Tænkeboks: Lav Venn-diagram med fire kategorier

Illustration: AAU

Denne uges opgave kommer fra Morten Grud Rasmussen fra Institut for Matematisk Fag ved AAU og lyder:

Opgave 45: På nettet cirkulerer et såkaldt Venn-diagram over amerikanske præsidenter, som tilhører mindst én af kategorierne I: ‘impeached or resigned’, O: ‘one-term’ og L: ‘lost popular vote’. Et Venn-diagram er en grafisk illustration af alle hypotetiske relationer mellem et antal mængder (her tre), og således også den tomme mængde af præsidenter, som opfylder I, L, men ikke opfylder O (angiveligt tilhører kun én præsident både I og L, og han er – i hvert fald indtil 2024 – også i kategorien O).

Lad os i stedet kigge på statistik for endelige stikprøver. Vi opridser lige definitionerne for nogle begreber: En stikprøve (med tilbagelægning) af tal er en vektor (x1, x2, …, xn), hvor n er et naturligt tal, hvor vi godt må have gengangere, eks. x1=x3. Stikprøvegennemsnittet x er 1/n∑xi, altså eks. x=1/4(3+5+2+10)=5 for stikprøven (3, 5, 2, 10). Hvis n er ulige, er stikprøve­medianen m det midterste tal, når xi’erne sorteres efter størrelse, altså eks. har stikprøven (3, 5, 2) m=3. Hvis n er lige, er m gennemsnittet af de to midterste tal, når xi’erne sorteres efter størrelse, altså eks. har stikprøven (3, 5, 2, 10) m=4=(3+5)/2. Typetallet t for en stikprøve er den værdi, som optræder hyppigst i stikprøven. For (3, 1, 1) er altså t=1, mens både 2, 3, 5 og 10 er typetal for (3, 5, 2, 10). En stikprøves variationsbredde v er forskellen mellem største og mindste værdi, altså eks. v=8=10-2 for (3, 5, 2, 10). Stikprøvevariansen s2 er 1/(n-1)∑(xi-x)2, hvor x er stikprøvegennemsnittet fra før, eks. s2=1/(4-1)*((3-5)2+(5-5)2+(2-5)2+(10-5)2)=12,666... for stikprøven (3, 5, 2, 10).

Opgaven er nu: Lav et Venn-diagram med følgende fire kategorier: (1) x>m, (2) m>v, (3) x=t, (4) 3s2>v2, og udfyld det (hvor muligt) med et eksempel på en ­stikprøve, som passer ind (selvom Venn-diagrammet med præsidenterne ikke inkluderer præsidenter, der ikke passer ind i nogle af de tre kategorier, så bør det også undersøges, om der findes eksempler på stikprøver, som falder udenfor alle fire kategorier og i positivt fald bør det skrives ind). Da t ikke nødvendigvis er entydigt bestemt, er det for at tilhøre denne kategori nok, hvis der findes ét t, så x=t.
– – –

Vi bringer løsningen i næste uge.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg vil se analytisk på opgaven og betragte talsæt på op til 3 tal. De kaldes a, b og c, hvor a < b < c. Det giver nedennævnte 5 kategorier at betragte. 1: Et talsæt bestående af et enkelt tal a har middelværdi x = a, median m = a, varians v = 0, spredningskvadrat s^2 = 0 og typeværdi t = a. Herefter er der sat plus eller minus afhængig af om talsættet opfylder hvert af de 4 givne kriterier eller ej. I dette tilfælde opfyldes 2 af kriterierne. Et talsæt bestående af mange ens tal vil opfylde præcis samme kriterier. 2: For talsættet [a b] har søjlen m > v et plus/minus, hvor plus gælder for a>b/3 og minus ellers. Det er altså 2 forskellige tilfælde 2a og 2b. 3: Nu er der 3 tal [a a b] med de første 2 tal ens. Som før er der 2 muligheder ved kriteriet m > v afhængig af om a > b/2 eller ej. 4: Når de 2 sidste af de 3 tal er ens som i [a b b], passer talfølgen ikke ind i nogen af kriterierne. 5: Med 3 forskellige tal [a b c] afhænger opfyldelse af kriteriet x>m af om a+c>2b eller ej, kriteriet m > v af om a + b > c eller ej og kriteriet x=t af om a+c= 2b eller ej. Det giver 4 relevante muligheder 5a til 5d samt 4 ubrugelige tilfælde. [latex] kat \ \ tal \quad \qquad x \quad \qquad m \qquad \ \ v \qquad \quad \ \ s^2 \qquad\qquad t \quad t>m \ m>v \quad x=t \quad 3 s^2>v^2 [/latex] [latex]\ \ 1 \quad a\qquad \quad \ \ \ a\qquad \quad a\qquad \quad 0 \qquad \quad \ 0 \qquad \quad \ \ \ \ \ a \quad \ \ - \qquad + \ \ \qquad + \qquad\quad - [/latex] [latex]\ \ 2 \quad a \ b \qquad \frac{a+b}{2} \quad \frac{a+b}{2} \quad b-a \quad \ \ \frac{(b-a)^2}{2} \qquad a \ b \quad - \qquad \pm \qquad \ \ - \qquad \quad + [/latex] [latex]\ \ 3\quad a\ a\ b \quad \frac{2a+b}{3} \qquad a \qquad b-a \quad \frac{5}{18}(b-a)^2 \quad \ \ a\ b \quad + \qquad \pm \qquad \ - \qquad\quad - [/latex] [latex]\ \ 4 \quad a \ b \ b \quad \frac{a+2b}{3} \qquad b \qquad b-a \quad \frac{5}{18}(b-a)^2 \quad \ \ \ a \ b \quad - \qquad - \qquad \ \ - \qquad\quad - [/latex] [latex]\ \ 5 \quad a\, b \, c \quad \frac{a+b+c}{3}\quad b \qquad c-a\qquad NB \qquad \quad \ \ \ a\, b\, c \ \ \ \pm\qquad \pm \qquad \ \ \pm \qquad\quad - [/latex] [latex] NB= \frac{a^2+b^2+c^2-a b-a c-b c}{3}[/latex] Jeg arbejder på at få oploadet en figur, der viser et Venn-diagram. Hvis det ikke lykkes, kan man rekvirere det på howald@mail123.dk. På figuren skal de 3 store ikke fuldførte cirkler indeholde talsæt, der opfylder hvert sit af 3 af kriterierne, mens den største cirkel i midten skal indeholde talsæt, der opfylder det fjerde kriterium. Hvis et talsæt opfylder 2 eller flere kriterier samtidigt, skal det placeres på et areal, der repræsenterer alle de relevante kriterier. Jeg har snydt lidt og i figurens midte placeret en lille cirkel for de talsæt, der ikke opfylder nogen af kriterierne, selv om disse talsæt egentlig skulle noteres uden for Venn-diagrammet. De ovennævnte kategorier er indført i diagrammet. Ved at indføre specifikke talsæt med 4 eller flere tal, kan man formodentlig få anvendelse for flere af diagrammets delarealer, men det har jeg ikke mod på at forsøge. Måske har opgavestilleren også en smart tidsbeparende løsningsmetode, som jeg ikke kender. De matematikere er jo så dygtige.

  • 1
  • 0

Jeg er næste enig i din løsning. De 2 tomme felter kommer ikke i brug når talsættet højst må have 4 led, men det højre felt m>v skal også være tomt fordi vi for [a b] med a < b har s^2=0,5 (b-a)^2 og v^2 = (b-a)^2 hvilket opfylder kriteriet 3 s^2>v^2.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten