Tænkeboks: Kan John finde gavlens højde ved hjælp af kæden?

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved AAU og lyder:

Opgave 39: En uniform, ideel kæde mellem to punkter kan beskrives vha. kædelinjen, y=a cosh((x-b)/a)+c, hvor cosh(t)=1/2 (et+e(-t)) er hyperbolsk cosinus.

Her er a er en ­parameter, der beskriver, hvor ‘slapt’ kæden hænger, mens b og c er et spørgsmål om, hvordan man placerer koordinatsystemet.

John vil gerne måle højden på gavlen af et hus, hvorfra der hænger en kæde fastgjort øverst.

Hvis John kender længden af kæden og lader kæden hænge i en bue, hvor han kender højden til laveste punkt, som ligger mellem de to ender, samt højden til den ende, der ikke er fastgjort til gavlen, kan han så – med eller uden nogle af følgende yderligere informationer – bestemme gavlens højde: (1) den horisontale afstand fra gavlen til kædens laveste punkt, (2) den horisontale afstand fra kædens laveste punkt til den anden ende af rebet og/eller (3) den horisontale afstand mellem de to kædeender?

Hvis det lader sig gøre, hvilke(n) kombination af de tre stykker information er så nødvendig? Hvis det ikke lader sig gøre, hvilke yderligere informationer mangler da?

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/elp

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Det enkleste ville være at løsne kæden fra pælen, men det er nok ikke meningen.

I øvrigt tror jeg at kædebuen kan "forkortes" ved at lave et nyt fastgørelsespunkt hvorsomhelst på den symmetriske bue med samme højde i begge ender. Det burde gøre opgaven mere overskuelig, hvis det passer.

  • 1
  • 1

Et bud på opgaven

John kan finde galvhøjden hvis han får oplyst den horisontale afstand mellem: 1) gavl og kædens laveste punkt (x_2 - x_1) ELLER 2) kædens to ender (x_3 - x_1)

Jeg kan ikke lige nu se at afstanden mellem x_2 og x_3 alene kan hjælpe John.

Jeg går udfra at kæden hænger asymetrisk.

Kædeenden på gavlen sidder ved (x_1,y_1) = (0, ?)

Vi skal finde 'a' og 'b' i kædeligningen. For at kunne gøre dette skal der opstilles 2 ligninger.

'c' kan vi se bort fra her, da den 'kun' flytter kæden op og ned; c=0;

1) Her kender vi (x_2, y_2) (det laveste punkt på kæden)

a = y_2, b = x_2

2) Her kender vi (x_3,y_3) (den ende der ikke er fastgjort til gavlen).

En ligning direkte ud fra kædeligningen og en anden udfra kædelængden hvor x_3 udgør øvre integration grænse. Ligningen for kædelængden svarer til kædeligningen hvor 'cosh' efter diff. og int. bliver til 'sinh'.

Gavl højden findes af kædeligningen y(x_1) med de fundne værdier af a,b,c indsat, hvor x_1 = 0

Hvis c = -a, vil kurvens laveste punkt tangere underlaget (x-aksen).

  • 0
  • 0

Jeg starter med at nulstille både b og c, som jo blot parallelforskyder situationen. Det er korrekt at a angiver, hvor slapt kæden hænger, men det kan også tolkes sådan at det er en skaleringsfaktor, der angiver hvor stor del at cosh kurven, der benyttes. Hvis der zoomes ind på kurven lige omkring y-aksen, er der jo kun små ændringer i hældningen, og vice versa. Jeg kalder det ene fixpunkt for kæden for 1, lavpunktet for 0 og det andet fixpunkt for 2. Jeg navngiver nu højdeforskellene mellem lavpunktet og de to fixpunkter, H1 og H2. De vertikale afstande mellem 0 og de to fixpunkter, X1 og X2 Kædelængderne mellem fixpunkterne og 0, L1 og L2. Jeg konstaterer at H1 og H2, samt L1 og L2 er bestemt af simple monotont stigende funktioner af X1 og X2 respektive, når a er konstant. Vi får oplyst L1+L2 samt H1. Der præsenteres nu tre variabler, som ønskes bestem: H2, X2 og L1+L2. Ingen af dem kan bestemmes fordi H1 ikke er tilstrækkelig til at bestemme X1 og dermed L1, fordi a ikke kendes. Hvis H2 oplyses kendes begge højder og kædens samlede længde. Dermed er ’slapheden’ og altså a bestemt og X1 og X2 kan findes. Hvis X2 oplyses kan slapheden også findes, hvilket indses således: fordi H2 er kendt vil en øget slaphed medføre en øget L1, hvilket igen vil medføre en mindsket L2, da summen jo ligger fast. Men en øget slaphed vil også medføre en øget L2 fordi X2 nu fastholdes. Der er således kun én værdi af a, der er mulig. Hvis X1+X2 oplyses er sagen klar igen. Når kædens længde samt højden af det ene fixpunkt er kendt, er højden af det andet fixpunkt bestemt. Derfor kan a findes og dermed alle de øvrige størrelser. Med andre ord: kendskab til blot én af de tre angivne variable vil muliggøre bestemmelse af alle de øvrige.

  • 0
  • 0

Præcisering. Efter min lidt hurtige indmelding i går har jeg haft tid til at afprøve teorierne lidt på en regnearksmodel. Den synes at bekræfte mine konklusioner med disse to tilføjelser: 1. Når H1 og L1+L2 er givet, er der naturligvis grænser for hvilke værdier for H2, X2 og X1+X2, der kan vælges. De skal jo muliggøre at kæden kan nå og i øvrigt have et lavpunkt undervejs. 2. Når X2 fastlægges er der tilsyneladende to mulige løsninger for A, og dermed for de øvrige variable. (bortset fra en grænseværdi, hvor netop én løsning er mulig).

  • 1
  • 0

En x-akse lægges langs jordoverfladen lodret under kæden. Kædens laveste punkt liggeri højden y0 over x = 0, kædens frie ende i højden y1 over x = x1 (<0) og gavlens top i den søgte højde y2 over x = x2. Det giver disse generelle og specifikke formler: [latex] (1) \qquad y=a \cosh \frac{x}{a}-a+y_0 [/latex] [latex] (2) \qquad y_1= a \cosh \frac{x_1}{a}-a+y_0 [/latex] [latex] (3)\qquad y_2 = a \cosh \frac{x_2}{a} - a+ y_0 [/latex] Et kort stykke af kæden har længdes ds givet ved [latex] (4) \qquad ds =\sqrt{dx^2 +dy^2} =\sqrt{1+y'^2} dx [/latex] Hele kæden har dermed længden L givet ved [latex] (5) \qquad L = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1+y'^2} dx = \int_{x_1}^{x_2} \cosh \frac{x}{a} dx = a \left[ \sinh \frac {x_2}{a} - \sinh \frac{x_1}{a}\right] [/latex] Alternativt kan sinh indsættes fra (2) og (3): [latex] (6) \qquad L = \sqrt{(y_1+a-y_0)^2 - a^2} +\sqrt{(y_2+a-y_0)^2 - a^2} [/latex] Dette er en ligning mellem a og y2. Vi har nu de 3 ligninger (2) og (3) samt enten (5) eller (6), men der er 4 ubekendte y2, x1, x2 og a. Opgaven kan løses hvis en vilkårlig af disse kendes. (i) Hvis a kendes, kan y2 bestemmes af (6). (ii) Hvis y1 kendes, kan a bestemmes ved iteration i (2) og y2 dernæst bestemmes af (6). (iii) Hvis x2 kendes, må y2 fra (3) indsættes i (6), der så bestemmer a ved iteration, hvorefter (3) bestemmer y2. (iv) Hvis den samlede bredde x2 - x1 kendes, bereges en graf for x2 - x1 som funktion af a. For et givet a findes y2 af (6) og x1 af (2). Grafens punkt med den kendte værdi af x2 - x1 giver nu det søgte a og dermed de øvrige størrelser.

