Tænkeboks: Put et kvadrat ind i en terning

Illustration: Ingeniøren

Opgave 170:

Hvilken sidelængde har det størst mulige kvadrat, som kan rummes i en terning med kantlængden 1?

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 251: Tænkeboks: Svøm fra morderen

Pigen kan redde sig, hvis hun svømmer i en spiral væk fra stenen og hele tiden holder sig deametralt modsat morderen. Det kan hun gøre inden for 250 meter fra stenen, uanset hvor tit han skifter retning.

Når hun er 750 meter fra bredden, kan hun bare svømme direkte mod land. Mens hun svømmer de 750 meter, kan han nå at løbe 3000 meter – men hans rute halvvejs om søen er 3142 meter, så hun får et passende forspring.

Endnu bedre kan hun svømme langs tangenten til cirklen med radius 250 meter – naturligvis bort fra den retning, morderen vælger at løbe rundt om søen. Så får hun cirka 450 meters forspring på land.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Opgaven Det korte svar er - efter flere omregninger- at sidelængden på kvadratet bliver 1.060660172 . Arealet af kvadrater bliver 9/8.

  • 0
  • 0

Jeg kom til et areal på 1,25, men det blev et parallelogram. Diagonalerne i "kvadratet" er ikke ens. Den rigtige løsning kan formodentlig kun røre et af hjørnerne i terningen.

  • 0
  • 2

Så fik vi klaret ugens opgave. Men jeg har lidt beskæftigelse til resten af søndagen:

I en vilkårlig trekant ABC tegnes en ret linje fra vinkelspids A til det tredjedelspunkt på siden BC, der ligger nærmest ved B. Tilsvarende linjer trækkes fra vinkelspidserne B og C. De 3 linjer afgrænser en ny trekant. Hvor stort er dens areal i forhold tl den oprindelige trekants areal?

Man kan eventuelt begynde med at betragte en ligesidet trekant. Skal vi diktere tavshed indtil mandag middag, så alle kan nå at være med?

  • 0
  • 0

Jeg starter med en forhåndsantagelse: At den optimale løsning ender med, at hele kvadratets ene side berører en af terningens flader langs en linie, der er parallel med en diagonal gennem denne terninge-flade. Den modstående side af kvadratet vil så røre terningens modstående flade langs en linie, der er parallelforskudt præcis lige så meget fra denne terninge-flades tilsvarende diagonal.

Jeg kan ikke føre bevis for, at denne antagelse er korrekt. Der findes muligvis en mere “rumlig” løsning, hvor der er plads til et større kvadrat. Anyway, here goes:

Jeg starter med nogle benævnelser:

  • d: Afstanden fra berøringslinien til terninge-fladens diagonal.
  • L1: Kvadratets sidelængde langs berøringslinien.
  • L2: Kvadratets sidelængde på den anden led. Skal naturligvis ende med at være lig L1.

Der må nu gælde følgende for det største kvadrat, der kan blive plads til med denne placering:

  • L1 = 2^0.5 - 2 * d
  • L2^2 = 1 + (2 * d)^2
  • L1 = L2

Første ligning kan omskrives til:

  • L1^2 = 2 + (2 * d)^2 - 2 * 2^0.5 * 2 * d

Alle tre ligninger kan nu sammenskrives til:

  • 2 + (2 * d)^2 - 2 * 2^0.5 * 2*d = 1 + (2 * d)^2

…og yderligere forkortes til:

  • 1 - 2 * 2^0.5 * 2 * d = 0
  • 2 * 2^0.5 * 2 * d = 1
  • d = 1 / (4 * 2^0.5)

Nu kan L1 og L2 beregnes. De skal gerne være ens:

  • L1 = 2^0.5 - 2 * d = 2^0.5 - 2/(4 * 2^0.5) = (3/4) * 2^0.5 = (9/8)^0.5

  • L2^2 = 1 + (2 * d)^2 = 1 + (2 * (1 / (4 * 2^0.5))^2

  • L2^2 = 1 + ((1 /4) * 2^0.5)^2 = 1 + 1/8 = 9/8

  • L2 = (9/8)^2

Pyha, hvor heldigt. L1 og L2 er ens.

Så enig med Hans Bendix Pedersen.

  • 1
  • 0

Min fornemmelse siger mig, at det må være et kvadrat, der står oprejst på sned (stående på et hjørne) og vender diagonalt i kuben.

Jeg er så (desværre) ikke i stand til at regne det ud, men ville ønske jeg var god nok til matematik :/

EDIT: Det står så ikke 90grader vinkelret på kuben, men 'svæver' i en 45graders vinkel diagonalt i kuben. Og nu kan jeg *slet ikke *regne det ud..

  • 0
  • 0

Det er meget smart tænkt, men "kvadratet" har ikke rette vinkler! Vi kan se på den nederste trekantede halvdel og beregne cosinus til vinklen forneden

[latex] \qquad \cos v = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2\ a\ b} =\frac{(\frac{\sqrt{5}}{2})^2+(\frac{\sqrt{5}}{2})^2 - (\sqrt{2})^2}{2\ \frac{\sqrt{5}}{2}\ \frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{1}{5} [/latex]

For en ret vinkel er cosinus lig med 0, men denne vinkel er kun 78 grader, hvilket man også godt kan fornemme af din figur.

  • 1
  • 0

David Christensen, det nemmeste bevis på, at din løsning er gal:

Kig på den diagonal af kvadratet, som løber mellem de to spidser, der rammer midten af to af terningens kanter.

Hvad er længden af denne diagonal?

Det er umiddelbart indlysende, at længden er den samme som en diagonal over en af terningens flader.

Det vil sige, at du aldrig vil kunne placere et kvadrat med en sidelængde større end 1 på denne måde.

P.S. Et parallelogram, hvor alle sider er lige lange, kaldes også en rombe.

  • 1
  • 0

Jeg er helt med nu. Og,tak. Jeg er som sagt ikke så god til matematik, fordi min 'fantasi' har det med at løbe af med mig, som i dette tilfælde.

Jeg er vist kommet til at løse opgaven: 'Hvad er det største plan, man kan have i en kube?', i stedet for.

Jeg har iøvrigt en lille 'ekstra-opgave' - når der nu er samlet så store matematik-kapaciteter her i tråden - som er et spørgsmål ang. geometri til en lysestage jeg er ved at designe, så jeg kan 'bygge' den, når jeg er til keramik (eller 'formning', som en af mine venner kalder det) næste gang.

Men jeg skal lige have lidt tid til at formulere spørgsmålet..

  • 0
  • 0

I en vilkårlig trekant ABC tegnes en ret linje fra vinkelspids A til det tredjedelspunkt på siden BC, der ligger nærmest ved B. Tilsvarende linjer trækkes fra vinkelspidserne B og C. De 3 linjer afgrænser en ny trekant. Hvor stort er dens areal i forhold tl den oprindelige trekants areal?

Det nærmeste jeg kom er, at den ønskede trekant har samme areal som de små trekanter linierne skærer ud i hjørnerne. Jeg kan ikke umiddelbart se nogen vej videre.

Et gæt er 1/3, men det kan godt være mindre endnu.

Hver linie deler trekanten i to stykker der er 1/3 og 2/3 af originalens areal.

  • 0
  • 0

Efter endnu flere udregninger, har jeg fået det til at blive mere eksakt: sqrt(2) * 3/4 (måske med lidt inspirationn fra en bog af M Trott fra 2004)

:-)

  • 0
  • 0

Til #20: Se #2

(eller #5, hvor samme resultat gemmer sig i en af mellemregningerne).

  • 0
  • 0

I ugens opgave vælger vi et af terningens øverste hjørner og går en ukendt afstand a ud ad hver af de to vandrette kanter. Forbindelseslinjen mellem de to punkter er øverste side i det søgte kvadrat og har længden a gange 2^(1/2). Den modstående kvadratside bestemmes analogt diamentralt modsat. De skrå kvadratsider har en projektion på terningens bund, der er hypotenise i en retvinklet trekant med kateter (1-a) og derfor har længden (1-a) gange 2^(1/2). Denne hypotenuse er selv katete i en lodretstående trekant, hvor den lodrette katete er lig med 1 og hvor hypotenusen er den skrå kvadratside. Kvadratet på denne kvadratside skal være lig med kvadratet på den vandrette kvadratside:

[latex]\qquad [(1-a)\sqrt{2}]^2 + 1^2 = (a \sqrt{2})^2 [/latex] [latex] \qquad 2 - 4 a + 2 a^2 + 1 = 2 a^2 [/latex] [latex] \qquad a = \frac{3}{4} \qquad \Rightarrow \qquad b = \frac{3 \sqrt{2}}{4} [/latex]

  • 1
  • 0

Jeg har noget, der måske er en vej til løsningen, og måske er en blindgyde:

Hver af de 3 bortskårne trekanter har et areal, der er 1/3 af den fulde trekants areal. Så tilsammen udgør de samme areal som den fulde trekant.

Men de tre bortskårne arealer overlapper også hinanden to og to ude ved trekantens hjørner. For at arealerne skal gå op, må summen af disse tre overlappende områders arealer være lig arealet af den indvendige trekant.

Så kan vi sige noget om størrelsen af disse overlappende arealer?

  • 0
  • 0

Når man vrider en vilkårlig trekant til en ligesidet trekant, kan trekantens delarealer ændre sig, men forholdet mellem delarealerne forbliver konstant. Så vi betragter en ligesidet trekant ABC med grundlinje AC. Tredjedelslinjerne fra de 3 vinkelspidser danner en indre trekant hvis areal vi skal finde i forhold til den oprindelige trekants areal. Hertil tegnes yderligere en ret linje mellem hver vinkelspids og det ledige hjørne af den indre trekant. Nu dannes der langs omkredsen 2 forskellige trekanter, hvoraf vi tildeler den mindste arealet 1 som en slags reference og den anden dermed arealet 2. Den indre trekant giver vi arealet a og de 3 trekanter uden om den indre får hver arealet b. I første ligning nedenfor er nu skrevet, at arealet på den ene side af tredelingslinjen fra B er dobbelt så stort som arealet på den anden side. Hvis vi lader tredelingslinjerne fra A og C skære hinanden i et punkt D, kan vi opskrive det samme for trekanten ADC. [latex] \qquad a + 2 b + 5 = 2 (b + 4) \qquad a + b + 2 = 2 (b + 1) [/latex] Heraf fås a = b = 3 og trekantarealet 21. Opgavens løsning bliver hermed 3/21 = 1/7.

  • 0
  • 0

Som tidligere skrevet, så vil jeg gerne benytte lejligheden, når der nu er samlet så store matematiske kapaciteter her i tråden til at stille et spørgsmål.

Jeg er på hobbybasis med i et keramikværksted, hvor jeg former og 'fedter' med ler. Jeg har en idé til en modul-baseret lysestage, som er opbygget omkring et layout omkring en (et?) sekskant.

Men sagen er, at hveranden side er i forskellig længde - altså skiftevis to længder (tre af hver). Hvad hedder sådan en figur?

Jeg leder efter en formel, hvor jeg kan regne ud, hvis sekskanten har Ø i diameter og 'sidetype' A har A i længde - hvor lang vil 'sidetype' B så være?

Jeg håber det giver mening? :)

Mvh.

  • 0
  • 0

Jeg tillader mig at antage, at Ø er diameteren af den omskrevne cirkel. Altså den cirkel, som rører sekskantens 6 spidser.

Gør følgende:

  • Træk en linie fra midten af A ind til centrum. Den kalder vi AC.
  • Træk en linie fra midten af B ind til centrum. Den kalder vi BC.
  • Træk en linie fra hjørnet, hvor A møder B, ind til centrum. Den kalder vi HC.

Der gælder nu følgende:

  • Vinklen mellem AC og BC vil være 60 grader.
  • Vinklen mellem AC og HC vil være arcsin(A/Ø)
  • Vinklen mellem HC og BC vil være arcsin(B/Ø)
  • …og summen af de to sidstnævnte vinkler vil også være 60 grader, da de jo udfylder hele rummet mellem AC og BC.

Ovenstående kan sammenskrives til:

B = Ø * sin(60 grader - arcsin(A/Ø))

Hvis du laver beregningen på en lommeregner, er den nok allerede sat til at regne vinkler i grader.

Hvis du derimod laver den i et regneark eller selv programmerer, vil vinkler nok blive regnet i radianer, og så skal du i formlen ovenfor udskifte 60 grader med pi/3.

  • 0
  • 0

Jeg ved ikke om du kan følge min beregning med sinusrelationer, men ellers skal du bare løse den andengradsligning, jeg afslutter med. Jeg indfører centervinklerne v_A og v_B, der dækker halvdelen af siderne henholdsvis A og B. Deres sinusværdier er med Ø som den omskrevne cirkels diameter givet ved [latex] \qquad \sin v_A = \frac{A}{Ø} \qquad\sin v_B = \frac{B}{Ø} [/latex] Der gælder en formel for sinus til vinklernes sum, der er pi/3 = 60 grader [latex]\qquad \sin (v_A + v_B ) = \frac{A}{Ø} \sqrt{1- (\frac{B}{Ø})^2} + \frac{B}{Ø} \sqrt{1- (\frac{A}{Ø})^2} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} [/latex] Vi trækker venstresidens andet led over på højresiden og kvadrerer hele resultatet [latex]\qquad \left( \frac{A}{Ø} \right)^2 \left[ 1 - \left( \frac{B}{Ø}\right)^2 \right] = \left( \frac{B}{Ø} \right)^2 \left[ 1 - \left( \frac{A}{Ø}\right)^2 \right] - \sqrt{3} \frac{B}{Ø} \sqrt{1- (\frac{A}{Ø})^2} +\frac{3}{4} [/latex]

Det var en ordentlig omgang, men meget af det går ud med hinanden, så vi ender med den simple andengradsligning i forholdet B/Ø

[latex] \qquad\left( \frac{B}{Ø} \right)^2 - \sqrt{3} \frac{B}{Ø} \sqrt{1- (\frac{A}{Ø})^2} - \left( \frac{A}{Ø} \right)^2+\frac{3}{4} = 0[/latex]

Hvis A og B som eksempel er ens, er det en normal sekskant med A/Ø = 1/2 og B/Ø = 1/2, hvilket ses at opfylde ligningen.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten