Tænkeboks: Hvor langt slæbes klodsen?

Jeg gætter på at denne opgave bygger på et klassisk matematisk problem, som sikkert har et navn blandt fagmatematikere. Måske har den kurve, der fremkommer i sandet, også et særligt navn. Jeg har ikke en tyk gummibibel, hvor den slags står i, men til gengæld har jeg en tynd laptop med et udmærket regneark!

Med udgangspunkt i figuren i opgaven sætter jeg den vandrette akse til x-aksen og den lodrette til y-aksen. Jeg kalder rebets udgangspunkt for S. Jeg får så at vinklen mellem rebet og y-aksen bliver: V = arccos(Ys-Yk) og Ys = Yk+KVROD(1-Xk^2).

Jeg kan nu arbejde mig frem fra udgangspunktet med små skridt, idet jeg ud fra trækvinklen kan bestemme nye værdier for Xk og Yk, og dermed for Ys og V.

Når Ys når værdien 2 kan den samlede træklængde gøres op. Afhængigt af den benyttede skridtlængde kan det blive nødvendigt at benytte interpolation til sidst.

Jeg byder på værdien: 1,33 m.

Godt nytår! Et bud på banekurvens længde er 132,5cm - træksnor og banekurve tangere. Banekurven er meget tæt på at være en parabel, i det givne område.

Hej Erling. Godt nytår selv!

Jeg er glad for, at du når ca. samme resultat som mig, men hvordan når du det? Jeg har prøvet at indlægge en trendkurve og finder nu ikke overensstemmelsen med en parabel specielt god - men ok: den ligner!

Et eller andet sted i min hukommelse siger mig, at vi er ovre i noget cosh. Jeg kunne i øvrigt ikke få opgaven til at give mening, fordi jeg troede at man trak opad. Doh!

fordi jeg troede at man trak opad

Der startede jeg også, og så er den ret nem 😉

Hvis man vender tegningen på hovedet ligner kurvestykket er en halv kasteparabel!?

Jeg har steppet mig frem som dig med udgangspunkt i dy/dx for snor = kurve. Slut hældning på -3,63

Det er det populære navn, og det er en gammel opgave. Jeg tyede til google, og mellem alle dyrebutikkerne fandt jeg en norsk beskrivelse. Kurven kaldes også en traktrise. Desværre findes kun y som funktion af x for kurven men ikke for trækpunktets bevægelse. Men trækpunktets y-værdi og "hundens x-værdi skulle være y=a ln(1/x (a+kvrod(a^2-x^2))). Ved iteration får jeg y=2 når x=0,02, og kurvelængde = 1,7. For to x-værdier skulle kurvelængden mellem dem være a ln(x1/x2). (Jeg er lidt usikker på denne meget lille x.værdi jeg finder).

Jeg tror ikke rigtig på de 1,32 m andre har fået. I øvrigt afhænger det af hundens størrelse hvem der kommer til at beskrive en hundkurve. Manden eller hunden.

Tak for hundekurven passer meget fint oven på min ‘steppede’ kurve.

Jeg tror ikke rigtig på de 1,32 m andre har fået.

Hvis min x-værdi er rigtig, så er kurven længere end ca. kvadratrod (2) ~1,4.

Ked af det, men jeg havde ikke set at det var log10 jeg brugte istedet for ln. Så bliver kurven 1,326

Animation af klodsens bane - inkl. TV2 News! Steps er gjort store i forfold til dem i beregningen. Bemærk at 'hundekurven' (Magenta) fitter den 'steppede' kurve (Blå) :-)

http://www.test.airling.dk/Pictures/TestEr...

Jeg har ikke en skid forstand på matematik. Men hvad nu hvis den vinkelrette linie ikke er vandret men istedet lodret? Der står ikke et ord om at den er vandret. Det er bare fordi i tænker firkantet. Der står heller ikke noget om hastigheden af slæbningen. Hvis vi forudsætter at den slæbes af den nye elektriske Porsche så sker der også noget helt andet end det i lægger ind i jeres forudsætninger. Det er det der gør at nogen mennesker kommer med nye geniale løsninger. De tænker ud af firkanten. Hvis meningen er at man skal tænke firkantet her så skriv det ind i præmisserne. Ude på Highway 61 lå der 2 tankstationer. På vej derudaf møder en Mercedes en lille Fiat 500 som holder stille. Tilbyder at tage ham på slæb. Det går fint indtil Mercedes overhales af en Jaguar som dytter lidt da han overhaler. Mercedesejeren glemmer helt den lile Fiat og jokker speederen i bund. Så er det så at tankejer 1 ringer til tankejer 2 og siger: Du tror det er løgn men om lidt kommer en Jaguar og en Mercedes forbi dig i fuld fart Og bagved ligger en lille Fiat 500 og dytter fordi han vil overhale. Og hvorfor så lige nævne den her ældgamle vittighed. Jo Fiat er på slæb uanset hastigheden og han fortæller hvad han tror er rigtigt fordi han ikke har alle oplysninger. Jeg skal lige nævne at selvom alle oplysninger var givet ville jeg stadig ikke kunne løse opgaven. Mvh Keld

Men hvad nu hvis den vinkelrette linie ikke er vandret men istedet lodret? Der står ikke et ord om at den er vandret. Det er bare fordi i tænker firkantet

Sådanne opgaver har altid en masse forudsætninger som forventes kendte og accepterede. Det ville blive svært hvis alt skulle beskrives. Du er selv inde på problemet med massen af klodsen, som næsten uanset gnidningskraften vil give en anden kurveform, fordi kurvebevægelsen kræver lidt ekstra kraft rettet indad i kurven. Det kan kun opnås, hvis klodsens bevægelsesretning er mod et punkt til venstre for hundetrækkeren. (ifølge tegningen).

Det ville så øge antallet af forudsætninger betragteligt, og kunne få klodsen (hunden) til at krydse y-aksen.

Sådanne opgaver har altid en masse forudsætninger som forventes kendte og accepterede. Det ville blive svært hvis alt skulle beskrives. Du er selv inde på problemet med massen af klodsen, som næsten uanset gnidningskraften vil give en anden kurveform

Mangler vi så ikke snorens slutvinkel i forhold til trækretningen, for at kunne afgøre hvilken kurve klodsen har fulgt?

Vi lader (x,y) være et vilkårligt punkt på kurven og lader tangenten (= snoren) i punktet ramme ordinataksen ved ordinaten p. Nu kan opskrives en formel for tangentens retning og en Pythagorasformel for den ene katete i den retvinklede trekant med hypotenuse 1. Derefter elimineres p af de to formler [latex] \qquad \qquad \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = \frac{y - p}{x}\qquad \mbox{og} \qquad p - y = \sqrt{1 - x^2}[/latex] [latex] \qquad \qquad \Rightarrow \frac{\mbox{d}y}{\mbox{d}x} = - \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} [/latex] [latex]\qquad \qquad y = - \sqrt{1 - x^2} + \ln{\frac{\sqrt{1 - x^2} + 1}{x}} [/latex] Integrationskonstanten blev 0, da formlen giver y = 0 for x = 1. Grafen kaldes en tractrice, som Svend allerede har bemærket. Sluttilstanden bstemmes ved at formlen for y indsættes i ovenstående Pythagoras-formel sammen med p = 2: [latex] \qquad \qquad 2 + \sqrt{1 - x_2^2} - \ln{\frac{\sqrt{1 - x_2^2} + 1}{x_2}} = \sqrt{1 - x_2^2} [/latex] [latex] \qquad \qquad \Rightarrow x_2 = \frac{2 \mbox{e}^2}{\mbox{e}^4 +1 } = \frac{1}{\cosh\mbox{e}^2} \simeq 0.2658 [/latex] [latex] \qquad \qquad\quad\; \, y_2 = 2 - \tanh\mbox{e}^2 \simeq 1.036 [/latex]/Kurvens længde beregnes af [latex]\qquad \qquad L =\int_{ x = x_2}^1\sqrt{(\mbox{d}x)^2 + (\mbox{d}y)^2} = \int_{x = x_2}^1 \sqrt{1+ y'^2} \mbox{d}x [/latex] [latex] \qquad\qquad\quad= \int_{x = x_2}^1 \frac{1}{x} = -\ln(x_2) = \ln \left( \cosh \mbox{e}^2 \right) \simeq 1.325 [/latex] Bemærk, at det sidste korte resultat består af hele 3 funktioner, ln, cosh og exp!

Snedigt. Jeg havde ikke lige set at man så simpelt kunne få x udtrykt ved y.

Hvor lang en strækning har klodsen så tilbagelagt når x=0 ?

Hvor lang en strækning har klodsen så tilbagelagt når x=0 ?

Det gør den jo aldrig, og det vidste du nok. Hundeejeren er vendt hjem igen med eller uden hund længe inden.

Hej Børge, Fin løsning, men kan ikke få dine hyp funktioner til at give samme resultat som grundudtryket.

Hej Erik, Tænker at y(0) = oxo (uendelig)

Hej Børge

Flot løsning! Det glæder mig, at vi når samme resultat!

Kurven er en Tractrix efter trahere, latin for at trække. Deraf sikkert fordanskningen "hundekurven", nemlig den kurve en modvillig hund ville slæbes ad, hvis ejeren trækker hunden ad en lige linie hjemad. Ifølge Wiki https://en.wikipedia.org/wiki/Tractrix er buelængden mellem x1 og x2 : a ln (x1/x2), hvor a er hundesnorens længde. Det giver dog kun ca den halve buelængde end de øvrige bidrag her, så det har jeg nok misforstået.

I anledning af Eriks spørgsmål kommer jeg til at tænke på en anden hundeopgave, der engang voldte mig store bryderier fordi jeg ikke troede på min egen løsning. En mand går med konstant fart langs en retlinet sti. Langt ude foran ham leger hans hund, lidt til siden inde i græsset. Manden kalder på sin hund, og da det er en lydig hund, løber den imod ham, naturligvis i en krum bane, fordi manden fortsætter med at gå. Da det er en lille hund, der løber i græs, har den samme fart som manden. Hvis man får oplyst hundens position i forhold til manden i det øjeblik, manden kalder, hvor vil de så mødes? Det uverraskende svar er, at de ikke mødes. Manden vil simpelthen gå forbi hunden, der så kommer halsende bagefter. Er der en intuitiv forklaring på dette?

Er der en intuitiv forklaring på dette?

Manden havde nok ingen godbidder med.:-)

Hej Bjarne

Det forstår jeg ikke. ln(1/0,265) = 1,328 , så hvad er problemet? Du har vel ikke brugt 10-tals logaritmer?

Som det ses af næstsidste linje i min løsning, er din formel for kurvelængden korrekt, så det må være din beregning ( dvs. halvdelen), det er galt med.

Er der en intuitiv forklaring på dette?

Ja -- den vil altid sigte på det punkt hvor han er nu, og det vil altid komme bag manden når han går; dermed vil den på et tidspunkt komme bag ham, og kan ikke indhente ham med samme fart

Det uverraskende svar er, at de ikke mødes. Manden vil simpelthen gå forbi hunden, der så kommer halsende bagefter. Er der en intuitiv forklaring på dette?

Men alvorligt talt, så er det nok fordi den krumme bane er længere end den lige linje, og da de har samme hastighed kan de ikke mødes.

Er der en intuitiv forklaring på dette?

Der er i hvertfald en rimelig enkel forklaring på det:

Hundens chancer for at nå manden bliver bedre jo tættere på stien den leger. Men selv hvis den er meget tæt på, vil den spilde sin tid ved at gå i retning mod ham i starten, i stedet for blot at gå ud på stien og sidde pænt og vente. Lige før de er på højde med hinanden, vil den skifte kurs, men den vil lige præcis IKKE nå ham. Løsning: Han anskaffer en hund med en bedre intelligens. De findes!

Re: En anden hundeopgave

Det uverraskende svar er, at de ikke mødes. Manden vil simpelthen gå forbi hunden, der så kommer halsende bagefter. Er der en intuitiv forklaring på dette?

Men alvorligt talt, så er det nok fordi den krumme bane er længere end den lige linje, og da de har samme hastighed kan de ikke mødes.

Jeg kan se at der er en som ikke helt kan se logikken bag mit udsagn. Lad mig derfor uddybe, i det vi husker på at manden og hunden bevæger sig med samme hastighed: Manden går ad en lige linje hen ad stien mod punktet hvor de to kunne mødes, såfremt hunden også løb i en ret linje mod det punkt. Hunden løber i en krum bane, da den befinder sig et stykke til siden fra stien og hele tiden løber mod manden som bevæger sig fremad. Derfor må den vejlængde hunden tilbagelægger være længere end den manden tilbagelægger. Den korteste afstand mellem to punkter er som bekendt en ret linje.

Erik påstår sjovt nok at hunden har bevæget sig længere end manden, selv om de har bevæget sig med samme hastighed i samme tid. På den måde kan man bevise mange ting. Jeg kan ikke lide at Erik taler om rette linjer for hundens vedkommende. [latex] [/latex] I min tidligere udledning (#16) har Erling gjort mig opmærksom på, at cosh(e^2) skal være cosh(2) og tilsvarende med tanh(2). Mine talværdier er gode nok.

Erik påstår sjovt nok at hunden har bevæget sig længere end manden, selv om de har bevæget sig med samme hastighed i samme tid.

Ja, det er svært det her. Pointen er naturligvis at de ikke kan mødes.:-)

Altså, hunden går kun lidt ved siden af stien FORAN manden, så de bevæger sig imod hinanden? Hvis ellers både mand og hund har bredden > 0, og det har de fleste, så kan jeg berolige dig med at de sandsynligvis støder ind i hinanden :-) Og det cirka midtvejs. Så nu kan jeg sove roligt

Altså, hunden går kun lidt ved siden af stien FORAN manden, så de bevæger sig imod hinanden?

Til at starte med bevæger de sig mod hinanden, men de er ikke på kollisionskurs, og på et tidspunkt har manden overhalet hunden. Godnat, og drøm behageligt.:-)

Hej Ebbe, hej Børge (post nr. 24 og 25) Tillad mig at vende tilbage til den oprindelige opgave :-) Bevares, denne spalte skal måske ikke ligefrem være en skolestue. På den anden side skal en hvis underholdningsværdi vel tilstræbes ved at bringe så mange som muligt til en "Ach-so !" oplevelse. Det kunne hjælpe sådan een som mig, og sikkert mange andre, at få indblik i hvor 0,265 kommer fra ? Tom Lehrer i "New math" måske ? "Sixty-four ? How did sixty-four get into it ?" "Well sixty-four is eight squared, dont you see !" Ask a silly question, get a silly answer" :-) .-) Når sådan een som mig ser ln(cosh e2) som Børge skriver ovenfor, så ser jeg en konstant hvis ellers e er Eulers tal. Men der er nok tale om et særtilfælde for 1m snor og 2m træk, tænker jeg.

Hej Bjarne, Som Børge skriver i #30 så skal e^2 erstattes med 2, når snor=1 og træk=2, dvs.kurve længde = Ln(Cosh(2)). Havde opgaven haft andre input f.eks. snor=1 og træk=3 ville kurve længden være = Ln(Cosh(3)). mvh Erling

kommer frem til integralet, men undlader den analytiske løsning heraf. Den burde være med! Godt vi har læsere som Børge der orker at bidrage.

Disclaimer: Jeg har ikke checket, om den bragte løsning er rigtig.

Svaret afhænger af håndens størrelse eller at snoren er længere end 1 meter.

hvis trækket på klodsen/punktet er påført via en kraft på hele den 1 meter lange snor (illustrativt ved fx 1 meter bred håndflade), så vil det kræve at denne kæmpe -- som bevæger sige 2 meter vinkelret på snoren / |liniestykke fra lillefinger kno til pegefinger kno| -- har løse håndled... dette for at snor-klods-objektet vinkles som illustreret i "slutposition".

Da det er et urealist at en sådan kæmpe har SÅ LØSE håndled er svarene på ca. 1,32 meter - omend matematisk udregnet korrekt under fejltagne omstændigheder - urealistisk. Derfor er korrekte svar at klodsen slæbes 2 meter...

Nogle gange kan man hjælpe sin intuition på vej ved at tage sine læsebriller på.:-)