Tænkeboks: Hvor højt er vinglasset?

Illustration: Ingeniøren

Årets første opgave kommer fra Mads Clausen Instituttet ved SDU i Sønderborg og lyder:

Illustration: Privatfoto

Opgave 24:

Et vinglas af højde h og med et tværsnit, som vist på tegningen, har den egenskab, at en kugleformet appelsin med radius på 3 cm lige netop kan anbringes i glasset uden at rage op over glassets kant.
Hvad er vinglassets højde?


Vi bringer løsningen i næste uge, men allerede søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen: ing.dk/fokus/taenkeboksen hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/Lynch

sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Det korte svar er 18 cm, og udregnet ved hjælp af retvinklet 30- 60 graders trekant hvor hypetenusen er dobbelt så stor som den mindste katete og hvor den største katete er kvadratrod 3 gange den mindste katete.

  • 6
  • 0

Hyggelig lille opgave om indskrevne cirkler. Det er en ligesidet trekant, så radius i den indskrevne cirkel er en trediedel højde i trekanten. Da glasset er to højder "højt" er højden på glasset altså 18 cm.

  • 5
  • 0

Det er en ligesidet trekant, radius i den indskrevne cirkel er en trediedel højde i trekanten.

Det ved enhver jo. ;-)

For at vise trinnene:

Tegn cirkel med radius 3cm En linje fra centrum til bunden af glasset kalder jeg a; fra centrum til "overfladen" er r, 3cm Da glasset er ligesidet/ligevinklet, er vinklen mellem a og glassets kant 30 grader. Sinus 30grader=½ a=3cm/sin(30)=6cm. Højden af bægeret er a+r = 9cm. Fodhøjde=bægerhøjde, glashøjde=9cm+9cm=18cm

  • 3
  • 0

Måske en variation kunne give lidt mere udfordring. F.eks. denne: Antag at vinklen ikke længere er kendt. Givet de øvrige betingelser, hvad bliver så højden af glasset, når det skal kunne rumme mindst muligt ?

  • 0
  • 0

Da den indskrevne cirkels radius (som fastholdes på 3 cm) er lig trekantens areal divideret med den halve omkreds (lært i folkeskolen) skal omkredsen gøres så stor som mulig for at give mindst areal.

Glasset skal altså være så højt som muligt og vinklen så lille som muligt.

  • 0
  • 0

Ha, det var en “fortegnsfejl”. Ræsonnementet var rigtigt nok, men arealet og dermed omkredsen skal være mindst muligt. Det er den for en ligesidet trekant, og dermed lander vi på de samme 18 cm

  • 0
  • 0

Helt enig. Der skal integreres over en parabel, som afhænger af vinklen, det kan jeg ikke lige overskue nu.

Se det var dén opgave, de skulle have stillet i stedet for!

  • 1
  • 0

Radius r af keglens grundflade kan udtrykkes som funktion højden h, og indsættes i formlen for volumen af en kegle: V = (pi * r^2 * h) /3 (vi ser bort fra glassets stilk her). Hvis h går mod uendeligt vil r gå mod 3 cm, og r går mod uendeligt hvis h går mod 6 cm. Så funktionen må have et minimum et sted i intervallet for h =6 til uendeligt.

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten