? Indeholdt den sekvenser med mange skud?

  • 1
  • 1

Hej Ebbe.

Jeg illustrerer short-cut princippet med et simpelt eksempel, men det kan også anvendes på mere avancerede tilfælde. To cowboys a og b har træfsikkerhederne p og q. De er opført i nedenstående diagram med sandsynligheden 1 og med understregning af a, der står for tur. I næste linjes venstre side har a med sandsynligheden p ramt b og i højre side fejlet, så b nu står for tur. Princippet gentages i tredje linje, hvor vi helt til højre er tilbage i startpositionen. Nu har vi gennemløbet første del af en uendelig løkke og short-cutter resten på samme måde som man finder summen af en uendelig kvotientrække. Alle sandsynlighederne i skemaets venstre side multipliceres op med forholdet 1/(1-(1-p)(1-q)), hvilket giver de viste sandsynligheder s_a og s_b for overlevelsen af a og b. De har naturligvis summen 1. [latex] \qquad \qquad\qquad 1\,:\, \underline{a}\,b[/latex] [latex] \qquad p\,:\, a\qquad\qquad \qquad 1- p\,:\,a\,\underline{b} [/latex] [latex] \qquad \qquad \qquad (1-p)\cdot q\,:\,b \qquad (1-p)\cdot(1-q)\,:\,\underline{a} \,b [/latex] [latex] \qquad s_a = \frac{p}{p + q - p q}\qquad s_b =\frac{(1-p) q}{p + q - p q} [/latex]

Dette benyttes ikke i min Monte Carlo metode, der bare er 15 linjers kode. Her får computeren helt primitivt lov til at okse gennem alle situationer og får givetvis undertiden meget lange skydeserier , men i praksis stopper hver serie jo inden uendelig.

  • 1
  • 0

Det generer mig at spillet ændrer sig når en af deltagerne dør. Han kan jo teoretisk være 99% død, men stadig deltage i spillet.

Hvis Colt på et eller andet tidspunkt dør før nogle af de andre, så kan spillet egentlig fortsætte uendeligt, da ingen af de tilbageværende har 100% træfsikkerhed. Hvornår skal man vurdere en af dem død?

  • 1
  • 9

Min foregående artikel #35 fortæller, at spillet ganske vist kan fortsætte uendeligt, men af overlevelsessandsynlighederne kun kræver en få trins short-cut betragtning, og det er jo dem, det handler om.

  • 2
  • 0

Jeg har også programmeret en Monte Carlo simulation. Jeg startede med at lave en "alle skyder mod den bedste modstander hver gang", for at verificere mit program op imod Børges resultat. Det stemmer overens.

Så kørte jeg min foreslåede strategi: De tre bedste skyder imod deres dygtigste modstander hver gang. Og Wesson med sine kun 25% træfsikkerhed føler sig sikker på at være blandt de sidste to. Han sikrer sig derfor at have første skud når de kun er to tilbage ved at lurepasse indtil de andre tre har tyndet sig ud til én.

Når jeg har kørt 400 000 samples, får jeg følgende resultat:

W:33,6235 %

S: 20,94625 %

B: 40,75125 %

C: 4,679 %

Wesson får i snit en lidt bedre modstander i finalen i forhold til at plaffe løs mod den til alle tider bedste, men det mere end opvejes at at være sikker på første skud i finalen (Hvilket han faktisk oftest har alligevel).

Det fremgår ikke klart af reglerne om Wesson, må skyde forbi med vilje. Dog ser jeg Thomas' undtagelser i nr 30, som tilsyneladende øger Smiths chancer betydeligt.

Under alle omstændigheder har jeg ikke fantasi til forestille mig de fire strategier som giver det resultat, Børge har kopieret ind fra bogen.

  • 0
  • 0

Jeg kan godt simulere mig frem til resultatet fra bogen (50.000 samples), men jeg mener at jeg gør det samme som Børge rapporterer i #31:

  1. Wesson skyder på Colt. Det er måske ikke helt oplagt, for han ved at Smith skyder på ham lige bagefter (med mindre Wesson rammer en), så hvorfor ikke skyde på Smith? Han kunne også lurepasse og skyde forbi? Jeg har også simuleret disse startstrategier for Wesson og det kan simpelthen bedst betale sig for ham at udnytte den 25% chance han har for at komme af med feltets farligste mand Colt.
  2. Smith skyder på Wesson (med mindre det lykkedes Wesson at ramme Colt, så skyder Smith på Brown). Smith ved at Brown og Colt vil skyde på hinanden (og en af dem vil lykkes), så hellere satse på at ramme Wesson og så skyde først i finalen.
  3. Brown (hvis i live) skyder på den skarpeste (Colt, alternativt Smith)
  4. Colt (hvis i live) skyder på Brown

Efter 1. runde vil der altid være mindst én død (er der to døde er vi i finalen, og de skyder løs på hinanden). Er der tre tilbage, vil Wesson altid være den ene og han lurepasser indtil finalen.

Det får jeg til meget tæt på bogens W: 0,222 S: 0,418 B: 0,278 C: 0,082

  • 3
  • 0

Det er skægt at den bedste skytte har de dårligste chancer for at overleve. Det er vel også et resultat af han er den sidste til at skyde i hver runde.

  • 2
  • 1

Det var ikke noget godt indlæg jeg fik skrevet. Jeg brugte så meget tid og energi på at lave noget kode der virkede (dælme rusten) at jeg løb tør for både tid og energi da jeg skulle skrive. Og min forståelse af Thomas N's indlæg kom først som en eftertanke.

Så jeg har ikke så meget at bidrage med.

Men Esben herover har vist også knækket strategierne. (Hvis man kan kalde så detaljerede reaktioner på situationer for strategi)

Børge er godt på vej med matematikken. Simulering er jo snyd jævnfør opgaven.

  • 0
  • 1

Hej Børge Tak for svar (# 35). Jeg kan se, at jeg var for hurtig til at slutte at en uendelig proces ikke kan medføre nøjagtige resultater. Det må være noget med konvergerende rækker. Faktisk har jeg benyttet short cut ved mine manuelle beregninger. Jeg vidste blot ikke hvad det hed!

Men videre til de optimale strategier: Jeg er enig i at Thomas i # 30 har nogle gode eksempler på, at den simple strategi, som vi begge lagde ud med, ikke holder.

Jeg tager Weston caset først: Jeg har regnet på eksemplet, hvor det er hans tur til at skyde og han er sammen med Smith og Colt. Hvis han undlader at ramme, vil Smith og Colt skyde mod hinanden og resultatet vil blive denne fordeling af overlevelseschancerne: C: 37,5%, W: 32.5% og S: 30%. Hvis det derimod lykkes for ham at skyde Colt, vil han komme i kamp mod Smith, som kan skyde først. Resultat: S: 80% og W: 20%.

Men kan vi udlede en generel strategi ud fra det? Jeg har regnet på følgende andre muligheder: Weston, Brown, Colt. (Weston skyder først). Smith, Brown, Colt. (Smith skyder først).

De giver lignende resultater. Så jeg foreslår følgende tilføjelse til den generelle strategi om at skyde efter den bedste af modstanderne: I situationer hvor der er tre kombattanter og det er den ringeste, der skal skyde først, bør han bevidst skyde forbi.

Den første case, hvor Smith skal skyde og alle fire er med, mener jeg kan betragtes som et specielt undertilfælde af den ovenstående regel. Her er der blot den ekstra gode mulighed ikke at spilde skuddet helt, men at anvende det mod den endnu ringere modstander. (der er ingen plads til sentimentalitet i de her beregninger!). Det er en speciel case, som kun kan optræde én gang i forløbet.

Var det sådan du programmerede den sidste Monte Carlo beregning?

  • 0
  • 1

Ved nærmere eftertanke... så er det vel ikke kun Wesson der kan have gavn af at lurepasse i den afsluttende trekamp? Alle tre deltagere tænker: Det optimale for mig vil vil naturligvis være at skyde først i finalen. Derfor vil det være bedst hvis min ene modstander skyder den anden, så jeg bør skyde op i luften og lurepasse. Vælger jeg i stedet at skyde på en og jeg er heldig at ramme, så er det næste der sker at en pistol peger på mig... og det ønsker jeg ikke. Og da jeg ved at mine modstandere er rationelle og "naturligvis kun tænker på at overleve" (opgaveformuleringen), så må de nå frem til samme konklusion som mig og skyde op i luften. Dermed overlever vi alle!

Spillet fortsætter dermed uendeligt... eller indtil de løber tør for ammunition, dør af sult eller en af deltagerne bliver gal og gør noget dumt.

Nu vil nogen nok indvende at med det rationale så bør alle fire deltagere fra start bare skyde op i luften hele tiden og dermed overlever alle. Det er eneste strategi hvor alle har 100% chance for at overleve... og det er det der er målet. Da det er imod hele opgavens ånd, må den naturlige konsekvens være helt at forbyde lurepasseri. Alle skal skyde for at dræbe, hver gang.

Men i så fald skal vi tilbage og rette i simuleringen så Wesson ikke længere får lov at lurepasse i trekampen. Og så kan jeg ikke længere ramme procenterne fra opgavebogens løsning. Smith profiterer af ændringen på bekostning af de tre andre og får så ca. 47% chance for at vinde.

Giver det mening?

  • 3
  • 1

Hej Espen Det fremgår indirekte, at du har lavet en beregning, der præcist rammer den 'officielle' løsning. Er det korrekt? I givet fald: Hvordan udførte du den beregning? Efter præcis hvilken strategi?

  • 0
  • 0

Hej Espen

Ved nærmere granskning af dine afsluttende bemærkninger i #39 kan jeg godt se at de kan udgøre en komplet strategi. Som jeg i øvrigt mener bliver til den samme, som jeg har beskrevet i #41. Så undskyld spørgsmålet! Men hvad mener du med, at du er 'tæt' på den officielle løsning?

  • 0
  • 0

Men hvad mener du med, at du er 'tæt' på den officielle løsning?

Jeg mener bare at jeg ikke rammer procenterne helt ned på 2. decimal. Måske jeg skulle have kørt flere samples, måske den officielle løsning brugte færre samples så den er unøjagtig. Jeg er overbevist om at det er den samme løsning som den officielle, det ville være usandsynligt at ramme alle fire procenter så nøjagtigt med en anden strategi. Og ja, strategien du beskriver i #41 er det samme jeg beskriver i #39.

  • 1
  • 0

Hej Espen

Tak for svar, Når jeg spørger så indgående, er det fordi jeg pønser på at lave en præcic beregning. Stærkt hjulpet af Børge (#35) er jeg nået frem ti,l at min holdning i #2 ikke holder. Jeg tror det er muligt at lave en semi-manuel beregning (f.eks. i et regneark), som kan give det præcise resultat. Vejret er bare for godt til at sidde over komputeren med det lige nu!

  • 1
  • 1

Her følger den præcise beregning som giver opgavebogens svar: Følger man de fire punkter for første runde fra #39 indses det hurtigt at der kun er 6 mulige udfald for hvem der lever efter første runde (alle har enten skudt én gang eller er blevet dræbt), angivet med sandsynlighed:

WS: 1/8 WB: 3/32 WSB: 10/32 SB: 9/32 SC: 3/32 WSC: 3/32

Nu kan vi blot bruge Børges formel fra #35 til at udregne duellerne og trekampene kan opfattes som to på hinanden følgende dueller idet Wesson (W) jo lurepasser. De relevante sandsynligheder i duellerne (for starteren):

WS: 4/10 WB: 4/13 WC: 1/4 SB: 4/7 SC: 1/2

Ganges det sammen med ovenstående fås:

W: 22,2% S: 41,8% B: 27,8% C: 8,2% (nøjagtigt 21/256)

Brøkerne for de øvrige procenter bliver mere langhårede, dem har jeg ikke regnet ud.

  • 4
  • 0

Det optimale for mig vil vil naturligvis være at skyde først i finalen. Derfor vil det være bedst hvis min ene modstander skyder den anden, så jeg bør skyde op i luften og lurepasse

Det er kun en fordel at undlade at skyde i trekampen, hvis man selv er ret elendig og begge modstandere er gode. Hvis kun den ene modstander er god, så er fordelen ved at få en elendig modstander højere end fordelen ved at skyde først. Hvis begge modstandere er elendige, så bliver man selv et mål, og derfor er man nødt til at prøve at skyde dem.

Derfor vil det ikke i praksis blive et problem at de alle skyder op i luften.

  • 2
  • 1

Der er vist ingen tvivl om at Esben har fundet den strategi, som opgavebogen anser for at være optimal (samt den "trivielle" løsning hvor alle skyder op i luften og overlever, hvilket jeg personligt ville foretrække, hvis jeg var deltager!).

Men hvis man nu forestiller sig at 2 eller 3 af deltagerne kunne lave en aftale, som de alle har fordel af, ville de så ikke gøre det?

Hvis for eksempel Colt og Brown aftaler, at de ikke vil skyde mod hinanden medmindre de er alene tilbage samt at Brown må lurepasse i anden runde hvis Wesson stadig er med, så får jeg følgende sandsynligheder, idet jeg regner med at begge først skyder mod Smith og derefter Wesson:

  • W: 0.2077
  • S: 0.1336
  • B: 0.5718
  • C: 0.0879

Hvis jeg har regnet rigtigt, opnår både Colt og Brown her en fordel i forhold til opgavebogens løsning.

  • 0
  • 0

Derfor vil det ikke i praksis blive et problem at de alle skyder op i luften.

Benny, jeg er ikke enig i dit rationale eller konklusion. Jeg tror netop at i praksis vil alle skyde op i luften.

Pointen er at i trekampen bliver skytternes nøjagtige træfsikkerhed lidt irrelevant. Dette spil spiller man af oplagte grunde kun én gang, så hvilke strategier der er bedst "i det lange løb" (mange gentagelser af spillet) kan den enkelte ikke bruge til noget i situationen... man har så at sige kun ét skud i bøssen.

Uanset hvor god eller elendig du selv og dine modstandere er, står du i denne situation: Hvis jeg er heldig at ramme en modstander, så står jeg for skud næste gang og mine overlevelseschancer er derfor under 100%. Sender jeg i stedet turen videre ved at lurepasse, vil næste spiller stå i samme situation... og er han rationel som mig, når han samme konklusion osv. Da det handler om at overleve er der ingen af spillerne der har en interesse i at sænke deres overlevelseschancer fra 100%. Selv Colt, der altid rammer, vil sænke sin overlevelseschance til 75% når Wesson står tilbage.

"Hver af de fire tænker naturligvis kun på at overleve" står der i opgaven. Havde der i stedet været tale om en finale i Squid Game hvor der skulle findes én vinder af en enorm pengepræmie, alle spillere følte at de intet havde at tabe og de i øvrigt fik at vide at de alle ville blive dræbt hvis der ikke var fundet en vinder inden 10 minutter... så ville deres strategier være anderledes!

Jeg kan stadig ikke helt forlige mig med at den officielle løsning indeholder muligheden for at lurepasse. For hvis det er tilladt for Wesson, så må det vel også være tilladt for alle de andre. Og Wessons rationale for at lurepasse kan vel være lige så godt som de andres rationale ovenfor: Man antager at de andre tænker rationelt og vil maksimere deres overlevelseschancer.

  • 2
  • 2

Hej Esben Jeg tager hatten af for din evne til ikke at gøre tingene sværere end nødvendigt!

Flot at du nåede en præcis verificering af den officielle løsning!

At den så kan diskuteres, som de senere indlæg viser, er en anden sag.

  • 2
  • 0

Diskussionen om, hvorfor vi ikke når den mest optimale løsning - hvor alle skyder op i luften - selv om vi kan se, at den må være mest optimal, er vanvittigt interessant.

Man kan ikke helt affærdige den med, at det er fordi, vi optimerer efter sejr og ikke efter overlevelse. Selv, hvis vi optimerer efter overlevelse, vil opgavebogens løsning jo være en gyldig løsning, i hvert fald efter det ligevægtsprincip, som jeg vil forsøge at redegøre for nedenfor.

Jeg har en fornemmelse af, at denne type paradoks må være en del af spilteori 101, men min viden om spilteori er reelt ikke-eksisterende. Så hvis nogen ved noget om spilteori, må de gerne blande sig nu.

I mangel af bedre vil jeg forsøge at kaste noget naturvidenskab efter problematikken: Ligevægtstilstande.

Som ingeniører roder vi ofte med ligevægtstilstande i processer. Som regel er fysikken overskuelig, og der eksisterer kun1 ligevægtstilstand, som processen naturligt vil søge hen imod, uanset startbetingelserne.

Men en gang i mellem støder man ind i en proces, der kan have flere ligevægtstilstande, der hver især er stabile. Hvilken af disse ligevægte, man rammer, kan dels afhænge af startbetingelserne, dels af opståede tilfældigheder undervejs. Et eksempel herpå er en naturligt cirkulerende dampkedel, hvor cirkulationshastigheden naturligt vil søge hen mod en ligevægt mellem friktionstryktab og opdrift fra den dannede damp - men i en dårligt designet cirkulationskreds kan der være ligevægt ved flere forskellige cirkulationshastigheder, og så vil cirkulationshastigheden låse fast på en tilfældig af disse ligevægte, indtil der kommer en ydre påvirkning, der skubber systemet over mod en anden ligevægt.

Som jeg ser det, gør der sig noget lignende sig gældende her i revolverduellen. Strategierne søger hen mod en “ligevægt”. Alle forsøger at forbedre deres overlevelseschancer ved at lave små justeringer af startstrategien, og undervejs forsøger de at tage hensyn til de små justeringer, de andre skytter forventeligt vil foretage. På et tidspunkt når vi samlet kombination af individuelle strategier, hvor ingen har interesse i at søge væk fra deres individuelle strategi, da de derved ville formindske deres overlevelseschance. Denne kombination vil jeg betragte som en form for ligevægtstilstand.

Som jeg ser det, har vi her et system med mindst to ligevægte:

  • Opgavebogens løsning er en ligevægt. Ingen skytte kan individuelt ændre sin strategi uden at forværre sine overlevelseschancer.
  • Men løsningen, hvor alle skyder op i luften, er også en ligevægt (i hvert fald ved nogle kombinationer af træfsikkerheder). Igen vil hver skytte forværre sine overlevelseschancer, hvis han individuelt ændrer strategi og giver sig til at skyde på en af de andre.

Det er tydeligt, at sidste løsning er den bedste, både individuelt og for alle, men problemet er, at optimeringsprocessen undervejs vil hænge fast i en “lokal ligevægt”, så den aldrig når sit optimum.

  • 0
  • 0

…og så skynder jeg mig alligevel at så tvivl om, hvorvidt jeg har ret i, at ingen skytte kan afvige fra sin strategi i den første ligevægtstilstand uden at forværre sine overlevelseschancer:

Vi antager, at Wesson er død, og det er Colts tur. Colt vælger at ændre strategi og skyde op i luften.

Nu vil det være Smiths tur. Smith har allerede en strategi, hvor han skyder op i luften, og den har han ingen grund til at ændre efter at have set Colts beslutning. Han ved endnu ikke, om Brown også vil begynde at skyde op i luften, men uanset om han gør, vil det være til Smiths fordel at vedblive med at skyde op i luften. (Og han kan desuden tillade sig at gå ud fra, at Brown ikke pludseligt giver sig til at skyde på ham, da det ville være den visse død for Brown at ramme.)

Så nu står og falder det hele med Browns beslutning. Han har lige set de to andre skyde op i luften, og han skal nu beslutte sig for, om han skal skifte strategi. Hvis han tror på, at de to andre vil fortsætte med at skyde op i luften, hvis han selv skyder op i luften, vil det være tydeligt, at han kan forbedre sin overlevelseschance ved at skyde op i luften.

Pis. Jeg har vistnok modbevist min teori om en lokal ligevægtstilstand.

  • 0
  • 0

Nu har jeg læst svaret i bogen med opgaverne og det er lidt sjovt at se hvordan debatten kommer tæt på den rigtige løsning uden at være helt rigtig (endnu!).

  • 1
  • 1

det er lidt sjovt at se hvordan debatten kommer tæt på den rigtige løsning uden at være helt rigtig (endnu!)

Claus, så bliver jeg først rigtig nysgerrig! Da jeg har lavet en eksakt udregning der giver præcis samme resultat som i opgavebogen, vil jeg meget gerne høre hvilken alternativ strategi der er angivet.

Børge skriver helt tilbage i #19:

I øvrigt giver opgavebogen kun de indledende fragmenter af en løsning, så I må selv lege detektiver eller opstøve opgaven på Nettet.

Mon I har forskellige bøger? Jeg tror ikke på nuværende tidspunkt at der vil være noget galt i at skrive hele opgavebogens løsningstekst :-)

  • 1
  • 0

Esben:

Skriv din email, så sender jeg et billede af løsningen fra bogen. Med lidt god vilje kan man godt sige at du/I har regnet den ud, det er kun en lille ting i første runde der mangler en præcis beskrivelse.

  • 1
  • 1
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten