Tænkeboks: Placér 111 gæster

Illustration: Ingeniøren

Opgave 343:

111 personer skal til fest, og de har hver deres plads ved det store bord.

Men den første, som skal sætte sig, vælger alligevel en helt tilfældig plads. De andre sætter sig én efter én, og de er så pæne mennesker, at de tager deres egen plads, hvis den er ledig, og ellers vælger de en tilfældig anden ledig plads.

Hvad er sandsynligheden for, at den sidste person sætter sig på sin egen plads?

– – –
Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 331: Tænkeboks: Forlæng en snor

Punktet på den forlængede snor om Jorden kan løftes til knap 564 meters højde.

I udregningen benytter vi R = Jordens radius (40.000 km delt med 2pi), l = 10 m ekstra snor, h = højden vi løfter et punkt af snoren, og v = den vinkel, hvor snoren er løftet fri af Jorden.

Hvis man laver en lille tegning, ses at cos(v/2) = R/(R+h), og tan(v/2) = (Rv+l)/2R. Disse ligninger kan ikke løses analytisk, men fordi l og h er relativt små, kan vi tilnærme med Taylorrækkerne tan x ≈ x+x³/3, cos x ≈ 1-x²/2 og 1/(1+x) ≈ 1-x. På den måde bliver ligningerne løsbare, og resultat bliver 563,6 m. ^

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Stoleleg - et bud Den sidste gæst kommer til at sidde på enten den sidste stol eller den første stol 50% til hver. Uanset antal gæster.

  • 0
  • 0

Det kan koges ned til, om én af dem der vælger en tilfældig plads tager den sidste persons plads. Og sandsynligheden for dette stiger, jo senere i forløbet deres stol er optaget. Men der er mange mulige forløb, så der må være en indlysende genvej

  • 0
  • 0

Eller: Hvis bare én af de gæster (inkl. nr. 1 men undtaget den sidste), som sætter sig tilfældigt, vælger nr. 1s plads, så og kun så får sidstemanden sin egen plads.

Så Erling har nok ret, 50% -- for det hele afhænger af om 1ste eller sidste stol bliver først valgt af en tilfældig gæst, og der er ingen preference for hvilken stol det bliver.

Problem solved ;-)

  • 0
  • 0

Gælder jeres udsagn uanset hvor mange gæster, der er? Hvis ja, så tænk på kun 2 gæster, hvor sandsynligheden er 0. Giver det anledning til eftertanke?

  • 0
  • 0

Når jeg kan beregne sandsynligheden 0 ved 2 gæster, 1/4 ved 3 gæster, etc, hvornår begynder sandsynlighedne så at blive uafhængigt af antal gæster?

  • 0
  • 0

3 gæster:

1/3: #1 vælger plads 1 - #3 får sin plads

1/6: #1 vælger plads 2, #2 vælger plads 1 - #3 får sin plads

1/6: #1 vælger plads 2, #2 vælger plads 3 - #3 får ikke sin plads

1/3: #1 vælger plads 3, #3 får ikke sin plads

Altså 50% sandsynlighed. 2 gæster er trivielt.

  • 0
  • 0

For at anskueliggøre opgaven brugte jeg et antal spillekort (rød/sort f.eks es til 10) og lagde dem op efter spillereglerne i opgaven. Uanset antal og kombination af hvem der tager hvis stol når jeg frem til 50/50

  • 0
  • 0

https://www.nhh.no/globalassets/department... management-science/research/lillestol/tg-puslerier.pdf

Jeg indrømmer blankt, at jeg læste opgaveteksten forkert og at svaret 1/2 står for troende. Opgaven findes i øvrigt som nr 36 i det ovenfor linkede norske opgavehæfte med 44 sjove, men ikke helt lette, opgaver. Så er den opgave på plads.

Men hvorfor stoppe her og vente hele 2 uger på næste opgave? Vi kunne jo sige, at der er n gæster og at første gæst vælger en forkert plads. Det var den opgave, jeg troede, vi var ude i. Hvad er nu sandsynligheden for at sidste gæst får sin rette olads, som funktion af n?

  • 0
  • 0

Ja i #2 skriver jeg at der er 50% for enten første eller sidste stol for sidste gæst. Børge, vil du sende linket til det norske opgave hæfte igen, pft.

  • 0
  • 0

Det var godt gættet. Ellerhar du regnet den ud?

Første gæst sætter sig på sidste gæsts plads med sandsynligheden 1/(n-1) og så er sandsynligheden 0 for at sidste gæst får sin plads. Den vægtede sansynlighed bliver hermed [latex] \qquad p = \frac{1}{n-1} \cdot 0 + \frac{n-2}{n-1} \cdot \frac{1}{2} =\frac{n/2 - 1}{n-1} [/latex]

  • 0
  • 0

Man skal se på sandsynligheden for, at de første 110 gæster IKKE sætter sig på den 111.s plads. For første gæst er den 110/111, for gæst nr. 2 er den derpå 109/110 osv. og for gæst nr. 110 er den 1/2. Så sandsynligheden for, at nr. 111s stol fortsat er ledig, når han/hun ankommer, må være 110/111 x 109/110 x 108/109 ... x 2/3 x 1/2 = 1/111

  • 2
  • 0

Der er 50% chance for at sidstemanden får sin plads, uanset festens størrelse. Personerne kalder vi Knud N, hvor N er antallet af gæster der ikke har sat sig endnu. På bordkortene står der således Knud1 til Knud111, Knud111 sætter sig først, og vi skal finde ud af om Knud1's plads er ledig til sidst.

Når Knud111 sætter sig, er der 111 muligheder. Alle valg er lige sandsynlige. Sætter han sig på sin egen plads, er alle andre pladser til rådighed for resten, inklussive Knud1. Sætter han sig på Knud1's plads så er slaget tabt. Sætter han sig på eksempelvis Knud68's plads, så vil Knud110 til Knud69 kunne sætte sig på egen plads.

Knud68 skal herefter sætte sig på enten Knud111's plads, eller en af de andre. Hans beslutning har således samme effekt på resultatet som Knud111's beslutning - blot med 68 tilbageværende gæster.

Lad Pn være sandsynligheden for at Knud1's plads er ledig til sidst, når n pladser er tilbage, og Knud-n sætter sig tilfældigt.

Denne sandsynlighed må være gennemsnittet af sandsynligheden ved alle de udfald der kommer af Knud-n's beslutning. Sætter han sig på plads j, er sandsynligheden herfra Pj. På plads n, er sandsynligheden 1, og på plads 1, er sandsynligheden 0. Qva overnstående, er [latex]Pn = \frac{1}{n} (1 + 0 + P_{n-1} + P_{n-2}+ ... P_2) =\frac{1}{n}(1+\sum_{i=2}^{n-1} Pi)[/latex] For de små n'er: [latex]P_2=\frac{1}{2}(1) = \frac{1}{2}[/latex] [latex]P_3=\frac{1}{3}(1+\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}[/latex] [latex]P_4=\frac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=\frac{1}{2}[/latex] Det lader til at 50% er svaret. Tester vi det i sumformlen, får vi: [latex]P_n =\frac{1}{n}(1+\sum_{i=2}^{n-1} \frac{1}{2})= \frac{1}{n}(1+(n-2)\frac{1}{2})=\frac{1}{n}(1+\frac{n}{2}-1)= \frac{1}{2} [/latex]

Og det ses hermed at sandsynligheden for at Knud1 kan sætte sig på sin egen plads er 50%, uanset antallet af navnebrødre der sætter sig før ham.

  • 0
  • 0

Jeg brugte en lidt anden tilgang. Hvis den førstes plads ikke er taget når der er k pladser tilbage er sandsynligheden 1/k² for at den næste person tager den (1/k for at hans egen plads er taget og 1/k for at han vælger den førstes plads). Beregningen af at den første persons plads er ledig til sidst kan direkte beregnes, som produktet af sandynligheden for at hver person ikke tager hans plads: [latex]\frac{n-1}{n} \prod_{i=n-1}^{2} (1-\frac{1}{i^2}) =[/latex] [latex] \frac{n-1}{n} \prod_{i=2}^{n-1} (\frac{(i^2-1)}{i^2})=[/latex] [latex]\frac{n-1}{n} \prod_{i=2}^{n-1} (\frac{(i-1)(i+1)}{i^2}) =[/latex] [latex]\frac{n-1}{n} \prod_{i=2}^{n-1} (\frac{i-1}{i}) \prod_{i=2}^{n-1} (\frac{i+1}{i}) =[/latex] [latex]\frac{n-1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{n}{2} = \frac{1}{2} [/latex] Det forespurgte er det modsatte (som jo så er det samme...)

  • 0
  • 0

Hver gang 1 person har et valg er der lige stor sandsynlighed for at sætte sig på nr 111's plads, eller på nr 1´s plads.

Sker dette "lukker spillet". f.eks: - Tager nr 1 sin egen plads vil den sidste plads være ledig, tager han nr 111´s er den optaget. Begge dele sker med 1/111 chance.

Sig nr 1 tager nr 7´s plads. Når vi kommer til nr 7 er den så optaget, og der er 104 pladser tilbage. Der er så 1/104 chance for at han tager nr 111, og 1/104 for at han tager nr 1.

tager nr 7 en af de andre, får denne person så et tilsvarende valg når det bliver hans tur - blot med færre sæder.

Så uanset hvornår der bliver et valg bliver "puljeandelen" for success og fiasko den samme. 50-50

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten