Tænkeboks: Hvor dyb er brønden?

Jeg beklager på forhånd den manglende brug af LaTeX.

s er brøndens dybde.

t1 er den tid, det tager stenen at falde ned.

t2 er den tid, det tager lyden at komme op.

1) s = ½ * g * t1^2 (stenen starter i hvile)

2) s = c * t2, hvor c er lydens hastighed ved den pågældende temperatur.

3) t1 + t2 = 3,5 s

Lydens hastighed ved en given temperatur, T (https://en.wikipedia.org/wiki/Speed_of_sound):

c = 331,3 * kv.rod(1 + T/273,15)

For T = 12 °C fås c = 338,4991 m/s

Nu kan vi fx finde udtrykket for t2 i 3) og indsætte dette i 2), hvorefter vi sætter 1) lig 2) og løser for t1. Det giver en andengradsligning med to løsninger, hvoraf den negative forkastes.

Vi finder t1 = 3,338646 s og indsætter denne værdi i 1), hvilket for g = 9,80 m/s^2 giver s = 54,618 m.

For at have fast grund under beregningen starter jeg med at udbygge fortællingen bag den en smule:

Beduinen, A, deltager sammen med sin lillebror, B, og deres tre kameler i en karavane gennem ørkenen. Karavanen ankommer til en oase, hvor det er nødvendigt at vande kamelerne. A er netop hjemvendt fra et studieophold på et fint universitet i USA, og har forberedt et stunt for at dupere kameldriverne.

Han fremviser en lille sten (ca. 2 cm dia.) og udtaler, at han ved hjælp af denne (og sin Iphone) vil bestemme højdeforskellen mellem låget på en brønd og vandoverfladen i brønden, med centimeters nøjagtighed. Der samler sig en mindre skare og han tager fat. Han forklarer at han vil tage tid på, hvor lang tid der går fra han slipper stenen i lågets høje, til lyden fra plasket når tilbage til låget. Han forklarer først hvordan han vil tage tid på forløbet ved at benytte stopuret i sin Iphone. For at undgå forsinkelse fra han hører plasket til han trykker på skærmen, benytter han en særlig app, som kan stoppe uret, når lyden når telefonen. Der høres en anerkendende mumlen. En enkelt opvakt fyr spørger, om han er sikker på at telefonen reagerer på den lyd, der opstår når stenen bryder vandoverfladen, eller først reagerer på den formodentlig kraftigere lyd, når vandet slår sammen over stenen lige efter gennembrydningen af samme.

A har forudset spørgsmålet og svarer med fast stemme, at han har undersøgt sagen, og er nået frem til at telefonen er så følsom, så den reagerer på den første lyd på en måde der med god rimelighed kan antages at svare til det tidspunkt, hvor stenes tyngdepunkt passerer niveauet for vandoverfladen. Reelt er han lidt i tvivl, men det er der ingen der opdager. Han udløser nu stenen og starter samtidig stopuret med den anden hånd – altså ingen neurale forsinkelser. Han fremviser skærmen og noterer tiden: 3,50 sek.

Han fremdrager så en termoføler, som kan tilsluttes telefonen, med en fem meter lang ledning. Temperaturen i luften i brønden viser sig at være 12 grader. På grund af låget er det rimeligt at regne den for nogenlunde konstant hele vejen ned. Nu skal der regnes. Han har forberedt at udlede formlen for sammenhængen mellem faldhøjde og tid ved at skrive i sandet, men mærker en hvis utålmodighed hos tilhørene og skynder sig blot at konstatere at:

T = KVROD(2*H/G) + H/V, Hvor T er den målte tid, H den søgte højde, G er tyngdeaccelerationen og V er lydhastigheden i brøndens luft. G har han fundet på forhånd til 9,80 m/s^2 og V slår han op i en tabel til at være 338,2 m/s. Han har nu en andengradsligning med løsningen

KVROD(H) = (- KVROD(2/G)+KVROD(2/G+14/V))/2*V (hvorfor der kun er én brugbar løsning springer han over for at spare tid) Han udregner hurtigt på sin telefon at KVROD(H) er 7,39 m^0,5 og at H = 54,61 m.

De tilhørere, der ikke for længst er gået, klapper pligtskyldigt. Men nu udvikler historien sig på en uventet måde. Læsere med svage nerver tilrådes at stoppe her!

Lillebror B har i mellemtiden taget slæbet med at vande de tre kameler fra en anden brønd. Det er hårdt arbejde at hejse store mængder vand op med spande fra den store dybde. Han har hørt fra nogle af de frafaldne tilhørere, hvad der foregår ved den anden brønd, og er blevet godt gal i skralden. Det er jo rent spild af tid at regne den afstand nøjagtigt ud. Den skifter jo alligevel med årstiden og forbruget. Og her må han som sædvanligt tage det sure slid, mens A blærer sig med sin fine viden! Kamelerne kan ikke vente, hvis A og han skal undgå at blive efterladt af karavanen, og det kan være livsfarligt i dette område. Da han er færdig, går han resolut hen til A, griber fat om ham og kyler ham med hovedet forrest ned i brønden, mens han råber: ’Nu har du nøjagtig 3,34 sekunder til at tænke over din hovmodighed og manglende solidaritet med din kødelige lillebror!’

