Tænkeboks: Sådan løste Alice og Bob vektor-opgaven

I sidste uges opgave fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved AAU skulle Alice og Bob samtidigt at sende tre todimensionelle vektorer med samme, ukendte længde til hinanden, men deres kanaler tillader kun afsendelse af to 2D-vektorer ad gangen.

De beslutter de sig derfor at prøve at sende A = X-Z og B = Y-Z og lade modtageren ‘gætte’ de oprindelige. Bob sender derfor de to vektorer A = (3, -1) og B = (4, -8), og Alice mener bestemt, at hun har fundet X, Y, og Z. Hvad er Alice nået frem til?

Løsning: Hvis A = X-Z = (3, -1) og B = Y-Z = (4, -8), så må Z = X+(-3, 1) = (u-3, v+1) og Y = X+(4,-8)-(3, -1) = (u+1, v-7), hvor X = (u, v). Samtidig vides det, at længderne på X, Y, og Z er ens, og altså er deres kvadrater også ens.

M.a.o. må: |X|² = |Y|² = (u+1)²+(v-7)² = u²+1+2u+v²+49-14v = |X|²+50+2u-14v og tilsvarende:

|X|² = |Z|² = |X|²+10-6u+2v.

Reduceres |X|² væk i ligningerne, fås to ligninger med to ubekendte, som har den entydige løsning u=3 og v=4. Altså må Y = (3+1, 4-7) = (4, -3) og Z = (3-3, 4+1) = (0, 5). Stiller man de generelle ligninger op, givet et signal A, B, ser man, at hvis vi skriver A = (a, b) og B = (c, d), så vil de to ligninger med to ubekendte, man når frem til, have en entydig løsning, hvis og kun hvis bc ≠ ad.

Det går altså galt, hvis eksempelvis X = Z eller Y = Z og i uendeligt mange andre specialtilfælde – men det vil alligevel gå godt i langt de fleste tilfælde (faktisk med sandsynlighed 1).

– – –

Alle opgaver og deres løsninger kan findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen God sommer!  Lynch