Tænkeboks: Munken går op og ned ad bjerget
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Munken går op og ned ad bjerget

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave er en klassiker, jeg mødte første gang ca. 1965, og som nu er viderebragt af professor Lars Døvling Andersen, Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet:

Opgave 8: En munk går mandag formiddag ad en smal sti op på et bjerg for at meditere. Turen tager præcis to timer, fra klokken 9 til kl. 11.

Tirsdag formiddag går han samme vej ned igen, atter på præcis to timer mellem klokken 9 og 11.

Vis, at der er ét sted på stien, som han passerer på præcis samme tidspunkt de to dage.

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/ fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/ Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Munkeproblemet kan vel bedst løses ved at lade en halv munk starte på turen i hver sin ende af stien den ene nedadgående og den anden opadgående, hvis der er tale om samme sti må de uværgerligt mødes et sted på stien og blive en hel munk på et tidspunkt mellem klokken 9 og 11.
Afhængigt af hastighed ville det vel kunne blive hvorsomhelst på stien de mødes. Det kan sikkert også løses matematisk eller med en tegning.

  • 1
  • 1

Opgaven er analog til at skulle vise at to munke, der går i hver sin retning op og ned ad bjerget fra 9 til 11, ender med at være på samme sted på ruten på et eller andet tidspunkt.
Og det er jo indlysende at det vil være på det sted de mødes, som Hans påpegede.
Og de behøver ikke at starte samtidigt eller være lige længe om det. Bare den ene munk starter sin tur mens den anden er på vej.

  • 4
  • 0

Et gæt

Da vi ikke ved noget om Hastigheden munken går op eller ned med, så antager jeg han "ulogisk" går med samme fart op og ned. ad samme rute.
Et gæt herfra er at man kan vise hans rute ved to linier.. En op og en ned som krydser hinanden.
Det tager 2 timer at gå op
Det tager 2 timer at gå ned

Da det er samme rute op og ned så må det jo betyde han er 50% igennem ruten, dvs. han passere samme punkt hver dag efter 1 time. Hvis man tænker på ruten som rette linier op / ned \ og man /+\ = X så ligner det et X.

X illustere meget fint tid og distance og to punkter som krydser hinanden. håber mit bud giver bare lidt mening ;-) Tja det var mit gæt

Link til billede af et X
https://imgur.com/a/FHWur6Z

  • 1
  • 0

Og det er jo indlysende at det vil være på det sted de mødes, som Hans påpegede.
Og de behøver ikke at starte samtidigt eller være lige længe om det. Bare den ene munk starter sin tur mens den anden er på vej

- jeg må have 'overset noget', for 'opgaven' forekommer mig helt triviel!? ;)

Hvis vi antager samme, konstante fart på op- hhv. nedtur (og dét må vi vel gøre, da intet andet er oplyst(?)), synes det indlysende/banale/trivielle svar at være, at munken kl. 10 om tirsdagen passerer det samme punkt (midtvejs mellem 'start' og 'mål'), som han mandag kl. 10 passerede (i modsat retning)...og så er det iøvrigt ligegyldigt, om bevægelsens foretages langs en 'smal bjergsti' eller på en vandret (motor)vej!

Where's the catch??

  • 1
  • 0

Hvis vi antager samme, konstante fart på op- hhv. nedtur (og dét må vi vel gøre, da intet andet er oplyst(?)), synes det indlysende/banale/trivielle

Det behøver vi ikke at gøre overhovedet. Både på op og nedturen kan munken dalrer rundt med store tempovariatoner.
Uanset dette synes opgaven triviel.
Det er bare at formaliserer argumentet med, at når en går op og en anden samtidig går ned, ja så mødes man uværgerligt undervejs.
Sådan noget epsilon delta gymnastik antager jeg.

  • 1
  • 0

Det må antages at munken bevæger sig strengt monotont i én retning under både opstigning og nedstigning og at han ikke foretager kvantespring. (Hvis det tillades munken at side på en sten det meste af tiden, så vil betingelsen om "samme tidspunkt" ikke være opfyldt i alle tilfælde.)

Munkens afstand fra udgangspunktet nederst på bjerget under henholdsvis op- og nedstigning i relation til klokkeslet er derfor to kontinuerte og strengt monotone funktioner, henholdsvis voksende og aftagende.

Desuden har vi:
op(09:00) = 0 = ned(11:00)
op(11:00) = 1 = ned(09:00)

Vi bemærker nu om funktionen f(x) = op(x) - ned(x), at den er kontinuert, strengt voksende og antager værdierne f(09:00) = -1 og f(11:00) = 1. Det følger nu af Bolzanos sætning at f har et nulpunkt på intervallet ]09:00, 11:00[ og da funktionen er strengt voksende, så må dette nulpunkt x' være entydigt. Dvs. at op(x') = ned(x'), som ønsket

  • 1
  • 0

Hvis delstrækningen kaldes x og hele vejen op/ned har afstanden 1, indeks 1 betyder første dag indeks 2 anden dag
Tiden t: 9<t<11
Vil følgende vel være gældende:

Første dag op:
x1(t)=0 for t=9
x2(t)=1 for t=11

2.den dag ned:
x2(t)=1 for t=9
x2(t)=0 for t=11

x1(t)-x2(t)=-1 for t=9

For at finde et mødepunkt t: 9<t<11 i perioden på de to timer skal
x1(t)-x2(t)=0 der medfører at x1(t)=x2(t) som er mødepunktet på stien til samme tid og sted.
Det har noget at gøre med en middelværdi og kontinuerte funktioner.

  • 0
  • 0

For at lette overskueligheden kan man forestille sig, at munken og hans alter ego går turen på samme dag - den ene fra dal til top, den anden fra top til dal.

Det synes her indlysende, at de to munke må passere hinanden på et tidspunkt undervejs.

Hvis munken og hans alter ego ikke har forsagt ejerskab af alle materielle goder, kan de nu begge se på deres ur og kontatere, at begge ure viser samme tidspunkt.
Dermed står de på samme tidspunkt på samme sted på stien!

Dette samme gør sig gældende, hvis vi tager udgangspunkt i een munk der går op og ned på to forskellige dage - han har dog ikke selv muligheden for at sammenligne tiden på to ure ;)

Man kan derudover se bort fra de mange detaljer om klokken 9 og 11, meditation, samme tid for op- og nedstignng, osv.

Så vidt jeg kan se er den eneste forudsætning, at munken ikke starter senere på sin nedstigning end det tidspunkt, han ankom dagen før.

Uanset vandre hastighed hhv op og ned, vil der være et tidspunkt, hvor munken vil krydse sit spor fra dagen før. Og hans ur vil på dette tidspunkt og sted vise samme tidspunkt som dagen før.

  • 1
  • 1

Ja, nu er løsningen vist skrevet og genskrevet en del gange.
Så det er mere et spørgsmål om hvem der formulerer den bedst.
Og det er nok bedst opsummeret af Claus her til sidst :-)
Dog med den undtagelse at det også er uafhængig af, hvor godt et ur munken har, eller hvad den viser :-)

  • 0
  • 0

Er det måske en trickopgave uden løsning?

Betingelsen

... passerer på præcis samme tidspunkt de to dage.

kan aldrig være opfyldt, da det samme tidspunkt kan ikke forekomme på to forskellige dage. (Det kan det samme klokkeslet selvfølgelig godt.)

  • 0
  • 3

Det må antages at munken bevæger sig strengt monotont ...


Mortens beskrivelse af forudsætninger og løsning er efter min mening den bedste hidtil.

En enkelt kommentar: Kravet om strengt monoton bevægelse tillader ikke den stakkels munk at holde en pause på den lange tur. Hvis vi gav ham lov til dette, ville stedet hvor munken så at sige møder sig selv stadig være entydigt, men tidspunktet kunne ligge i et interval. Man kan godt argumentere for at dette stadig er i overensstemmelse med opgaveformuleringen.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten