Tænkeboks: Kun et ulige antal lys kan brænde ned samtidig

Illustration: Ingeniøren

Sidste opgave før juleferien gik ud på at finde et antal ens lys, n, der vil kunne brænde ned samtidig, når man den første aften tænder det ene lys og lader det brænde i en time, anden aften tænder man 2 passende valgte lys og lader dem brænde i en time osv., indtil man sidste aften tænder alle lys og lader dem brænde i en time.

Løsning

Antag, at hvert lys kan brænde i x timer; x må være et helt tal. Der brændes i alt 1 + 2 + … + n lystimer; dette tal må være lig med n gange x.

Men differensrækken 1 + 2 + … + n summerer til ½ n (n+1) = nx, dvs. x = ½ (n+1).

Det er altså en betingelse, at n er ulige.

Hvis n er ulige, kan man bruge lys med ½ (n+1) times brændetid og først tænde lys 1, næste aften lys 2 og 3 osv. i cyklisk rækkefølge.

Der vil så altid højst være èn times brændetid til forskel lysene imellem, og da der efter n aftener i alt er brændt ½ (n+1) gange n timer, må hvert lys have brændt i præcis ½ (n+1) timer. Heri ligger både, at processen er mulig – intet lys brænder op for tidligt – og, at alle lys til sidst brænder ned.

Vi bringer årets første opgave den 10. januar.

/Lynch

Illustration: MI Grafik