Tænkeboks: Hvor lang tid tager det at tømme et ølfad?
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Teknologiens Mediehus kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Hvor lang tid tager det at tømme et ølfad?

Trofaste læsere vil erindre, at vi i en lang årrække her på siden jævnligt bragte nogle ret skrappe opgaver, der krævede logisk, matematisk eller naturvidenskabelig indsigt af løserne. Med bidrag fra medarbejdere og studerende fra Mads Clausen Instituttet ved SDU og Institut for Matematiske Fag ved AAU genopstår ‘Tænkeboksen’ nu med nye opgaver for en periode.

Andre teknisk-naturvidenskabelige uddannelser er inviteret til at bidrage med originale opgaver til den nye serie tænkebokse.

Vi sigter på, at de skal holde en passende (høj) sværhedsgrad, og emnerne vil naturligvis ligge inden for natur­videnskabelige og ingeniørfaglige områder.

Men jeg må nok forberede tidligere løsere på, at opgaverne fra læreanstalterne i denne omgang bliver en anelse skrappere end tidligere – der skal somme tider graves dybt i kramkisten efter forlængst lagret lærdom for at klare problemerne! For at forebygge ‘snyd’ skal løsningerne helst ikke umiddelbart kunne googles.

Men seriøse løsere vil da også vente, til de ser løsningen på næste uges Bagside. Eller måske vil de præsentere deres eget løsningsforslag til diskussion i tråden under opgaven, når den kan læses på ing.dk søndag eftermiddag.

Den første opgave kommer fra Mads Clausen Instituttet, sektion mekatronik og center NanoSYD og lyder:

Opgave 1: Et ølfad har en hane i bunden, som på et tidspunkt bliver åbnet. I løbet af det første minut falder ølstanden i fadet med 19 %. Hvor længe tager det, før fadet er tomt?

Vi bringer løsningen i næste uge på Tænkeboksens nye fokusside, men I kan allerede nu diskutere jeres forslag til løsninger under artiklen her.

/Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Ok. Jeg har lavet visse antagelser her. Jeg antager at fadet ikke er tryksat, og det derfor kun er højden på øllet der afgør flowet. Jeg antager også at hanen blot er et hul, og ikke et rør, som stikker nedad og dermed laver et ekstra sug. Jeg behøver ikke at antage noget om ventil karakteristikken andet end at mere tryk forskel altid giver mere flow, og at nul tryk forskel giver nul flow. De 19% er også irrelevante. Efterhånden som øllets højde i fadet nærmer sig nul, så nærmer flowet sig også nul. Dermed nærmer overfladen sig asymptotisk til nul. Dermed bliver fadet aldrig helt tomt.

  • 0
  • 3

Havde opgaven været stillet med en åben beholder, havde den været løsbar.

Men et ølfad er en lukket beholder, og så får det betydning, hvordan hvordan trykket over væskeoverfladen varierer som funktion af væskehøjden. Samt hvor højt dette tryk er i forhold til det statiske tryk fra væsken. Ingen af disse oplysninger har vi.

  • 3
  • 1

Selvfølgelig kan opgaven løses, ellers var den jo ikke stillet. Mon ikke opgavestilleren har tænkt den igennem!? Dermed ligger de antagelser, der skal gøres, implicit i opgaven, og derfor skal man ikke bryde sit hoved med alle mulige mærkvædigheder. Man skal blot tage opgaven for pålydende og løse den - BOM! Længere er den ikke.

  • 2
  • 0

Hvis nu vi var blevet spurgt om hvornår den var på 5% og vi fik at vide at vi have at gøre med et første ordens lti System, så havde vi opgaven specificeret ordenligt. Det ville give cirka 12,7 minutter.

  • 0
  • 0

Det ligger implicit i opgaven, at tværsnitsarealet er konstant i hele højden, for ellers ville man ikke kunne løse opgaven med de oplysninger, man har fået.

  • 1
  • 1

Det ligger implicit i opgaven, at tværsnitsarealet er konstant i hele højden, for ellers ville man ikke kunne løse opgaven med de oplysninger, man har fået.


Har du nogen som helst ide om, hvor fjernt det ligger fra en ingeniørs hverdag at antage, at blot fordi man ikke har fået en oplysning, har den ikke betydning for udførelsen af opgaven?

En meget stor del af arbejdet som ingeniør handler om at fremskaffe de oplysninger, som har betydning for udførelsen, og som var glemt/ignoreret af de personer, der stillede opgaven.

Derfor har jeg absolut ikke nogen som helst respekt for folk, der siger: "Jamen, du skal jo bare antage, at opgaven skal kunne løses med de oplysninger, du har fået."

Den holdning fungerer sikkert fint i et studiemiljø. Ude i virkeligheden fører den til katastrofer.

Stiller man opgaver på et forum for ingeniører, er man derfor nødt til at anerkende, at der stilles højere krav til opgavens kvalitet, fordi en ægte ingeniør ikke bare accepterer, at der mangler oplysninger.

  • 6
  • 6

Jeg er selv ingeniør, så jeg forstår det ganske udmærket. Jeg siger jo netop, at man ikke skal antage noget her - det ligger allerede implicit!!! Havde jeg fået en lignende opgave på mit arbejde, havde jeg stillet en masse spørgsmål, så opgaven var konkretiseret. Det er bare slet ikke det, en opgave som denne handler om. Det er gak og løjer. Det handler bare om at forstå opgaven i al sin enkelhed (en egenskab man bør kunne forvente af enhver ingeniør) med de begrænsninger, den har i den givne kontekst - og så løse den.

Er der nogen, der kommer frem til andet end de 10 minutter?

  • 4
  • 1

Er der nogen, der kommer frem til andet end de 10 minutter?


Jeg kommer også frem til 10 minutter under forudsætning af, at fadet er trykløst, og at det vandrette tværsnit er konstant i hele højden.

Men som sagt er forudsætningen om, at fadet er trykløst, hamrende forkert. Der er jo faktisk et ret kraftigt tryk fra CO2'en i ølfadet, og det vil påvirke løsningen. Derfor bør man afholde sig fra at løse opgaven med de forhåndenværende oplysninger.

  • 2
  • 3

At det tager 10 minutter, eller at man er kommet frem til 10 minutter er ikke i sig selv synderlig interessant; jeg tror vi alle desuden gerne vil høre HVORDAN?

  • 3
  • 0

Som overskriften i mit første indlæg siger, så handler det om Torricelli's lov (eller Bernoulli's princip):

https://en.wikipedia.org/wiki/Torricelli%2...

Den interessante ligning er:

delta t = konstant*(kvadratrod(h1)-kvadratrod(h2))

Vi starter med at sætte h1 til 100 (svarende til 100% fyldt) og h2 til 81 (dvs. 100-19%), som er højden efter 1 minut (delta t) eller 60 sekunder, om man vil. Konstanten beregnes nu let, og vi kan da finde delta t for hele forløbet, hvor h1 igen er lig 100, men hvor h2 nu er lig 0. Det giver eksakt 10 minutter (eller 600 sekunder).

Undskyld at jeg ikke har brugt LaTeX.

  • 1
  • 1

For nogle år siden, havde jeg fornøjelsen af at spise morgenmad på et hotel. På buffeten havde de sådan nogle fine "glastanke" ca. 5 liter til juice. Nederst var der en fin lille ventil der kunne åbnes, hvor efter de friske dråber rendte ned i glasset.
På tanken med æblejuice, havde de imidlertid glemt at åbne ventilen i toppen, så efter et stykke tid flød de gyldne dråber ikke længere.
Umiddelbart passer det meget godt med ca. 20%, før undertrykket i toppen af tanken blev for "stort". Så med de givne oplysninger vil jeg mene at den aldrig tømmes.

  • 2
  • 3

Jeg må tilstå (eller fremture med), at være kommet frem til samme metode, men havde ikke indset, at det er tilstrækkeligt blot at tildele cylinderhøjden h1 en arbitrær eller relativ værdi, som du har gjort.

Bagefter er det let at fornemme, at der nok er en proportionalitet så den absolutte højde ikke betyder noget. En test med nogle prøveværdier modsiger det da heller ikke.

  • 1
  • 0

Hvis flow var proportionalt med højden ville det svare til afladning af en kondensator gennem en modtand. Den ville aldrig blive totalt afladet, men Toricelli har en anden formel, som understøttes af virkeligheden, så de 10 minutter passer meget godt med nogle simple forudsætninger om en cylinder med åben top.
Det er så spørgsmålet om det svarer til et ølfad?

  • 0
  • 1

Ja nemlig! Det er som en kondensator der aflades over en modstand, og den bliver dermed aldrig tom. At modstanden så er ulineær gør ingen forskel så længe mere tryk giver mere flow, og nul tryk giver nul flow, hvilket både den lineære model og kvadratroden opfylder. Det gør heller ingen forskel hvilken form tanken har. Og nu hvor det bliver kastet sådan rundt med ligninger, så skal jeg da lige være så venlig at skrive de rigtige differentialligninger op for vores lille system.

A(h(t)) dh(t)/dt = f(h(t))
h(0) =?

Hvor t er tiden, A(h) er arealet af vandspejlet ved en given vandstand. f(h) er ventil karakteristikken. Vi kender hverken A eller f, men hvis vi lineariserer får vi.

dh(t)/dt = K(t)h(t)

Hvor K(t) er den momentane forstærkning i systemet. Den vil altid være positiv, og under rimelige antagelser ikke gå mod uendelig. (Overfladen går ikke mod 0, og ventilen får aldrig en uendelig lille modstand).
Men efterhånden som h(t) nærmer sig 0, så gør dh(t)/dt også, uanset hvilken ventil karakteristik og uanset initial højden og uanset bredden på fadet. Fadet bliver aldrig tomt - nej det gør ej!

  • 0
  • 0

Det er en fejlslutning at Toricelli loven fører til at fadet tømmes på endelig tid. Fejlen består i at højden ikke er konstant. Toricelli Loven påvirker højden på vandspejlet, som igen indgår i Toricelli loven.

  • 0
  • 0

Fadet bliver aldrig tomt - nej det gør ej!

Hvis du giver dig til at løse din differentialligning og lave et udtryk for væskehøjden som funktion af tiden, vil du faktisk opdage, at ligningen kan løses for en væskehøjde på 0. Hvor uintuitivt det så end måtte være.

Udstrømningsflowet er proportionalt med kvadratroden af væskehøjden. Det vil sige, at vi kan udtrykke højdeændringen over tid således:
dH/dt = -k * (H(t))^0,5

Hvor:
t er tiden, i dette tilfælde minutter.
H er højden, som jeg i dette tilfælde lader være dimensionsløs, da vi alligevel aldrig kommer til at kende den
k er en størrelse, som vil være konstant, når man har har fastsat sin udstrømningsåbning, beholderens vandrette tværsnitsareal osv.

Dette udtryk kan løses og omskrives til en generel funktion for højden som funktion af tiden:
H(t) = 0,25 * k^2 * t^2 - k * c1 * t + c1

Hvor c1 er endnu en konstant.

Nu skal de to konstanter k og c1 så blot findes. Vi har to kendte værdier af H(t) fra opgaven:
H(0) = 1,00 (da H er dimensionsløs, har jeg for nemheds skyld sat starthøjden til 1)
H(1)= 0,81

Sætter man t = 0 i udtrykket ovenfor, får man at c1 = H(0) = 1.
Sætter man t = 1 i udtrykket, får man en andengradsligning, der kan løses for k. Løsningerne er:
k = 0,2 og k = 3,8.
Det kan hurtigt vises, at kun løsningen k = 0,2 giver et kontinuert fald i væskehøjden mellem t = 0 og t = 1. Så det er den, vi skal bruge.

Nu kan vi indsætte c1 og k i det generelle udtryk og få en ligning, der gælder for vores beholder:
H(t) = 0,25 * k^2 * t^2 - k * c1 * t + c1
H(t) = 0,25 * 0,2^2 * t^2 - 0,2 * 1 * t + 1
H(t) = 0,01 * t^2 - 0,2 * t + 1

Løser man denne ligning for H(t) = 0, får man t=10.

Ulriks løsning er mere elegant. Jeg kan blot godt lide at opfinde den dybe tallerken...

  • 2
  • 0

Hvor uintuitivt det så end måtte være.


Denne kuriositet kan vel egentlig sammenlignes med den gamle historie om haren, der matematisk set aldrig kan indhente skilpadden:
Skilpadden får et forspring på 10 meter.
Haren løber med 10 m/s.
Skilpadden løber med 1 m/s.

Når haren når frem til det sted, skilpadden startede fra, har skilpadden bevæget sig 1 meter videre. Når haren så har tilbagelagt denne meter, har skilpadden bevæget sig yderligere 0,1 meter. Når haren så har tilbagelagt ... og så videre. Og derfor indhenter haren aldrig skilpadden.

Ovenstående er naturligvis noget vrøvl. Vi ved jo alle, at haren ender med at indhente skilpadden. Men mange giver op, når de skal forklare, hvorfor matematikken er forkert.

Svaret er, at matematikken ikke er forkert. Men regnestykket sætter tiden i stå, lige på det tidspunkt, hvor skilpadden bliver indhentet.

Den først strækning i historien tager 1 sekund. Den næste strækning tager 0,1 sekund. Den næste tager 0,01 sekund, og så videre.

Det vil sige, at skilpadden bliver indhentet efter 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + .... sekunder. Altså et tal, der hedder 1-komma-et-uendeligt-antal-ettaller. Hvilket præcist er brøken 10/9.

Så når tiden går mod 10/9 sekunder, går afstanden mellem haren og skilpadden mod 0. Så matematisk set bliver skilpadden indhentet efter 10/9 sekunder

Vi kan faktisk gøre noget tilsvarende med beholderen. Det tager præcist 9 sekunder at tømme de første 99% af beholderens volumen. Det tager derefter 0,9 sekunder at tømme 99% af den rest, der blev tilbage. Og derefter tager det yderligere 0,09 sekunder at tømme 99% af den nye rest.

Så når tiden går mod 10 sekunder (jeg tager mig den frihed at postulere, at 9-komma-uendeligt-mange-nitaller er det samme som 10), går beholderens restvolumen mod 0.

  • 1
  • 0

Jeg skal lige bemærke, at man naturligvis ikke behøver at kende/beregne konstanten i min løsning, da den forsvinder ud af ligningssystemet. Man opstiller bare de to ligninger, dividerer dem og isolerer delta t2.

  • 0
  • 0

Opgave 1: Et ølfad har en hane i bunden, som på et tidspunkt bliver åbnet. I løbet af det første minut falder ølstanden i fadet med 19 %. Hvor længe tager det, før fadet er tomt?

Øl kan have forskellig viskositet, ( lagdeling i fadet ) alt efter hvad øl talen er om, samt en hane der ikke er defineret, som har et stort impact på tiden.

Mit bud på formål med opgaven er: Fange teoretikkere der skråsikkert kan regne opgaven, uden at have sat sig ind i virkelighedens verden.

  • 0
  • 4

Jeg sætter som antagelse at den momentane forstærkning aldrig er uendelig. Men den går faktisk mod uendelig efterhånden som h går mod 0, hvis ventilen har denne kvadratrod. Så jeg kan ikke umiddelbart sige at vandstanden nærmer sig asymptotisk til 0. Interessant. En Ventil overgår så til et laminært flow regime på et tidspunkt, men lad nu det ligge.

Jeg kigger lige på Allan Olesens løsning når jeg har bedre tid, men ved en skimning giver det ok mening. Tak for det.

  • 2
  • 0

Toricellis formel svarer til at højdeforskellen omsættes til bevægelsesenergi: gh=0,5V^2.
Udnyttes så vidt jeg ved i pelton turbiner.
Raketformlen siger så at kraften F = masse/s
Vud. Det ville så give gh=V^2.
(masse/s = V
åbningmassefylde og kraften vil være ghmassefyldeåbning)

Energibetragtningen er den rigtige, men hvor fejler den anden udledning, som er en faktor 2 gal?

Uanset faktoren 2 bliver resultatet stadig 10 minutter.

  • 0
  • 0

Jeg er ikke i tvivl om, at metoderne, der har givet 10 sekunder, er rigtige, hvis det er et åbent kar.
Men et ølfad er jo en lukket beholder, og ydermere i et fadølsanlæg står væsken under et nogenlunde konstant overtryk (typisk 3 bar), ved hjælp af CO2 fra en trykflaske.

I sådan et, muligvis stadig forenklet, system, udgøres tømningen så af to dele:

  1. Den nævnte udstrømning forårsaget af tyngdekraften, jf. Toricelli.

  2. En mer-udstrømning, alene forårsaget af trykket i gaslommen og derfor uafhængigt af væskehøjden, og som må være konstant pr. tidsenhed hele vejen til fadet er tomt.

Mon det kan løses sammen, idet overfladeareal, haneareal, tyngdekonstant og overtryk jo stadig er konstanter?

  • 0
  • 0

Hvordan får du blandet et fadølsanlæg ind i opgaven? Et ølfad (som nævnt i opgaven) kan lige så vel være et gammeldags træfad som dette - og hvem siger, at påfyldningshullet er proppet til under tømning? I øvrigt er den beregnede tid 10 minutter (ikke sekunder).

  • 0
  • 0

*minutter, selvfølgelig.

Og du har ret, opgavens betingelser er slet ikke angivet tydeligt.
Det var blot for at prøve et alternativt tilfælde af øltømning, jeg opstillede fadølsanlægget.

  • 0
  • 0

Opgave 1: Et ølfad har en hane i bunden, som på et tidspunkt bliver åbnet. I løbet af det første minut falder ølstanden i fadet med 19 %. Hvor længe tager det, før fadet er tomt?

Jeg forudsaetter at det var fyldt med Faxe Fad, saa efter alle havde smagt blev hanen lukket igen

  • 3
  • 0

Mon det kan løses sammen, idet overfladeareal, haneareal, tyngdekonstant og overtryk jo stadig er konstanter?


Det kan løses, men du har i den situation ikke oplysninger nok i opgaven.

Problemet er, at funktionen for udstrømning over tid får en anden form, hvis der er et konstant overtryk over væskeoverfladen. Og dermed bliver løsningen en anden.

Det ses lettest ved at sætte væskens statiske tryk uendeligt lille i forhold til overtrykket over væskeoverfladen. Nu har du konstant tryk ved udstrømningshullet gennem hele tømningen. Når du har konstant tryk, har du også konstant flow, og dermed bliver løsningen 1/0,19 = 5,3 minutter.

Så vi har to løsninger for to yderligheder:
Situation 1:
Det statiske væsketryk er uendeligt lille i forhold til overtrykket over væskeoverfladen.
Løsning: 5,3 minutter.

Situation 2:
Overtrykket over væskeoverfladen er uendeligt lille i forhold til det statiske væsketryk.
Løsning: 10 minutter.

Og derimellem har vi så et uendeligt antal andre situationer med forskellige forhold mellem de to deltryk. Hver af disse situationer vil have sin egen løsning. Og oven i kommer så de situationer, hvor gastrykket over væskeoverfladen ikke er konstant men er en funktion af væskehøjden.

  • 2
  • 0

Det har generet mig at impulsbetragtningen dm/dtV =K = trykareal gav et andet resultat end energibetragtningen (effekt) 0,5dm/dtV^2= tryk*volumen/s.

Det er trods alt trykket over åbningen der skal accelerere øllet op, men det har nok noget at gøre med, at du så skal kende tryk, tid, sted og masse for at få denne formel til at virke.
Hvis energibetragtningen kan laves er det absolut at foretrække.

  • 0
  • 0

Umiddelbart tænkte jeg at hanen må give en strømningsmodstand og hvis man så antager at modstanden er proportionelt med trykket, så er sammenhængen eksponentielt, altså dh/dt~h. Det giver 0,81^t(min)=1/100-1/1000 (Lad os sige at fadet praktisk set er tømt ved 1/100-1/1000. del). Det giver 22-33 min.

  • 0
  • 1

Nu ved vi ikke så meget dimensionerne, men lad os antage et fad på 10L. nu=1,5e-6m^2/s (vand 5gr), d_hanen=1cm. Re=vd/nu. v=10L0,19/60s giver Re=2700... Mao viskositet mu er ikke meget vigtigt, dog ved er der en overgangslag ved hanens væg.
Vi kan beregne tryktab eller højdetab med:
h_tab=lambdal/dv^2/(2g).
lambda er modstandfaktor=ca 0.4
l=hanens længde=5cm
g=9,8m/s^2
Det giver h_tab=1,6cm.
Fadet typiske dimension er 10L^(1/3)=21,5cm.
Det betyder nok at der i hvert fald i starten er signifikant modstand fra hanen. Mao svaret er nok tæt på de 10 min. men måske lidt kortere, fordi de 19% er inkl. strømningsmodstand... eller hvordan det nu er...

  • 0
  • 0