Tænkeboks: Hvor højt når stigen op?
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Teknologiens Mediehus kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Hvor højt når stigen op?

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer fra professor Lars Døvling Andersen, Institut for matematiske fag ved Aalborg Universitet, og lyder:

Opgave 16: En 7,50 meter lang stige skal stå op ad en mur, men må stå uden for et skur, der rager 3 meter uden for muren. Skurets højde er 2 meter. Hvor højt kan stigen nå op?

Illustration: Ingeniøren

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/ Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Det er sikkert rigtigt men det interessante er at beskrive den 2. grads ligning, opgaven kan reduceres til. (Der er jo helt åbenlyst to mulige løsninger - næsten lodret og næsten vandret)

Jeg husker at have løst den engang (i forrige årtusinde) men nu ramler jeg altid ind i en 4. grads, når jeg prøver 😉

  • 0
  • 4

Jeg ramler også ind i en 4. grads med led af grad 0-1-2-3-4, som jeg ikke umiddelbart kan løse. Men da jeg har gættet højden 6 meter med andre metoder, kan jeg bekræfte at det faktisk er en rod.

  • 0
  • 0

Jeg ramler også ind i en 4. grads med led af grad 0-1-2-3-4, som jeg ikke umiddelbart kan løse. Men da jeg har gættet højden 6 meter med andre metoder, kan jeg bekræfte at det faktisk er en rod.


Det samme oplevede jeg ved simpel men ekstensiv udregning. Da løsningen er 6m, føler jeg at der må være en simplere løsning, som jeg blot ikke er kommet på.
Med stigens vinkel mod jorden får jeg 2/sin a+ 3/cos a =7,5. Det er jo en meget simpel sammenhæng.

  • 2
  • 1

Også jeg. Og den kan jeg ikke sådan lige få løst. Men den har en løsning, der passer med at stigen når 6 m op.

Lidt mere info. Med den ukendte sidelængde i den øvre trekant sat til x, så får jeg flg. 4. grads ligning

x^4 + 4x^3 - 43,25x^2 + 36x + 36

Så er det jeg prøver mig frem ud fra sætningen om rationelle rødder og finder at 4 er løsning (hvorved stigen når 6 m op),
Så kan man jo omskrive til

(x - 4) (x^3 + 8x^2 - 11,25x - 9)

Men den trediegradsligning kan jeg ikke komme videre med.

Men når jeg prøver numerisk, så ser jeg at der er en løsning på ca. 1,70, hvilket må svare til, når stigen nærmest ligger ned.
Og så er der også negative løsninger på ca -0,58 og -9,12. Hvad det om noget svarer til fysisk kan jeg ikke lige regne ud.

  • 0
  • 1

Med den lodrette afstand fra skurtag til top af stige som ubekendt fik jeg følgende udtryk:
square(x^2 +9) + 2*square(9/x^2 +1) =7.5
som har løsning for x=4 og x=1.704

  • 0
  • 0

Højden bliver 6 meter.

Lad os starte med at sige hele højden kalder vi h og hele grundlinjen kalder vi g.
Så skal kigge på vinklerne, da de to trekanter har de samme kan der udledes:
tan(a) = 2/(g-3) og tan(a) = (h-2)/3
Fordi de to er lig hinanden er det vores først ligning. Pythagaros kan bruges til at beskrive siderne.
g^2+h^2 = 7.5^2
Nu har vi to ligninger med to ubekendte:
ligning1; 2/(g-3) = (h-2)/3
ligning2; g^2+h^2 = 7,5^2

Jeg bruger maple til at få resultatet af de to ligninger til at være h = 6 og g = 4,5

  • 0
  • 0

En nem løsning kunne være at gætte sig til at fodpunktet for stigen lå 4,5 m fra væggen, og at det første skrå stykke så bliver 2,5 m til hjørnet af skuret. Fra dette hjørne og op til røringspunktet på væggen haves derved en 3-4-5 trekant og det skrå stykke bliver tilfældigvis 5 og passer så hele længden af stigen bliver 7,5 m. (4,5 ^2 + 6^2)^0,5=7,5 m
Altså 6 m op ad væggen.

  • 2
  • 0

6m

Såfremt stigen danner en trekant ABC, hvor c er stigen, a er jorden og b er huset (altså højden vi skal finde), så er der ved siden af skuret en lille trekant EFG, som er ligedannet med ABC. e er også langs jorden, f = 2 og g er den nederste del af stigen.

Det må være sådan at ex = a og 2x = b. Og: a = e + 3 og a^2+b^2 = 7,5^2.

Det giver fire ligninger med fire ubekendte, og her må jeg indrømme, at jeg tyede til et CAS-program for løsningerne. Der er 4 forskellige løsningssæt, 3 af dem kan afvises straks.

  • 2
  • 0

Man (ego) finder let, ved ganske få beregninger, at -

H = L sin v cos v

hvor H er stigetoppens højde over vandret, v er stigens vinkel med vandret og L er stigens længde.

Da man må formode, at stigeoperatøren ønsker at komme så højt op som muligt, finder man, at H må være det halve af stigens længde, altså -

H = 3,75m.

PS: Hvorfor er det bare mig, der får dette simple resulat? - Hvis stigeoperatørens højde ikke overstiger (sic!) 1,75m kunne han jo bare hoppe op på taget af skuret med strakt arm og rense tagrenden eller hvad han nu har gang i ...

  • 0
  • 2

at opgaven kan løses med simpel gymnasiematematik, for jeg har gjort det 😉, men husker ikke hvordan. Det er indlysende, at de ligedannede trekanter plus Phytagoras skal i spil, men i en to ligninger med to ubekendte, der kan løses uden det bliver fjerde grads.

  • 1
  • 2

En løsning uden gæt:
Hvis afstanden mellem fodpunket af stigen og skuret kaldes L og afstanden over skuret H fås:
H/3=L/2
og følgende 4 grads ligning:
L^4 +6L^3 - 43,25L^2 +24*L +36 =0 den løses let med en TI 68 og giver 1,5 m
Det giver en trekant med med siderne 4,5-6-7,5.

  • 1
  • 0

På den anden side, hvis man tegner en lille hjælpeskitse med de givne mål i cm, ja så bliver H nok snarere omkring de 6m - og det helt uden 4-grads ligninger eller fancy TI-instrumentering. QED.

Fake Mathematics ...

  • 0
  • 2

6 m.
For at arbejde med hele tal, blæses figuren op med en faktor 2, så vi arbejder med tallene 4, 6 og 15 i stedet fro 2, 3 og 7,5.
Det lodrette stykke fra skuret op til stigens toppunkt kaldes x. Det vandrette stykke fra skuret ud til stigens fodpunkt kaldes y.
Pythagoras på den store trekant giver (4+x)^2+(6+y)^2=15^2
De to ensvinklede trekanter giver x/6 = 4/y hvoraf y = 24/x
Udtrykket for y indsættes i Pythagoras. Der ganges igennem med x^2 og reduceres til
x^4+8x^3-173x^2+288x+576=0
Hvis der er en heltallig rod i denne fjerdegradsligning, går den op i 576, og den må selvfølgelig være mindre end stigens længde 15 m. Mulighederne er 2, 3, 4, 6, 8 og 9. Ud fra skitsens udseende starter vi fra den høje ende og finder hurtigt, at 8 er en rod. Ud fra fysikken i problemstillingen kan vi konstatere, at der kun er en reel løsning. De tre øvrige løsninger er ikke-reelle komplekse tal. Vi husker at skalere tilbage, så der er altså 4 m fra skuret til stigens toppunkt.
Det er selvfølgelig problematisk, at løsningsmetoden kun fører frem, hvis vi kan skalere figuren, så vi kommer til at arbejde med hele tal. Hvis f.eks. stigens længde er kvadratroden af 13, dur metoden ikke.

  • 0
  • 3

At der kun er én reel rod i dette polynomium af 4. grad vidste vi på forhånd.

Som allerede René Descartes havde fundet frem til i 1637, så vil der i et polynomium af vilkårlig grad være lige så mange -reelle - rødder, som der er fortegnsskift mellem de enkelte led - her altså netop ét.

  • 0
  • 1

x^4+8x^3-173x^2+288x+576=0
........
finder hurtigt, at 8 er en rod.
.......
De tre øvrige løsninger er ikke-reelle komplekse tal.

At der kun er én reel rod i dette polynomium af 4. grad vidste vi på forhånd.

Ja, når vi lige ser bort fra løsningerne (angivet med 2 decimaler) , 3,41 , -1,16 og -18,25 !
Løsningen 3,41 svarer til den fysiske situation, hvor man istedet har placeret stigen, så den når så lavt på muren som muligt.

Hvad man kan sige noget om ud fra rational rod-sætningen, er som navnet siger rationelle rødder. Der kan sagtens være rødder der er reelle, men bare ikke rationelle. Og det er der jo så også i det aktuelle tilfælde.

Jeg anvendte selv rationel rod-sætningen til hurtigt at finde løsningen, da jeg havde opstillet 4. grads ligningen. Præcis samme ræssonement som Gerd Nielsen, bortset fra at jeg ikke så nogen grund til at skalere op med 2.

  • 2
  • 0

Jeg er lidt sent ude, men anyway...

Jeg opstillede nedenstående fjerdegradsligning, hvor y er den del af højden, der ligger ud over de 2 meter (dvs. at den højde, vi skal finde, er y+2 meter).

y^4 + 4y^3 +(4+9-(7,5)^2)y^2 + 36y + 36 = 0

Denne ligning har fire reelle rødder, hvoraf to er negative. Vi skal bestemme den maksimale højde, stigen kan nå op i, og må derfor forkaste den positive rod med den laveste værdi - tilbage står vi med roden y = 4, hvilket giver en højde på 4+2 = 6 meter.

  • 0
  • 0

Dette er et eksempel på at teoretisk viden ikke er nok.

Når personen når et stykke op over skurets højde, bukker stigen på grund af vægten, og mister fodfæstet, hvorefter stigen glider på skurets forkant og væggen, indtil stigen ligger vandret, og stigebrugeren sandsynligvis har brug for et besøg på skadestuen.

  • 0
  • 0

Hvis han er bygningsingeniør og fra teknikum med en håndværkeruddannelse bag sig, gør han ikke den slags dumheder, men pløkker benene fast inden opstigning og har iøvrigt undersøgt om stigen i vandret overhovedet kan bære en mand!!!

  • 0
  • 0

Den officielle løsning var altså lige så kringlet som de fleste havde fundet.
Jeg er skuffet over at der ikke var en eller anden obskur trekantsregel, som kunne give løsningen uden denne fjerdegradsligning.

  • 0
  • 1

Den officielle løsning var altså lige så kringlet som de fleste havde fundet.
Jeg er skuffet over at der ikke var en eller anden obskur trekantsregel, som kunne give løsningen uden denne fjerdegradsligning.

Jeg troede egentlig, opgaven var konstrueret specifikt til, at den snedige læser skulle se, at der var tale om 3-4-5-trekanter, og således klar sig igennem med et minimum af udregning.
Alternativt antog jeg, at den var konstrueret med henblik på brug af rationel-rod sætningen, da netop den rationelle rod man får herfra er den søgte løsning.
Jeg er skuffet over at ingen af disse ting nævnes i løsningen, der bare er ren slaveregning. Og så oven i købet med løsningen fundet numerisk. Måske er det bare mig der har en alder, hvor jeg synes at numerisk fundne løsninger nærmest er snyd.

  • 1
  • 0