Tænkeboks: Hvilket antal ens lys kan brænde ned samtidig?

Illustration: Ingeniøren

Ugens opgave handler ikke nødvendigvis om lysene på en adventskrans, men smager alligevel lidt af jul. Den kommer via afgående professor Lars Døvling Andersen, Institut for Matematiske fag ved Aalborg Universitet, som vi siger tak for samarbejdet til:

Opgave 23:

En lysestage har n helt ens lys. Første aften tænder man det ene lys og lader det brænde i en time. Anden aften tænder man to passende valgte lys og lader dem brænde i en time. Sådan fortsættes, indtil man sidste aften tænder alle lys og lader dem brænde i en time, hvorved de alle brænder ned.

For hvilke værdier af n kan det lade sig gøre?

– – –

Allerede fra søndag eftermiddag ligger opgaven på det sædvanlige sted: ing.dk/fokus/taenkeboksen hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

Af hensyn til utålmodige løsere lægger vi løsningen ind samme sted allerede fredag den 3. januar.

Vi bringer en ny opgave i det første nummer i det nye år, hvor Bagsiden udkommer fredag den 10. januar.

Godt nytår!

/Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

n skal være et ulige, positivt heltal.

Der er n lys, som skal brænde ialt Sum(1..n) = n(n+1)/2 timer, og hvert lys skal brænde et helt antal timer. Hvert lys skal altså brænde Sum(1..n)/n = (n+1)/2, hvilket udelukker at n er lige.

Tilbage står at vise, at alle ulige positive heltal kan bruges. Hvis n fx er 5 kan “brændingsmønsteret” bygges med bredden n = 5 og højden (n+1)/2 = 6/2 = 3 således:

xxxxo xxooo ooooo

Hvor der brændes o, xx, ooo, xxxx og ooooo. Mønsteret er trivielt for 1 og 3.

Mønsteret for n+2 kan konstrueres ud fra mønsteret for n, idet der tilføjes samlet n+1 og n+2 brændetimer:

2 kolonner med x tilføjes til venstre i højden (n+1)/2, i alt n+1.

1 række tilføjes nederst med bredden n+2.

Og der brændes skiftevis o’er og x’er, fra højre side ned og venstre side op.

  • 2
  • 0

Hej Kim

Jeg er mestendels enig, men jeg foretrækker: Positive ulige heltal, større end én. Du kan jo ikke tænde 'to passende valgte lys', hvis du kun har ét!

  • 0
  • 0

Hej Erik

Joh - det giver måske nok to flammer, men stadig kun ét lys! Med mindre jeg skærer lyset over, og det vil efter min vurdering være mandatsvig!

  • 1
  • 0

Glimrende opgave.

Et forslag til en udvidelse: Opgaven forudsætter at der brændes præcis samme tid hver dag. Hvad hvis det tillades at brænde forskellig tid forskellige dage, sådan at alle lysene dog brænder den samme tid samme dag. Så kan man godt brænde lysene ens, for ihvert fald alle dage op til 20, undtage 2 og 4. Eksempel:

N=6: 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 0 2 0 2 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Tid nedad og lys henad. Giver samme søjlesum.

N=20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

  • 0
  • 0

Et halvkvalificeret gæt: n tilhører mængden af naturlige tal undtagen talrækken 2,4,8,16,32,... dvs 2^k hvor k er et naturligt tal.

Lad A være antallet af aftener før alle lys tændes, n er antal lys og B er et enkelt lys brændetid før sidste aften er sammenhængen mellem disse: A(A+1)/2=nB hvor A,n,B tilhører N. Bemærk det nødvendigvis må gælde at n er større end eller lig med A ifølge opgavens forudsætninger.

A(A+1)/2 er et trekanttal https://oeis.org/A000217 For A=24 bliver trekanttallet 300 der kan faktoriseres til (n,B) hvor n>=A: (300,1), (150,2),(100,3),(75,4),(60,5),(50,6),(30,10),(25,12)

Jeg har faktoriseret alle trekanttal på denne måde til og med A=28. Herefter listet alle værdier n kan antage fra 1 og fremefter. Stoppede ved 36 og kunne se at 2,4,8,16 og 32 manglede på listen. Margenen af min matematiske forstand, især på det talteoretiske område, tillader ikke et bevis på denne eller nogen som helst anden side.

Vil nøjes med at sige at det godt kan lade sig gøre med et lige antal lys. For A=3 er det 6 lys hver med én times brændetid (2 timer når de alle skal brænde en time den sidste aften). A=4 giver 10 lys med en brændetid på 1+(1) timer. A=7 giver 28 lys med brændetid 1+(1) eller 14 lys med brændetid 2+(1). Prøv selv med A=15 der giver 20 lys hver med en brændetid på 6+(1) time.

Godt nytår.

  • 0
  • 1

Med n lys:

Det antal lys der i alt tændes op til dag n. er 1+2+3...+n.

Denne sum giver i alt n(n+1)/2 lys-timer der er blevet tændt. En lys-time er en bid lys der har brændt i en time.

Antallet af "lys-timer" skal fordels jævnt på n lys. Dvs n skal gå op i dette antal. Eller (n+1)/2 skal være et helt tal.

Hvilket betyder n er et ulige tal. Opgaven er stillet så n skal være mindst 2, hvilket vil sige 3,5,7 og fremefter.

  • 0
  • 1

Du fortolker som Ebbe bevidst opgaven forkert (det er ikke en betingelse at der er mindst 2 lys). Så 1 er også en løsning

  • 0
  • 0

Nej, det viser proceduren ved et eksempel. Det er ganske svært at beskrive uden — og havde de medtaget den tredie dag også, medfører det ikke at der skal være tre lys.

At eksemplet er utilstrækkeligt fremgår klart af Chris’ forslag ovenfor

  • 0
  • 0

Hej Kim

Nu kan jeg godt se hvad du mener. Ordene: 'Sådan fortsættes' kan læses på to måder: A. Fortsæt med hver dag at vælge to lys. B. Tænd tre lys den tredie dag og så fremdeles.

Jeg har læst det som A, men kan godt se at løsningerne bliver anderledes, hvis det læses som B. (og her bliver N=1 en mulighed!)

  • 0
  • 0

Nu refererer indledningen til en adventskrans, såeh ...

Kan I øvrigt huske at jeg som (lille) barn overvejede hvordan man kunne optimere tænding af adventskransen for at brænde lysene jævnt :-)

  • 0
  • 0

Hej igen.

Adventskransen er et stærkt kort at spille ud! Jeg pakker kortene sammen og melder pas!

Godt nytår!

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten