Tænkeboks: Sæt en bille på en elastik

1 Hvor langt kommer den lille bille bort fra sit hjem? Måske bliver den bange?

2 Hvor stor bliver billens (numerisk set) største vandrette accelaration sammenlignet med tyngdeaccelerationen? Er det foruroligende?

Undertegnede er ikke ingeniør men teoretisk fysiker så måske jeg er inhabil fordi svaret er at elastikken vil være exp(10) meter lang når billen efter tiden (exp(10)–1)/10 minutter når frem fra den ene ende til den anden ende.

Problemet svarer matematisk til lysets rejse igennem universet hvis sidstnævnte udvider sig med jævn fart.

Hvilket faktisk vil være tilfældet hvis Einsteins såkaldte kosmologiske konstant Lambda = R/6 en sjettedel af middelskalarkrumningen ligesom i min egen beregning.

Sidstnævnte beregning ved hjælp af den stationære fase tilnærmelse til kvantegravitation har jeg ikke publiceret.

Men Hubble-parameteren bliver H0 = 1/t reciprokken af universets alder og udvidelsesfarten bliver jævn idet den kosmologiske konstant balancerer galaksernes tyngder.

Nu ved jeg ikke om mit udokumenterede indlæg er spam.

Bille og Elastik. Umiddelbart lyder det utænkeligt at billen når i mål, men det gør den. Hvis man nu lod billen sidde en m ude på elastikken og lade den kravle modsat udvidelsen af elastikken må det på et hår stort set være samme opgave. Og det virker også mere logisk, at billen kan nå i mål selv om den hvert minut bliver fjernet fra sit mål.

Men det er længden på elastikken der spørges om - den bliver lang og det tager vel en ca 1,5 dage for billen. Så det må være en god elastik i omegnen af 22 km

Uden at have løst opgaven tænke jeg på det samme, at det svarer til et ekspanderende univers.

Jeg har smuglæst i min mands Ingeniøren og tænker, at løsningen ligger i ordet ”jævnt”. Det vil sige, at udvidelsen af elastikken jo ikke kun foregår foran billen (så ville den aldrig nå i mål, men kun komme længere og længere fra det), denne skal altså fordeles jævnt over elastikken. Når billen har gået i et minut, vil den derfor have tilbagelagt en meter + et stykke af de ti meter, elastikken udvides med på det minut. Billen vil således, for hver gang den tilbagelægger en meter på et minut, lægge en større og større del af udvidelsen bag sig og til sidst have indhentet den og være i mål. Det må man kunne opstille en ligning for, men da jeg ikkun er sproglig student og har gået humanioravejen, må jeg overlade denne helt centrale del til andre 😊

Man ser ikke den store iver efter at redde den stakkels bille, så jeg tilbyder et lidt mere realistisk problem. En tennisturnering spilles efter cup-systemet med 32 deltagere. Man trækker lod om tallene fra 1 til 32, hvorefter nr 1 og 2 spiller mod hinande, nr. 3 og 4, og så videre. Efter første runde udgår taberne, hvorefter vinder 1/2 spiller mod vinder 3/4 og således fremdeles gennem hele turneringen indtil der efter 31 kampe er fundet en vinder. Men nu ønsker turneringsledelsen afholdt nogle supplerende kampe, så man også kan kåre turneringens næstbedste og tredjebedste deltager. Hvor få ekstra kampe kan det gøres med? Man kan antage, at alle spillere har forskellig styrke og at den stærkeste vinder i hver kamp.

elastikken vil være exp(10) meter lang når billen efter tiden (exp(10)–1)/10 minutter når frem fra den ene ende til den anden ende.

Kan du vise hvordan det resultat kommer?

Lad "x(t)" betegne den brøkdel af elastikkens længde, som billen har tilbagelagt på tidspunktet "t" målt i minutter. Vi har da x(0)=0 og x(T)=1 hvor "T" er det tidspunkt, hvor billen er nået til elastikkens anden ende.

Lad "v" betegne billens hastighed, "s" elastikkens startlængde, "E" elastikkens udstrækkelseshastighed og "L(t)" elastikkens længde til tiden t.

Vi har da L(t)=s+E·t.

I et infinitesimalt tidsrum "dt" vil x(t) øges med dx(t) = v/L(t) dt = v/(s+E·t) dt. Idet x(0)=0 fås ved integration x(t)=v·log(E·t+s)/E.

x(T)=1 giver da E/v=log(E·T+s) eller T=(e^10-1)/10 ~ 2202 minutter.

Længden af elastikken på dette tidspunkt er L(T)=e^10 meter (godt 22 km).

Billen har kravlet v·T=(e^10-1)/10 meter (godt 2,2 km).

Med en tænkt situation, hvor elastikken er en km lang til start og med en længde- udvidelse på 1 km/sec og en "langsom bille" med en hastighed på 10 mm/ sec, fås et tidsforløb på 8,9*10^(43421) år før billen når i mål. Man må håbe at den har en madpakke med. Med den tidshorisont kan universet godt pakke sammen og vi er vel til den tid endt i et sort hul.

Den næstbedste spiller er en af dem, der har fået tæsk af den bedste, der er altså 5 muligheder. For at finde den næstbedste skal der altså spilles 4 kampe (4 spillere skal elimineres).

Hvis vi kalder disse 5 spillere 1,2,3,4,5 efter hvilken runde de blev slået ud i (1 blev slået ud i første runde, osv.), så kan der, hvis 5 vinder, komme 4 nye spillere ind til kampen om tredjepladsen. Hvis 4 vinder, kan der komme 3 osv. - og slet ingen hvis 1 vinder.

Derfor lader vi først 1 spille mod 2, vinderen af denne kamp mod 3, vinderen herfra mod 4 og vinderen herfra mod 5. Hvis 1 vinder til slut, er der kun 4 spillere som potentielt er tredjebedst (der kommer ingen ny ind i næste runde). Hvis 2 vinder kommer der én ny spiller ind, og 1, 3, 4 og 5 skal også være med i kampen om tredjepladsen. Hvis 3 vinder, kommer der 2 nye ind, og der er 3 gengangere (1/2, 4 og 5). Hvis 4 vinder, er der 3 nye deltagere og 2 gengangere i næste runde, hvis 5 vinder er der 4 nye deltagere og én genganger.

Så det vil kræve 7 eller 8 kampe at finde anden- og tredjepladsen (4 eliminationer for andenpladsen, og 3 eller 4 for tredjepladsen).

Hvis man bruger et andet setup i kampen om andenpladsen, er det mere åbent. Potentielt kan man sætte det op så 5 eliminerer alle de andre en for en, og så vil der være 8 spillere i kampen om tredjepladsen. På den anden side kunne det også ende med at 1 får andenpladsen efter kun at have spillet mod én anden spiller, så behøves man slet ikke flere kampe for at finde tredjepladsen.

Men fordi den oprindelige runde var lavet ved lodtrækning, er det mest sandsynligt at 5 er den næstbedste, derefter 4, osv. Derfor mener jeg at mit først foreslåede setup er det som i gennemsnit vil give færrest kampe for at finde tredjepladsen (udover, at det er det som giver det mest forudsigelige antal kampe). Men denne optimering i antallet af kampe betyder naturligvis, at kampene om andenpladsen ikke kan afvikles simultant.

(slettet)

Din løsning er mere udførlig end min. så jeg frafalder. Der kræves altså minimum 7 kampe mere.

Vi venter spændt på den nye opgave i aften.