Tænkeboks: Regn med piger

Illustration: Ingeniøren

OBS: Opgaveteksten er opdateret, da der desværre var en fejl i den oprindelige. Vi beklager (red.)

Vi fortsætter med opgaver fra bogen ‘Tænkeboxen’ udgivet af Ingeniøren Bøger i 2003. Opgaven er fra kapitlet ‘Sandsynlighed med seksløbere – plat eller krone for viderekomne’.

Som der står i introduktio­nen, er der stor forskel på at skyde i blinde og at regne den ud. Men det er ikke altid lige indlysende, hvad sandsynlighederne er i disse opgaver, og så må man regne den ud på anden måde.

Opgave 32:

Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Karl. Mit ældste barn er en pige, siger Ole.

Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer af Ingeniøren samt her på ing.dk om et par uger, men indtil da, kan I diskutere jeres forslag til løsninger i debatten herunder.

Løsning på opgave 4: Tænkeboks: Løb med løgnhalsene

Rækkefølgen er Nielsen – Berg – Madsen – Christensen – Larsen. Alle andre rækkefølger fører til en modstrid, når udsagnene fra nr. 1 og 2 skal være falske.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Som udvælger fra bogen (srp), burde du være klar over, at denne opgave er hudflettet sønder og sammen på debatsiderne over de sidste mange år ...

  • 4
  • 0

Svaret er, som sidst, en halv i begge tilfælde (med mindre man gør helt urimelige antagelser). En kvart, ikke en halv... 4 møntkast, kun ét er krone-krone.

  • 0
  • 2

Svaret er, som sidst, en halv i begge tilfælde (med mindre man gør helt urimelige antagelser). En kvart, ikke en halv... 4 møntkast, kun ét er krone-krone.

Ja, sorry. selvfølgelig en kvart for Karl. Mit svar var på spørgsmålet, hvad er sandsynligheden for at det ikke-omtalte-barn/et-ikke-omtalt barn er en pige. Men sådan var opgaven jo ikke formuleret.

Den pointe jeg prøvede at understrege er, at vi selv med oplysningen om at mindst et barn er en pige, stadigvæk kun får information om det ene barn, hvorfor det sidste barns køn kan beregnes helt uafhænigt af det første barns køn.

  • 0
  • 2

Jeg er helt enig med Kim i, at det er en uværdig opgave at stille. Den er regnet på 15 sekunder hvis man har lært lidt sandsynlighedsregning og den giver ingen mulighed for debat. Ingeniøerer vil have regneopgaver, og det har det skortet på i efteråret.

Og så er der alligevel ingen af de tidligere indlæg, der har givet den korrekte løsning!

  • 1
  • 3

Beregningen er korrekt. Det er bare den forkerte beregning. Du skal få et hint. Der er en ting du glemmer at tage hensyn til.

Tre fingre ned til det.

Beskæmmende nok er der åbenbart stadigvæk en del folk, der ikke kan stille opgaven korrekt op. Og interessant nok, så er der ingen af dem der beder om hjælptil at forstå opgaven. Det tomler bare nedad i sikker tro på egen bedreviden.

Det viser jo med al tydelighed hvad der sker, når man har et uddannnelsessystem, der definerer matematisk kundskab som evnen til at kunne regne typeopgaver ... såkaldet kogebogsmatematik.

  • 2
  • 2

Sagen er, at der er tre hændelser og ikke to. De to første hændelser får alle øje på, Nemlig fødsel af det ene barn, og fødsel af det andet barn. Begge hændelser har to lige sandsynlige udfald. Fødsel af en pige, og fødsel af en dreng.

Og så er der den tredje hændelse. Manden angiver kønnet på det ene af børnene. I tilfældet hvor begge børn har samme køn(begge drenge, eller begge piger), har han intet valg her. Men har han et af hvert køn har han valgt mellem at sige, "jeg har mindst en dreng" eller "jeg har mindst en pige". En rimelig antagelse er, at han ikke har nogen kønspræference her, og at de to muligheder dermed er lige sandsynlige.

Sandsynligheden for de mulige udfald bliver hermed

1; P(dreng, deng, siger dreng) = 0,5 x 0,5 x 1 = 0,25

2; P(dreng, deng, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 0 = 0

3; P(pige, pige, siger dreng) = 0,5 x 0,5 x 0 = 0

4: P(pige, pige, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 1 = 0,25

5: P(pige, dreng, siger dreng) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

6: P(pige, dreng, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

7: P(dreng, pige, siger dreng) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

8: P(dreng, pige, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125

Da der er sagt pige, så ved vi, at vi befinder os i situation 2, 4, 6 eller 8, Den søgte sandsynlighed er derfor 0+0,25+0,125+0,125=0,5

Så kort og enkelt er det korrekte svar.

  • 2
  • 3

Jamen, så skal du vel også tage højde for de situationer hvor Ole siger elefant, spidsmus, hornugle eller noget helt fjerde?

  • 0
  • 2

Dine beregninger af dette simple problem er forkerte og dit raseri mod os andre er helt ude af proportioner. Går vi et skridt tilbage, er der mulighederne PP, PD, DP og DD med førstefødte nævnt først. Nåe DD ikke er relevant, udgør PP 1/3 af de øvrige og dermed basta. Dine beregninger bygger på antagelser, der er forkerte og din nedgøren kan du beholde for dig selv. Og må vi så få kammertonen, please.

  • 6
  • 3

Stop nu, Jens Dine beregninger af dette simple problem er forkerte og dit raseri mod os andre er helt ude af proportioner. Går vi et skridt tilbage, er der mulighederne PP, PD, DP og DD med førstefødte nævnt først. Nåe DD ikke er relevant, udgør PP 1/3 af de øvrige og dermed basta. Dine beregninger bygger på antagelser, der er forkerte og din nedgøren kan du beholde for dig selv. Og må vi så få kammertonen, please.

At du mener at du har ret, gør det ikke mindre objektivt korrekt at du faktisk ikke opstiller problemet korrekt.

Hvad der genere mig er, at folk efter at have regnet typeopgaver i skolen i årevis, er så forbenede i deres tro på at have ret, at de nægter så meget som at prøve at forstå, hvor de gør fejl.

  • 2
  • 3

Det havde været nemmere hvis opgaven var skrevet på svensk. Så havde sandsynligheden for at Ole havde to piger været nul. I Sverige har børnene nemlig ikke noget køn.

  • 1
  • 2

"En rimelig antagelse er, at han ikke har nogen kønspræference her, og at de to muligheder dermed er lige sandsynlige."

Med denne bemærkning falder du i vandet, Jens. For du skal foretage en beregningen ud fra præcis hvad der siges. Og så skal du bevæge dig på den konventionelle sikre grund (som du åbenbart foragter) i stedet for at lalle dig frem maed selvopfundne forudsætninger om hvad der kunne være sagt. Altså: Der er i opgaven 4 mulige situationer med hensyn til køn, og kombinationen med pige og dreng er dobbelt så sandsynlig som kombinationen med pige og pige. Det er da elementært. Og hvis du siger, at oplysningen om at det ene barn er en pige, er ligegyldig, så gør du allerede en fejl her ved at negligere en oplyst kendsgerning.

Ændrer vi derimod opgaven til at faderen siger: Jeg har 2 børn, den ældste er en pige, så er sandsynligheden 1/2 for at den anden også er en pige, for så er det et valg mellem to lige sandsynlige muligheder.

Det er godt at være kreativ, men du er FOR kreativ her.

Nu kom der alligevel en del diskussion ud af denne opgave, men det ændrer ikke ved, at opgaven er utilgiveligt uegnet. Hvorfor er den det, når der er så mange fine og egnede opgaver i Tænkeboks-bogen? Jeg krydser fingre for en bedre fremtid.

  • 4
  • 4

Det er godt at være kreativ, men du er FOR kreativ her.

Du forstår det ikke. Det har absolut intet at gøre med at være kreativ eller ej. Det har noget at gøre med hvilke antagelser man gør.

Og man er NØDT TIL at gøre sig en antagelse for at kunne beregne et resultat. For at få resultatet 2/3 må man gøre sig den antagelse, at en person altid vælger at sige "Jeg har mindst en pige", i den situation hvor personen har et barn af hvert køn.

En langt mere rimelig antagelse er, at personen ikke har en kønspræference.

Tror mig. Det er utvivlsomt at jeg har ret og du tager fejl. Det bedste du kan gøre er prøve at forstå hvad jeg skriver og lære noget.

  • 2
  • 3

Jens, du må indse at Børge har givet dig den løsning som vil blive præsenteret som den rigtige, når løsningen kommer. Hvis det kan være en trøst for dig, så er sandsynligheden for to piger en lille smule større end 1/3 da sandsynligheden for at få en pige er 0.506 og sandsynligheden for at få en dreng kun 0.494.

  • 0
  • 2

Når Ole siger, at han har mindst én pige, så betyder det naturligvis, at han har enten 2 piger eller en pige og en dreng. Dette er ikke nogen antagelse, men ren logik, der står sort på hvidt. Hvis du ikke accepterer dette, skævvrider du problematikken, og det er det, du så hidsigt gør. Prøv nu at læse teksten ord for ord og se efter, hvad der står og ikke står. Spørg eventuel en ven om dennes forståelse af teksten.

  • 7
  • 1

Når Ole siger, at han har mindst én pige, så betyder det naturligvis, at han har enten 2 piger eller en pige og en dreng. Dette er ikke nogen antagelse, men ren logik, der står sort på hvidt. Hvis du ikke accepterer dette, skævvrider du problematikken, og det er det, du så hidsigt gør. Prøv nu at læse teksten ord for ord og se efter, hvad der står og ikke står. Spørg eventuel en ven om dennes forståelse af teksten.

  • 0
  • 1

Og så er han i en af de 3 ud af 4 situationer, hvor en pige er involveret.

Faktisk i en af de 6 ud af 8 situationer. Læs nu hvad jeg har skrevet med den hensigt at forstå det.

Ved denne beregning gøres overhovedet ingen antagelser,

Jo, det er der i meget høj grad. Bare en meget urimelig antagelse.

men opgaveteksten følges til fulde.

Både i det svar, du kommer frem til , og det svar jeg kommer frem til, følges opgaveteksten.

Forskellen er hvilke antagelser der gæres. Du gør en, efter min mening aldeles urimelig, antagelse om kønsprælference hos fædrer med et barn af hvert køn. Jeg gør den antagelse, at sådanne fædrer ingen kønsprærference har.

Prøv nu at læse min forklaring med forståelse for øje. Så vil du få en meget tilfredsstillende aha-oplevelse.

  • 1
  • 4

Sandsynligheden for de mulige udfald bliver hermed

Nej, for det første er "siger pige" ikke et muligt udfald, men der imod en given forudsætning, hvilket udelukker kombinationsmuligheder med "siger dreng".

For det andet giver 2 børn uden kønsbestemmelse eller anden begrænsende forudsætning, højest 4 kombinationsmuligheder og ikke 8.

Med "siger pige" som given forudsætning, giver de to børn altså 4 kombinationer med med hver følgende sandsynlighed:

  • 1; P(dreng, deng, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 0 = 0
  • 2: P(pige, pige, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 1 = 0,25
  • 3: P(pige, dreng, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 1 = 0,25
  • 4: P(dreng, pige, siger pige) = 0,5 x 0,5 x 1 = 0,25

1/4(0+0,25+0,25+0,25) = 1/3

Det langt enklere er at starte med det maksimale (uden begrænsende forudsætninger) antal kompinationsmuligheder:

  • D/D
  • P/P
  • P/D
  • D/P

Og så fjerne den eller de kombinationsmuligheder, enhver given forudsætning måtte udelukke, og så tælle hvor mange, der er tilbage.

  • 4
  • 1

Jens besvarer spørgsmålet p(2 ens køn|det ene barns køn er oplyst) (som er 1/2). Men der spørges om p(2 piger|mindst én pige) (som er 1/3).

Jens bortkaster informationen "mindst én pige" med argumentet "han kunne lige så have sagt dreng". Det er indlysende at værdifuld information fortabes på denne (forkerte) måde.

  • 3
  • 3

Ud over at man måske burde bruge 0.51/0.49 sandsynligheder for førstfødte, så jeg har hørt, at når man først har fået et barn af ét køn så er der en biased sandsynlighed for det næste barn (jeg kender dog ikke sandsynlighederne eller om det passer, eller om det er racebestemt eller bestemt ud fra andre miljøfaktorer).

Og dermed kan man vel kun løse opgaven helt statistisk korrekt, hvis man gør sig visse antagelser af egen vilje.

Og man må vel skulle opstille flere scenarier så fremt man vil udtale sig om Karl' og Ole's førstfødte, som den ene eller den anden mulighed

  • 0
  • 1

Jeg forstår ikke din formel, andet end at du vil have et resultat på 1/3. Kan du forklare hvordan du kommer frem til nævneren? Jeg synes den ser mystisk ud.

  • 0
  • 0

Jeg forstår ikke din formel

Der er fire mulige udfald (hvis der ingen forudsætninger er givet): PP, PD, DP, DD

Hver af disse udfald er lige sandsynlige (igen så længe der ingen forudsætninger er) - d.v.s. at det tlfælde vil formlen være: 1 / (4 * (1/4 + 1/4 + 1/4 + 1/4)) = 1/4.

Nu er mulighed DD udelukket qua mindst en pige og formlen bliver: 1 / (4 * (1/4 + 1/4 + 1/4 + 0)) = 1/3.

For yderigere at simplificere den, kunne en forudsætning være: der er både en dreng og en pige, hvad er sandsynligheden for at drengen er født først? Formlen bliver nu: 1 / (4 * (0 + 1/4 + 1/4 + 0)) = 1/2 - hvilket jo selvfølgelig er rigtigt, men også underbygger Sørens formel - (og måske forståelsen af den) 😉

@Jens: Opgaven lyder ikke: Ole har fået et barn, som er en pige, hvis Ole får et barn mere, hvad er sandsynligheden så for, at det også bliver en pige - Det er en anden opgave, som selvfølgelig har resultatet (næsten) 50%

  • 1
  • 0

Kære Jens. Når du skriver, at "Ole lige så godt kunne have sagt" og regner videre på det, så er det dig, der gør en antagelse, der volder opgaveteksten og som derfor giver et forkert resultat. Vi andre følger opgaveteksten.

Når du siger, at Oles andet barn er fifty/fifty, så ser du på situationen, hvor Ole skal have et nyt barn. Men når vi kender forhistorien med Oles 2 børn, så er der kun de tidligere nævnte 4 tilfælde.

Det ville i øvrigt klæde dig hvis du i stedet for ustandselig at nedgøre alt og alle fortalte hvad dit alternative synspunkt var, så vi kunne holde tingene op mod hinanden inden for samme artikel.

  • 4
  • 1

Det ville i øvrigt klæde dig hvis du i stedet for ustandselig at nedgøre alt og alle fortalte hvad dit alternative synspunkt var, så vi kunne holde tingene op mod hinanden inden for samme artikel.

Kærev ven. Jeg har skåret beregningen af det korrekte svar ud i pap. Hvad mere kan jeg gøre. Når enkelte ikke forstår det, så skyldes det nok, at de tilgår forklaringen med den opfattelse at den må være forkert, og at målet derfor er at finde noget de kan hænge denne forhåndsopfattelse op på.

  • 1
  • 6

Nej, for det første er "siger pige" ikke et muligt udfald, men der imod en given forudsætning, hvilket udelukker kombinationsmuligheder med "siger dreng".

Den opgave du stiller op beregner du korrekt. Det er bare ikke den opgave som opgavestilleren stiller i teksten. Selvom det med stor sandsynlighed er den opgave som opgavestilleren ønsker at stille, og også tror at han stiller.

Lad mig opstille to opgaver, præcist formuleret.

1) Betragt mængden af tobørnsforældrer, hvor mindst det ene af personens børn er en pige. Havd er sandsynlighenden for, at en tilfældig valgt person fra denne gruppe har to piger?

2) Betragt mængden af tobørnsforældrer, hvor personen gives mulighed for at oplyse om kønnet på et af børnene, og her vælger at oplyse om en pige . Havd er sandsynligheden for, at en tilfældig valgt person fra den gruppe har to piger?

Du er (forhåbentlig) enige i, at disse to opgaver er forskellige og giver forskellige resultater? Opgave et giver resultatet 1/3 mens opgave to giver resultatet 1/2 (under den antagelse at en person er lige tilbøjelige til at oplyse om dreng og pige), enig?

Forskellen er, at pigeoplysningen i opgave et giver oplysning om begge børn, mens pigeoplysningen i opgave to kun giver information om det ene barn.

Hvilken af disse to opgaver stilles rent faktisk i teksten?

Jeg tror ikke at det kan skæres meget mere ud i pap end dette.

  • 0
  • 4

Når enkelte ikke forstår det, så skyldes det nok, at de tilgår forklaringen med den opfattelse at den må være forkert, og at målet derfor er at finde noget de kan hænge denne forhåndsopfattelse op på.

Jens - på øjemål er vist ikke "enkelte" men derimod 'hele tråden' udover dig selv, samt de dele af internettet, der beskæftiger sig professionelt med den slags, der er uenig med dig - så måske skulle du prøve med en smule mere ydmyghed og ihærdighed, at forklare hvor resten af tråden (og internettet) tager fejl?

Du kunne eksempelvis prøve at redegøre sagligt for, hvor i #35, jeg tager fejl, siden du stadig er uenig?

Du kunne også prøve at udskifte objekterne i:

"Two coins are tossed. What is the conditional probability that two heads result, given that there is at least one head ?"

.... til:

"Two kids are born. What is the conditional probability that two girls result, given that there is at least one girl ?"

..... og så forklare hvori følgende tager fejl: https://www.toppr.com/ask/question/two-coi...

  • 2
  • 0

"Two coins are tossed. What is the conditional probability that two heads result, given that there is at least one head ?"

.... til:

"Two kids are born. What is the conditional probability that two girls result, given that there is at least one girl ?"

Sagen er at det ikke er den opgave der bliver stillet. Det er den opgave opgavestilleren ønsker at stille, og også den han tror han får stillet. Men det er altså ikke den der rent faktisk stilles i opgaveteksten.

  • 0
  • 6

Så må du virkelig fortælle os, hvad forskellen på

Jeg har mindst én pige, siger Ole

og

given that there is at least one girl

er

"given that there is at least one girl"

er specifikation af udfaldsrum.

"Jeg har mindst én pige, siger Ole"

er udfald af en hændelse.

Jeg vil anbefale dig at læse #49. Overveje det nøje, og så svare på det i #49 stillede spørgsmål.

Det er jo ikke fordi folk ikke kan regne typeopgaver med betinget sandsynlighed, at tingene går galt. Det kan jeg jo se, at de kan. Problemet er, at opgaven som stillet kræver, at man virkelig holder tungen lige i munden nht. til grundlæggende begreber, når man skal oversætte fra opgavetekst til præcis matematisk formulering.

Jeg havde engang lejligheden til at diskutere opgaven med en række matematikprofessorer ved et skotsk universitet. Deres holdning var nærmest (måske fordi de havde været præsenteret for opgaven mange gange), at ja ja folk tog jo almindeligvis fejl og regnede den forkerte opgave, men så var det heller ikke mere interessant at folk tog fejl, og opgaven var jo i sig selv banal.

  • 0
  • 8

2) Betragt mængden af tobørnsforældrer, hvor personen gives mulighed for at oplyse om kønnet på et af børnene, og her vælger at oplyse om en pige . Havd er sandsynligheden for, at en tilfældig valgt person fra den gruppe har to piger?

Du er (forhåbentlig) enige i, at disse to opgaver er forskellige og giver forskellige resultater? Opgave et giver resultatet 1/3 mens opgave to giver resultatet 1/2 (under den antagelse at en person er lige tilbøjelige til at oplyse om dreng og pige), enig?

Nej, overhovedet ikke!

Du lægger en masse absurd spekulation om skjulte forudsætninger i opgaveteksten, som om det er en del af opgaven at psykoanalysere hvad "mængden af tobørnsforældre" ville "vælge at oplyse" og hvorfor, hvis de "gives muligheden for at oplyse om kønnet" .... bla ... bla ... bla .....

Det eneste du får oplyst, er at Ole han har to børn, og mindst ét af dem er en pige.

Længere er den ikke, og du skal ud fra den simple oplysning beregne sandsynligheden for at de begge er piger.

Al spekulation om skjulte forudsætninger, er opgaven uvedkommende, og vil i (X-1)/X tilfælde føre til fejl.

  • 5
  • 0

Nej, overhovedet ikke!

At du ikke er enige i at disse to opgave, som jeg meget præcist specificere er forskellige, er virkeligt et problem. Det er en fuldstændigt uigendriveligt matematisk kendsgerning, og hvis du ikke forstår det. så er det klart at din forståelse af resten må fejle.

Du lægger en masse absurd spekulation om skjulte forudsætninger i opgaveteksten, som om det er en del af opgaven at psykoanalysere hvad "mængden af tobørnsforældre" ville "vælge at oplyse" og hvorfor, hvis de "gives muligheden for at oplyse om kønnet" .... bla ... bla ... bla ....

Nej, det gør jeg på ingen måde.

Jeg læser bare opgaveteksten som den rent faktisk er skrevet.

Skulle jeg posst-covid møde gruppen af matematikprofessorer i Skotland igen, så vil jeg lade dem vide at de tager fejl, og trænger til at blive belært af ing.dk læsere, som ved meget bedrer.

Så selv om alle var enige i at opagven var let, så var den åbenbart alligevel for svær for de fleste.

Kan i hygge jer. Jeg gider ikke længer en flok mennesker, der ikke er interesseret i at lære.

  • 0
  • 9

Og det var der, det gik (helt) galt for dig - - - 😂

Det er pinligt for dig at du skriver sådan. Det kan godt være at du føler dig tryg ved at skrive det, fordi du har loddet stemning mht. til hvad flertallet tror. Men det bliver din løsning ikke spor mere rigtig af.

Sidst jeg korrigerede en fejlslutning fra dig (rumststionen) var vi i et emne, hvor du godt kunne i se din fejl. Det er vi så åbenbart ikke her.

  • 0
  • 7

Vi har 3 Oler: Ole 1, Ole 2 og Ole 3,

Ole 1 har 2 piger, og både Ole 2 og Ole 3 har blandet, (på de to måder).

En af dem står foran os, men vi ved ikke, om det er Ole1, Ole 2 eller Ole 3.

Ole 1 er nødt til at sige pige

Ole 2 vil sige pige

Ole 3 vil sige dreng

Vi konstaterer, at der er sagt pige, så det kan ikke være Ole 3, vi har foran os, men det kan enten være Ole 1 eller Ole 2.

Da der er lige mange Ole 1 og Ole 2 (én af hver) er der 1/2 chance for, at det er Ole 1, vi har foran os (ham med de 2 piger).

Hvad er der galt med det argument? Steen

  • 1
  • 2

Det er vi så åbenbart ikke her.

Hvis nogen er begavede nok til at overbevise mig om, at jeg har taget fejl, er jeg altid klar til at indrømme det Jens - der er vi (bestemt) ikke her.

Det du (åbenbart) mener er den substantielle forskel på de to scenarier er, at i den ene er det given at der er mindst en pige, i den anden siger Ole, at der er mindst en pige.

Med mindre du har Ole mistænkt for at lyve, har jeg svært ved at se forskellen. Hvis Ole ikke er troværdig, giver opgaven ingen mening.

PS: Jeg husker ikke sagen om rumstationen, men oplys mig endelig 😉

  • 0
  • 3

Der var nogen som bad om en matematisk gennemgang, så det får I her. Jeg kan godt se det er nødvendigt når gymnasiematematik volder problemer. I øvrigt vil sådan en opgave ikke blive stillet fordi den er elendigt formuleret. Jeg skal nok gøre det klart hvorfor jeg mener det.

Teori I sandsynlighedsregning bruger man det som hedder det endelige sandsynlighedsfelt [latex] (p,U) [/latex] p er en sandsunlighedsfunktion og U er et udfaldsrum, om et sandsynlighedsteoretisk eksperiment. Der gælder da følgende. Et udfaldsrum er en liste/mængde af alle de hændelser som kan ske i vores eksperiment. Hver hændelse indgår én gang. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet, hvor der er to trivielle hændelser A=U og A=Ø. Da udfaldsrummet U og hændelsen A er mængder gælder da alle de mængdeteoretiske regneregler.

Derudover skal vi bruge en sandsynlighedsfunktion p, hvorom der gælder at p tilskriver en sandsynlighed til alle elementer i U med en værdi mellem 0 og 1. Summen af alle sandsynligheder skal være 1 (altså p(U)=1), og p(Ø)=0.

Betinget sandsynlighed Betinget sandsynlighed bruges til at undersøge om ekstra information ændre ens sandsynlighed og til hvad. Der er en formel til at beregne den som er [latex] p(A|B)=\frac{p(A\cap B)}{p(B)} [/latex] Den skal læses sådan her: Sandsynligheden for hændelsen A givet at vi ved hændelsen B er indtruffet er lig med sandsynligheden for fælleshændelsen A og B divideret med sandsynligheden for hændelsen B.

Opgaven Så vi skal starte med at specificere udfaldsrum, hændelser og sandsynlighedsfunktion. Udfaldsrummet U={DD, DP, PD, PP}, hvis vi antager fødselsrækkefølgen betyder noget. Hændelse A={PP} da det er sandsynligheden for to piger vi er ude efter. Hændelse B={DP, PD, PP} mindst en pige. Fælleshændelsen for A og B er {PP}.

Da vi ikke ved noget som sandsynlighedsfunktionen bliver vi nødt til at antage at det er en ligefordeling. Dvs. p=1/antal elementer i U. Der er 4 elementer i U det betyder p=1/4 for hvert element i U. Vi kan nu bestemme de sandsynligheder vi skal bruge p(B)=1/4+1/4+1/4=3/4 og p(A og B)= 1/4. Alt i alt fås: [latex] p(A|B)=\frac{^1/_4}{^3/_4}= ^1/_3 [/latex]

Også til hvad der galt med opgaven Problemet med opgaven er udfaldsrummet. Vi kigger på antal og vi kan derfor lige så godt kigge på U={DD, PD, PP} fordi {PD}={DP}. Her betyder rækkefølgende ikke noget, vi kigger kun på antal. Her er hændelse A stadigt den samme, mens B={PD, PP} og sandsynlighedsfunktionen ændre sig til p=1/3, da der er 3 elementer i udfaldsrummet nu. Dvs. p(B)=2/3 og p(A og B) = 1/3, vi får da: [latex] p(A|B)=\frac{^1/_3}{^2/_3}= ^1/_2 [/latex]

Under alle omstændigheder ændre sandsynligheden sig, hvilket muligvis har været idéen med opgaven.

opgaver til at øve sig på

(den nemme) Hvad er sandsynligheden for at trække et billedkort hvis du ved koløren er rød? (svar: 3/13)

(den lidt sværere) Der findes dygtige og dårlige kokke. 60% af alle kokke er dygtige. Sandsynligheden for at en dygtig kok laver en god suppe er 90%, mens sandsynligheden for at en dårlig kok laver en god suppe er 20%. Du får nu en god suppe, hvad er sandsynligheden for at en dårlig kok har lavet den? (altså p(dårlig kok|god suppe). (svar: 0,1290)

  • 0
  • 4

Hvis du læser teksten vil du opdage, at jeg udtaler mig om antallet. Der er 1 pige i hver af dem og fra det synspunkt er de ens. En anden måde at skrive det på ville have være {0,1,2}, altså 0,1 og 2 piger. Under alle omstændigheder det at der er flere måder at læse teksten på betyder at det ikke er en særlig god opgave, hvilket er årsagen til at jeg ikke udtaler mig om hvilken en af dem er den rigtige.

  • 0
  • 1

Med mindre du har Ole mistænkt for at lyve, har jeg svært ved at se forskellen. Hvis Ole ikke er troværdig, giver opgaven ingen mening.

Ole er absolut ikke mistænkt for at lyve. Måske kan du i virkeligheden bare læse hvad Steen skriver i #60.

Hvis det ikke hjælper, så kunne et godt startpunkt måske være, at spørge om, at du kan se at flg. to opgaver er forskellige og giver forskelligt resultat?

1) Jeg ringer til en ven, der oplyser at han har to børn, og at han har mindst en pige. Hvad er sandsynligheden for at min ven har to piger.

2) Jeg ringer til en ven, der oplyser at han har to børn. Jeg spørger ham om, han har mindst en pige, og det bekræfter han. Hvad er sandsynligheden for at min ven har to piger.

Når jeg vælger opgaven i den udformning, så er det fordi jeg mener at huske, at der findes korrekte beregninger af denne formulering på autoritative sites på nettet (muligvis Wikipedia). Og nettet betragtes åbenbart som en større autoritet mht. til matematik end tre "skotske" matematikprofessorer. Har man læst noget et sted på nettet, så må det være rigtigt...prøv at google en forklaring på tidevand.

PS: Jeg husker ikke sagen om rumstationen, men oplys mig endelig 😉

Det var om placering af slutpunkt i forhold til startpunkt, når man hopper "lige op" fra gulvet i en roterende rumstation.

  • 0
  • 2

Så lad mig gøre det helt klart (man kan håbe). Det nye udfaldsrum er {0,1,2} altså 0,1 eller 2 piger. De er stadigt ligefordelte og der er 3 elementer. Problemet opstår fordi man tænker PD og DP som noget forskelligt. I begge tilfælle er antallet af piger 1 og derfor er det samme element i udfaldsrummet. Men de hændelser må IKKE gå igen to gange så {0,1,1,2} er ikke et tilladt udfaldsrum.

  • 0
  • 3

Nej. Hvis 'PD' blot betyder en af hvert køn uanset rækkefølgen, så er sandsynligheden for udfaldet 'PD' ikke lig 1/3, men lig 1/2 og man får atter

p(B)=1/2+1/4 = 3/4 og p(A og B) = 1/4. Resultatet er uændret 1/3.

Korrekt!

For spørgsmålet er jo ikke med hvilken sandsynlighed, Ole ville svare "mindst 1 pige", hvis ikke han havde 2 drenge, men med hvilken sandsynlighed han har 2 piger, når han siger han har mindst 1 pige.

  • 3
  • 0

Et udfaldsrum er en liste af alt der kan ske INDEN du har nogen oplysninger (andet end eksperimentet). Når du så får en oplysning så ændre udfaldsrummet sig så at sige. De udfaldsrum jeg skriver om er de udfald som kan ske inden vi ved noget. Det er derfor formlen for betinget sandsynlighed ser ud som den gør. Den fortæller os om forholdet mellem sandsynligheden for hændelsen for A og B og sandsynligheden for hændelsen B.

  • 0
  • 3

Til Jens: #64. Ja, du har bakset en hel del med mig, og det har været nyttigt, så det skal du have tak for, og det ville være en skam at sige, at engagementet har manglet :).

Også en meget forsinket tak til Kim Bygum, som i en anden tråd støttede mig i en moderat modvind.

Og til Allan Olesen. Jeg beklager, at jeg sidste gang kom til at kalde dig Olsen.

Jeg har betandig vaklet mellem 1/3 og 1/2 men er endt på 1/2 af grunden i #60, men det er ikke sikkert, det sidste ord er sagt, for det er helt fantastisk som denne "ret enkle" problematik har kunnet tage fat i folk tidligere og stadig lidt endnu, ser det ud til. Steen

  • 0
  • 1

Til Rasmus Larsen. Hvis du har fået to børn (hvor en er en pige) kan det være sket på to forskellige måder: Først en pige og så en dreng eller først en dreng og så en pige.

Hvis du har to piger, er der kun en måde, det kan være sket på: først en pige og så en pige.

Det er altså "dobbelt så svært" at få to piger, som det er at få blandet, Og derfor skal udfaldsrummet for blandet fylde dobbelt så meget som for to piger - eller på en anden måde: Du har to chancer for at få blandet og kun en chance for at få to piger. Steen

  • 3
  • 0

Hvofor I alverden skulle han dog det? Siger alle tobørnsforældrer med et barn af hvert køn pige?

Der står i opgaven at han siger: jeg har mindst en pige.

Det er Ole 4 med de to drenge som siger: jeg har mindst en dreng.

Hvad der ståri opgaven er, at du står over for en specifik tobørnsfar der siger pige. Det er det eneste der stå. Og det er denne specifikke tobørnsfars sandsynlighed for at have to piger, der spørger om. Er du uenig i det?

Hvordan når det fra det og så til, at enhver tobørnsfar vil sige pige?

  • 0
  • 3

Hej Erik Vesti: Ole 2 og Ole 3 representerer alle dem med blandet, og dem er der ganske rigtigt dobbelt så mange af som der er af dem med to piger, men i den statistisk perfekte verden vil halvdelen af disse "blandede Oler" tilfældigt sige dreng. Det er dem, der er Ole 3, og derfor siger Ole 3 dreng, og derfor kan Ole 3 ikke være vores Ole, for han siger jo pige, som du ganske rigtigt anfører. Så vores Ole kan kun være Ole 2 eller Ole 1. Steen

  • 1
  • 1

Hvorfor tror du egentlig at Ole har børn?

Aner det ikke. Han kan vel lide børn eller er ikke god til det med kondomer.

Men har du tænkt dig at besvare mit spørgsmål?

Du må vise mig hvor det står. I den opgavetekst jeg har står der kun hvad en specifik far siger.

Hvor er det der står, hvad andre tobørndfædrer ville sige, hvis de skulle ytre sig?

  • 1
  • 2

Til Erik Vesti. De tre Oler udtrykker tre bud på vores Ole. Det viser sig, at Ole 3 er et bud, der ikke kan bruges, fordi han ikke siger det, han skal. Der er nu to ligeværdige bud tilbage. Ole 1, der har to piger er et af disse to bud. Steen

  • 1
  • 1
87 Jeg vil gerne tænke over det, men skal i seng nu. Umiddelbart er Ole 3 ikke en mulighed, som du siger, hvilket netop er 1/2 folkets pointe. Jeg kommer tilbage i morgen, og vil gerne prøve at forstå dig. Steen
  • 0
  • 0

Ole 3 er kun en gyldig mulighed hvis han også siger: jeg har mindst en pige.

Det står der udtrykkeligt i opgaven at han siger. Prøv at tænke lidt mere over det, så tror jeg at du vil forstå.

Det her er det umuligt at svare på, da jeg ikke ser et sammenhængende fremstillet argument i det skrevne, som der kan tages stilling til. Hvad betyder det f.eks. at være "en gyldig mulighed"?

Jeg tror at den eneste mulighed for fremskridt er at tage en kæde af simple spørgsmål, som der kun kan svares ja eller nej til.

Altså,

Er du enig i, at det eneste opgaveteksten fortæller os er, hvad een specifik tobørnsfar ytrer med hensyn til sine to børns køn?

  • 0
  • 2

Kig på #86 med de 4000 kast med 2 mønter, og kald plat for P og krone for D.

Kan du forstå at 1000 kast vil være PP, 2000 kast vil være PD + DP, og 1000 kast vil være DD. ?

DD er vi ikke interesseret i. Tilbage er 3000 kast, hvoraf de 1000 er PP.

Den sidste bid må du selv regne ud. Held og lykke med det.:-)

  • 1
  • 1

1) Jeg ringer til en ven, der oplyser at han har to børn, og at han har mindst en pige. Hvad er sandsynligheden for at min ven har to piger.

2) Jeg ringer til en ven, der oplyser at han har to børn. Jeg spørger ham om, han har mindst en pige, og det bekræfter han. Hvad er sandsynligheden for at min ven har to piger.

Det er sgu' nok mig (og alle de øvrige i tråden), der er tungnemme, men kan du ikke prøve at forklare den essentielle forskel på de to situationer?

Jeg kan ikke se forskellen på, om han uopfordret eller forespurgt giver oplysningen om mindst en pige - begge giver - i min optik - mulighederne: PP, DP, PD

I min optik (igen) kan vi aldrig komme på 50%, med mindre vi ved, at den førstefødte (eller den sidstefødte) er en pige.

  • 3
  • 0

Det er sgu' nok mig (og alle de øvrige i tråden), der er tungnemme, men kan du ikke prøve at forklare den essentielle forskel på de to situationer?

Vel ikke tungnemme. Det er nok bare sådan, at når først man har forstået det, så virker det oplagt. Men indtil 10 øren falder,så virker det yderst besynderligt.

Jeg starter med situation 2, da den er nemmest at forstå. Her vil 100% af tobørnsfædrerne med to piger, bekræfte at de har mindst een pige, og tilsvarende vil 100% af tobørnsfædrerne med en dreng og en piger bekræfte, at de har mindst een pige. Simplet og problemfrit.

Anderledes i situation 1. For tobørnsfædrerne med to piger vil 100% af fædrerne, der uopfordret vælger at ytre, at de har mindst een pige/dreng (eller en ækvivalent ytring) naturligvis sige "jeg har mindst een pige". For tobørnsfædrerne med en dreng og en pige, der uopfordret vælger at ytre, at de har mindst een pige/dreng, må vi derimod forvente at halvdelen vælger at tale om en pige og halvdelen om en dreng. Det skulle da være yderst besynderligt, at du ringende op til 10.000 tobørnsfædrer, og af alle de tobørnsfædrer med en dreng og en pige, der valgt at ytre, at de har mindst een pige/dreng (eller en ækvivalent ytring), ville alle vælge at sige "jeg har mindst een pige".

Det er faktisk det samme som Steen Ørsted forklarer.

Eller anderledes sagt.

I situation 2 er er vennen nødt til at tage kønnet af begge sine børn i betragtning inden han svarer. Du får altså en oplysning om begge børns køn.

Anderledes i situation 1. Her udvælges faktisk et barn, som du oplyses om kønnet på. Faderen kunne i princippet være helt uvidende om kønnet på den ene af børnene og stadigvæk ytre "jeg har mindst een pige" eller jeg har mindst "een dreng". Du får altså en oplysning der kun vedrører det ene barns køn. Og da kønnene af de to børn er uafhængige hændelser, så kan det ikke undrer, at du ender med at få svaret 1/2.

Hjalp det? Ellers så spørger du bare igen.

  • 0
  • 3

Det er sgu' nok mig (og alle de øvrige i tråden), der er tungnemme, men kan du ikke prøve at forklare den essentielle forskel på de to situationer?

Du kan også prøve at læse her

https://math.stackexchange.com/questions/2...

Eksemplet er lidt anderledes men helt analogt.

Eller hvis du virkelig har læselyst, så her

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_...

Især afsnittet Variants of the question.

Men jeg er ikke sikker på, at disse forklaringer er lettere at forstå.

  • 1
  • 3

For tobørnsfædrerne med en dreng og en pige, der uopfordret vælger at ytre, at de har mindst een pige/dreng, må vi derimod forvente at halvdelen vælger at tale om en pige og halvdelen om en dreng.

Ja, det er så din fortolkning af opgaven, som jeg (selvfølgelig) opfatter som forkert - selvom jeg nu (endelig) forstår din pointe.

Min fortolkning:

Ovenstående ville være rigtig, hvis det ikke var en specifik opgave på en specifik forælders udtalelse, men derimod et sample af xxx to-børns forældres udtalelser om mindst et barn af et arbitrært køn.

  • 3
  • 0

Nu bliver det kompliceret, for der er byttet rundt på drenge og piger, men her er hvad der siges i dine links, Jens:

To express this distinction verbally for the 2x2 case, suppose there are 100 fathers in an auditorium, and each is the father of two children. Each father is instructed to tell us (truthfully) if at least one of his children is a boy. This will apply to about 75 of the fathers. Now, of those 75 Dads, 2/3 (i.e., 50) have a daughter, and 1/3 (i.e., 25) have two sons. Thus, if we want to guess the gender of their "other" child, the chances are 2/3 that it is a girl.

Som opgaven er formuleret fortæller Ole os (i overensstemmelse med sandheden må vi formode) at mindst et af hans to børn er en pige.

  • 0
  • 0

Min fortolkning:

Ovenstående ville være rigtig, hvis det ikke var en specifik opgave på en specifik forælders udtalelse, men derimod et sample af xxx to-børns forældres udtalelser om mindst et barn af et arbitrært køn.

En specifik hændelse har kun en sandsynlighed ved at være et sample af en mænde af (mulige) hændelser. Hvis ikke den specifikke forældres udtalelse var et sampel fra en mængde, så ville du slet ikke kunne tale om en sandsynlighed. Spørgsmålet er hvad det er for en mængde, der er tale om.

Jeg må nok anbefale dig at læse det wikipedia link jeg gav dig. Så vil du opdage, at enten tager jeg, forfatterene af wikipediaartiklen samt alle de matematiske artikler, som wikipediaartiklen henviser til, fejl, eller også tager du fejl. Du må gerne prøve at overbevise mig om det sidste, men du skal nok forvente at dine argumenter skal være ganske stærke, før jeg bliver overbevist.

  • 0
  • 2

De herrer, vi taler forbi hinanden!

Jeg er i mine to eksempler kun interesseret i hvordan man KAN forstå opgaven, IKKE om den forståelse så er rigtig! I er derimod meget interesseret i hvordan man BØR løse opgaven, altså hvad der er rigtigt og forkert. Hvilket er noget som ikke interesserer mig. Bemærk jeg skriver faktisk ikke noget sted at løsning 2 er rigtig, jeg skriver, at hvis man forstår opgaven på den måde så får man dette svar. I bruger så en masse tid på at forklare hvorfor den løsning er forkert, fair nok, men det var ikke det jeg ville med eksempelt.

  • 0
  • 3

Nu bliver det kompliceret, for der er byttet rundt på drenge og piger, men her er hvad der siges i dine links, Jens:

To express this distinction verbally for the 2x2 case, suppose there are 100 fathers in an auditorium, and each is the father of two children. Each father is instructed to tell us (truthfully) if at least one of his children is a boy. This will apply to about 75 of the fathers. Now, of those 75 Dads, 2/3 (i.e., 50) have a daughter, and 1/3 (i.e., 25) have two sons. Thus, if we want to guess the gender of their "other" child, the chances are 2/3 that it is a girl.

Som opgaven er formuleret fortæller Ole os (i overensstemmelse med sandheden må vi formode) at mindst et af hans to børn er en pige.

Nej, for Ole er ikke INSTRUERET TIL AT FORTÆLLE OS SANDFÆRDIGT OM MINDTST ET AF HANS BØRN ER PIGE, sådan som det er situtionen i den tekst du citerer. Ole fremsætter uopfordret udtalelsen, og kunne derfor også have valgt sandfærdigt at omtale en dreng, hvis han har et barn af hvert køn. Derfor er de to situationer forskellige og giver forskellige resultater.

Jeg må nok opfordrer dig til at læse wikipedialinket ingen, for det hele forklares faktisk i linket. Læse det hele, læse det nøje, og læse det forståelse som mål, og ikke bare søge efter noget, som du (bevist?) misforstår og fejlagtigt tror støtter din fejlforståelse.

Iøvrigt finder jeg slet ikke det afsnit du citerer, i nogen af de to link jeg gav. Hvor finder du det? Tilsyneladende er det en del af en forklaring, hvor der skelnes mellem to situationer, og hvor du så har valgt kun at kigge på den ene situation, og dermed misser pointen.

  • 0
  • 3

Ok, jeg kan se jeg ikke er blevet forstået.

Jeg mener intet af det du skriver. Jeg har derimod set andre forstå opgaven på den måde og har derfor draget de konklusioner. Hele mit argument er, at opgaven som minimum kan forstås på to forskellige måde, og det gør det til en dårlig opgave.

Det virker som om man glemmer det første eksempel som de fleste mener er rigtigt.

  • 0
  • 4

Til Erik Vesti: jeg har tænkt mig om, og er enig med dig i, at når der er sagt pige, så er der ikke andet, der gælder uanset udvælgelse eller ej, og har før været inde på det i en tråd fra sidste sommer, der googles underv navnet: Tirsdagsdrengen - den lange forklaring. I # 113 skriver jeg det med store bogstaver, men jeg kom til at skrive, at så var udfaldsrummet låst fast (jeg skulle vidst have skrevet situationen?), og så var dét pludselig vigtigere end det andet. Du har i denne tråd hele tiden slået på det, og Flemming Rasmussen er inde på det samme, og jeg er enig med jer i dette. Men lad os lave 1000 møntkast med to mønter:

Reglen er, at der skal nævnes en tilstedeværende møntside hver gang, og vi skriver benævnelsen og udfaldet af kastet op hver gang: Der vil selvfølgelig blive 500 uspecificerede ens og 500 blandede kast. Nu prøver vi så kun at se på (optælle) de kast, hvor Plat (P) er nævnt, (for vi skal respektere, at det er det, der er sagt og ikke noget andet). De vil vise sig ved optællingen at der er 250 med PP og 250 med blandet ved de kast, hvor der er nævt en plat. Så det står ikke 2 -1 til blandet. Det står 1-1. Steen

Der er selvfølgelig ingen regel om, at man skal sige det ene eller det andet, - men det, der er sagt gælder blivende.

  • 1
  • 1

Da jeg skrev udvælgelse eller ej, var det en anelse forhastet. Steen

  • 0
  • 1

Nin Kone kalder på mig. Vi skal til kaffe hos naboen. Jeg ville hellere have fortsat her :( Steen

  • 1
  • 0

En rimelig antagelse er, at han ikke har nogen kønspræference her, og at de to muligheder dermed er lige sandsynlige.

Jeg har endnu ikke set noget argument for, hvorfor denne antagelse er rimelig - andet end påstanden, "at det er da klart".

At vi er uvidende om virkeligheden betyder da ikke, at vi kan tillade os at antage, at den er tilfældigt fordelt.

Man kan da lige så godt finde det rimeligt, at vor person siger en pige i 70 procent af tilfældene, hver gang eller 20 procent - eller hvad som helst andet. Det er bare en antagelse, der ikke kvalitativt er bedre end alle andre antagelser.

Personligt nævner jeg faktisk altid mine børn i en bestemt rækkefølge, når nogen spørger - nemlig fødselsrækkefølgen. (Er jeg blevet opmærksom på i de senere år). Så jeg siger altid en pige og en dreng. Måske fordi jeg i de første fire år kun kunne sige en pige. Jeg har en klar kønspræference, og jeg er næppe den eneste. Det er naturligvis ligegyldigt for opgaven.

Men der er intet, der taler for, at det lige netop skal være 50-50. Faktisk ville det for mig være ret uventet, hvis det skulle være tilfældet. Der er næppe noget, som mennesker gør, der helt tilfældigt. Så 50-50 er ikke egang en plausibel antagelse. Ellers ville det heller ikke være en udfordring at generere tilfældige tal - man kunne bare spørgge naboen.

Jeg synes, det er ganske besynderligt at sætte lighedstegn mellem manglende viden i forhold, der er bestemt af mennesker, og matematisk tilfældighed.

Det kunne jeg godt tænke mig en forklaring på.

  • 1
  • 1

En rimelig antagelse er, at han ikke har nogen kønspræference her, og at de to muligheder dermed er lige sandsynlige.

Jeg har endnu ikke set noget argument for, hvorfor denne antagelse er rimelig - andet end påstanden, "at det er da klart".

Hvad mener du da er en mere rimelig antagelse? At der altid vælges samme køn, som det er nødvendigt for at få svaret 2/3?

Iøvrigt er det vel ligegyldigt hvilken antagelse vi gør os, så længe vi bare gør opmærksom på, at svaret er beregnet under denne antagelse.

Jeg finder din lange redegørelse for bla. hvilke kønspræferencer du selv har uvedkommende.

  • 0
  • 1

Det er så bare en ganske anden opgave, hvor både PP og KK kan forekomme. Det tillader den originale opgave ikke, hvor udsagnet pige udelukker to drenge, og udsagnet dreng udelukker to piger.

Nej det er præcis den samme opgave.

To mønter kastes/En mand med to børn går op på en talerstol.

Udfaldet af kastet nævnes for den ene mønt/Manden nævner kønnet på det ene af sine to børn.

Det nævnte udfald er plat./Det nævnte køn er pige.

Hvad er sandsynligheden for at begge mønter viser det samme?/ Hvad er sandsynligheden for at begge børn har samme køn?

Og der gælder i begge tilfælde,

Dobbeltmønkastet er udtaget fra mængden af alle dobbeltmøntkast./Faderen er udtaget fra mængden af alle tobørnfædrer.

Komplet identiske opgaver. Hvis du forstår opgaven med de to mønter, så burde det kunne hjælåe dig til at forstå opgaven med tobørnsfaren.

  • 0
  • 1

eg finder din lange redegørelse for bla. hvilke kønspræferencer du selv har uvedkommende.

Det skrev jeg vist da også selv, gamle jas. Glemte du at læse?

Hvad mener du da er en mere rimelig antagelse?

Aner det ikke. Det kan jo være hvad som helst.

Iøvrigt er det vel ligegyldigt hvilken antagelse vi gør os, så længe vi bare gør opmærksom på, at svaret er beregnet under denne antagelse.

Muligvis. Men du har ikke svaret på, hvorfor du finde 50-50 antagelsen rimelig.

Når du skriver: "Hvad mener du da er en mere rimelig antagelse? At der altid vælges samme køn, som det er nødvendigt for at få svaret 2/3?" - kunne man da let få den tanke, at du vælger din antagelse, fordi den er nødvendig for at få svaret ½, som du gerne vil have.

Opgaveteksten indeholder ingen antagelser. Kan du ikke svare på det enkle spørgsmål: Hvorfor mener du, at det er den bedste antagelse, at personen ingen kønspræferencer har? Hvorfor lige netop denne antagelse?

  • 0
  • 0

Opgaveteksten indeholder ingen antagelser. Kan du ikke svare på det enkle spørgsmål: Hvorfor mener du, at det er den bedste antagelse, at personen ingen kønspræferencer har? Hvorfor lige netop denne antagelse?

Fordi jeg ikke ser nogen grund til at folk skulle have en kønspræference her.

Men jeg finder spørgsmålet om kønspræferencen ligegyldig, så længe man bare nævner under hvilken forudsætning om kønspræference opgaven er regnet under. Uden at gøre en antagelse om kønspræference kan opgaven ikke besvares.

Jeg må så dog sige, at jeg finder antagelsen om at 100% af tobørnsfædrer altid vil nævne det samme køn stærkt urealistiske. Fordelen ved antagelsen om ingen kønspræference er, at man får samme svar uanset om opgaven er om en dreng eller en pige.

  • 0
  • 2

Nix. Du er jo helt bare manisk med det. Og i øvrigt - det er længe siden, du lovede at holde dig væk fra debatten. Svært ved at holde ord?

Måske kan jeg bare ikke holde ud at folk vælte sig i stolthed over at udstille egen uvidenhed.

Hele debattråden føles lidt som at være til fest i flatearth klubben og få at vide, at man er vel nok dum, fordi man siger at jorden er rund, og vi har i hvert tilfælde ret, for vi er flest her, og enhver kan da selv se at jorden er flad. Så til helvede med hvad alle eksperterne (aktuelt matematikkere) mener.

Og så savner jeg dit argument for hvor jeg fejler i min gennemgang, der viser, at opgaverne er identiske.

På den måde minder debatten også om en diskussion i flaterth klubben, Videnskaben har argumenter, men flateartherne siger bare, najh sådan er det ikke.

  • 0
  • 2

Skal jeg lad en række matematikkere se på dine indlæg i tråden. Så kan du jo få deres vurdering af din argumentation tilbage. Så kan vi se om du stadigvæk morer dig.

Nøj, en sød lille trussel. Jeg ryster og skælver bare ved tanken. Kan du ikke spørge dine matematikere, om manglende viden om noget er et godt argument for matematisk at opfatte det som tilfældigt? Det er jo sådan set det eneste, jeg har udtalt mig om.

Selv mangler du stadig at svare. Kom nu, du kan jo godt, ikke? Eller det kan du måske ikke?

Jeg må så dog sige, at jeg finder antagelsen om at 100% af tobørnsfædrer altid vil nævne det samme køn stærkt urealistiske

Jeg har da ikke argumenteret for altid, kæreste Jens, så der smuttede vist en stråmand med, gjorde der ikke. Det ligner ellers ikke så kloge personer som dig at forfalde til det. I øvrigt er den antagelse da ikke mere urealistisk, end at tobørnsfædre altid vil svare matematisk tilfældigt.

Hvordan vil du egentligt afgøre, om en antagelse er realistisk. Du må jo - jævnfør ovenstående - have en metode.

Jeg har - som du kunne have læst tidligere - skrevett, at antagelsen kan være hvad som helst - og bare bedt om en forklaring på, hvorfor den så absolut skal være 50-50.

Og her holder det over-hele-hovedet slet ikke at svare "Fordi jeg ikke ser nogen grund til at folk skulle have en kønspræference her".

Du må da kunne komme med noget bedre.

  • 1
  • 1

Nu er autoritet jo ikke et argument, Men alligevel,

Hvad betragter folk egentlig som en autoritativ kilde mht. denne opgave?

Jeg har nu linket til en forklaring på stackexchange og en grundig artikel på wikipedia, der begge giver samme forklaring som jeg selv, samt har personlige udsagn fra tre matematikprofessorer om at det korrekte resultat er 1/2.

Gælder det som autoritative kilder? Er der overhovedet noget som folk anser for autoritative kilder?

Eller er vi en flatearth-situation, hvor fagfolk enten ignoreres eller mislæses fordi man ikke forstår hvad de skriver?

  • 0
  • 2

Ole har to børn. Man får at vide at mindst et af børnene er en pige. P(Ole har 2 piger) = 1/3. Ole har to børn og vi ser det ene, som er en pige. P(Ole har 2 piger) = 1/2.

Det er faktisk ikke præcis sådan opgaverne er stillet i linket. Du gengiver den første opgave upræcist Den præcise formulering er afgørende for hvad svaret bliver. Den afgører nemlig om vi får information der vedrører begge børns køn eller kun det ene barns køn.

En god øvelse ville være at forstå hvad forskellen er på din gengivelse af første opgave på stackexchange og så den faktisk beskrevne opgave.

  • 0
  • 3

Til Jan A Nielsen. Er det ikke normalt sådan i sandsynlighedsopgaver, at man som udgangspunkt går ud fra en tilfældig fordeling. Og hvis det ikke er meningen, bør det så ikke være nævnt i opgaven ?

  • 0
  • 1

#106 Jeg skal ikke helt udelukke, at din forudsætning kan være rigtig, Erik. Jeg har som sagt selv været der en hel masse: (Har "skæbnens udvælgelse" samme konsekvens som et menneskelig krav?), men lige nu hælder jeg mest til den antagelse, at det har den ikke. Men det vil for mig tage noget tid, for jeg synes , der kan være ting, der taler for det, men mere, der taler imod. Steen

  • 0
  • 1

Eller hvis du virkelig har læselyst, så her

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_...

Jens Olsen - BINGO! - Du demonstrerer med al tydelighed dine links, at du har svært ved at skelne imellem om du får 1 eller 2 begrændende forudsætninger i spørgsmålet.

Fra dit Wiki-link:

  • 1) Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is the probability that both children are girls?
  • 2) Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?

I spsm. 1) får du to begrænsende forudsætninger, nemlig:

  • 1) den ene er en pige.
  • 2) det er den ældste, der er pigen (første P er dermed identificeret)

Det giver udfaldsmulighederne PD, PP = 1/2

I spsm. 2) får du kun 1 begrænsende forudsætning:

  • 1) den ene er en pige.

Det giver udfaldsmulighederne PD, DP, PP = 1/3

Princippet er:

  • Med 0 begrænsende forudsætninger, giver 2 børn 4 udfaldsmuligheder (PP, PD, DP, DD)
  • Med 1 begrænsende forudsætning reduceres 4 udfaldsmuligheder til 3.
  • Med 2 begrænsende forudsætninger reduceres 3 udfaldsmuligheder til 2.
  • Med 3 begrænsende forudsætninger reduceres 2 udfaldsmuligheder til 1.

Du fortsætter:

Især afsnittet Variants of the question.

Herunder nævnes først flg. variant:

  • Mr. Smith is the father of two. We meet him walking along the street with a young boy whom he proudly introduces as his son. What is the probability that Mr. Smith's other child is also a boy?

Også her får du 2 begrænsende forudsætninger:

  • 1) den ene er en dreng.
  • 2) det er det barn han har med, der er en drengen (første D er dermed identificeret).

Det giver udfaldsmulighederne DD, DP = 1/2

Siden nævnes flg. to varianter:

  • 1) A shopkeeper says she has two new baby beagles to show you, but she doesn't know whether they're male, female, or a pair. You tell her that you want only a male, and she telephones the fellow who's giving them a bath. "Is at least one a male?" she asks him. "Yes!" she informs you with a smile. What is the probability that the other one is a male

Her får du kun én begrænsende forudsætning:

  • 1) Der er mindst 1 "dreng".

Det giver udfaldsmulighederne DD, DP, PD = 1/3

  • 2) Say that a woman and a man (who are unrelated) each have two children. We know that at least one of the woman's children is a boy and that the man's oldest child is a boy. Can you explain why the chances that the woman has two boys do not equal the chances that the man has two boys?

Her får du altså flg. 2 spørgsmål:

  • 1) We know that at least one of the woman's children is a boy
  • 2) and that the man's oldest child is a boy

I spsm. 1) får du 1 begrænsende forudsætning:

  • 1) mindst 1 barn er en dreng.

Det giver udfaldsmulighederne DP, PD, DD = 1/3

I spsm. 2) får du to begrænsende forudsætninger:

  • 1) den ene er en dreng.
  • 2) det er den ældste, der er en dreng (første D er dermed identificeret)

Det giver udfaldsmulighederne DP, DD = 1/2

Alle ovennævnte udfaldsmuligheder bekræftes i dit link!

Bemærk: i stort set alt, hvad du linker til, vedrørende varianter af denne opgave, bruges forudsætningerne:

  • mindst én [indsæt køn]
  • Det ene barn identificeret (den ældste, det medbragte barn osv...)

Med det på plads, så lad os analysere Tænkeboksen's Opgave 32 med samme metode:

Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Ole.

  • 1) Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger?
  • 2) Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?

I spsm. 1) får vi 0 begrænsende forudsætninger (vi ved kun at Karl har 2 børn):

Det giver udfaldsmulighederne PP, PD, DP, DD = 1/4

I spsm. 2) får vi 1 (og kun én) begrænsende forudsætning:

  • 1) Ole har mindst 1 pige.

Det giver udfaldsmulighederne PP, PD, DP = 1/3

Tak fordi du selv dokumenterer det. Håber ovenstående er hjælp til at du nu også selv forstår det! ;-)

  • 3
  • 1

Jens Olsen - BINGO! - Du demonstrerer med al tydelighed dine links, at du har svært ved at skelne imellem om du får 1 eller 2 begrændende forudsætninger i spørgsmålet.

BINGO Søren, Du demonstrer med den bemærkning at du åbenbart stadigvæk har svært ved at forstå det.

Fra dit Wiki-link:

1) Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is the probability that both children are girls? 2) Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys? I spsm. 1) får du to begrænsende forudsætninger, nemlig:

1) den ene er en pige. 2) det er den ældste, der er pigen (første P er dermed identificeret) Det giver udfaldsmulighederne PD, PP = 1/2

I spsm. 2) får du kun 1 begrænsende forudsætning:

1) den ene er en pige. Det giver udfaldsmulighederne PD, DP, PP = 1/3

Beregningen er korrekt. Din snak om begrænsende forudsætninger er sort tale.

Hvad der sker er, at vi et 1) får en information om det ene barn, og i 2) en information om begge børn.

Herunder nævnes først flg. variant:

Mr. Smith is the father of two. We meet him walking along the street with a young boy whom he proudly introduces as his son. What is the probability that Mr. Smith's other child is also a boy? Også her får du 2 begrænsende forudsætninger:

1) den ene er en dreng. 2) det er det barn han har med, der er en drengen (første D er dermed identificeret). Det giver udfaldsmulighederne DD, DP = 1/2

Svaret er korrekt. Vi får information om kun det ene barn.

Siden nævnes flg. to varianter:

1) A shopkeeper says she has two new baby beagles to show you, but she doesn't know whether they're male, female, or a pair. You tell her that you want only a male, and she telephones the fellow who's giving them a bath. "Is at least one a male?" she asks him. "Yes!" she informs you with a smile. What is the probability that the other one is a male Her får du kun én begrænsende forudsætning:

1) Der er mindst 1 "dreng". Det giver udfaldsmulighederne DD, DP, PD = 1/3

Korrekt. Vi får information om begge hvalpe.

2) Say that a woman and a man (who are unrelated) each have two children. We know that at least one of the woman's children is a boy and that the man's oldest child is a boy. Can you explain why the chances that the woman has two boys do not equal the chances that the man has two boys? Her får du altså flg. 2 spørgsmål:

1) We know that at least one of the woman's children is a boy 2) and that the man's oldest child is a boy I spsm. 1) får du 1 begrænsende forudsætning:

1) mindst 1 barn er en dreng. Det giver udfaldsmulighederne DP, PD, DD = 1/3

I spsm. 2) får du to begrænsende forudsætninger:

1) den ene er en dreng. 2) det er den ældste, der er en dreng (første D er dermed identificeret) Det giver udfaldsmulighederne DP, DD = 1/2

Alle ovennævnte udfaldsmuligheder bekræftes i dit link!

Igen korrekt. For kvinden får vi information (af den altvidende opgavestiller) der vedrører begge børn. For manden får vi kun information om det ene barn.

Bemærk: i stort set alt, hvad du linker til, vedrørende varianter af denne opgave, bruges forudsætningerne:

mindst én [indsæt køn] Det ene barn identificeret (den ældste, det medbragte barn osv...)

Og er er det så at din forståelse falder i vandet. Det afgørende i situation 2 er ikke om DU kan identificere barnet (har fået information, om at det er det ældste, højeste etc,), men at den der giver dig information taler om et identificeret barn, og du dermed kun får information om det ene barn. Ja, det er subtilt, men det er forståelsen af dette der gør, at matematikere er uenige med flertallet i denne tråd. Prøv at overvej det grundigt. Indsigten er det værd.

Med det på plads, så lad os analysere Tænkeboksen's Opgave 32 med samme metode:

Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Ole.

Ja lad, os det, Hvis Ole et barn af hvert køn, så er han pine død nødt til at udvælge et specifikt barn, at fortælle os om for et kunne sige "jeg har mindst een pige". Du får altså her information om et specifikt af børnene, ikke om begge.

Kigger vi på eksemplet. "Say that a woman and a man (who are unrelated) each have two children. We know that at least one of the woman's children is a boy and that the man's oldest child is a boy.", så er vi med Ole i situationen med manden. Det er et identificeret barn vi får angivet kønnet på.

Jeg ved godt at det er svært at forstå, men det er ikke min skyld. Jeg prøver faktisk at hjælpe så godt jeg kan. Første forudsætning for at forstå det, er at prøve, og ikke bare at søge støttepunkter at hænge en fejlforståelse op på.

  • 1
  • 4

Også her får du 2 begrænsende forudsætninger:

Det giver udfaldsmulighederne DD, DP = 1/2

Svaret er korrekt. Vi får information om kun det ene barn.

Vi får information om kun ét barn, JA, men i den information, får vi 2 begrænsende forudsætninger, hvilket reducerer 4 udfaldsmuligheder til 2.

Resultatet er derfor 1/2

Men når du ligefrem kalder princippet om begrænsende forudsætninger er "sort snak", og nægter at åbne øjnene for hvordan de fungerer, så er næppe meget håb for at du nogensinde kommer til at forstå det.

  • 3
  • 1

hvordan det kan gøre en forskel at vi ser drengen, i forhold til at vi får at vide at han har mindst en dreng. Vi ved jo stadig ikke om drengen er den ældste eller yngste. ???

Nu læste jeg dit link, og der laves den "konstruktion", at det at vi ser et barn svarer til at vi udvælger et af Mr Smiths to børn, og konstaterer at det barn er en dreng. Dermed er der 50% sandsynlighed for at det andet barn også er en dreng.

Men i denne tænkeboks ved vi kun at Ole har to børn, og at han siger at mindst et af dem er en pige. Dermed kan hans udsagn være sandt på 3 lige sandsynlige måder: PD, DP og PP.

Sandsynligheden for PP burde derfor være 1/3.

Kan det at vi modtager informationen "mindst en pige" svare til en stikprøve?

Og hvis det kan, så er det vel ligegyldigt om det er Ole eller en alvidende opgavestiller som giver os informationen.

  • 0
  • 0

Nu vil jeg nødig give Jens blod på tanden, men jeg har lidt svært ved at hvordan det kan gøre en forskel at vi ser drengen, i forhold til at vi får at vide at han har mindst en dreng. Vi ved jo stadig ikke om drengen er den ældste eller yngste. ???

Du får dermed den ene dreng identificeret, og ved dermed at du kun skal forholde dig til om det andet barn er en dreng eller en pige - hvilket kun giver 2 muligheder.

Havde du kun fået at vide at han har mindst én dreng, ved du jo ikke om det er det ene barn eller det andet barn, eller dem begge, der er af hankøn - hvilket er 3 muligheder.

Fint eksempel forskellen mellem én eller to begrænsende forsætninger.

  • 2
  • 1

Nu læste jeg dit link, og der laves den "konstruktion", at det at vi ser et barn svarer til at vi udvælger et af Mr Smiths to børn ....

Nemlig!

Skift ordet "udvælger" ud med "identificerer", så har du hele #135 på plads.

Kan det at vi modtager informationen "mindst en pige" svare til en stikprøve?

Jeg vil snarere sige, at hvis ikke der tilføjes "mindst", kan det jo både forstås som "mindst én" og "kun én", hvilket giver 2 vidt forskellige resultater, da "kun én" giver 2 begrænsende forudsætninger mens "mindst én" kun giver 1 begrænsende forudsætning.

("kun én pige" giver 2 brgrænsninger, fordi det både fortæller at det ene barn er en pige og at den andet er en dreng)

  • 2
  • 2

Resultatet er derfor 1/2

Men når du ligefrem kalder princippet om begrænsende forudsætninger er "sort snak", og nægter at åbne øjnene for hvordan de fungerer, så er næppe meget håb for at du nogensinde kommer til at forstå det.

Du er uendeligt trist at du skriver sådan. Jeg ved ikke hvordan jeg skal få dig til at forstår det. Det er kke sådan at jeg tror at jeg har ret. Jeg ved 100% objektivt at jeg har ret og du tager fejl.

Så længe du bare er interesseret i at forsvare en fejlforståelse, og ikke interesseret i at lære vil du vedblive at være i din fejlforståelse. Det er trist. men jeg ved ikke hvad jeg skal gøre ved det. Noget at det sværeste at hjælpe, er personer der er i forsvarsposition over for en fejlforståelse.

Det føles virkelig som at være i en bizaro verden, eller som sagt at være til en flaterath society sammenkomst. Jeg kan anbefale dig at tage personlig kontakt med en matematisk autoritet, du har tillid til. Det kan måske hjælpe dig.

Ellers så prøv dette. Forestil dig alle verdens tobørnsforældrer har besluttet sig at gå op, på et podie og stille en opgave om hvorvidt deres to børn er af samme køn, ved at sige "jeg har mindst en dreng" eller "jeg har mindst en pige". Kun en af dem får imidlertid muligheden for det, og denne forældrer siger "jeg har mindst en pige". Hvad er sandsynligheden for at denne forældrer har to børn af samme køn? Det er præcis den situation du står i i opgaven. Prøv at forestille dig, at der er 1000 tobørnsforældrer, og simuler det så som et eksperiment. Så kan det være at 10 øren falder.

Jeg kan bestemt godt se verden fra din side. Jeg var også til en begyndelse overbevist om at svaret var 1/3, og at svaret 1/2 kun kunne komme fra matematiske ignoranter. Det er faktisk berigende når 10 øren falder.

  • 1
  • 6

Nu læste jeg dit link, og der laves den "konstruktion", at det at vi ser et barn svarer til at vi udvælger et af Mr Smiths to børn, og konstaterer at det barn er en dreng. Dermed er der 50% sandsynlighed for at det andet barn også er en dreng.

Men i denne tænkeboks ved vi kun at Ole har to børn, og at han siger at mindst et af dem er en pige. Dermed kan hans udsagn være sandt på 3 lige sandsynlige måder: PD, DP og PP.

Sandsynligheden for PP burde derfor være 1/3.

Sagen er, at du, når Ole har et barn af hvert køn og siger, jeg har mindst en pige, kun får information om det ene barn. Ole er pine død tvunget til at vælge et af de to børn at udtale sig om, for at kunne sige "jeg har mindst en pige" (og havde han valgt det andet barn, havde han sagt "jeg har mindst en dreng") .

Det afgørende er, at der er valgt et bestemt af de to børn, som der gives information om. Det afgørende er ikke om du har udvalgt det, og det er uden betydning om du er istand til at identificere hvilket barn det er (det højeste, det klogeste etc). Ole har valgt et bestemt barn at udtale sig om, og dermed er svaret nu 1/2 og ikke 1/3,

  • 1
  • 3

Og hvis det kan, så er det vel ligegyldigt om det er Ole eller en alvidende opgavestiller som giver os informationen.

Når Ole giver os informationen, så er han nødt til at vælge et bestemt barns køn at oplyse os kønnet på.

Når den alvidende opgavestiller giver os informationen, såtillader jeg med at antage at han tager begge børns køn i betragning, når han giver os oplysningen. At han ikke som alvidende opgavestiller kan tillade sig at holde information tilbage. Men du har ret. Det er faktisk uklart. Hvis opgaven skal formuleres matematisk præcist, så skal det sige som noget i stil med, betragt mængden af tobørnsforældrer hvor mindst det ene af børnene er en pige. Hvad er sandsynligheden for at en forældre i denne mængde har to børn af samme køn?

  • 1
  • 2

Du får dermed den ene dreng identificeret, og ved dermed at du kun skal forholde dig til om det andet barn er en dreng eller en pige - hvilket kun giver 2 muligheder.

Havde du kun fået at vide at han har mindst én dreng, ved du jo ikke om det er det ene barn eller det andet barn, eller dem begge, der er af hankøn - hvilket er 3 muligheder.

Præcis. Så er du næsten i mål.

Du skal herfra bare indse, at det er uden betydning at du kan identificere hvilket af børnene der er tale om. Det eneste afgørende er at den person (Ole), der giver dig informationen, har valgt et specifikt barn at give dig information om. Og det er Ole som nævnt pine død nødt til at gøre for at kunne sige "jeg har mindst en pige", når han har et barn af hvert køn.

  • 1
  • 4

Nu læste jeg dit link, og der laves den "konstruktion", at det at vi ser et barn svarer til at vi udvælger et af Mr Smiths to børn, og konstaterer at det barn er en dreng. Dermed er der 50% sandsynlighed for at det andet barn også er en dreng.

Jeg har tænkt lidt mere over sagen, og jeg tror at vi er i den sjældne situation at wikipedia og internettet tager fejl. Selvom vi har udtaget en stikprøve og konstateret det ene barns køn (eller har fået informationen på anden vis) og kun skal forholde os til det andet barns køn (og jeg tillader mig at begrænse mig til piger og drenge), så er sandsynligheden for to af samme køn = 1/3, sådan som opgaven er formuleret.

Det er korrekt at det andet barn enten kan være af samme eller af modsatte køn, men sandsynligheden for de to udfald er ikke den samme. Det er dobbelt så sandsynligt, at det andet barn er af det modsatte køn.

  • 1
  • 0

Jeg har tænkt lidt mere over sagen, og jeg tror at vi er i den sjældne situation at wikipedia og internettet tager fejl.

Der var ellers noget af en udmelding. Hele internettet, inklusive sider fra matematiske autoritative kilder tager fejl?

Selvom vi har udtaget en stikprøve og konstateret det ene barns køn (eller har fået informationen på anden vis) og kun skal forholde os til det andet barns køn (og jeg tillader mig at begrænse mig til piger og drenge), så er sandsynligheden for to af samme køn = 1/3, sådan som opgaven er formuleret.

Det her kan jeg ikke engang få til at blive til et forkert argument. Jeg kan slet ikke se at det er en sammenhængende argumentation. Det må du forklare mig igen.

Uanset. Hvis du ved det en barns køn, så er sandsynligheden for det andet barns køn ens fordelt mellem pige og dreng. Kønnet af de to børn er jo to uafhængige hændelser.

Det er korrekt at det andet barn enten kan være af samme eller af modsatte køn, men sandsynligheden for de to udfald er ikke den samme. Det er dobbelt så sandsynligt, at det andet barn er af det modsatte køn.

Hvorfor er det dobbelt så sandsynligt, at det andet barn er af det modsatte køn? De tre linjer fra dig, som jeg citerer, indeholder, så vidt jeg kan se, ingen argumentation.

Jeg tror, at jeg vil anbefale dig at simulere situationen.

  • 0
  • 2

Læs evt, afsnit Analysis of the ambiguity i

https://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_...

Der er forskellen på, om kønnet oplyses på et specifikt barn (udvalgt af personen der giver oplysningen), eller om begge børn tages i betragtning, forklaret.

Bid især mærke i følgende "However, the "1/3" answer is obtained only by assuming P(ALOB|BG) = P(ALOB|GB) =1, which implies P(ALOG|BG) = P(ALOG|GB) = 0, that is, the other child's sex is never mentioned although it is present. As Marks and Smith say, "This extreme assumption is never included in the presentation of the two-child problem, however, and is surely not what people have in mind when they present it."[1"

  • 0
  • 2

"Ole, fortæl lige hvor mange børn du har og kønnet på ét af dem."

Hvis Ole har to børn, hvad er så sandsynligheden for at begge børn har det køn han nævner?

Det er så den opgave Jens, som den eneste i tråden, ikke læser. Og 300 indlæg mere vil ikke ændre noget, hverken den ene eller anden vej.

  • 4
  • 0

"Ole, fortæl lige hvor mange børn du har og kønnet på ét af dem."

Hvis Ole har to børn, hvad er så sandsynligheden for at begge børn har det køn han nævner?

Det er så den opgave Jens, som den eneste i tråden, ikke læser. Og 300 indlæg mere vil ikke ændre noget, hverken den ene eller anden vej.

Wauw WAUW. Den her opgave kan formuleres på mange måder, der gør det mere eller mindre klart at det korrekte svar er 1/2. Men dette er en af de formuleringer hvor det er mest tydeligt. Alligevel svigter forståelsen.

Læs nu det wikipedia link. Det er faktisk ikke sådan at både wikipediaartikelen og alle de artikler, den linker til, tager fejl.

Hvad er det med denne opgave, der pludselig får folk til at mene, at de er klogere på sandsynlighedsregning end klodens samlede matematisk ekspertise?

Ok. Forestil dig at du beder 1000 tobørnsfædrer nævne kønnet på et af deres børn (og at de ikke har kønspræference). Så bliver fordeling (cirka) følgende.

250 har DD og siger dreng.

250 har PP og siger pige.

250 har DP eller PD og siger dreng.

250 har DP eller PD og siger pige.

Af de 500, der siger pige, har halvdelen to børn af samme køn. Sandsynligheden er altså 1/2. Sværere er det faktisk ikke.

  • 1
  • 2

Ok. Forestil dig at du beder 1000 tobørnsfædrer nævne kønnet på et af deres børn

Det er, hvad du læser af opgaveteksten.

Vi læser opgaven som en øvelse i at beregne sandsynligheden for antal piger ud fra oplysninger om piger.

Jeg kan sagtens se dit synspunkt, jeg (og åbenbart andre) mener blot ikke, det er den måde, opgaven skal tolkes på.

Men der er vel tærsket langhalm nok til en hel fyringssæson nu, og jeg tror ikke, nogen længere er i tvivl om, hvad alle andre mener (fortolker), så imho ingen grund til mere halm.

  • 3
  • 1

Jae… Nu har jeg læst lidt i Wikipedieartiklen. Og jeg er ikke skråsikker.

Det kommer jo an på hvordan valget af udsagn er truffet. Er Ole blevet bedt om at vælge et tilfældigt af sine børn og nævne det. Eller er han blevet om at sige ”Jeg har mindst en pige” hvis han kunne.

Hvis opgaven lød ”Ole har to børn og mindst et af dem er en pige”, ville jeg sige 1/3 sandsynlighed for to piger.

Men den lyder ”Ole siger…” Så det er vel rimeligt at lave sandsynlighedsberegning på valget af udsagn?

Hvorom alting er så er det tirsdagsdrengen om igen. En opgave der er skabt til forvirring pga. vag formulering og ikke til at lave analyse og beregning på. Som sagt af andre allerede i #1 og #7 så er det ikke ingeniøren værdigt.

  • 0
  • 0

Det kommer jo an på hvordan valget af udsagn er truffet. Er Ole blevet bedt om at vælge et tilfældigt af sine børn og nævne det. Eller er han blevet om at sige ”Jeg har mindst en pige” hvis han kunne.

Lige præcis. Det er hvad der gør forskellen.

Hvis opgaven lød ”Ole har to børn og mindst et af dem er en pige”, ville jeg sige 1/3 sandsynlighed for to piger.

Det ville jeg også mene er det mest rimelige. Men selv den oprindelige opgavestiller Martin Gardner måtte indrømme, at denne formulering faktisk var tvetydig, og at der godt kunne argumenteres for at svaret var 1/2, da vi ikke informeres om hvordan informationen om mindst een pige er opnået.

Men den lyder ”Ole siger…” Så det er vel rimeligt at lave sandsynlighedsberegning på valget af udsagn?

Præcis. Nu er det ret oplagt, at Ole har et frit valg, mht. til hvilket barn han vælger at omtale. Og det er i hvert tilfælde sådan, at alle matematikere siger, at den bør beregnes.

Nu skal du så lige overbevise resten af de, der ikke forstår det, om, at de tager fejl.

  • 0
  • 2

Nu skal du så lige overbevise resten af de, der ikke forstår det, om, at de tager fejl.

Nej. Givet at jeg ikke er overbevist om andet end at opgaven er for vagt formuleret.

' Jamen, jeg vil så glæde mig over, at i hvert tilfælde en person har forstået princippet. Om opgaven i formuleringen "Ole siger..." er vagt formuleret, kan jo diskuteres. Her synes en meget klar koncensus i matematiske kredse at være, at den i denne formulering skal beregnes efter, at Ole frit vælger, om han vil omtale en dreng eller en pige.

Men det er jo forståelsen af princippet der er vigtig. Diskussionen her i tråden, drejer sig, som jeg læser det, desværre ikke om, hvorvidt formulering er vag, men om hvorvidt princippet er korrekt. Det er det, der er trist.

  • 0
  • 2

Det er, hvad du læser af opgaveteksten.

Vi læser opgaven som en øvelse i at beregne sandsynligheden for antal piger ud fra oplysninger om piger.

Så du er enige i, at den afgørende forskel er, hvordan oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået. Er der kigget på kun det ene barn, eller på begge børn, med det formål at se, om der er en pige?

Som jeg læser flertallet af indlæg i tråden, så er det ikke udlægningen af opgaveformuleringen folk er uenige i, men selve det princip, at det afgørende for resultatet er, hvorledes oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået.

  • 0
  • 2

250 har DD og siger dreng.

250 har PP og siger pige.

250 har DP eller PD og siger dreng.

250 har DP eller PD og siger pige.

Af de 500, der siger pige, har halvdelen to børn af samme køn. Sandsynligheden er altså 1/2. Sværere er det faktisk ikke.

Det er fløjtende ligegyldigt hvad Ole siger, med mindre vi ud fra hans udsagn kan afgøre om han er i PD-PP-gruppen eller i DP-PP-gruppen. Det er også ligegyldigt om vi møder ham på gaden med et pigebarn, med mindre at vi ud fra mødet kan afgøre om pigen er storesøster eller lillesøster.

Med de informationer der er oplyst i opgaven ved vi kun at DD-gruppen kan udelukkes.

Derfor er sandsynligheden for at han har to piger 1/3. Sværere er det faktisk ikke.:-)

  • 2
  • 0

Det er fløjtende ligegyldigt hvad Ole siger, med mindre vi ud fra hans udsagn kan afgøre om han er i PD-PP-gruppen eller i DP-PP-gruppen. Det er også ligegyldigt om vi møder ham på gaden med et pigebarn, med mindre at vi ud fra mødet kan afgøre om pigen er storesøster eller lillesøster.

Med de informationer der er oplyst i opgaven ved vi kun at DD-gruppen kan udelukkes.

Derfor er sandsynligheden for at han har to piger 1/3. Sværere er det faktisk ikke.:-)

Jeg synes, at det er ret tydeligt fra dette skriv, at din uenighed ikke er om opgavens tolkning, men om selve princippet om, at det afgørende er, hvordan oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået. Er der kigget på kun det ene barn, eller på begge børn, med det formål at se, om der er en pige?

Det jeg læser ud fra hvad du skriver er, at du konkluderer som følger.

Du møder en mand på gaden, og han har en pige i hånden, som han præsenterer som et af sine to børn. Du konkluderer nu, at sandsynligheden for, at det andet barn er en pige er 1/3, og 2/3 for at det andet barn er en dreng. Er du virkelig helt sikker på, at du vil holde fast i, at der er sådan du konkluderer?

  • 0
  • 2

Du tror vel ikke at dine meddebattører ikke forstår problemstillingen og beregningerne? De er jo ikke dumme.

Det er ret tydeligt, at f.eks, Erik Vesti endnu ikke forstår problemstillingen og beregningerne. Om det gør ham dum, vil jeg ikke udtale mig om.

Jeg synes også at det er tydeligt, at nogle af debattørerne er kommet til forståelse af problemstillingen og beregningerne i løbet af tråden. Og det er jo godt.

Bemærk, at debattørerne ikke er startet ud med synspunktet, at opgaveformuleringen skal tolkes, og at tolkningen er afgørende for om resultatet bliver 1/2 eller 1/3. Synspunktet har været, at der kun er et svar, nemlig 1/3.

Mit synspunkt har fra starten og vedvarende været, at under antagelsen om, at Ole er kønsneutral, så er svaret 1/2. Hvortil svaret har været, at antagelser om kønsneutralitet slet ikke spiller nogen rolle ved løsningen.

  • 0
  • 2

RE: Dumme. Nej, det ordvalg var dumt af mig.

Jeg er nok selv blevet klogere idag. Men jeg har heller ikke rigtigt kigget ind i det før nu.

Jeg fastholder at opgaven er dårlig og ikke egnet til dette publikum. Det er jo essentielt set en gåde og ikke en matematisk opgave.

  • 0
  • 0

Det gløder åbenbart på Ingeniørens bagside i øjeblikket. Ingeniøren angiver antallet af indlæg til 173 selv om der kun er 168. Eller er nogle strøget af censuren?

  • 0
  • 0

Nu går opgaven jo ud på at beregne sandsynligheden for at Ole har to piger, så hvis han startede med at sige: “jeg har mindst en dreng”, så ville han i hvert fald ikke være for kløgtig.

Så ville sandsynligheden være 0.

Du svarede ikke på det spørgsmål jeg stillede dig. Så nu gentager jeg det, inklusive, det skriv fra dig, der affødte spørgsmålet.

"Det er fløjtende ligegyldigt hvad Ole siger, med mindre vi ud fra hans udsagn kan afgøre om han er i PD-PP-gruppen eller i DP-PP-gruppen. Det er også ligegyldigt om vi møder ham på gaden med et pigebarn, med mindre at vi ud fra mødet kan afgøre om pigen er storesøster eller lillesøster.

Med de informationer der er oplyst i opgaven ved vi kun at DD-gruppen kan udelukkes.

Derfor er sandsynligheden for at han har to piger 1/3. Sværere er det faktisk ikke.:-)"

Jeg synes, at det er ret tydeligt fra dette skriv, at din uenighed ikke er om opgavens tolkning, men om selve princippet om, at det afgørende er, hvordan oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået. Er der kigget på kun det ene barn, eller på begge børn, med det formål at se, om der er en pige?

Det jeg læser ud fra hvad du skriver er, at du konkluderer som følger.

Du møder en mand på gaden, og han har en pige i hånden, som han præsenterer som et af sine to børn. Du konkluderer nu, at sandsynligheden for, at det andet barn er en pige er 1/3, og 2/3 for at det andet barn er en dreng. Er du virkelig helt sikker på, at du vil holde fast i, at der er sådan du konkluderer?

  • 0
  • 2

Nu går opgaven jo ud på at beregne sandsynligheden for at Ole har to piger, så hvis han startede med at sige: “jeg har mindst en dreng”, så ville han i hvert fald ikke være for kløgtig.

Sagen er jo faktisk, at det ikke er at sige "jeg har mindst en dreng", der ville være dumt. Det dumme ville være efterfølgende at spørge om sandsynligheden for to piger, istedet for efterfølgende at spørge om sandsynligheden for to drenge.

  • 0
  • 2

Selvfølgelig er der ingen skæve præferencer, som er relevante for løsningen eller krav om det ene eller det andet, og antydninger om at matematikere må forudsætte alt muligt er idiotisk. Nej, det går til efter reglerne. Vi er i den perfekte statistiske verden, hvor to lige store muligheder giver 1/2 til hver. Ole har sagt pige, og det kan der ikke laves om på, og det er hvad vi har at gøre med.

Man skulle tro, det var legalt, at undersøge svaret statistisk med tilsvarende møntkast. Hvis vi holder os til de de møntkast, hvor der angives, at der er en plat tilstede, vil halvdelen af tilfældene bestå af to plat.

Men vi har kun ét skud, siges der. Så må man se på udfaldsrummene. Rummet for blandet er dobbelt så stort som rummet for to plat, men tilgengæld, er chancen for at der bliver sagt plat her halveret, og hvis ikke der siges plat, er det ikke længere "vores Ole", det handler om, og det skal det vel være.

Sådan ser jeg på det nu. Der er små orme der gnaver, men det vil jeg ikke snakke om, før de bliver lidt større, - hvis de gør. Steen

  • 1
  • 2

For at få resultatet 1/3 kræver det, at Ole har en kønspræference, der gør at han altid vil vælge at omtale pigen.

Eller at Ole eksplicit er blevet spurgt: "Har du mindst 1 pige ?"

Problemet i opgaveformuleringen er at det er Ole, som giver oplysningen. Man ved ikke hvordan udsagnet er fremkommet og biased. Havde man blot fået at vide at "Ole har netop to børn og mindst en pige", så ville der næppe være nogen tvivl.

  • 1
  • 0

Ikke hvis man forudsætter at Ole muligvis tilhører gruppen af lystløgnere.

En fjolle bemærkning kunne du finde ud af at skrive, men ikke at svare på det spørgsmål, jeg spurgte dig om for anden gang. Så nu får du det for tredje gang, inklusive, det skriv fra dig, der affødte spørgsmålet.

"Det er fløjtende ligegyldigt hvad Ole siger, med mindre vi ud fra hans udsagn kan afgøre om han er i PD-PP-gruppen eller i DP-PP-gruppen. Det er også ligegyldigt om vi møder ham på gaden med et pigebarn, med mindre at vi ud fra mødet kan afgøre om pigen er storesøster eller lillesøster.

Med de informationer der er oplyst i opgaven ved vi kun at DD-gruppen kan udelukkes.

Derfor er sandsynligheden for at han har to piger 1/3. Sværere er det faktisk ikke.:-)"

Jeg synes, at det er ret tydeligt fra dette skriv, at din uenighed ikke er om opgavens tolkning, men om selve princippet om, at det afgørende er, hvordan oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået. Er der kigget på kun det ene barn, eller på begge børn, med det formål at se, om der er en pige?

Det jeg læser ud fra hvad du skriver er, at du konkluderer som følger.

Du møder en mand på gaden, og han har en pige i hånden, som han præsenterer som et af sine to børn. Du konkluderer nu, at sandsynligheden for, at det andet barn er en pige er 1/3, og 2/3 for at det andet barn er en dreng. Er du virkelig helt sikker på, at du vil holde fast i, at der er sådan du konkluderer?

  • 0
  • 3

Man skulle tro, det var legalt, at undersøge svaret statistisk med tilsvarende møntkast.

Men så er det at nogle personer, vil sige, Men nu forudsætter du jo, at personer, og specielt Ole, med lige stor glæde vælger at sige krone som plat. Han kunne jo også være en person, der havde en helt speciel forkærlighed for at sige plat.

Ja det kunne han, men det er dælme en meget, meget søgt ting at antage. Det samme kan siges om, at Ole skulle være en person med en helt speciel forkærlighed for at sige pige.

Principelt set, så skal vi selvfølgelig klarggøre, at vi gør forudsætningen om kønsneutralitet. Det har jo også gjort hele vejen igennem. Men jeg må nok sige, at dette er en helt uden sammeligning langt mindre søgt antagelse, end antagelsen om kønspræference.

Og mere vigtigt. 1/3 folket, har fra starten af hævdet, at forudsætninger om kønspræferencer eller ej var uden betydning for svaret, der kun kunne være 1/3.

Nu kan man pludselig ikke længere få svar fra dem, når man stiller spørgsmål, der viser om de har forstået, at det der gør forskellen er, hvordan oplysningen om een pige er tilvejebragt. Ved kun at se på eet barn, eller ved at se på begge børn, med det mål at se, om der er en pige.

Erik Vesti, undlader simplethen bevidst at svare,

Flemming Rasmussen har heller ikke svaret på mit sidste spørgsmål om dette, efter at han afsluttede med et indlæg, der ikke indholdt noget argument, men hvis indhold bare var, men der blev jo spurgt om piger.

Mon nogle af 1/3 folket alligevel har fået kolde fødder efter at have læst wikipediaartiklen og nu pludeslig finder det klogere at tie, også selvom de ikke helt har forstået indholdet af artiklen.

  • 0
  • 3

Eller at Ole eksplicit er blevet spurgt: "Har du mindst 1 pige ?"

Ja men den formulering kræves ingen forudsætninger om kønspræferencer, (Og ja, jeg "antager" at Ole taler sandt, uden altid eksplicit at skrive den forudsætning).

Havde man blot fået at vide at "Ole har netop to børn og mindst en pige", så ville der næppe være nogen tvivl.

Det var faktisk præcis den formulering af opgaven, der bragt Martin Gardner i problemer, da han oprindelig stillede opgaven i 1959. Han måtte indrømme, at opgaven ikke specificerede, hvordan oplysningen om mindst en pige var tilvejebragt, således at der var mulighed for tolkning. Her vil jeg dog nok mene, at den naturlige tolkning af opgaven er, at den alvidende opgavestiller giver mig den maksimale information, der kan ligge i oplysningen. Således at svaret er 1/3. Men måske er det bare fordi, jeg også er for vant til at blive stillet typeopgaver. Jeg må jo indrømme, at jeg faktisk ikke ved hvordan oplysningen er tilvejebragt,

  • 1
  • 2

@ Erik Vesti. Du har har slået vedholdende på, at Ole har sagt pige, og ikke andet, og at enhver snak om, at han måske kunne have sagt noget andet er irrelevat fantasi. Det giver bestemt resonans i mig, og jeg har selv været der bl. a. i den tråd, jeg nævnte oppe i #104. Men da præferencer ikke er en del af opgaven, kan man så ikke se sådan på det, at Ole er én af de blandede, der tilfældigvis har nævnt en pige, og derfor naturligvis ikke kan tages til indtægt for nogetsomhelst andet end det, han har sagt? Steen

P.S. Der er også andet, du har udtalt, jeg bakser lidt med.

  • 0
  • 1

Jeg skal en uge til Berlin med fruen, med afrejse i morgen tidligt. Helt unplugged og offline.

Jeg kan ikke sige mig helt fri for at være lidt spændt på, hvor lang denne tråd er blevet, når jeg kommer hjem igen :-)

Carry on.

  • 1
  • 0

Eller at Ole eksplicit er blevet spurgt: "Har du mindst 1 pige ?"

Problemet i opgaveformuleringen er at det er Ole, som giver oplysningen. Man ved ikke hvordan udsagnet er fremkommet og biased. Havde man blot fået at vide at "Ole har netop to børn og mindst en pige", så ville der næppe være nogen tvivl.

Du nailer problemet så fint.

Jens forestiller sig, at Ole er blevet bedt om at vælge et tilfældigt barn og nævne dets køn. Hvorefter han siger "Jeg har mindst én pige"

Hvis det er opgavestillerens tænke, så er svaret 1/2. Og jeg tænker, at det er det facit, bogen har.

Ellers var der vel ingen grund til at give oplysningen om at det er Ole der giver os oplysningen om det ene barn.

Ordkløveri istedet for talkløveri.

  • 1
  • 0

Jens forestiller sig, at Ole er blevet bedt om at vælge et tilfældigt barn og nævne dets køn. Hvorefter han siger "Jeg har mindst én pige"

Ikke lige det, nej. Ole er ikke nødt til at være bedt om noget.

Jeg ser situationen som fuldstændigt analog til, at jeg kommer gående på gaden og møder en mand der siger "Hej, jeg hedder Ole, det er min pige som leger der ovre". Hefter siger en anden mand til mig "Ole har faktisk to børn. Hvad er sandsynligheden for at begge er piger". Svaret på spørgsmålet er 1/2, med mindre det er sådan, at jeg befinder mig i en verden, hvor folk kun tager deres piger uden for at lege, og aldrig deres drenge. Så ja, jeg må gøre den antagelse, at folk tager deres børn lige meget ud at lege, uanset barnets køn.

Manden kunne også have sagt f.eks. "Hej, jeg hedder Ole, sikke et dejligt vejr det er idag". Hefter siger en anden mand igen til mig "Ole har faktisk to børn. Hvad er sandsynligheden for at begge er piger". Men nu er svaret selvfølgelig et andet, Svaret er nu 1/4.

Men manden kunne faktisk også have sagt. "Hej, jeg hedder Ole,det er min dreng som leger der ovre". Hefter siger en anden mand igen til mig "Ole har faktisk to børn. Hvad er sandsynligheden for at begge er piger". Nu er svaret selvfølgelig 0.

Det kunne være rart om, nogle af 1/3 folket ville tage stilling til beregningen af dens slags scenarier, og hvilket senarie der er analogt til den stillede opgave.

Eller om nogle af 1/3 folket i det hele taget bare kom med et argument, i stedet for bare at tomle ned og sige "Ole siger hvad han har sagt, og opgaven er om piger".

Hvis det er opgavestillerens tænke, så er svaret 1/2. Og jeg tænker, at det er det facit, bogen har.

Jeg vil blive meget overrasket, hvis ikke bogens facit er 1/3. Ja, jeg giver ikke bogen forfatter så meget mental kredit. Men jeg kan jo blive glædeligt overrasket.

  • 0
  • 4

Jeg ser situationen som fuldstændigt analog til,....

Og for lige at gøre samlingen komplet.

Jeg kommer gående på gaden og møder en mand der siger "Hej, jeg hedder Ole". Jeg spørger ham "Hvis du har børn, er så mindst det ene en pige?". Til det svarer manden "Ja", Hefter siger en anden mand til mig "Ole har faktisk to børn. Hvad er sandsynligheden for at begge er piger?" Svaret på spørgsmålet er her 1/3.

Jeg tror virkelig, at mange af 1/3 folket ville have glæde af at forklare for sig selv, hvorfor svaret er som det er i de 4 situationer. Kan de ikke det, så skal vi ikke igang med at diskutere, hvilken af situationerne, der matcher den stillede opgave endnu. Så skal de først have gang i en matematikbog.

  • 0
  • 3

Men det er ikke sådan vores opgave er formuleret.

Nej, Vores opgave er formuleret, så svaret 1/2 er endnu mere oplagt end i Gardners formulering. Hvor jeg faktisk ikke synes, at det er specielt oplagt.

Og så vil jeg altså gerne have, at du svarer på hvad jeg spørger dig om. Derfor får du nu for 4. gang spørgsmålet, som du åbenbart undviger. Igen med den tekst fra dig der gav anledning til spørgsmålet.

Det er fløjtende ligegyldigt hvad Ole siger, med mindre vi ud fra hans udsagn kan afgøre om han er i PD-PP-gruppen eller i DP-PP-gruppen. Det er også ligegyldigt om vi møder ham på gaden med et pigebarn, med mindre at vi ud fra mødet kan afgøre om pigen er storesøster eller lillesøster.

Med de informationer der er oplyst i opgaven ved vi kun at DD-gruppen kan udelukkes.

Derfor er sandsynligheden for at han har to piger 1/3. Sværere er det faktisk ikke.:-)

Jeg synes, at det er ret tydeligt fra dette skriv, at din uenighed ikke er om opgavens tolkning, men om selve princippet om, at det afgørende er, hvordan oplysningen om, at Ole har en pige, er opnået. Er der kigget på kun det ene barn, eller på begge børn, med det formål at se, om der er en pige?

Det jeg læser ud fra hvad du skriver er, at du konkluderer som følger.

Du møder en mand på gaden, og han har en pige i hånden, som han præsenterer som et af sine to børn. Du konkluderer nu, at sandsynligheden for, at det andet barn er en pige er 1/3, og 2/3 for at det andet barn er en dreng. Er du virkelig helt sikker på, at du vil holde fast i, at der er sådan du konkluderer?

  • 1
  • 3

Hej Jens

Jeg tror ikke 1/3'erne gider svare mere. Så nu skriver jeg lige et sidste(?) indlæg på deres(vores?) vegne.

Vi aner ikke hvordan Ole er kommet frem til at vælge sit udsagn.

Måske har han fået at vide, at han skal sige som han gør hvis muligt, og alternativt sige "Min førstefødte er dreng og født den og den dag."

Vi aner det ikke. Og dine historier om gåture osv er ren spekulation. Derfor giver det mening at falde tilbage på det vi ved med sikkerhed: to børn, mindst én pige = 1/3.

Det er en gåde. Den skal sætte gang i de grå. Og det har den gjort.

  • 3
  • 2

Bøh!!!!! Vågn op Jens, du er nemlig inviteret til at deltage i TV2's nye "Han har to børn, og mindst et af dem er en pige"-quiz.

Reglerne er simple: en ad gangen kommer fædrene ind på scenen med et pigebarn i hånden (deres eneste hvis de er fædre i PD og DP kategorierne) og de udtaler følgende: "jeg har to børn og mindst et af dem er en pige. Pigen jeg holder i hånden er min datter".

Det er nu din opgave at gætte om faren på scenen har to piger eller et barn af hvert køn. Gætter du rigtigt får du 1000 kr, men gætter du forkert taber du 1000 kr. Der kommer 75 fædre i alt og du kan foretage et gæt hver gang.

Hvor mange penge vil du gå hjem med, hvis du vælger at sige "dreng" hver gang?

Hvor mange penge vil du have tabt, hvis du vælger at sige "pige" hver gang?

Når beløbene ikke det samme, kan sandsynligheden for at barnet du ikke ser er en pige så være 50%?

  • 2
  • 1

Måske har han fået at vide, at han skal sige som han gør hvis muligt, og alternativt sige "Min førstefødte er dreng og født den og den dag."

Ja og måske foregår historien i en verden, hvor der kun fødes piger eller hvor drenge altid fødes på tirsdag. Ved at lave den slags vilde antagelser, som der intet som helst informeres om i opgaveteksten, så kan lå et hvilket som helst resultat man ønsker.

Vi aner det ikke. Og dine historier om gåture osv er ren spekulation. Derfor giver det mening at falde tilbage på det vi ved med sikkerhed: to børn, mindst én pige = 1/3.

Nej. Det er en tydelig eksemplificering af præcis hvilken situation vi står i.

Jeg kan jo så glæde mig over at have verdens samlede matematiske ekspertise på min side. 1/3 folket må glæde sig over, at de ikke lader sig overbevise af fagfolk med ekspertviden.

  • 1
  • 3

Reglerne er simple: en ad gangen kommer fædrene ind på scenen med et pigebarn i hånden (deres eneste hvis de er fædre i PD og DP kategorierne) og de udtaler følgende: "jeg har to børn og mindst et af dem er en pige. Pigen jeg holder i hånden er min datter".

Det er så bare ikke den opgave der er stillet i opgaveteksten. I den kommer een mand (ikke en række af mænd efter hinanden) ind på scenen med et barn i hånden, der tilfældigvis er en pige.

Og ja. Det to opgaver giver forskellige resultater. Hvis du ikke mine forklaringer får 10 øren til at falde for dig, så læs wikipediartiklen.,

  • 0
  • 3

Det er så bare ikke den opgave der er stillet i opgaveteksten. I den kommer een mand (ikke en række af mænd efter hinanden) ind på scenen med et barn i hånden, der tilfældigvis er en pige.

Aiiiii ?? Hvor læser du det ?

Opgaveteksten :

*Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Ole.

*Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?

  • 0
  • 0

Aiiiii ?? Hvor læser du det ?

Opgaveteksten :

*Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Ole.

*Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?

Ved at læse præcis hvad der står i opgaveteksten, og ikke selv lægge noget til.

Opgaveteksten beskriver een hændelse, og kun een. Vi møder en tobørnsfar, og kun en tobørnsfar, der siger pige. Vi får ingen (som i INGEN) information om at han er udvalgt fra en bestemt gruppe af mænd. Med den viden vi har, må vi atså se ham som tilfældigt udvalgt af gruppen af tobørnsfædrer. Og vi får ingen (som i INGEN) information om, at han er tvunget til at sige pige, hvis det er en muligt. Vi må altså antage at han har frit valg. Dette er den stillede opgave.

Du stiller det forkerte spørgsmål. Spørgsmålet du burde stille er. Hvor læser du i opgaveteksten, at manden er udvalgt af en speciel gruppe af tobørnsfædrer? Eller hvor læser du i opgaveteksten, at manden er tvunget til at sige pige, hvis det er muligt?

  • 1
  • 6

Når beløbene ikke det samme, kan sandsynligheden for at barnet du ikke ser er en pige så være 50%?

Beløbene er ca. de same Erik og opgaven adskiller sig fra bagsidens. Man skal gætte kønnet på et barn man ikke ser.

Men bagsidens opgave kan illustreres på lignende vis:

Vi har 1000 tilfældigt udvalgte to-børns fædre, som ikke har køns-præferencer. De kommer ind på scenen en ad gangen. Der er to scenarier A og B:

I det første scenarie A er instruksen at fædrene skal annoncere: "Jeg har mindst en pige", hvis de kan. Dvs. i alle tilfælde DP, PD, PP.

I det andet scenarie B er instruksen at fædrene efter eget valg skal annoncere enten: "Jeg har mindst en pige" eller "Jeg har mindst en dreng", som de nu kan. I tilfældene DP, PD kan de altså frit vælge mellem de to udsagn.

Når vi i det første scenarie A lærer at en far har mindst en pige, så er sandsynligheden for at faren har to piger lig 1/3.

I det andet scenarie B er sandsynligheden 1/2.

  • 2
  • 0

Måske jeg har misforstået noget, men jeg forstår Eriks opgave sådan at man ser en far, der holder en datter i hånden og man skal gætte kønnet på et barn man ikke ser. Hvordan kan det blive andet end 1/2 ?

Sådan som jeg forstår Erik, så tillader han kun fædrer, der har mindst en datter at komme på scenen (ellers kunne de jo heller ikke holde en datter i hånden). Vi ved altså at en far vi præsenteres for er udvalgt fra fædrer der har PP, PD eller DP. DD fædrer er slet ikke med i opgaven.

Hans pointe er, at dette er analogt til den stillede opgave.

  • 2
  • 4

Jeg har gået og tænkt lidt mere over opgaven.

Karl har fået alt for lidt opmærksomhed.

Jens, dine historier om at møde de to fædre sammen med det ene barn er grebet ud af luften.

Det vil være mere realistisk at forestille sig, at de to fædre træder op på et podie foran os quizdeltagere.

Da det ikke er en normal ting spontant at sige at man har mindst én pige, må vi også forestille os at der er givet en instruks forud for optrædenen. Det vil også være rimeligt at forestille sig at samme instruks er givet til begge mænd.

Hvordan kunne den instruks se ud, som får Karl til intet at sige og Ole til at sige at han har mindst én pige?

Og med denne instruks in mente, hvordan er chancen så for hver af mændene for at have to piger?

Hvis fremkomsten af Oles udsagn skal tillægges betydning, må fremkomsten af Karls ikke-udsagn tillægges lige så stor betydning.

  • 4
  • 0

Fantastisk idé

Tak.

Men du mener altså at Ole ved egen kraft spontant har fundet på at sige "jeg har mindst en pige"? Jeg har aldrig mødt nogen der sagde sådan noget. Der må altså enten ligge en situation eller en instruks til grund. Jeg finder det langt mere sandsynligt at der er en instruks, givet at det er en underlig ting at sige uanset situationen.

Vi kunne også stoppe spekulationerne og blot kigge på de fakta vi har, som giver 1/4 og 1/3.

Men for sportens skyld, prøv om du kan komme på et svar til #206.

  • 2
  • 0

Men du mener altså at Ole ved egen kraft spontant har fundet på at sige "jeg har mindst en pige"? Jeg har aldrig mødt nogen der sagde sådan noget. Der må altså enten ligge en situation eller en instruks til grund. Jeg finder det langt mere sandsynligt at der er en instruks, givet at det er en underlig ting at sige uanset situationen.

Jeg ved kun hvad opgaveteksten fortæller mig. Jeg står over for en mand med to børn, og han siger "Jeg har mindst den pige Det er alt hvad jeg ved. Opgaveteksten nævner intet om en quiz eller noget om instrukser.

Men for sportens skyld, prøv om du kan komme på et svar til #206.

I Karl opgaven er det eneste opgaveteksten fortæller os at vi står over for en mand med to børn.

Jeg ville så umiddelbart tro , at sandsynligheden for at manden har to piger er 1/4. Men belærer 1/3 folket mig så om. Det ville kræve at det var en helt tilfældig tobørnsfar, og den slags vilde antagelser kan man ikke bare gøre. Måske er han specielt udvalgt fra gruppen af tobørndfædrer med to drenge. Så er sandsynligheden 0. Opgaveteksten nævner jo ikke, at manden ikke er udvalgt fra denne specielle gruppe.

  • 0
  • 3

1/3 folket

Det der nedladende sprogbrug... Yuck! Det er en leg. En gåde. Slap af

Forresten er jeg far til to børn og mindst ét af dem er en pige. Mener du, der er 1/2 chance for at begge er piger, eller er mit udsagn biased af vores diskussion?

Bare glem det. Du tager det alt for seriøst.

  • 4
  • 0

Men Jens.

