Tænkeboks: Hvor skal snoren klippes?
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Hvor skal snoren klippes?

Illustration: Ingeniøren
Illustration: Wikipedia

Denne uges opgave kommer fra Mads Clausen Instituttet, SDU, i Sønderborg og lyder:

Opgave 21:

En snor på 1 meter skal klippes i to stykker, som efterfølgende lægges på et bord, så det ene stykke snor danner omkredsen i en cirkel, og det andet danner sidelængderne i et kvadrat.

Hvor skal snoren klippes, for at det samlede areal af de to figurer bliver mindst?

– – –

Rettelse: Løsningen på sidste uges opgave forudsætter, at lydens hastighed er den samme i hele atmosfæren, hvilket ikke er tilfældet.

Se mere på ing.dk/fokus/ taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger. Vi bringer en ny opgave i næste uge.

/Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Det er så en af de meget nemme. Minimum opnås, når forholdet mellem areal og omkreds er det samme for de to figurer. Og det opnås pudsigt nok, når de er lige høje. Dvs. forholdet mellem cirklens omkreds og firkantens er pi til 4. Cirklens snor skal være pi/(pi+4) m eller 440 mm.

Samme resultat fås ved at differentiere parablen, som udtrykker det samlede areal som funktion af cirkelstykkets længde.

Maksimum fås ved at give cirklen hele stykket.

  • 3
  • 0

Jeg løste opgaven ved at indskrive en cirkel med 4 berøringspunkter i et kvadrat og derefter beregne længden af cirkel og kvadrat til 1 m. Det medfører at sidelængde og diameter bliver ens 0,14 m
og samtidig giver minimum areal. Så længde på kvadrat bliver 0,56 m og cirkel 0,44 m.
Arealet 0,035 m^2. En løsning uden større problemer.

  • 2
  • 1

Well.

Hvis vi deler snoren ved x meter, så bliver arealet af cirklen
Ac= x^2/(4pi)
Og arealet af kvadratet bliver
Ak = ((1-x)/4)^2

Vi prøver at minimere arealet
A =Ac + Ak = x^2/(4pi) + ((1-x)/4)^2
hvor 0 <= x <= 1

Jeg prøver at differentiere A i forhold til x. Først ekspanderer jeg lige A.
A = x^2/(4pi) + 1/16 + x^2/16 - x/8
dA/dx = x/(2pi) + x/8 - 1/8

Jeg prøver at sætte den lig 0 for at se om den skulle have et ekstremum mellem 0 og 1

0 = x/(2pi) + x/8 - 1/8
0 = 4x + pi*x - pi
pi /(4+pi)= x = 0.43(9)m

Jeg tjekker lige om det nu også er et minium ved at se om krumningen er positiv

d^2A/d^2x = 1/(2pi) + 1/8

Det var den.

  • 3
  • 0

Ja, det er blot at regne lidt, men det skægge er at der faktisk er et minimum areal. Det havde jeg ikke lige set. Umiddelbart troede jeg at arealet ville vokse jævnt, jo mere snor der blev brugt til cirklen. På den måde var opgaven skæg, selvom den matematisk var meget simpel.

  • 1
  • 0

Det samlet areal udtrykt ved cirklens radius er

f(r) = r^2pi + ((1-2pi*r)/4)^2
eller
f(r) = (1−2πr)^2/16 + πr2

f'(r) = 2πr−π(1−2πr)/4

Lokalt maximum findes ved
r=1/(2π+8)

Det medfører at snoren skal klippes ved
2πr = 0,439900846
4s = 1- 0,439900846 = 0,560099154

  • 0
  • 0

Umiddelbart troede jeg at arealet ville vokse jævnt, jo mere snor der blev brugt til cirklen.


Det ville jo modstride det simple faktum at arealet af begge figurer stiger exponentielt med omkredsen.

Ved at vende de to exponenter imod hinanden, ved vi hurtigt at minimum-arealet må ligge i nærheden af skæringspunktet.

Det pudsige, som andre også har observeret, er at arealet er mindst når de to figurer har samme højde.

Spørgsmålet for den viderekomne kunne således være:

Hvorfor det?

;-)

  • 1
  • 0

Hej Svend

Ja - løsningen var ikke helt nem af forudsige. Men der er jo to forhold på spil:
1. Cirklen har et bedre forhold mellem omkreds og areal end kvadradet.
2. En opdeling af arealerne på to ca lige store arealer giver det største omkreds-forbrug.

Det sidste forhold viser sig så i praksis at få størst indflydelse.

Mvh Ebbe

  • 0
  • 0

Hvorfor det?

Fordi det er dér, hvor forholdet mellem areal og omkreds er det samme for de to figurer.

  • 0
  • 0

Gælder det for alle figurer? Hvad med en firkant og en trekant?

Hvis højden angives til at være d er forholdet mellem areal og omkreds for et kvadrat (og cirkel) d/4.

Så trekanten skal have den højde h, som giver forholdet mellem areal og omkreds d/4. Omkredsen på en trekant med højden h afhænger i høj grad af formen, så regn selv på din foretrukne form. Hvis fx forholdet for areal og omkreds for din trekant bliver h/3,46 skal h/3,46 være lig d/4 for at det samlede areal bliver mindst.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten