Tænkeboks: Hvor langt løber børnene efter hinanden?

Hov. Der mangler noget i formlen! Det skulle være:

L=0,79*sigma(0 til uendelig)[0,214^n] = 0,79/(1-0,214)= 1,005

Undskyld, hvis nogen har kløet sig unødigt i nakken pga. fejlen!

Flotte matematiske løsninger fra Kim og Børge! Her kommer så den hurtige ingeniørmæssige løsning: I et regneark simuleres to af pigernes bevægelser. Dog kun den første fjerdedel af spiralen. Når de er kommer så langt gentager processen sig jo blot i et mindre kvadrat. Og så fremdeles.

Jeg sætter sidelængden til 1. For den første fjerdedel finder jeg at de bevæger sig 0,79 og at sidelængden af det mindre kvadrat, som processen fortsætter i, er 0,214. Den samlede rute bliver så:

L = 0,79 * sigma (0 til uendelig)[1/(1-0,214)] = 1,005. Hvilket for praktiske formål burde være tilstrækkeligt nøjagtigt. (Jeg vil slet ikke tænke på betydningen af de stakkels børns fysiske dimensioner).

Med n piger i en regulær n-kant har hver pige vinklen pi/2 - pi/n med retningen til centrum og bevæger sig derfor afstanden dr/sin(pi/n) samtidig med at hun nærmer sig centrum med -dr. Denne længde integreres fra startafstanden r= r0 = 0,5/sin(pi/n) til r = 0, hvilket giver det korrekte svar længde = 0,5/sin^2(pi/n).

For fire børn løber hvert barn i en vinkel på 45° på linien fra centrum til barnet. Dvs. når afstanden til centrum (r) formindskes med -dr, bevæger barnet sig sqrt(2)(-dr). Ved integration af dette fra r til 0 fås vejlængden sqrt(2)r, som er en vægs længde.

For tre børn ændres vinklen til 30°, og for hvert -dr bevæger barnet sig -dr/cos 30°. Tilsvarende for fem børn. Tilbage er omregning mellem væglængde og radius.

Man kan finde sammenhængen mellem de polære koordinater r og w (omega :-) ) ved tilsvarende at beregne ændringen i vinklen ved ændringen -dr: dw = -dr/r, eller dw/dr = -1/r

Jo - det er jo nogle år siden jeg tærskede løs i komplekse tal på studiet (slut i 92), men jeg huskede at trigonometriske opgaver ofte bliver meget pænere ved at bruge komplekse tal, som fuldt ud kan indgå i øvrige regne processer. Har siddet og puslet et stykke tid med opgaven, og syntes metoden blev så kortfattet, at det skulle publiceres?. Første gang jeg blander mig her. Tak for kommentaren.

Det var en flot løsning, Morten. Du beregner også vejlængden på konventionel måde, men det irriterer mig grænseløst, at jeg ikke kan finde den ved en simpel betragtning, fx ved projektion. Vi får se, hvad opgavestilleren gør.

Så fik jeg lært lidt Latex, og hentet de komplekse tal ned fra loftet...

Børnene har søde navne, nemlig B0,B1,...B(N-1). Jeg propper det N-kantede rum ind i det komplekse talplan, og lader B0 starte i 0+0i, og B1 i 1+0i. B0 følger B1 og B1 følger B2, hvilket betyder at hvis B0 er flyttet til punktet z til tiden t, så vil B1 være flyttet en vektor fra dens start, som er z, drejet den vinkel som B2 har ifht B1. Denne vinkel er de 2 PI radiner divideret med antallet af kanter.(kan ikke finde ud af at lægge tegning ved) Det udtrykkes i komplekse tal som en multiplikation med [latex]R = e^{\frac{2\pi}{N}i}[/latex]

så altså: Er B0 i punktet z til tiden t, så er B1 i z1=1+Rz. Hastigheds vektoren for B0 er hele tiden proportinal med z1-z. Vi sætter hermed

[latex]z'=z1-z=1+Rz - z = 1+kz,,,k=e^{\frac{2\pi}{N}i}-1[/latex]

Denne diffentialligning har med kravet om z(0)=0 løsningen: [latex]z(t) = \frac{1}{k}\left(e^{kt}-1\right)[/latex] Og hastigheden er således [latex]z'(t) = e^{kt}[/latex] Den samlede længde der skal løbes er integralet over |z'| fra 0 til uendelig: [latex]L =\int_{0}^{\infty}|e^{kt}|,dt = \int_{0}^{\infty}e^{Re(k)t},dt = \left[\frac{1}{Re(k)}e^{Re(k)t}\right]_0^\infty= \frac{-1}{Re(k)}[/latex]

Indsættes k fra foroven, så bliver det endelige resultat: [latex]L=\frac{1}{1-cos\frac{2\pi}{N}}[/latex]

Der for N=3,4,5 giver 2/3, 1, ~1.45

Jeg propper det N-kantede rum ind i det komplekse talplan, og lader B0 starte i 0+0i, og B1 i 1+0i. B0 følger B1 og B1 følger B2, hvilket betyder at hvis B0 er flyttet til punktet z til tiden t, så vil B1 være flyttet en vektor fra dens start, som er z, drejet den vinkel som B2 har ifht B1. Denne vinkel er de 2PI radiner divideret med antallet af kanter. Det udtrykkes i komplekse tal som en multiplikation med [latex]e^\left(\frag{2phi}{N}*i\right)[/latex]

[latex]\frac{d}{dx}\left( \int_{0}^{x} f(u),du\right)=f(x)[/latex]

så altså: Er B0 i punktet z til tiden t, så er B1 i z1=1+e^ivz. Hastigheds vektoren for B0 er hele tiden proportinal med z-z1. Vi sætter hermed z'=z1-z=1+(e^iv-1)z=1+kz, k=e^iv-1.

Denne ligning har med kravet om z(0)=0 løsningen 1/k(e^kt-1). Hastigheden til tiden t er således e^kt.

Den samlede længe er intgr(0->inf) af |e^kt|, som er = e^(Re(k)t) Dette udregnes til -1/Re(k). Da k=cos(v)+isin(v)-1, er Re(k)=cos(v)-1. Samlet længden et barn skal løbe er således: L=1/1-cos(2pi/N) (4:L=1, 3:L=2/3, 5:L=1.45)

Ugens opgave løses givetvis lettest i polære koordinater, men det kan jeg ikke klare, lige som jeg heller ikke har forstand på at medsende en tegning. Så jeg prøver at udtrykke mig tydeligt i cartesiske koordinater. Vi betragter en polygon i form af en regulær n-kant med sidelængde 1 og med en pige i hvert hjørnepunkt. Nederste polygonside AB er vandret og knækker ved B med den udvendige vinket v = 2 pi/n over i næste side BC. Kordinatsystemets begyndelsespunkt O ligger i midten af polygonen i afstanden h = cot(pi/n)/2 over AB. Punkterne A og B hedder derfor (-1/2,-h) og (1/2,-h). Når pigen fra A har bevæget sig til punktet (x,y), har pigen fra B bevæget sig til punktet med koordinater x1 og y1 givet ved [latex] x_1 = \frac{1}{2} + (x + \frac{1}{2}) \cos v - (y+h) \sin v\qquad y_1 = -h + (x+\frac{1}{2} ) \sin v + (y+h) \cos v [/latex] Da pige A til stadighed styrer mod pige B, har vi [latex] \qquad \frac{dy}{dx} = \frac{y_1 - y}{x_1 - x} = \frac{y (1-\cos v) - x \sin v}{y \sin v + x (1-\cos v)} [/latex] Når tæller og nævner begge divideres med x, er højresiden en funktion af y/x, og differentilaligningen kan derfor løses ved at y erstattes af en parameter p givet ved [latex] \qquad y = p x \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{dp}{dx} x + p [/latex] Ved indsætelse kan de variable p og x adskilles og der kan integreres, hvorefter p elimineres igen. Dette overspringer jeg fordi det er for tidskrævende at skrive. Vi ender med resultetet (med k som integrationskonstant) [latex]\qquad \ln(x^2 + y^2) + 2 \frac{1-\cos v}{sin v} \arctan \frac{y}{x} =k [/latex] Nu kan selv jeg gå fra de cartesiske koordinater (x,y) til de polære (r,u), hvor r er afstanden fra O til pige A og u er den drejede vinkel målt ud fra startpositionen [latex] \qquad \ln(r^2 ) + 2 \frac{1-\cos v}{\sin v} u =\ln(r_0^2 ) [/latex] Her er r0 radius i startpositionen, der danner vinklen u0 med x-aksen [latex] \qquad r_0 =\frac{1} {2 \sin (v/2)}\qquad u_0 = \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{n} \right) [/latex] Herefter forenkles formlen til [latex] \qquad r = r_0 e^{-a u} \quad \mbox{hvor} \quad a = \frac{1-\cos v}{\sin v} = \tan (v/2) [/latex] Dette er en logaritmisk spiral, der spiralerer uendelig mange gange med aftagende radius ind mod polygonens midtpunkt. Den må ikke forveksles med en Archimedes spiral, der har et fast startpunkt (eller slutpunkt) og overalt har konstant afstand mellem nabo-linjerne. Et lille stykke af spiralen har længden ds givet ved [latex] \qquad ds = \sqrt{(dr)^2 + (r\ du)^2} =\sqrt {(dr/du)^2 + r^2} du = r_0 \sqrt{1 + a^2} e^{-a u} du [/latex] Hermed nliver spiralens samlede længde [latex] \qquad s = \int ds = \int_0^\infty r_0 \sqrt{1 + a^2} e^{-a u} du = r_0 \frac{\sqrt{1+a^2}}{a} = \frac{1}{2 \sin^2 (\frac{\pi}{n})}[/latex] Specielt får vi s = 1 for n = 4.

De bevæger sig i en spiral, uendelig mange gange omkring centrum. Hvert barn bevæger sig længden af én væg (L).

For tre børn bliver hvert barns bevægelse 2/3 L. For fem børn bevæger de sig 1,45 L. Generelt er hvert barns bevægelse L/(2cos^2(v/2)) hvor v er vinklen mellem 2 vægge.

Bevægelseskurverne opfylder ligningen (x+y)y' = y-x for fire børn (med centrum af rummet i origo). Men det er nemmere at regne polært. Afstanden til centrum formindskes med faktoren e^(2pi) (ca. 535) pr. omgang.