Opgavestilleren fra SDU gav engang opgaver, der var så vanskelige, at man skulle kunne mere end almindelig fysik for at regne dem ud. Nu er vi havnet i den modsatte grøft. I ugens opgave tager det ikke 1 minut at lægge 2 banale formler sammen og sætte summen til 3,5 sekunder. Og så skal man løse en andengradsligning. Den vanskeligste del af opgaven er at finde lydens hastighed ved 12 grader celcius. Opgavestiller, hvor er det nedladende! Man kunne i det mindste lade stenen være påvirket af luftmodstanden. Jeg har - i mangel af andre udfordringer - foretaget denne beregning med en kugleformet sten med diameter 2 cm og fundet dybden til 48 m, sammenlignet med 54 m, som andre får. Andre læsere med trang til udfordringer kan jo prøve at kontrollere mig. Jeg glæder mig hver anden fredag til en ny spændende og udfordrende opgave at tumle med. Men denne gang blev jeg godt nok bedrøvet og også lidt harm. Jeg håber at opgavestilleren læser dette.

Som de andre bidragsydere anfører, er opgaven let at besvare ved blot at løse to de samhørende ligninger 1) og 2) samt betingelsen 3), som Ulrik anfører.

Jeg løste problemet grafisk ved at optegne det i et koordinatsystem med t ud ad x-aksen og s op ad y-aksen. Betingelse 1) giver en parabel, betingelse 2) giver en ret linje, mens betingelsen 3) opfyldes ved at tegne den rette linje 2) startende fra t=3,5 s og med hældning -c. Dermed aflæses t1 = 3.36 sek og s = 55.4 m

en kugleformet sten

Er det ikke at gøre det ret nemt for sig selv? :-)

Broendens dybde findes saaledes:

Foerst falder stenen til den rammer vandet, det tager Tf sekunder og dernaest udsendes en lydboelge fra plasket som ankommer efter Tr sekunder.

Tabelværdien for lydens hastighed er 344 m/s. Den gælder ved 20°C og 50 % relativ luftfugtighed

Lydens tilnaermede hastighed i luft ved 20 ° er

v = (331.3 + 0.606 * Tr/[°C]) m/s

= 331.3 +0.606/[°C] * 20°C ) m/s = 343.42 m/s

laeg 0.0126 m/s til for hver % relativ fugtighed.

Med en 50% fugtighed er lydens hastighed v= 343.42 + 0.0126 *50 m/s = 344.05 m/s

Lydens tilnaermede hastighed i luft ved 12 °C er v = (331.3 + 0.606 * Tr/[°C]) m/s

 = 331.3 +0.606/[°C]*12°C ) m/s = 338.518 m/s  

der ses bort fra den relative fugtighed

eller med en avanceret formel;

v = kvadratroden ( у * R * T/M )

= kvadratrod ( 1.404 * 8.31 g/(mol K) * (273.15 + 12) K / 0.029 kg/mol )   

= 338.705 m/s

hvor T er luftens absolutte temperatur (kelvin-grader), R = 8,31 g/mol er gaskonstanten, M = 0.029 kg / mol er luftens gennemsnitlige molære masse og γ er forholdet mellem luftens varmekapacitet ved konstant tryk og ved konstant volumen: γ = cp/cv =1.404

Broendens dybde er s= 1/2TfTf ==> Tf = kvadratroden (2 * s/g)

og af ligningen for lydesn hastihed faas

s = v * Tr ==> Tr = v / s

da lydens hastighed er meget stoerre en faldhastiheded saettes Tr til nul i foerste omgang, for at faa en begyndelsesvaerdi for broendens dybde s i denne iteration

s = 1/2 * 9.80 [m/s s] * (3.5 s)(3.5s) = 60.025 m

hvorefter vi for refekttionstiden haver

Tr = 60.025 m /338.572 m/s = 0.1722887 s

Faltiden er nu den samlede tid minus Tr, som giver

Tf= 3.5 - 0.17887 s = 3.32271

hvoraf vi igen kan finde en bedre tilnaermelse tid broendens dybde

s = 1/2 * 9.80 [m/s s] * (3.32271s)(3.5s) = 54.0900 m

heraf faas nu et bedre tilnaermelse til reflektionstiden

Tr = 54.0900 m / 338.572 m/s = 0.159783 s

der giver os en ny og mere noejagtig faldtid

Tf= 3.5 - 0.159783 s = 3.32271 s = 3.3402174 s

og heraf beregner vi en ny broenddybde

s = 1/2 * 9.80 [m/s s](3.3402174s)*(3.5s) = 54.66954 m

hvorefter nu faas en ny reflektionstid

Tr = 338.572 m/s / 54.66954' = 0.16147096 s

beregner vi nu en ny vaerdi af Tr som midelvaerdien af de sidste to Tr’rer faas

Tr = (0.159783 s + 0.16147096 s) / 2 = 0.16062698 s

der giver os en ny og mere noejagtig faldtid Tf= 3.5 - 0.16062698 s = 3.33937302 s

og heraf beregner vi en ny broenddybde

s = 1/2 * 9.80 [m/s s]( 3.33937302s)*( 3.33937302s) = 54.6419196 m

og dermed har vi den endelige dybde.

Altsaa broendensdybde er = 54.642 meter

Som kontrol har vi nu Tr = 338.572 m/s / 54.6419196' = 0.16138936 s

Delta Tr = (0.16062698 - 0.16138936) s = 0.00076238 s

Broenddybden kan naturligvis ogsaa loeses analytisk

Vi finder

Tf+Tr = kvadratrod (2 * s / g) + s /v

Substitueres med x = kvadratrod (s/v) og T = Tf+Tr faas foelgende 2. gradsligning

xx + kvadratrod ( 2v/g) * x + T = 0

som efter en del mellemregninger har to loesninger x = - kvadratrod (v/(2g)) +/- kvadratrod (v/(2g)+T)

hvor kun den postive har vores interesse, indsaettes vaerdier faas

x = -kvadratrod (338.572 [m/s ] / (29.80 [m/ss]) + kvadratrod (338.572 [m/s.] / (29.80 [m/ss] +3.5 [s]) = - 4.156221 +4.557859 [s] = 0.40164932 s

Ved tilbage substitution faas broendens dybde s = v * x * x = 338.572 [m/s*s ] * 0.40164932 s * 0.40164932 s = 54.61917116 m

Alternativt kan et annalytisk udtryk for s beregnes ved quadrering a x og efter nogen regning faas

s = v* v /g * ( 1 + g /v * T - kvadratrod ( 1 + 2*g/v * T)) = 338.572 *338.572 / 9.80 * ( 1 + 9.80 / 338.572 * 3.5 – kvadratrod (1+ 2 *9.80 / 338.572 * 3.5)) = 11697.0407 *( 1 + 0.10130785 - 1.09663836) = 54.6191712 m

P:S En ven mente m.h.t. til weekendopgaven, at det må være en meget meget heldig beduin, som er i stand til at finde en brønd i ørkenen.

Saa svaert er det nu heller ikke at finde en oase i Sahara - jeg taenker at der vel er mindst 50 af dem. Her er en link med en liste over oaser, for det tilfaelde at du lige skulle komme forbi!

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_von_Oasen

Kan da godt forstå, at mange syntes at opgaven var forsimplet for meget - men jeg fik selv meget ud af den. Forhistorien er, at jeg nu for længst er pensioneret, at jeg i " min velmagts dage" var ballistiker i Hæren og herunder b. l. a. skrev og programmerede særdeles (syntes jeg selv) avancerede ballistiske computerprogrammer, der tog alle - og jeg mener alle - forhold i atmosfæren og objektet i bevægelse med i beregninger af projektilbaner i atmosfæren. Mine beregninger var baseret på en ekstrem grundig tysk lærebog i ballistik og jeg skulle løse flere sammenhørende anden- og førsteordens differientialligninger digitalt for at bestemme projektilers bane. Jeg havde rigtig megen glæde og fornøjelse med at genopfriske min "gamle" viden og erfaring - om lydhastighed i kompressible medier, luftmodstand på medier ibevægelse, den med højden varierende tyngdeacceleration m. m. Jeg kunne da heller ikke dy mig for at lave et lille, simpelt computerprogram til at løse opgaven under de givne præmisser og fandt dybden til 54,62343272 meter, hvad der er rent "decimalrytteri" så dybden er 54,62 meter (ca.) Tak for opgaven - jeg havde megen glæde og sjov af at dykke dybt ned i min "gamle" viden om bevægelse og lydhastighed i kompressible medier !

Hvad har brøndens dybde med afstanden ned til vandoverfladen at gøre andet end den må være større end den - jeg gætter på brønden er ca. 70 meter dyb

Brøndens dybde kan ikke findes men afstanden til vandoverfladen kan. Leif Elmose

Det regnes med at lyden skal bevæge sig til den (rimeligt antaget) stående beduinens øre, som vel er - anslået - 1,6 m over terræn ud fra en gennemsnitsbetragtning over beduin-højder. Og da der forudsættes at vejen ned for stenen og op for lyden er lige lang, må stenen være blevet sluppet i ørehøjde. Det er heller ikke urimeligt at forestille sig.

Altså er resulteret angivet af flere ca. 1,6 m for højt, og angiver i øvrigt kun afstanden til vandspejlet og ikke til bunden.

Det er vel rimeligt at antage at en brønds dybde måles fra terræn til bunden?

:-)