Tænkeboks: Så langt løber børnene før de mødes på midten

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave skulle fire børn i et hvert set hjørne af et et kvadratisk rum fange dén, der står i hjørnet til højre for dem. Ale løber direkte mod deres mål uden at forsøge at undvige deres egen ‘fanger’, og det viser det sig, at de til enhver tid er præcis lige hurtige.

Hvor langt nåede de at løbe, før alle mødtes på midten?

Løsning: Placér et koordinat­system med centrum i midten af rummet, væggene parallelle med akserne, og enheder, så 2 svarer til en væglængde. Så skal barnet med koordinaterne (x, y) fange barnet med koordinaterne (-y, x), og førstnævnte altså løbe i retningen (-y-x, x-y).

Bruger man eksempelvis denne vektor som hastighedsvektor og løser differentialligningssystemet, får man med udgangspunkt i (-1, -1) løsningen e(-t)(sin(t)-cos(t), -sin(t)-cos(t)), og det tager således uendeligt lang tid, fordi hastigheden er proportionel med afstanden.

Man skal derfor integrere farten – som bliver 2e(-t) – fra 0 til uendelig og får den tilbagelagte afstand til at være 2 – det samme som væglængden?!

Tænker man sig om, så giver det fin mening; børnene bevæger sig aldrig væk fra eller hen imod deres ‘fanger’, men altid vinkelret på ‘fangerens’ retning, og afstanden, der skal tilbagelægges, er således den oprindelige afstand.

I et trekantet rum vil børnene derimod løbe mod deres ‘fanger’, fordi vinklen er spids, mens et femkantet rum vil betyde, at de løber væk fra deres ‘fanger’, så de skal løbe kortere i en trekant og længere i en femkant end den oprindelige afstand.

Regner man efter, eksempelvis vha. differentialligningssystemer som ovenfor, så viser det sig, at formlen er a/(1-cos(2π/n)), hvor a er den oprindelige afstand og n er antal kanter i den ligesidede polygon.

– – –

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

Vi bringer en ny opgave i næste uge. /elp

Illustration: Ingeniøren