  • 2
  • 0

Hej Børge Jeg er enig i din løsning med den tilføjelse, at jeg mener du har samme problem som mig: Når X2 kendes vil der i almindelighed være to løsninger for a og dermed for hele variabelsættet. I mn første kommentar er min argumentation for at der også her er én løsning forkert. Jeg går ud fra at L1 vil øges når slapheden øges. Det er ikke altid rigtigt. Det afhænger af a’s værdi. Derfor holder argumentationen ikke. (derudover er der en trykfejl: Der skulle ikke stå H2 men H1). Nu er spørgsmålet bare: Har man bestemt a, når man har hele TO løsninger? Det kan der jo være to meninger om: 1. Ja man har bestemt en mulig løsning på det stillede problem – faktisk har man fundet to! 2. Nej. BESTEMT er blot en kort form for ’entydigt bestem’ – og så er opgaven ikke løst! Jeg glæder mig til at se en debat om sagen!

  • 0
  • 0

Jeg må give dig ret. Når afstanden x2 mellem kædens dybeste punkt og kædens frie punkt er givet sammen med opgavetekstens øvrige værdier, kan man af min formel (6) bestemme en kritisk kædelængde. Er kæden kortere end denne kritiske værdi, er der ingen løsninger, mens der for kæder længere end denne værdi er 2 forskellige værdier af a, der giver samme kædelængde. Og det giver 2 forskellige sæt løsninger. Men det betyder jo bare, at naturen har 2 forskellige måder at optræde på. Det kunne i øvrigt være interessant at undersøge hvilke betingelser, der generelt må lægges på de opgivne værdier for at der overhovedet findes løsninger. Men jeg har ikke selv mod på det.

  • 1
  • 0

i ugens opgave med kæden til måling af højden af en gavl, mangler der en oplysning. Hvis denne oplysning er den vandrette afstand mellem gavlen og kædens laveste punkt, bliver der 2 løsninger svarende til 2 mulige værdier af kædeparameteren a, hvilket Ebbe tidligere har bemærket. Jo større værdien er af a, jo stivere er kæden. Når a forøges vil kæden derfor kræve en større afstand melle det laveste punkt og den løse ende, og kæden vil ikke kunne bøje sig så højt opad mod gavlens top. På et tidspunkt når den ikke engang så langt op som kædens løse ende gør, og så bliver eksperimentet absurd. konklusoinen er dermed, at begge a-værdier er teoretisk korrekte, men at den mindste værdi er den mest fremkommelige.

  • 0
  • 0

Hej Børge

Jeg kan godt se dit argument, men det er jo kun relevant, når der er stor forskel på de fundne a-værdier. Hvis der er mindre forskel foreligger der to fuldgode løsninger. Det kunne være sjovt at eftervise i en lille fysisk model! Jeg ser for mig at et stykke af den type kæder, der i fjerne tider blev brugt til at fastgøre proppen til håndvasken, kunne være fin. Dem der bestod af små forkromede 'perler'. De opfylder kravet om at friktionen mellem leddene skal være lille i forhold til vægten pr længde. (Jeg synes det er mere korrekt at tale om kædens 'slaphed' end om dens 'stivhed'. Det første afhænger kun af afstande og længder. Det andet antyder en intern friktion.)

  • 0
  • 0

Hvis man kender den samlede bredde x2 - x1 (hvor x1<0), kan man gætte på a og beregne y2 af min formel (6). Herefter beregnes x1 og x2 af (2) og (3). Dette giver næppe den korrekt værdi for x2-x1, men ved at prøve med mange a-værdier, kan man foretage en grafisk optegning af x2-x1 som funktion af a.

  • 0
  • 0

Hej Ebbe Når de to værdier af a er meget forskellige, er kæden med det store a så stiv, at dens faste ende ligger lavere end dens løse ende, hvilket ikke er interessant. Når a-værdierne er tæt på hinanden vil den faste ende ligge højest i begge tilfælde, men den lille a-værdi er bedst. Hvis altså ikke dens y2 er meget større end gavlens højde!

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten