Tænkeboks: Kan du dele en pizza ?

Illustration: MI grafik

Denne uges opgave kommer igen fra professor Lars Døvling Andersen fra Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet:

Opgave 6: Hvad er det maximale antal stykker, man kan dele en pizza i, ved 4 rette snit?

Og ved n rette snit?

Illustration: Ingeniøren

– – –

Vi bringer som sædvanlig løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/ fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger i debattråden under artiklen.

/ Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Løsningen er en række udvikling

Ingen snit 1 stk 1 snit 2 stk 2 snit. 4 stk 3 snit. 7 stk 4 snit 11 stk som der bliver spurgt om og derefter 5 snit 16 stk 6 snit 22 stk 7 snit. 29 stk n snit giver [n(n+1)]:2+1

  • 2
  • 0

Du mangler bare at vise hvorfor/hvordan:

Deling n skal skære alle de tidligere delinger, og må ikke ramme et tidligere skæringspunkt. Dette kan lade sig gøre, fordi denne deling ikke er parallel med nogen af de tidligere delinger og ingen tidligere delinger dermed er parallelle.

Hvis nogle af delingerne ryger uden for pizzaen formindskes gruppen af delinger til de alle er indenfor (det kan gøres ved at gøre pizzaen tilstrækkelig stor og derefter skalere hele molivitten ned).

Deling n skærer præcis n-1 tidligere stykker i to, så deling n giver n ekstra stykker.

Stykker er 1 + 1+2+...+n som giver Hans' resultat.

(Og Lynch, jeg ved I prøver, men opgaverne er nemmere end dem fra Illustreret Videnskab :-( )

  • 2
  • 0

1 snit 2 stk 2 snit. 4 stk Hvorefter man lægger de 4 stykker på èn linie 3 snit. 8 stk Hvorefter man lægger de 8 stykker på èn linie 4 snit 16 stk som der bliver spurgt om

  • 2
  • 1

Her. Cylinderen forestiller pizzaen, lidt fortegnet da den er gjort lidt højere for at få plads til at vide de de vandrette snit:

https://ibb.co/v1krQyS

Forklaring: Man foretager to vandrette snit på skrå som ved A. Pizzaen består derefter af tre lag ligegyldigt hvor man ser på den ovenfra. Derefter bruger man to snit fra oven (B), og hvert stykke er i virkeligheden tre stykker oven på hinanden. Den blå linie er skæringen mellem de to vandrette snit fra A, som deler mellemstykket i to. Man kan derefter tælle antallet af felter, og gange med tre. Syv felter, gange tre lag giver i alt 21 stykker. (Og der står ikke noget i opgaven om, at man ikke må skære vandret!)

  • 1
  • 0

Så... Bare for at sammenfatte de forskellige muligheder. Antallet af stykker efter sidste snit er p, og antallet af snit er n.

For en to-dimensionel flad pizza med rette snit (eller en tre-dimensionel pizza som kun må skæres lodret igennem pizzaens godstykkelse), som faktisk skærer igennem pizzaen (d.v.s. snittet må ikke lægges helt udenfor pizzaen), hvor stykkerne ikke må flyttes undervejs:

p_max(n) = 1 + n(n+1)/2 => p_max(4) = 11 og p_min(n) = 1 + n => p_min(4) = 5

For en pizza (to- eller tre-dimensionel) med rette snit, hvor stykkerne må flyttes rundt imellem snittene, bliver max-antallet i stedet:

p_max(n) = 2^n => p_max(4) = 16

For en tre-dimensionel pizza med rette snit, som ikke behøver at være lodrette, får vi i stedet:

p_max(n) = 2(1 + n(n-1)/2) => p_max(4) = 14

Jeg er dog en anelse i tvivl om jeg eventuelt har overset nogle muligheder i den sidste udgave.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten