Tænkeboks: En mand hopper ud på en isflage...

Hvis en mand på 80 kg hopper ud på en isflage der er ca. 2 cm tyk er han dum og bliver våd. Isflagen vil måske dreje lidt, men fremfor alt vil der som minimum være hul i den.

Hvis manden skulle være så heldig at isflagen holder til vægten, glider han af skiven og bliver også våd. I dette tilfælde vil det være afgørende, hvor hurtigt han glider når han forlader pladen og hvor stor en opbremsning vandet på isflagen har medført (når han glider væk fra midten synker den i den side han er i).

Der mangler en del forudsætninger i opgaven efter min mening...

Sjovt hvordan opgaver tit har noget kulturel baggrund. Andre steder i verden kunne det være en frø hopper ud på en åkande, eller en astronaut griber en sattelit.

Jeg formoder løsningen findes ved at bruge to ligninger for impulsbevarelse, en translation og en rotation, til at at finde de to ubekendte; fart og rotation efter det uelastiske? sammenstød

Mit bud. 6/sqrt(101) radianer /sekund Fundet ved at antage : 1. Mandens relative kinetiske energi (hastighed 6 meter/sekund) bliver fuldt omsat til rotationel energi. 2. Rotationen af mand + isflage foregår omkring isflagens geometriske centrum(altså ikke omkring massecenteret)

Måske er det for simple/forkerte betragtninger. Måske skal man anvende hastigheden 5 meter/sekund - i såfald er mit bud 5/sqrt(101) radianer /sekund.

Okay. Tager jeg den translatoriske hastighed med via impuls relationen får jeg mit nye bud

W^2= 1/2MisMmand/(Mis+Mmand)(Vis-Vmand)^2 / (1/2MmandRmand^2+1/4Mis*Ris^2)

 hvor W= vinkel frekvensen  
 Vis=1 , Vmand=-5, Ris=4 , Rmand=1 , Mis=1000  
 Mmand=80  

W=10/sqrt(103)=0.574

Undskyld : W= 10/sqrt(303)

Med koordinatsystem med origo i isflagens centrum, bevæger manden sig mod den stillestående isflage med [latex]v_i=6ms^{-1}[/latex]. Baneimpulsmoment er bevaret. Lineær impuls er bevaret men seperat (forskellige dimensioner). En skive har inerti moment m/2 x r^2 omkring z-akse. Betragtes manden som punktaprtikel har han inertimoment m x r^2 [latex] L_i=L_f \Rightarrow \vec{r}\times\vec{p}=(I_{Skive}+I_{Mand})\omega[/latex] Radius og mandens hastighed har relativ vinkel pi/2, krydsproduktet bliver almindelig multiplikation.

[latex] \omega=\frac{1\cdot 6\cdot 80}{0.5\cdot 1000\cdot 4^2+80\cdot 1^2}=\frac{480}{8080}=\frac{6}{101} \frac{rad}{s}[/latex]

Det ser overbevisende ud, men har du ikke glemt at isflagen bagefter får en anden hastighed udover at den begynder at rotere.

Jeg støtter Jens Therkildsen! Hvis vi alligevel er nødt til at forudsætte, at isflagen er superforstærket (den er kun ca 2 cm tyk), og at manden er forsynet med avancerede pigsko, som kan fastholde ham på nedslagsstedet, så er det også rimeligt at antage at tiden der går, før han står stabilt på fladen, er meget kort. Og så undgår vi uoverskuelige vanskeligheder med at fordele påvirkningen på rotation og translation. Til Martin Kjær: Det går ikke at regne med bevarelse af kinetisk energi. Der mistes energi i nedslaget, f.eks. i benmusklerne. Hvis vi skulle antage, at han fungerer som en ideel fjeder, ryger han på hovedet i vandet! Mvh Ebbe Münster.

Og så undgår vi uoverskuelige vanskeligheder med at fordele påvirkningen på rotation og translation.

Kdt=mdv, gælder i alle fald, men jeg ved ikke hvordan jeg skal fordele det mellem ren lineær bevægelse og rotation. Du kan opløse kraften fra hans landing i dels et moment med et kraftpar virkende over 1 meter og dels en kraft på centrum af flagen med samme størrelse. Bevarelse af kinetisk energi dur ikke, som du siger. I stedet for at ryge i vandet kunne han dog fjedre tilbage til tæt på kajen, men desværre for ham kun næsten tilbage til kajen. Eller kunne han komme helt tilbage, da flagen bevæger sig med 1m/s mod ham? Så er det langt lettere at regne med at manden er en idiot og vil næsten uden modstand glide over flagen og i vandet. Alt vil være som før han hoppede, undtagen for ham selv.

En skive har inerti moment m/2 x r^2 omkring z-akse.

Jo tak, men der er jo ingen aksel gennem isskivens midtpunkt er tvinger rotationen til at ske om cirklens midtpunkt!

Vi har vel et system af to masser der sammenkobles, og derefter roterer om det nye fælles massemidtpunkt. De to masser nærmer sig hinanden med en hastighed på 6 m/s og sammenkobles med en afstand på 1 m vinkelret på deres relative bevægelse mod hinanden. Den ene med masse 1000 kg og den anden med massen 80 kg.

Situationen er analog med to punktformige masser der driver gennem rummet og pludselig sammenkobles af en 1 m lang masseløs stang. Stødet må antages at være fuldstændigt uelastisk så der ikke er energibevarelse men selvfølgelig impulsbevarelse. Sæt igang regn :)

De seneste to kommentarer har ansporet mig til at regne videre på sagen. Jeg kan se tre årsager til at beregningerne kompliceres af, at der både er tale om rotationsimpuls og lineær impuls: 1. Den opnåede hastighedsændring for den lineære bevægelse mindskes af, at pladen også begynder at rotere. En del af effekten udebliver, fordi pladen på den måde ’giver efter’ for den lineære impuls. 2. Den opnåede vinkelhastighed for den roterende bevægelse mindskes af, at den lineære hastighedsforskel mellem mand og plade mindskes i processen. Den bliver derfor mindre end den ville være blevet, hvis pladen havde roteret om et centrum, som bevægede sig med en fast hastighed på 1 m/s mod kajen. 3. I begge de to nævnte tilfælde får det indflydelse, hvis pladen når at dreje sig så meget, at det får betydning, at momentet i forhold til centrum mindskes med en faktor på cosinus til vinklen. Af sidstnævnte årsag har jeg set på hvor stor denne vinkel kan antages at blive i løbet af nedslaget. Hvis jeg antager, at manden højst kan yde en kraft i isens plan svarende til ca. halvdelen af sin vægt, sætter jeg denne til 380 N. Jeg antager derudover, at denne kraft under nedslaget gradvis øges til maximum, for derefter at falde til 0. (ved en sinusfunktion). Ved denne antagelse findes at den tidligere fundne slutværdi for vinkelhastigheden på 0,06 rad/s nås efter ca. 2 sek. Pladen er i dette tidsrum drejet ca. 4 grader. Da cos(4 gr)= 0,998 er vi ude i promillerne, og der kan ses bort fra denne virkning. De to første virkninger er uafhængige af, hvor lang tid nedslaget tager. Så jeg bibeholder de 2 sekunder af hensyn til mandens ben! Hvis der til en start ses bort fra ovennævnte virkning 1 fås, at den lineære hastighedsændring bliver ca. 0,48 m/s. Springet stopper således ikke pladens bevægelse mod kajen, men forlænger tidsrummet til kollisionen til næsten det dobbelte. Vi har tidligere bestemt den opnåede vinkelhastighed uden hensyn til virkning 2 til: 0,06 rad/s. I en meters afstand fra centrum giver det en hastighed i springets retning på 0,06 m/s. Det ses således at virkning 1 er næsten en størrelsesorden mindre end virkning 2. Jeg vil derfor starte med den. Jeg gentager derfor min beregning fra før med 2 sek nedslagstid, hvor impulsmomentet modificeres i forhold til den tidligere benyttede profil, efterhånden som hastighedsforskellen mellem mand og plade falder fra 6 m/s til 5,52 m/s. Det medfører at den resulterende vinkelhastighed falder fra 0,06 til 0,057 rad/s. Altså et fald på ca. 5%. Dette er en tydelig virkning, men dog så lille at jeg ikke finder det relevant at regne videre på virkning 1. Mvh Ebbe Münster.

Et bud:

Lige før manden rammer isflagen er impulsmomentet om det fælles massemidtpunkt P lig m d v + M D V, hvor m og M er masserne af mand og isflage, d er mandens afstand til P og D er afstanden fra isflagens center til P og v og V er tilsvarende mandens og isflagens hastigheder vinkelret på linien gennem P.

Inertimoment for en skive med radius R omkring en akse forskudt afstanden D fra centrum er 1/2 M R^2 + M D^2 = M (1/2 R^2 + D^2). Mandens bidrag til inertimomentet er m d^2 når han regnes punktformig (slank ?!). Det samlede inertimoment om P efter landingen er derfor M (1/2 R^2 + D^2) + m d^2.

Yderligere gælder: v+V = 5+1 = 6 [m/s] d+D = 1 [m] md = MD m = 80 [kg] M = 1000 [kg] R = 4 [m]

Det giver så d = 1/(1+80/1000) = 1/1,08 [m] D = (1-1/1,08) [m]

Impulsmomentet er bevaret så vinkelhastigheden for systemet efter landingen bliver (m d v + M D V) / (M (1/2 R^2 + D^2) + m d^2) = m d (v + V) / (M (1/2 R^2 + D^2) + m d^2) = 80/1,08 * 6/(1000 * (1/2 * 4^2+(1-1/1,08)^2)+80 * (1/1,08)^2) = 0,05504587 rad/s.

Det ignoreres at noget vand tvinges med i bevægelsen og at manden får en kold dukkert.

Et bud:

Det var præcis den beregning jeg regnede med at folk ville kaste sig ud i, da jeg i mit sidste indlæg skrev "sæt igang regn". Og med Huygens–Steiner sætning til bestemmelse af isflagens inertimoment omkring massemidtpunktet, sådan som du også gør.

Det undrer mig dog, at du ikke får brug for værdien af v og V særskilt. Men så ser jeg, at du da vist reducerer (m d v + M D V) til m d (v + V) . Det kan da ikke være rigtigt?

Men vi regner jo nemt v og V ud, da ikke kun impulsmomentet omkring massemidtpunktet er bevaret men også impulsen for systemet af isflage og mand. Massemidtpunktet bevæger sig derfor ind mod kajen med uændret hastighed på 11/23 m/s (hvis jeg regner rigtigt). Og v er derfor 126/23 m/s og V er 12/23 m/s.

Det ignoreres at noget vand tvinges med i bevægelsen og at manden får en kold dukkert.

Ja standard fysikopgavebetingelser er en sær ting. Uendeligt stive legener, masseløse snorer, uendelig høj gnindningsmodstand m.m. Virkeligheden er jo selvfølgelig at isflagen kænter og knækker mens mand kurrer ned i det kold vand.

Det undrer mig dog, at du ikke får brug for værdien af v og V særskilt. Men så ser jeg, at du da vist reducerer (m d v + M D V) til m d (v + V) . Det kan da ikke være rigtigt?

m d = M D, da vi har at gøre med afstande til massemidtpunktet. Så m d v + M D V = m d v + m d V = m d (v + V)

m d = M D,

Ja det er jo selvfølgelig rigtigt. Så jeg er enig i dit resultat.

Tak til Søren Laursen for en præcis og pædagoisk beregning! Jeg kan se, at jeg ikke skulle have afskrevet virkningen af, at omdrejningen ikke vil foregå om cirklens centrum som et andetordens fænomen! Men hvorfor skriver du at manden bliver våd? Du forudsætter jo at han bliver stående som fastnaglet til isen. Eller medregner du at han senere rammer kajen og flagen splintres?

Mvh Ebbe Münster

Jeg kan se, at jeg ikke skulle have afskrevet virkningen af, at omdrejningen ikke vil foregå om cirklens centrum som et andetordens fænomen!

Jeg forstår ikke hvad du mener med et andetordens fænomen. Når to masser sammenkobles bevares deres impulsmoment i forhold til fælles massemidtpunkt, og de roterer herefter om deres fælles massemidtpunkt. Slet og ret. Hvordan er det et andetordens fænomen?

Til Jens Olsen: Hvis den lille masse er flere størrelsesordner mindre end den store, men har høj starthastighed, vil forskydningen af omdrejningspunktet blive et andetordensfænomen, som man for praktiske formål vil kunne se bort fra. Men sådan var det jo ikke helt i vores tilfælde! Mvh Ebbe Münster.

Jeg fandt frem til at løse opgave 13 på en lidt anden måde. Jeg nåede ikke at blive klar til at kunne deltage i diskussionen.

I = Mis * 4^2/2 Me = I * Mm /(I+Mm * d^2) vinkelhastighed = (Vis+Vm)* Mis * Me * d /((Mis+Me)* I)

Ved indsættelse af de opgivne størrelser fås på decimal det samme resultat som angivet i den endelige løsning fra SDU Mechatronics. Vinkelhastighed = 0,055046 rad/sek Der er også overensstemmelse hvis man indsætter d=3 m i stedet for 1 m.

Hej Henrik Tegler.

Nej det er ikke for sent at deltage i diskussionen! Jeg synes din løsning er interessant. Den giver ganske rigtigt samme værdi, som den nu autoriserede løsning - men hvorfor er ikke klart for mig. Kan du forklare den lidt mere? Og jeg forstår slet ikke den med at d=3m giver samme værdi. Det bør den ikke gøre - og det gør den heller ikke! Mvh Ebbe Münster.

Hej Ebbe M. Tak for interessen. Jeg mente at hvis man indsætter d=3m i den autoriserede løsning får man en vinkelhastighed på 0.1538 rad/sek. Indsat i min løsning fås præcist samme resultat.

Da jeg prøvede at løse opgaven var det lidt nemmere hvis jeg i første omgang antog d > 1. Jeg prøvede at regne på tab i lineær bevægelsemængde som funktion af mandens afstand fra centrum. Hvis manden rammer i centrum er bevægelses mængden 806 m og hastighed af is + mand = 806/(Mis+Mm). Jo mere decentralt manden springer vil denne hastighed aftage og vinkelhastigheden øges. Hvis det kunne hjælpe kan jeg vedlægge et foto af min første håndskrevne udregning. Jeg har for nemmere at kunne regne på det sat mandens hastighed til 6m/s og isflagens til 0.

Hej Henrik

Ok. Jeg burde nok have gættet den betydning af din bemærkning om d=3. Jeg synes det er spændende, hvordan du er nået til den ’rigtige’ løsning på en alternativ måde. Send mig gerne dine noter. Mvh Ebbe Münster. em@planenergi.dk