Elo siger: "Jeg har kasstet to terninger. En viser en sekser, se selv (jeg får lov til at se en sekser og ikke andet). Hvad er sandsynligheden for, at jeg har slået to seksere?". Jeg synes ikke, at svaret er 1/6, for hvilken glæde har jeg af at se en sekser? Jeg ved godt, hvordan sådan en ser ud.

Jeg kan ikke helt se, om det er et analogt eksempel, men jeg syes at hele problematikken omkring identifikation (og sjældenhed) er både spændende og ret speget. Steen

  • 1
  • 1

Elo siger: "Jeg har kasstet to terninger. En viser en sekser, se selv (jeg får lov til at se en sekser og ikke andet). Hvad er sandsynligheden for, at jeg har slået to seksere?". Jeg synes ikke, at svaret er 1/6, for hvilken glæde har jeg af at se en sekser? Jeg ved godt, hvordan sådan en ser ud.

Jeg kan ikke helt se, om det er et analogt eksempel, men jeg syes at hele problematikken omkring identifikation (og sjældenhed) er både spændende og ret speget. Steen

Problemet er faktisk helt analogt. Her med 6 lige sandsynlige muligheder for hver hændelse, i stdet for 2 lige sandsynlige muligheder.

a) Får du ingen information om nogen af hændelserne, så har du et udfaldsrum med 36 udfald der alle har sandsynligheden 1/36. Heraf giver kun et udfald 2 seksere. Sandsynligheden for 2 seksere er altså 1/36.

b) Får du oplysning om hvad den ene terning viser (aktuelt en sekser), så er udfaldsrummet begrænset til 6 mulige udfald, der alle har sandsynligheden 1/6, da det kun er en ternings resultat, der ikke kendes. Heraf giver kun et udfald 2 seksere. Sandsynligheden for 2 seksere er altså 1/6.

c) Spørger du Elo, "har du slået mindst en sekser", og Elo bekræfter dette, så er udfaldsrummet begrænset til 11 mulige udfald, der alle har sandsynligheden 1/11, Nemlig de 11 mulige kombinationer der indeholder mindst en sekser. Heraf giver kun et udfald 2 seksere. Sandsynligheden for 2 seksere er altså 1/11.

Egentlig forstår jeg ikke at dette volder dig problemer. Det er jo helt lige ud af landevejen.

Det diskussionen står om (i hvert tilfælde for de, der kan deres matematik) er, om den stillede opgave om Ole, svarer til situation b eller c. Nogle hævder så, at det kun er muligt at den kan svare til situation c, idet de åbenbart mener, at denne udlægning slet ikke kræver nogle antagelser om noget som helst. Eller jeg er faktisk noget i tvivl om, hvorvidt det er sådan de alle argumenterer inde i deres hoved. For nogle af dem har jeg meget svært ved at se, at de kommer med sammenhængende argumenter.

Hvad deres argumenter er, er også svært at vide, da flere af dem tilsyneladende ikke forholder sig til andres argumentation, men bare tomler ned.

  • 0
  • 2

Problemet er faktisk helt analogt.

Det er slet ikke analogt. Hvis det skulle være analogt, skulle der sidde en Ella, som også har slået to terninger, men ikke viser nogen af dem frem. Hvis Elo og Ella spiller efter samme regler, må man formode at Ella har 0 chance for at have slået to seksere.

  • 1
  • 1

Jens snakker meget om de antagelser vi må gøre os. Lad os kigge lidt på det.

Vi kan antage at "Ole siger" blot er krydderi for at gøre plat og krone opgaven mere menneskelig.

Eller vi kan vælge en af nedenstående antagelser:

Karl og Ole har fået forskellige instrukser for hvad de skal sige.

Karl og Ole har fået en meget kompleks instruks. "hvis din førstefødte er født i første halvår, nævn kønnet på et tilfældigt af dine børn."

Vi møder Karl og Ole på en gåtur. Ole har et tilfældigt af sine børn med. Men da det er en lige uge er Karls børn hos moren og vi ser ikke nogen af dem.

Karl er lidt genert. Men Ole er sådan lidt skør og går og siger ting som "jeg har mindst én pige" spontant og uopfordret. Men ikke så skør at han har en præference for hvilket køn han gerne vil sige.

Vi bliver stillet én samlet opgave. Den har nr 32. Og den indeholder ét samlet sæt af oplysninger vi kan bruge til løsningen. Jeg ved godt hvilken af ovenstående antagelser der virker mest simpel og logisk på mig.

  • 3
  • 1

Eller vi kan vælge en af nedenstående antagelser:

Eller vi kan bare løse opgaven præcis som den står uden alle mulige selvopfundne tildigtninger.En mand oplyser om kønnet på et af sine to børn. Hvad er nu sandsynligheden for at begge børn har samme køn.

Svaret er 1/2 hvis mænd ikke har kønspræferencer. Vi kan jo tro på at opgavestilleren er ærlig og ville have oplyst om det, hvis mænd har kønspræference, da det ville ændre resultatet.

  • 1
  • 3

Svaret er 1/2 hvis mænd ikke har kønspræferencer. Vi kan jo tro på at opgavestilleren er ærlig og ville have oplyst om det, hvis mænd har kønspræference, da det ville ændre resultatet.

Ikke som opgaven er formuleret, for du glemmer den tavse Karl. Hvis endelig skal lege med på dine præmisser, så vil sandsynligheden for at Ole i opgaven har to piger være 0,428.

Men den vindende strategi i det quizshow vil altid være at gætte på et barn af modsat køn når du modtager information fra faren om det ene barns køn, og gætte på to af samme køn når faren forholder sig tavs.

  • 0
  • 2

Det var som syv...!

Jeg må bøje mig i støvet. Du har ret, Jens, i den quiz er sandsynligheden for at Ole har to piger faktisk 0,5.

I skyndingen fik jeg lavet en fejlslutning angående DP-PD-gruppens valgmuligheder.

  • 1
  • 0

Jeg er helt enig med Kim i, at det er en uværdig opgave at stille. Den er regnet på 15 sekunder hvis man har lært lidt sandsynlighedsregning og den giver ingen mulighed for debat. Ingeniøerer vil have regneopgaver, og det har det skortet på i efteråret.

Og så er der alligevel ingen af de tidligere indlæg, der har givet den korrekte løsning!

Tja Børge, det var også min første tanke, men det viste sig altså at være forkert. Dette er vitterligt en opgave med to korrekte løsninger. Jeg vil dog mene at 1/3 er en lille smule mere korrekt end 0,5 , men med de oplysninger vi får er begge resultater mulige. Også uden helt vanvittige antagelser og forudsætninger.:-)

  • 0
  • 1

-Jeg synes, der måske nærmer sig en slags tilnærmelse eller bedre forståelse for hinanden.

Præferencer og lignende støj tror jeg begge parter er enige om ikke hører til her.

Jeg synes, det ser ud til, at vi løser to opgaver:

1) OLE (med to børn) SIGER, at han har en pige, hvad er chancen for, at han har to piger?

2) Ole (med to børn) HAR en pige, hvad er chancen for , at han har to piger?

Den første giver 1/2, og i tilfælde af en møntsimulering, er det kun "piger"der tælles med, så når der er blandet, tælles kun hveranden med, for "drengemuligheden" er jo udelukket (eftersom Ole sagde pige).

Den anden giver 1/3, fordi man ikke vægter, at det er Ole, der siger noget, men holder sig til indholdet i informationen, der leveres: Han har en pige.

Hvis 1/3-folket opfatter opgaven som eksempel 2), synes jeg ikke nødvendigvis at løsningen 1/3 kræver præferencer eller andet. Kan den så ikke også fremkomme ved, at man kun vægter, at én, der har en pige, befinder sig lige godt i alle de 3 mulige rum, hvor der er en pige. Hvis Ole har har blandet, kan det så ikke bare være en tilfældighed, at han har nævnt pige. Eller hvad? Til gengæld synes jeg så ikke, det er helt den opgave, vi ser.

Til Erik Vesti (#74). Ole 3 HAR sagt dreng (af ideelle statistiske grunde), men i dit system, tror jeg ikke, det vælter noget, for Ole 3 (der jo har blandet) har jo alligevel en pige, og det giver jo hos jer en mulighed for 3 placeringer i udfaldsrummet, hvoraf 2piger udgør det ene.

Sådan synes jeg det ser ud. Steen

  • 0
  • 3

P.S. #228. Da jeg ved eksempel 2) skrev Ole HAR en pige, var det ikke en antydning af at Ole i eks. 1) lyver og ikke har en. Han taler selvfølgelig sandt :).

  • 1
  • 0

I begge eksempler du nævner i #228 er sandsynligheden for at Ole her to piger = 1/3. Du kan ikke ignorere kombinatorikken, og forudsætningsløst kassere halvdelen af pige/drengegruppen.

I relation til møntkasteksempler så er Karls "mønter" ikke de samme som Oles "mønter".

  • 0
  • 1

Jeg troede jeg var færdig med at skrive her. Men åbenbart ikke helt.

Opgaven "Ole har to børn og siger..." Er debatteret til hudløshed på nettet. Og det lader til at der er kommet en konsensus om at svaret er 1/2. Jens Olsen har dokumenteret det. Det var afsnittet om hundehvalpe i hans linkede wikiartikel, der vandt mig over. Ringer man til Ole og spørger om han har mindst én pige eller beder man ham tænke på et tilfældigt barn og nævne det. Dér er forskellen.

Men det er jo ikke den opgave vi bliver stillet. Vi bliver præsenteret for to mænd med to børn hver.

Den ene siger "Jeg har mindst én pige" Den anden siger ingenting.

Vi må formode at de spiller efter samme regler (og er sandfærdige).

Hvad er sandsynligheden for at den tavse har to piger og hvad er sandsynligheden for at den talende har to piger?

Skal vi forestille os, at den tavse kun er med i opgaven for at give os den ultranemme opgave om, hvad chancen er for at slå plat to gange med to mønter, når resten af opgaven er så kompleks eller kontroversiel at den har været debatteret i over 70 år?

Niks, den køber jeg ikke.

Edit: rettede et 1/3 til 1/2, som blot var en tastefejl.

  • 1
  • 2

Det er altså ikke mig, der får den til at skrive med tykt. Den har gjort det før, og da var det heller ikke mig, og det er heller ikke mig, der nu får den til at skrive normalt igen, så der ligger ingen budskaber i det. :) Steen

  • 1
  • 1

Der er alt for mange indlæg i denne "debat", og jeg kan godt se ironien i at skrive et indlæg om det. Men dette er ikke så meget en debat som det er et skænderi! Der er mange indlæg i en uhøflig og nedgørende tone. Der er rigtig mange nærmest ens indlæg. Det bliver ikke mere rigtigt, af at skrive 1/2 (eller 1/3) 20 gange. Det bliver blot mere træls at læse for andre. Jeg vil foreslå vi fremover betænker:

Skriv kort og gentag ikke argumenter. Og selvfølgelig skriver man høfligt (også selv om man har ret)

  • 1
  • 0
Simulering

For at bidrage med noget konstruktivt, så er der i følgende link en simulering der burde hjælpe med at afklare misforståelser for nye og gamle læsere af denne tråd.

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1yy...

For at opsummere, der er grundlæggende to måder at forstå opgaven (citat fra kommentar #50):

Lad mig opstille to opgaver, præcist formuleret.

1) Betragt mængden af tobørnsforældrer, hvor mindst det ene af personens børn er en pige. Havd er sandsynlighenden for, at en tilfældig valgt person fra denne gruppe har to piger?

2) Betragt mængden af tobørnsforældrer, hvor personen gives mulighed for at oplyse om kønnet på et af børnene, og her vælger at oplyse om en pige . Havd er sandsynligheden for, at en tilfældig valgt person fra den gruppe har to piger?

  • 1
  • 2

Jens Olsen, jeg citerer netop din opstilling af de to problemer, så fortæl gerne hvad der er uklart. Problem 1 er simuleret på fane 1, Problem 2 er simuleret på fane 2. Som du kan se ved simuleringen, giver denne dig ret i at sandsynligheden er 1/2 i Problem 2.

  • 2
  • 1

så fortæl gerne hvad der er uklart.

Hmm

Imho er det eneste uklare i denne sag, at Jens vil have ubetinget ret 😉 - det har han (eller den anden front) selvfølgelig ikke, i og med opgaven ikke er defineret klart nok. (Vi ved ikke, hvorfor Ole siger mindst en pige)

Se i øvrigt også dette indlæg - opgaven er åbenbart et genbrug fra 1987 - og også her var fortolkningen fra opgavestillers side imod Jens.

Dette indebærer selvfølgelig ikke, at Jens har uret - det undestreger blot den manglende kvalitet af opgaven.

Din break down er selvfølgelig rigtig.

  • 3
  • 1

Side 84 har den oprindelige opgave. https://www.e-pages.dk/ingarkiv/8721/?page=

Der var tale om en alvidende fortæller, som giver os oplysningerne. Der er altså ikke tale om at Ole og Karl hver især tænker på et bestemt barn. Så løsningen på dén opgave er 1/2 og 1/3.

Men vi gætter på, at det ikke var den opgave vi blev stillet her forleden dag. Gætværk kan ikke føre til definitive svar.

  • 3
  • 1

Den korrekte opgave formulering er netop blevet offentliggjort, der havde åbenbart indsneget sig en fejl:

"Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Karl. Mit ældste barn er en pige, siger Ole.

Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?"

  • 1
  • 0

Imho er det eneste uklare i denne sag, at Jens vil have ubetinget ret 😉 - det har han (eller den anden front) selvfølgelig ikke, i og med opgaven ikke er defineret klart nok. (Vi ved ikke, hvorfor Ole siger mindst en pige)

Jeg har hele tiden fastholdt, at opgaven som udgangspunkt ikke er fuldstændigt defineret. Vi ved, som du selv skriver, ikke hvorfor Ole, siger "jeg har mindst en pige".

Der er to muligheder. 1) Ole har frit valg, til at sige hvad han vil. 2) Ole er blevet beordret til at oplyse os om, at han har en pige, hvis det er muligt.

Her synes jeg, at det absolut mest rimelige er at antage, at opgavestilleren ikke bevidst forholder os en væsentlig og ikke triviel information, sådan som det sker i situation 2.

Problemet i diskussionen er, at størstedelen, af de der fastholder 1/3 som korrekt svar, mener at opgaven er entydig, og at ingen tolkning kan give svaret 1/2.

  • 2
  • 4

Ikke alene retter redaktionen opgaveteksten, så der ikke længere er sammenhæng mellem de 244 løsningsforslag og kommentarer i tråden, uden at efterlade en reference til den oprindelige tekst!

Redaktionen poster også løsningen under en anden opgave, så BEGGE opgaver ender som emne for debatten under den anden opgave!

Løsningen til den rettede opgave, lyder altså:

"Sandsynligheden er 1/3 for, at Karl har to piger, men 1/2 for, at Ole har to piger.""

"Forskellen er, at vi ikke ved, hvilket af Karls børn som er en pige, og der er derfor de tre muligheder pige-dreng, dreng-pige og pige-pige. Når vi i Oles tilfælde har sat køn på et bestemt barn, er der kun de to muligheder pige-dreng og pige-pige"

Heldgvis blev den oprindelige opgavetekst citeret ordret et par gange, her i tråden, bl.a. i #135, altså:

"Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Ole."

"Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?"

Alligevel fik vi dog afklaret det spørgsmål, som resulterede i 244 indlæg, nemlig hvorvidt "Jeg har mindst én pige, siger Ole.", da den eneste forskel, hvad det angår, er at det nu er Karl, der siger det og ikke Ole, så løsningen er altså 1/3.

Med den nye opgavetekst, hvor det nu er Karl, der siger "Jeg har mindst én pige," er sandsynligheden for at Karl har to piger altså 1/3, fordi han oplyser 1 begrænsende forudsætning (jfr min forklaring i #135), mens sandsynligheden for at Ole har to piger, er faldet til 1/2, fordi han tilføjer en begrænsende forudsætning, ved at identificere og sætte køn på det ene barn.

Tak for udfordringen og tak for debatten!

  • 2
  • 2

Helt enig med Søren. Rod med rod på.

Og så lige en gentagelse af hvorfor gåden i første omgang kunne give så mange debatindlæg. Og som i øvrigt stadigt er lige åbent.

Men kunne forestille sig, at Ole tænker på et bestemt af sine børn inden han kommer med sit udsagn. Selvom han ikke fortæller os hvilket af børnene det drejer sig om, vil det også give ham 1/2 sandsynlighed for to børn af samme biologiske køn.

Jeg tager ikke stilling til hvilket svar der er det rigtige, for det er ligesom de der visuelle gåder, som man ser på Facebook, hvor der er flere svar, som er lige gode. Eller dårlige.

  • 0
  • 2

Men kunne forestille sig, at Ole tænker på et bestemt af sine børn inden han kommer med sit udsagn. Selvom han ikke fortæller os hvilket af børnene det drejer sig om, vil det også give ham 1/2 sandsynlighed for to børn af samme biologiske køn.

Det du her taler om, er igen hvorvidt faderen identificerer det ene barn (og dermed tilføjer en begrænsende forudsætning), ved at oplyse at mindst ét barn er en pige, da man, fordi det er faderen og ikke opgavestilleren der oplyser det, kan fastslå et bestemt barns køn.

Det er, som du selv antyder med "forestille sig" ren spekulation, og kan, uanset hvordan vi vender og drejer det, aldrig udelukke én af de tre udfaldsmuligheder (DD, DP, PD), og kan derfor aldrig give 1/2 (én ud af kun to muligheder).

Selvom vi på en eller anden spekulativ måde, kunne fastslå at faderen "tænker på" et bestemt barn, når han siger "mindst én pige", så får du ikke at vide hvilket barn det er, så for dig er det stadig kun 'et barn' og ikke 'et bestemt barn'.

Det er heller ikke den form for spekulation, opgaven lægger op til, ligesom den heller ikke lægger op til at analysere om der er præcis lige stor sandsynlighed for om et barn er en dreng eller en pige, hvis intet andet er oplyst.

Opgaverne (både den oprindelige og den rettede) er varianter af et klassisk paradoks, og som flere links i tråden (inklusiv Jens Olsens 2 links, som han ikke selv forstod) har dokumenteret, skal løsningen i alle tilfæde findes i de givne oplysninger, og ingen af de dokumenterede varianter, lægger værdi i om det er opgavestilleren eller personen i opgaven, der giver oplysningen.

  • 2
  • 2

Med den nye opgavetekst, hvor det nu er Karl, der siger "Jeg har mindst én pige," er sandsynligheden for at Karl har to piger altså 1/3

Nej. Vi har det samme roderi fordi det er faderen, der kommer med oplysningen.

Hvis faderen i tilfældene DP, PD frit kan vælge et af udsagnene "Jeg har mindst en dreng" og "Jeg har mindst en pige", da er sandsynligheden P( 2 piger | "Jeg har mindst en pige") lig 1/2.

Som Jens utrætteligt har påpeget: Hvis faderen i tilfældene DP, PD har en forkærlighed for det ene af de to udsagn, da bør det fremgå af opgaveformuleringen. Det gør det ikke.

  • 2
  • 4

Scenarie: Vi står til et quizshow.

To mænd står klar i kulissen og vores opgave er at komme med sandsynlighederne for at de hver især har to børn af samme biologiske køn.

Quizværten fortæller os at begge mænd har netop to piger. Hver mand træder efter tur op på et podie. På vej der op visker værten noget til dem.

De kommer så med de to udtalelser som udgør opgaven. Ole (som opgaven står nu, hvor han fortæller om sit ældste barn) ignorerer vi for nu.

Jeg vil bede om svar på sandsynligheden for at Karl har to piger, hvis vi hørte værten viske følgende til Karl:

a) Tænk på et af dine børn og sig noget om kønnet uden at afsløre begge køn.

b) Har kigget på dine familiedata og vil bede dig sige følgende: Jeg har mindst…

c) Ole afslørede at hans ældste er en pige. Hvis du også har en pige, så sig noget om hende/dem uden at afsløre begge børns køn.

d) Sig noget om dine børns køn uden at afsløre begge køn.

Jeg kunne godt tænke mig nogle svar. Om ikke andet så en erkendelse af at a-d faktisk giver en forskel i de odds du ville give som quizdeltager, hvis du hørte hvad der blev visket og dine modstandere ikke gjorde.

Men det jeg egentlig siger er, at hvis du skråsikkert mener svaret på gåden er ligetil og 100% mejslet, så tager du fejl og fortjener kun hån ;)

Og for den udtalelse må jeg høste tomler ned fra begge sider af salen :)

  • 2
  • 2

Når en far med en pige og en dreng vælger at oplyser kønnet på et af sine børn, hvad mener du så, at sandsynligheden er for, at det er pigen han vælger at oplyse om ? 50% ? Eller 100% måske? Noget helt tredje?

Der er 50% sandsynlighed for om han ville oplyse det ene, frem for det andet, forudsat han ingen preference har - men det har bare intet med sagen at gøre.

Hvor stor sandsynlighed for at han ville oplyse det ene eller det andet, ændrer jo ikke på at hvis han oplyser "mindst én pige", så er sandsynligheden for 2 piger 1/3, hvorimod hvis han oplyser "mindst én dreng" så er sandsynligheden 0.

Udfaldsrummet ændrer sig altså ift hvad faderen tilfældigvis vælger at oplyse, trods børneparret er det samme, hvorfor du kun har den konkrete oplysning at regne på.

Det undrer mig at du (og de par stykker, det er lykkes dig at forvirre) bliver ved med at køre i samme rille, når både løsningen og samtlige af links, du selv og andre har bragt, viser at du tager fejl.

Prøv for engang skyld at henvise til noget, der konkret bekræfter at du har ret, og resten af verden tager fejl - gerne med en mere overbevisende uddybning, end den du selv har formået.

  • 2
  • 2

Så når de samstemmende skriver (og matematisk redegør for) 1/3, så skal det forstås som 1/2, og derfor er det et problem at jeg har læst de links du selv postede ?!?

Nej, når de sammenstemmende redegør for i hvilke situationer svaret er 1/3 og i hvilke det er 1/2, så er det præcis sådan det skal forstås.

Forstår du forskellen på flg. to situationer og hvorfor de giver forskellige sandsynligheder?

A) Ole ytrer uopfordret "Jeg har mindst en pige"

B) Jeg spørger Ole "Har du mindst en pige?". Det bekræfter Ole.

  • 2
  • 2

A) Ole ytrer uopfordret "Jeg har mindst en pige"

B) Jeg spørger Ole "Har du mindst en pige?". Det bekræfter Ole.

Ja, der er forskel på med hvilken sandsynlighed A og B ville give netop den oplysning, men ikke på at sandsynligheden for 2 piger i begge tilfælde er 1/3, når det er den oplysning, der er givet.

Eller siger dine links måske noget andet? (i så fald, hvor?)

Du forvirrer tydeligvis dig selv ved at blande to forskellige sandsynlighedsberegninger sammen:

  • Sandsynligheden for hvad fædre ville oplyse i en given kontekst.

  • Sandsynligheden for et børnepars kønsfordelig ud fra en given oplysning.

Når oplysningen er veldefineret, er det ligegyldigt hvilken kontekst oplysningen blev givet i, og hvor stor sandsynligheden er for at oplysningen kunne være en anden, i en anden kontekst.

  • 1
  • 0

Ja, der er forskel på med hvilken sandsynlighed A og B ville give netop den oplysning, men ikke på at sandsynligheden for 2 piger i begge tilfælde er 1/3, når det er den oplysning, der er givet.

Eller siger dine links måske noget andet? (i så fald, hvor?)

Ja de to link angiver sandsynlighed 1/2 for to piger i situation A og 1/3 i situation B.

En ting er, at du ikke forstår at sandsynligheden er forskellig i de to situationer. Men der er virkelig lang vej hvis du ikke er i stand til at læse og forstå en tekst. Måske læser du den ikke med forståelse for øje.

  • 0
  • 3

Ja, der er forskel på med hvilken sandsynlighed A og B ville give netop den oplysning, men ikke på at sandsynligheden for 2 piger i begge tilfælde er 1/3, når det er den oplysning, der er givet.

Lad os forestille os at vi har 1000 tilfældigt valgte to-børns fædre, som vi tager fat i en ad gangen. De skal enten sige "Jeg har mindst én pige" eller "Jeg har mindst én dreng".

Hvad mener du resultatet bliver ?

Hvor mange siger "Jeg har mindst én pige" og hvor mange af dem, der ytrer det, har så to piger ?

  • 0
  • 0

Lad os forestille os at vi har 1000 tilfældigt valgte to-børns fædre, som vi tager fat i en ad gangen. De skal enten sige "Jeg har mindst én pige" eller "Jeg har mindst én dreng".

Hvad mener du resultatet bliver ?

Hvor mange siger "Jeg har mindst én pige" og hvor mange af dem, der ytrer det, har så to piger ?

Såre simpelt:

ca halvdelen ville sige "jeg har mindst én pige", og i hvert enkelt af disse tilfælde, er sandsynligheden 1/3 for at vedkommende har 2 piger.

Og i hvert af alle de øvrige tilfælde, er sandsynligheden 1/3 for at vedkommende har 2 drenge.

  • 2
  • 1

Hvor mange siger "Jeg har mindst én pige" og hvor mange af dem, der ytrer det, har så to piger ?

Søren Laursen - jeg fornemmer, uden helt at vide det, at det er her, du leder dig selv på vildspor.

Som du ser, så skelner jeg skapt imellem sandsynligheden af en forsamling og sandsynligheden af et enkeltstående tilfælde.

I en forsamling med 1.000 tobørnsfædre, vil der med stor sandsynlighed være tæt på:

  • 500 fædre med blandede børn
  • 250 fædre med 2 piger
  • 250 fædre med 2 drenge

Det betyder at der selvfølgelig er ca lige mange drenge og piger blandt børnene, og at der er ca ligeså mange med enten 2 af samme køn eller 2 af hvert køn.

Men det betyder også at, hvis du har en pige, så er sandsynligheden dobbelt så stor for at du er en af de ca 500 fædre med blandede børn, som at du er en af de ca 250 fædre med 2 piger.

Dette uanset at ca halvdelen af fædrene selvfølgelig vil sige at de har mindst én dreng, hvis alle bliver spurgt.

Vi ved derfor kun at du er blandt den halvdel, der ville svare "mindst én pige", og at der dermed er 1/3 chance for at du er blandt de 250 fædre med 2 piger og 2/3 chance for at du er blandt de 500 med blandede børn.

Der er således tale om det, man i matematikken kalder forenede mængder, da både dem der svarer pige og dem der svarer dreng, hver har dobbelt så stor sandsynlighed for at høre til de 500 fædre med blandede børn, som til at høre til én af grupperne med to af samme køn.

Du tilhører således mængden P, hvor hver fader har lige sandsynlighed for at tilhøre en af delmængderne PP, PD, DP, mens de der siger dreng, tilhører mængden D, hvor hver fader har lige sandsynlighed for at tilhøre en af delmængderne PD, DP, DD.

Læg mærke til at der i hver af disse to mængder, er præcis lige mange børn af hvert køn, og når du forener de to mængder sammen, er der stadig lige mange af hver, så fordelingen stemmer altså med fødselstallene, selvom der i hver mængde kun er 1/3 sandsynlighed for at høre til en af delmængderne.

Forenet i den nævnte forsamling, udgør i således fællesmængden af tobørnsfædre:

P ∪ D = {PP, PD, DP, DD}

Generelt indenfor al statistik, gælder i øvrigt at mængder intet fortæller om enkelttilfælde.

Et andet klassisk eksempel er, at fordi du i et enkelt terningekast har 1/6 sandsynlighed for at slå en sekser, så betyder det ikke at du har 6/6 = 100% sandsynlighed for at slå en sekser, hvis du kaster 6 gange.

Fordi der i hvert enkelt af de seks kast er 5/6 sandsynlighed for ikke at slå en sekser, er sandsynligheden for ikke at slå en sekser:

5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 x 5/6 = 0,3349

Sandsynligheden er således kun 66,51%, og øges for hvert kast, uden mulighed for at nå 100%.

Mængden fortæller derfor (i sig selv) intet om sandsynligheden ved hvert enkelt kast.

  • 0
  • 1

Som du ser, så skelner jeg skapt imellem sandsynligheden af en forsamling og sandsynligheden af et enkeltstående tilfælde.

Det virker lidt søgt.

Vi er vist enige om at der er ca. 500 fædre, der siger "Jeg har mindst én pige" og at de ca. 250, som har 2 piger, alle siger "Jeg har mindst én pige".

Ca. halvdelen af fædrene, der siger "Jeg har mindst én pige", har altså 2 piger.

I min bog betyder det at sandsynligheden for 2 piger givet udsagnet "Jeg har mindst én pige" er lig 1/2.

  • 0
  • 0

Læg mærke til at der i hver af disse to mængder, er præcis lige mange børn af hvert køn, og når du forener de to mængder sammen, er der stadig lige mange af hver, så fordelingen stemmer altså med fødselstallene, selvom der i hver mængde kun er 1/3 sandsynlighed for at høre til en af delmængderne.

Undskyld! ... der skulle selvfølgelig stå:

"Læg mærke til at der i disse to mængder, er præcis lige mange børn af hvert køn, når de forenes, så fordelingen stemmer altså med fødselstallene, selvom der i hver mængde kun er 1/3 sandsynlighed for at høre til en af delmængderne."

Man skal holde tungen lige i munden. 😋

  • 0
  • 0

Så din påstand er:

  1. Hvis en fader sagde "mindst én pige", så er sandsynligheden for at han har 2 piger lig 1/3 og
  2. Hvis vi gentager eksperimentet mange gange, da har ca. halvdelen af de fædre, der sagde "mindst én pige", 2 piger.

Du har ret - den gren af matematikken forstår jeg ikke.

  • 0
  • 0

Du har ret - den gren af matematikken forstår jeg ikke.

Ditto, må jeg nok erkende.

Men det indledende afsnit om terninger her illustrerer problemet meget forståeligt.

Med to terninger ruller man summen 7 1/6 af gangene hvis man ruller mange gange. Men hvis man ruller én gang og får oplyst værdien af den ene terning, er sandsynligheden 2/11 for summen 7 af netop det slag.

Har det nogen relevans for almindelige mennesker? Næppe.

  • 2
  • 0

Hvor svært kan det være? Sandsynligheden for to piger, er sandsynligheden for at den ene er en pige ganget med sandsynligheden for at den anden er en pige.

Det er for begge fædre, Ole og Karl, ½ x 1 = ½. Sandsynligheden er for det ene barn ½, fordi det kan være enten en pige eller en dreng, medens den for det andet er 1, fordi vi fået det at vide på forhånd, og der derfor ikke er nogen usikkerhed. Om det så er den ældste, yngste, højeste, kønneste, eller om det antydes, at der kunne være en pige til, spiller ingen rolle for sandsynligheden for den anden.

  • 0
  • 5

Med to terninger ruller man summen 7 1/6 af gangene hvis man ruller mange gange. Men hvis man ruller én gang og får oplyst værdien af den ene terning, er sandsynligheden 2/11 for summen 7 af netop det slag.

Uddybning.

Lad os sige at det er slaget 5 vi får at vide om den ene terning.

Så kommer Jens løbende og siger at i halvdelen af de slag hvor den anden terning viser den nødvendige 2'er, vil spilleren sige 2 til os.

Så tæller vi alle kombinationer og forkorter brøken og kommer tilbage til den 1/6 sandsynlighed, som vi er trygge ved.

Og så kører debatsporet ellers derudaf.

  • 0
  • 1

Der er forskel på de to udsagn: Ole har mindst een pige. Ole siger at han har mindst en pige.

Vi ved ikke hvilket udsagn Ole ville vælge hvis han havde et barn af hvert køn. Han kunne ligeså godt have sagt "Jeg har mindst een dreng"

Er det ikke sagen i en nøddeskal?

  • 2
  • 1

Vi er enige om, at alt er tilfældigt, og at der ikke er skæve præferencer eller lignende snavs i opgaven. Men hvis der var, ville de spille en rolle ifald Ole havde et blandet kuld.

Hvis vi vidste, at Ole elskede drenge så højt, at han ikke kunne drømme om at sige pige, hvis han overhovedet kunne slippe for det, ville vi vide, at der var 100% sands. for at han havde 2 piger (også selvom der fødes dobbelt så mange kuld med blandet, som med to piger).

Hvis vi nu vidste, at Ole på trods af sin præference for drenge, havde en meget lille tilbøjelighed for alligevel at sige pige ved blandet (muligheden var der, men den var forsvindende lille), og der var penge på spil, hvis vi kunne gætte, om han havde to piger eller blandet, så ville vi være mere end almindelig dumme, hvis vi ikke gættede på to piger (også selvom der fødes dobbelt så mange kuld med blandet som med to piger).

Hvis man gradvis lod præferencen for drenge falde, ville sands. for to piger dale fra 1 og nærme sig 1/3 (også selvom der fødes dobelt så mange kuld med blandet som med to piger).

Hvis præferencen for drenge til slut var afløst af en total præference for at sige pige (og det var os bekendt), ville sands. for at han har to piger være 1/3 (fordi der fødes dobbelt så mange kuld med blandet som med to piger).

Nu får vi ikke noget at vide om Oles præferencer, men vi ved noget, der er ligeså godt: Vi ved, at hvis der er informationer, der skyldes andet end tilfældig statistisk sandsynlighed, og som har betydning for løsning af opgaven, så SKAL de fremgå af opgaven.

Vi "ved" altså, at Ole ikke har præferencer for at sige det ene eller det andet, og det synes jeg (for tiden) giver en sands. for to piger på 1/2 (også selvom der fødes dobbelt så mange kuld med blandet, som med to piger). Steen

  • 4
  • 2

Steen, interessant måde at gribe opgaven an på.

Jeg tænker dog ikke at den flytter noget for nogen, som er 100% overbevist om at 1/3 er svaret. For de anerkender slet ikke en forskel på "Karl siger, at han har mindst to piger" og "Karl har mindst to piger".

Det er derfor, at jeg bliver ved at at sige, at det er en gåde mere end en matematisk opgave. Og af samme grund, bliver der aldrig enighed om svaret.

  • 2
  • 0

@Mogens K. En opgave skal løses ud fra opgaveformuleringen, hvis man vil have en ordentlig karakter, og her er denne ikke som den sidste af de to formuleringer, du nævner, men udtrykkelig som den første - både hos Foshee og Ole.

Hvis nogen påstår, at noget andet gælder og er indforstået blandt "rigtige matematikere", mener jeg, at den, der påstår det, har et alvorligt problem.

Det er blevet anført, at opgaven ikke kan løses, fordi en præference for at sige dreng eller pige ikke er angivet, men det vil være det samme som at sige, at vi kke kan fanstslå sandsynligheden for at slå en sekser, fordi vi ikke ved om terningen er fixed.

Der foreligger en opgave, og den må vi løse udfra opgaveformuleringen og de mest rimelige antagelser, hvori specialtilfælde ikke indgår. Jeg er helt enig med Jens Olsen i dette.

Jeg har dog stadig lidt problemer omkring begreberne "identificering" og "sjældenhed", som også er nævnt og som også knytter an til tirsdagsproblematikken, men det må nok hellere vente til senere :).

Modsigelser og anden belæring er er velkommen - ellers tak for nu :). Steen

  • 4
  • 1
274 som er et godt argument for 1/2 løsningen :) , er skrevet udfra den første opgaveformulering. Hvis man ønsker at forstå det udfra den rettede formulering, skal man læse Karl i stedet for Ole (også i 277).

Jeg behøver ikke sige, hvad jeg mener om, at at man efter mere end 200 indlæg retter i teksten, uden samme sted også at gøre opmærksom på, at det er sket. Det har andre gjort så fint. Steen.

  • 1
  • 3
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten