Tænkeboks: Nej, John kunne ikke måle gavlens højde med kæden

Illustration: Ingeniøren

I sidste uge opgave fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved AAU skulle I svare på, om John kunne måle højden på gavlen af et hus, hvorfra der hænger en kæde i en bue og hvor han kender højden til kædens laveste punkt, som ligger mellem de to ender, samt højden til den ende, der ikke er fastgjort til gavlen.

Hvis det ikke er muligt, hvilke yderlige informationer mangler man så?

Løsning: Hvis en kæde, der opfylder kædelinjen har kendt længde, kendt højde i den ene ende, og kendt højde i laveste punkt, som antages at ligge mellem de to ender, så har man ikke nok information til at bestemme højden.

Eksempelvis kan et 80 meter lang kæde både have begge ender i højden 50 og laveste/midterste punkt i højden 20 meter, hvis der er ca. 45,4 meter i horisontal afstand mellem de to ender, og have den ene ende i højden 50 meter, laveste punkt i højden 20 meter, og den anden ende i højden ca. 55,06 meter, hvis der er ca. 37,4 meter i horisontal afstand mellem de to ender.

Med andre ord kan vi vælge forskellige værdier af parameteren a i kædelinjen givet ved y=a cosh((x-b)/a)+c, som opfylder samme betingelser for højden af laveste punkt og det ene endepunkt (her: hhv. a=35/3 og 25/3).

Kender man derimod den horisontale afstand fra laveste punkt til ét af endepunkterne, så er det nemt (i hvert fald numerisk) at bestemme konstanterne.

Der er faktisk også en entydig løsning, hvis man blot kender den horisontale afstand mellem enderne, men det er noget sværere at løse numerisk.

– – –

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge. /elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Nej! Løsningen er forkert! Som både jeg og Børge Howald Petersen har konstateret, vil der være to løsninger for a, og dermed for alle parametre, i den situation, hvor højden i det ene endepunkt, højden i lavpunktet samt den horisontale afstand mellem lavpunktet og det andet endepunkt kendes.

Med udtrykket 'også en entydig løsning' fastslår Morten Glud Rasmussen, at kun entydige løsninger aksepteres. Det må derfor gælde, at der kræves yderligere information i den beskrevne situation. Det kunne f.eks. være forholdet mellem de to horisontale afstande.

Jeg skal derfor opfordre Bagsiden til at bringe en rettelse! Måske ville det være en god idé at lade der gå to uger fra opgaverne stilles, til den officielle løsning bringes. Ingeniørens deadlines gør det nok for svært at udnytte den korrekturlæsning, som løserne yder ganske gratis. Vi er måske ikke nok til at være 'alvidende', men 'bedrevidende' er vi i hvert fald!

  • 2
  • 0

Lad os gerne se den numeriske løsning - ellers giver det dårligt mening at stille opgaven. Og iøvrigt burde "t" defineres i sammenhængen givet for Cosh. Kunne man starte med y`=0 og indsætte randbetingelserne? Ser frem til den numeriske løsning - på forhånd tak.

  • 0
  • 0

Hej Claus Jeg er ikke helt sikker på jeg forstår dit indlæg, men jeg skal i det følgende prøve at besvare det. Først vil jeg dog lige kommentere min lidt skarpe udmelding fra i fredags. Det er jo trods alt kun 1/3 af den trykte løsning, der er forkert! Jeg var nok påvirket af, at det er den anden fejlbehæftede løsning i træk, der udmeldes. Tilsyneladende helt upåvirket af, at fejlene er påvist i kommentarer på taenkeboksen site:ing.dk Jeg glemte i den forbindelse at sige tak for opgaven. Den er god, fordi det drejer sig om overblik over matematikken, snarere end kendskab til meget specielle emner eller tålmodighed til at nørkle med store antal kombinationer og permutationer. Men nu til dine spørgsmål.

’t’ er blot parameteren i cosh funktionen. Altså her: (x-b)/a.

Med hensyn til en konkretisering af en numerisk løsning vil jeg give et eksempel på bestemmelse af to mulige løsninger i et konkret eksempel. Jeg starter med at nulstille både b og c, som jo blot parallelforskyder situationen. Jeg kalder det ene fixpunkt for kæden for 1, lavpunktet for 0 og det andet fixpunkt for 2. Jeg navngiver nu højdeforskellene mellem lavpunktet og de to fixpunkter, H1 og H2. De vertikale afstande mellem 0 og de to fixpunkter, X1 og X2 Kædelængderne mellem fixpunkterne og 0, L1 og L2. Jeg konstaterer at H1 og H2, samt L1 og L2 er bestemt af simple monotont stigende funktioner af X1 og X2 respektive, når a er konstant. H =* acosh(X/a) og L = integralet fra 0 til X af KVROD(dX^2 + dH^2).

Disse funktioner implementerer jeg i et lille regneark, der udregner værdierne for H og L for givne værdier af a, X1 og X2

Vi får nu generelt oplyst L1+L2 samt H1. Der præsenteres tre variabler, som ønskes bestemt: H2, X2 og X1+X2. Ingen af dem kan umiddelbart bestemmes fordi H1 ikke er tilstrækkelig til at bestemme X1 og dermed L1, fordi a ikke kendes.

Hvis X2 yderligere oplyses kan a findes, men det kræver en lidt besværlig iteration, hvor der for en række værdier for a findes tilhørende værdier af X1 ved brug af kendskabet til H1. Dermed kan L1 og L2 beregnes for de fundne værdier af a, og en graf kan tegnes af summen af L1 og L2. Denne graf viser sig at være kædeformet, sådan at den har et minimum.

Den oplyste værdi for L1 + L2 indtegnes som en vandret linje, der i almindelighed vil have to skæringspunkter med grafen, som angiver mulige værdier af a, og derved fastlægger de to mulige løsninger. (ved en enkelt speciel kombination af forudsætningerne vil linjen tangere og der vil være netop én løsning). *

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten