Tænkeboks: Når rutsjebanevognen griber fat

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer igen fra Institut for Mekanik og Elektronik ved SDU i Sønderborg og lyder:

Opgave 46: En rutsjebanevogn bevæger sig på en cirkulær bane med centrum C i en vertikal plan. Vognen starter i hvile på toppen og ruller så fremad.

Illustration: Ingeniøren

Spørgsmålet lyder nu; Ved hvilken vinkel u (se figuren) er det nødvendigt at vognen ‘griber fat’ om banen for at følge cirkelbevægelsen? (Der ses bort fra gnidning og vognens fysiske dimensioner).
– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/ fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger. /elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Vognen letter når den komponent af gravitationen der peger mod centrum, ikke er tilstrækkelig til at give den nødvendige centripetalacceleration.

Når vinken er u , har vognen mistet potentiel energi på (1-cosu)rmg, hvor r er cirklens radius, og m er vognens masse. Denne energi er omdannet til kinetisk energi, så vi har:

(1-cosu)rmg = ½mv²

eller

2(1-cosu)rg = v²

Centripetalaccelerationen er v²/r, og den skal leveres af den komponent af gravitationen der peger mod centrum, som har størrelsen gcosu. Vi får altså:

v²/r = gcosu

Vi indsætter den ovenfor fundne værdi for v² og får:

2(1-cosu)g = gcosu

eller:

cosu = 2/3

eller:

u=48,2°

  • 7
  • 0

cosu = 2/3

Det er den simpleste løsning, men fra en tilsvarende opgave husker jeg at betingelsen skulle være dVx/dt = 0. Det gav noget mere regneri, men endte med samme resultat.

Man kan sige, at fra dette punkt ville vognen følge en kasteparabel, hvis den ikke blev holdt fast til skinnerne.

  • 0
  • 0

Jeg ved ikke hvad din V_g er, men energibetragtningen V^2=2gh= 2g(1-cosu) er korrekt. Den gælder uanset om vognen følger skinnerne, hvor det så bliver V_t, eller om den slipper skinnerne, og så skal man regne med det virkelige h.

Dit udtryk ser meget kompliceret ud.

  • 1
  • 0

Jeg er enig i løsning nr. 1. Jeg prøvede selv med nogle differentialigninger byggende på at dw/dt = g/R*sin(u). (hvor w skulle være et omega). Det kunne jeg ikke få til at virke, men en god gammeldavs excelmodel gav u=48,1 gr. Og det er jo ikke langt fra målet!

  • 0
  • 0

Hej Svend Tak for udredningen. Det er snedigt set at dVx/dT bliver nul på det tidspunkt, hvor skinnerne ikke længere kan påvirke den horisontale hastighed af vognen uden særlige kroge.

Men jeg synes nu det er en noget besværlig måde at udlede udtrykket: gcos(u)= V^2/r. Det giver jo mere eller mindre sig selv, når man sætter centripetalfraft lig med centrifugalkraft. (Du har i øvrigt en fejl i differentiationen. Andet led må være -Vsin(u)* du/dt)

Og du sparer jo ikke noget i forhold til at skulle bruge energibetragtningen til at udlede:

V^2= 2gr*(1-cos(u))

(Her har du i øvrigt glemt 2 tallet ;-).

  • 0
  • 0

Hej gutter. Den opgave var jo ikke så vanskelig. Men har I tænkt over, hvor lang tid vognen egentlig er om at tilbagelægge sin tur inden den ryger af sporet? Tiden skal naturligvis udtrykkes ved hjælp af radius r og tyngdeacceleration g.

  • 0
  • 0

Hej Børge Hov, den går ikke!

Tiden til 'slippunktet' kan ikke bestemmes uden at definere 'startskubbet' nøjere. Og den går ikke at finde en grænseværdi, der modsvarer et uendeligt lille startskub. Så bliver tiden nemlig uendelig..

Det nemmeste ville være at specificere en lille startværdi for u.

Så kommer vi ud i en andengrads trigonometrisk differentialligning, som jeg ikke umiddelbart kan løse. Men det er der sikkert andre der kan.

  • 3
  • 0

Der er nok en sommerfugl i Brasilien der basker med vingerne, og så kører det.

Jeg måtte tilbage til https://ing.dk/artikel/taenkeboks-stangen-... for at se at betingelsen dVx/dt = 0 er det rigtige kriterie. Centrifugalkraften giver for rutsjebanen det rigtige svar, men af forkerte grunde. Hvis bare den mindste del af tyngdekraftens arbejde bliver til rotationsenergi bliver svaret forkert.

Tænk vognen som ubalance på et stort svinghjul. Vognen sidder på et stykke vandret skinne der hele tiden holdes vandret. Vognen begynder at trille ud når dVx/dt for vognen bliver 0 eller negativ. Og det uanset den hastighed periferien har opnået. Det sker for cosU = 2/3. Man skal passe på når rotation indgår.

  • 0
  • 0

Umiddelbart kan jeg kan ikke se mit svar, så jeg skriver det lige. ;) E=mgh=0.5mv^2=mgr(1-cos u) F_n=0: F_g_radial=F_centrifugal -> mgsin(u)=mv^2/r=2mg(1-cos u) -> sin u=2(1- cos u) u=0 eller 2atn(0.5)=53,1 gr.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten