Tænkeboks: Sådan løses opgaven med Venn-diagrammet

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave fra Morten Grud Rasmussen fra Institut for Matematisk Fag ved AAU skulle I konstruere et Venn-diagram med følgende fire kategorier: (1) x>m, (2) m>v, (3) x=t, (4) 3s2>v2 og udfylde det (hvor muligt) med et eksempel på en stikprøve, som passer ind. Her er x stikprøvegennemsnittet, m er stikprøvemedianen, v variationsbredden og s2 stikprøvevariansen.

Løsning: Første problem er at tegne et Venn-diagram med fire kategorier; det er bestemt ikke umuligt, men det kan ikke lade sig gøre med cirkler. Nedenfor [rettes til, så det passer med placeringen af figuren] er det gjort med rektangler. Dernæst kan det vises, at hvis n>2, så er 3s2≤v2, hvor n betegner antallet af elementer i stikprøven.

Illustration: Ingeniøren

Omvendt er v2=2s2≤3s2, når n=2 (og s2 er ikke defineret for n=1). Men det er klart, at når n=2, så er x=m, og hvis 3s2>2s2, så er s2>0, hvorfor x1≠x2. Altså er t≠x, hvis 3s2v2.

Dermed kan vi udelukke eksempler på 3s2>v2 kombineret med hhv. x>m og t=x. Det efterlader 10 muligheder, som vi kalder A–J (se figuren). Eksempler på disse er:

A: (3, 4, 6), B: (1, 2), C: (3, 5, 6), D: (12, 13, 14, 15, 21), E: (2, 3, 4), F: (2, 3, 4, 5, 11), G: (1, 2, 2, 3), H: (1, 2, 4), I: (0, 1), J: (2, 2, 4, 6, 6).

–– – –

Alle opgaver og løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge. /elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Det ser lidt kompliceret ud. Man kan vel nøjes med de 3 sædvanlige store cirkler og så tilføje en ekstra cirkel for 3s^2>v^2, der kun skærer ind over cirklen m > v? Den skal kun benyttes for talsættet [a b], hvor tilfældet a>b/3 ligger inden for m > v, mens a<= b/3 ligger uden for alle 3 cirkler.

  • 0
  • 0

Fordelen er, at man ved at genkende et element (her et talsæt) i Venn-diagrammet straks ud fra cirklerne kan se dets egenskaber. Svend, hvordan får man sat et portræt ind i sin profil. Du er en af få, der har gjort det?

  • 0
  • 0

Kære Børge, Jeg beklager det sene svar, men jeg tror, du overser definitionen af Venn-diagrammer: "Et Venn-diagram er en grafisk illustration af alle hypotetiske relationer mellem et antal mængder". Med fire eller flere mængder kan dette ikke lade sig gøre udelukkende med cirkler (ovaler kan dog klare problemet). Det er korrekt, at flere af felterne står tomme, men implicit var en del af opgaven at indse, at man ikke kan klare sig udelukkende med cirkler. Mvh. Morten

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten