Tænkeboks: Hvordan stabler man terninger til bestemte kasser?
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Hvordan stabler man terninger til bestemte kasser?

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet:

Illustration: Lars Refn

Opgave 25

Opgaven går ud på at stable terninger på forskellige måder, så de tilsammen udgør en kasse. Har man eksempelvis 24 terninger, kan de stables, så de udgør en kasse på 2 x 3 x 4 (i enheden terninglængder).

Summen af sidelængderne er her 2+3+4=9 terninglængder, og man kan hurtigt overbevise sig selv om, at enhver kasse bestående af 24 terninger og med sidelængde­summen 9 terninglængder vil være identisk med denne (eventuelt roteret).

Det viser sig, at hvis sidelængdesummen i kassen skal være 13 terninglængder, så findes der netop ét antal terninger, som kan stables til en sådan kasse på to forskellige måder (de to kasser er altså ikke blot roterede versioner af hinanden). Hvad er antallet af terninger, der opfylder dette?

Hvis sidelængdesummen skal være 13, findes der altså kun ét antal terninger, som kan stables til to væsensforskellige kasser. Findes der en sidelængdesum, hvor to forskellige antal terninger hver kan stables til en kasse på to væsensforskellige måder med denne sidelængdesum?

Og hvad med tre forskellige antal terninger? Eller et antal terninger, som kan stables til tre forskellige kasser, som alle har samme sidelængdesum?

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/Lynch

sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg blev nød til at bruge rå kraft, da jeg ikke kunne finde noget brugbart system. Simpel opskrivning af mulighederne og tjek af om der dukkede ens rumfang op.
Sidelængde 13 har to kasser a 36 terninger. (1,6,6) og (2,2,9).
Allerede sidelængde 14 har dobbelt løsning (1,5,8) og (2,2,10) => 40
plus (2,6,6) og (3,3,8) => 72.
15 har slet ingen løsning og 16 og 17 har kun en løsning.
De udvidede opgaver rakte min tålmodighed ikke til.
Jeg er meget spændt på om der er et mere genialt system.
Bliver der flere muligheder med længere sidelængde?

  • 0
  • 0

Jeg satte mig for at løse indgangsspørgsmålet uden hjælpemidler (heller ikke papir) og det gik... ok, selvom det tog lidt tid; men undervejs fandt jeg så også ud af det med to løsninger for SumOfSides=14 (40 og 72). Efter det gik der lidt kylling i den, men det slog mig at jeg for længe siden havde lavet et fint lille faktoriseringsprogram (til at lave C/H/S emuleringer på SCSI-harddiske - så det er noget siden :), og at det "da måtte kunne pakkes ind i noget sed/awk/perl script" for at få den forkromede løsning. Som sagt så gjort. Op til SoS=30 er det især 28 der stikker ud med hele 7 "antal terninger"/volumener, der kan samles på to måder. Det er også iøjnefaldende at 144 er en løsning både for SoS=17 og 19, og at 360 er for både SoS=22 og 23. Til gengæld er der ikke (op til 30) nogen tripel-løsninger, altså volumener der har samme SoS i tre konfigurationer - og sådanne findes måske set ikke? Det har min rumfornemmelse ikke lige kunnet be-/af-kræfte indtil videre :)

  • 0
  • 0

Jeg har ikke ført det videre, men det slog mig at det må være ret begrænset hvor mange kasser man kan lave af et givent antal klodser.

  • 0
  • 0

Dette er løsninger for x,y,z i range 1..200:

[https://drive.google.com/open?id=1QjR2Yiia...]

Og sourcen i Delphi til at beregne det (brute force):
[https://drive.google.com/open?id=1EhVTc0Pz...]

Solutions er sorteret i terninge side sum orden, hvor hver linie indeholder de terninge formater som matcher.
Eksempel:

Sum:14 , 40 (2, 2, 10), 72 (3, 3, 8)
Sum:21 , 96 (2, 3, 16), 168 (2, 7, 12), 240 (3, 8, 10)
Sum:26 , 126 (2, 3, 21), 270 (3, 5, 18), 288 (4, 4, 18)
Sum:27 , 168 (2, 4, 21), 480 (4, 8, 15)
Sum:28 , 176 (2, 4, 22), 320 (4, 4, 20), 432 (3, 9, 16), 450 (5, 5, 18), 560 (4, 10, 14), 576 (6, 6, 16), 630 (6, 7, 15)
Sum:29 , 360 (2, 12, 15), 504 (3, 12, 14), 720 (6, 8, 15)

For sum 39 er der ikke mindre end 9 match.

  • 0
  • 0

For sum 39 er der ikke mindre end 9 match.

Og for sum 273 er der 310 mulige kombinationer af klodser (den i hele datasættet med flest løsninger)

Interessant så er det i base 16 (hex) 111, base 4: 10101, base 3: 101010 og base 2 (binært): 100010001

Det kunne man godt bruge lidt energi på at undersøge.. hvis man ellers gad :-)

  • 0
  • 0

Nøgleordet er “hver”. Én sidelængde sum skal kunne dannes af to forskellige antal terninger. Hvert af disse antal skal kunne danne to væsentlig forskellige kasser. Så 14 er ok

  • 0
  • 0

Hermed de nye løsninger:

https://drive.google.com/open?id=1kSg2Zq0d...

Og source koden:

https://drive.google.com/open?id=1FTaBK-tC...

Eksempel:

Sum:14 , 40 (2, 2, 10), 40 (1, 5, 8), 72 (3, 3, 8), 72 (2, 6, 6)

Sum:21 , 96 (2, 3, 16), 96 (1, 8, 12), 168 (2, 7, 12), 168 (3, 4, 14), 240 (3, 8, 10), 240 (4, 5, 12)

Sum:26 , 126 (2, 3, 21), 126 (1, 7, 18), 270 (3, 5, 18), 270 (2, 9, 15), 288 (4, 4, 18), 288 (2, 12, 12)

Sum:27 , 168 (2, 4, 21), 168 (1, 12, 14), 480 (4, 8, 15), 480 (5, 6, 16)

Sum:28 , 176 (2, 4, 22), 176 (1, 11, 16), 320 (4, 4, 20), 320 (2, 10, 16), 432 (3, 9, 16), 432 (4, 6, 18), 450 (5, 5, 18), 450 (3, 10, 15), 560 (4, 10, 14), 560 (5, 7, 16), 576 (6, 6, 16), 576 (4, 12, 12), 630 (6, 7, 15), 630 (5, 9, 14)

mvh
Kim

  • 0
  • 0

Hermed de nye løsninger:


Det var imponerende hurtigt. Du kan formodentlig fortsætte meget længere.
Kan du også give svar på de sidste dele af opgaven?
3 par med samme sidelængde men forskelligt antal terninger, og den ultimative en triplet med samme sidelængde og samme antal terninger.

Jeg gad vide om der er en systematik i det, som kan fortælle om løsningerne. Den med basen var måske en vej frem.

  • 0
  • 0

og den ultimative en triplet med samme sidelængde og samme antal terninger

Løsninger: https://drive.google.com/open?id=1DDmni0qm...
Source: https://drive.google.com/open?id=15tfnamTA...

Eksempel:

Sum:49 , 3024 (7, 18, 24), 3024 (8, 14, 27), 3024 (9, 12, 28), 3600 (10, 15, 24), 3600 (9, 20, 20), 3600 (12, 12, 25)

Sum:65 , 2880 (5, 12, 48), 2880 (4, 16, 45), 2880 (3, 30, 32), 5040 (6, 24, 35), 5040 (8, 15, 42), 5040 (7, 18, 40), 7560 (12, 18, 35), 7560 (10, 27, 28), 7560 (14, 15, 36)

Sum:70 , 2970 (3, 22, 45), 2970 (5, 11, 54), 2970 (6, 9, 55), 7560 (8, 27, 35), 7560 (10, 18, 42), 7560 (9, 21, 40), 8190 (9, 26, 35), 8190 (13, 15, 42), 8190 (10, 21, 39)

Sum:71 , 5400 (6, 20, 45), 5400 (5, 30, 36), 5400 (9, 12, 50), 7920 (9, 22, 40), 7920 (8, 30, 33), 7920 (12, 15, 44)

Sum:77 , 3960 (6, 11, 60), 3960 (4, 18, 55), 3960 (3, 30, 44), 6160 (10, 11, 56), 6160 (5, 28, 44), 6160 (8, 14, 55), 9504 (8, 33, 36), 9504 (9, 24, 44), 9504 (11, 18, 48)

Sum:78 , 6600 (5, 33, 40), 6600 (6, 22, 50), 6600 (8, 15, 55), 9600 (10, 20, 48), 9600 (12, 16, 50), 9600 (8, 30, 40)

Sum:81 , 8400 (6, 35, 40), 8400 (7, 24, 50), 8400 (10, 15, 56), 8736 (7, 26, 48), 8736 (8, 21, 52), 8736 (12, 13, 56)

Sum:84 , 3264 (4, 12, 68), 3264 (3, 17, 64), 3264 (2, 34, 48), 13200 (11, 25, 48), 13200 (12, 22, 50), 13200 (10, 30, 44)

mvh
Kim

  • 0
  • 0

3 par med samme sidelængde men forskelligt antal terninger

Løsninger: https://drive.google.com/open?id=1kUzJgIgk...
Source: https://drive.google.com/open?id=1lSMt-cWC...

Eksempler:

Sum:21 , 96 (2, 3, 16), 96 (1, 8, 12), 168 (2, 7, 12), 168 (3, 4, 14), 240 (3, 8, 10), 240 (4, 5, 12)

Sum:26 , 126 (2, 3, 21), 126 (1, 7, 18), 270 (3, 5, 18), 270 (2, 9, 15), 288 (4, 4, 18), 288 (2, 12, 12)

Sum:28 , 176 (2, 4, 22), 176 (1, 11, 16), 320 (4, 4, 20), 320 (2, 10, 16), 432 (3, 9, 16), 432 (4, 6, 18), 450 (5, 5, 18), 450 (3, 10, 15), 560 (4, 10, 14), 560 (5, 7, 16), 576 (6, 6, 16), 576 (4, 12, 12), 630 (6, 7, 15), 630 (5, 9, 14)

Sum:29 , 360 (2, 12, 15), 360 (3, 6, 20), 504 (3, 12, 14), 504 (4, 7, 18), 720 (6, 8, 15), 720 (5, 12, 12)

Sum:31 , 200 (2, 4, 25), 200 (1, 10, 20), 225 (1, 15, 15), 225 (3, 3, 25), 396 (2, 11, 18), 396 (3, 6, 22), 720 (4, 12, 15), 720 (5, 8, 18), 1008 (7, 12, 12), 1008 (8, 9, 14)

Sum:32 , 234 (1, 13, 18), 234 (3, 3, 26), 630 (5, 6, 21), 630 (3, 14, 15), 720 (6, 6, 20), 720 (4, 10, 18), 1008 (6, 12, 14), 1008 (7, 9, 16)

Sum:33 , 480 (2, 15, 16), 480 (4, 5, 24), 672 (4, 8, 21), 672 (3, 14, 16), 840 (6, 7, 20), 840 (4, 14, 15)

mvh
Kim

  • 0
  • 0

@Svend: Som opgavestiller havde det også været sjovere at komme med noget smart, men mig bekendt findes en smart metode ikke. Faktorisering er notorisk svært, og det er jo også princippet bag almindelig digital sikkerhed. Jeg syntes dog selv, at det var et sjovt problem (eller rettere familie af problemer), og jeg håber også, at andre har hygget sig med at undersøge det, og eventuelt opstillet egne hypoteser om, hvad man kan og ikke kan finde. Jeg er med på, at opgaveformuleringen ikke er nem at forstå, men det er altid en afvejning mellem at holde det kort og præcist versus længere, mere kluntet, men nemmere forståeligt. Mvh. Morten

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten