Tænkeboks: Sådan dannes trekanterne

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave fra Morten Grud Rasmussen fra Institut for Matematiske Fag ved AAU eksperimenterede seks landmåler-aspiranter med at danne vinkler ved hjælp af grønne og sorte stykker reb samt en snor og en håndfuld sten.

Se løsningen her:

Illustration: Ingeniøren
Illustration: Ingeniøren

– – –
Alle opgaver og løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

i de næstsidste 60° ser det jo fint ud :-) Jeg blev ledt på sporet af den ligesidede trekant CDH der altid opstår

  • 1
  • 1

Men hvorfor skal opgaveteksten til løsningen være anderledes end i den originale opgave?

Det viser sig jo ikke at de to stykker AC plus BD er lig AB, det var defineret i opgaven. Cara og Dag stiller sig heller ikke på vinkelhalveringslinierne, men med de afstande som deres sorte tov angav. Og så viste det sig at linierne blev vinkelhalveringslinier. Små forvirrende detaljer.

Kan man konstruere trekanten ud fra oplysningerne i opgaven?

  • 1
  • 2

Kan man konstruere trekanten ud fra oplysningerne i opgaven?

Når A, B og afstanden AH, AH < AB er givne, kan man konstruere en trekant med de krævede egenskaber. Altså at afstanden AC = AH, at afstanden BD = AB-AH og at linierne AD og BC halverer vinklen ved A henholdsvis B.

I princippet kan det ske på klassisk maner alene med passer og lineal, men det kræver - så vidt jeg kan skønne - at man er meget ihærdig.

  • 1
  • 0

Jeg tog munden for fuld. Hvis man kender længden af de to stykker hver for sig, er der en entydig løsning. I modsætning til hvad jeg påstod. Jeg skulle sige, at hvis man kun kender summen af de 2 længder, så er der uendelig mange løsninger, hvorfor man ikke kan konstruere sig til løsningerne, for hvilken af dem skulle man nå frem til? Man kan ikke nå frem til dem alle ved en konstruktion og af "symmetrigrunde" kan man ikke nå frem til en enkelt. Alle løsningerne har vinkel A lig med 60 grader, men det ved man ikke i konstruktionsfasen, og det ville heller ikke hjælpe at vide det, da der stadig er uendelig mange løsninger.

  • 0
  • 0

Stop nu. Så kan du heller ikke konstruere en trekant ud fra tre liniestykker. Hvis det skal være, så vis mig konstruktionen hvis AB=4, og de to sorte tovstykker er 1 hhv 3. Hvis du ikke ved hvordan længderne skal måles siger vi at det er meter.

  • 1
  • 1

Nu ved jeg ikke lige om Svend argumenterer på egne vegne eller på Sørens. Jeg indrømmer en fejl fra det foregående og jeg har trukken den argumentation tilbage. Her er så hvad jeg mener: Vi får i opgaveteksten at vide, at afstanden fra et fodpunkt C til et hjørnepunkt A plus afstanden fra et fodpunkt D til et hjørnepunkt B er lig med længden af AB. Opgaveteksten beder os nu om at beregne vinkel E. Selv om vi ikke får at vide hvor lange CA og DB er hver for sig, kan vi beregne den eftersøgte vinkel E, der så viser sig i beregningerne at være uafhængig af længdeforholdet CA/DB. Uendelig mange trekanter giver altså samme vinkel E, viser beregnigerne. MEN VI KAN IKKE UD FRA OPGAVETEKSTEN konstruere os frem til vinkel A fordi en konstruktion ikke kan give uendelig mange løsninger på én gang svarende til forskellige brøker CA/DB. Og vi kan ikke tillade os at sætte en talværdi på AC eller DB, for så går vi ud over opgaveteksten. Vi har ikke lov til at benytte vores senere erfarede viden om, at forholdet CA/BD er ligegyldigt. Altså: En konstruktion er umulig med opgavetekstens oplysninger.

  • 1
  • 0

Nu ved jeg ikke lige om Svend argumenterer på egne vegne eller på Sørens. Jeg indrømmer en fejl fra det foregående og jeg har trukken den argumentation tilbage. Her er så hvad jeg mener: Vi får i opgaveteksten at vide, at afstanden fra et fodpunkt C til et hjørnepunkt A plus afstanden fra et fodpunkt D til et hjørnepunkt B er lig med længden af AB. Opgaveteksten beder os nu om at beregne vinkel E. Selv om vi ikke får at vide hvor lange CA og DB er hver for sig, kan vi beregne den eftersøgte vinkel E, der så viser sig i beregningerne at være uafhængig af længdeforholdet CA/DB. Uendelig mange trekanter giver altså samme vinkel E, viser beregnigerne. MEN VI KAN IKKE UD FRA OPGAVETEKSTEN konstruere os frem til vinkel A fordi en konstruktion ikke kan give uendelig mange løsninger på én gang svarende til forskellige brøker CA/DB. Og vi kan ikke tillade os at sætte en talværdi på AC eller DB, for så går vi ud over opgaveteksten. Altså: En konstruktion er umulig med opgavetekstens oplysninger.

  • 0
  • 0

Jeg opfattede Svends spørgsmål:

Kan man konstruere trekanten ud fra oplysningerne i opgaven?

som en variation af bagsideopgaven, hvor det nu drejer sig om at bestemme punktet E og ikke blot vinklen ved E.

Punkterne A og B og afstanden AH (jvf. figur) er givne og trekanten skal have følgende egenskaber (jvf. figur):

Afstanden AC = AH, afstanden BD = AB-AH, linierne AD og BC halverer vinklen ved A henholdsvis B.

Svend må korrigere om nødvendigt.

  • 0
  • 0

Kan man konstruere trekanten ud fra oplysningerne i opgaven? Hvor jeg mener de to sorte stykker tov, der tilsammen er lig AB, og at vinkelhalveringslinierne fra A og B rammer tovenderne.

Fra opgaven ved vi at vinkel E vil være 60 grader, men kan vi så konstruere trekanten så den passer med de længder for tovstykkerne vi har valgt. Det er en "simpel" geometrisk konstruktion med kun een løsning baseret på de to tovstykker og de andre betingelser.

Jeg håbede at nogle kunne vise en løsning, eller sige at det ikke kan løses? Måske den kun kan løses matematisk (som vinklens tredeling). Man kunne også formulere det som at finde vinkel A som funktion af det ene tovstykke (det andet er så givet fra betingelsen), eller at konstruere trekanten på geometrisk vis.

Jeg synes ikke det kan formuleres anderledes.

  • 1
  • 1

Ved kik på en figur, er det ikke svært at se, at de mange vinkler v er invariante på 60 grader, og så kan trekanten optegnes ved hjælp af en dobbelt synsvinkelkonstruktion. Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt G er skæringspunktet mellem de to cirkler der ser hhv. AH (=AC) og BH (=BD) under en vinkel på 60 grader. Nu kan vinkelhalveringslinjerne AG og BG optegnes og vinklerne fordobles ved A og B til optegning at forbindelseslinjerne til E.

  • 2
  • 0

Kære Svend,

Det er ikke første iteration af opgaven og besvarelsen, der endte med at blive publiceret, og den blev næsten kasseret i første hug, fordi teksten var for lang og billedet også fyldte. Det er lidt en kunst at få skåret det tilstrækkeligt ned og stadig få essensen med, og svaret skulle være endnu kortere pga. billedet.

Fins opgave blev i første omgang medtaget, fordi jeg ville gøre det klart, at vinkelhalveringslinjerne altså ikke er svære at finde i praksis, og for at have en lidt nemmere delopgave (den svarer ca. til at finde vinkelhalveringslinjer med passer og lineal, passeren erstattes blot af en sten og en snor). Svaret røg desværre ud i én af revisionerne.

Mvh.

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten