Tænkeboks: Hvad måler bordets radius?
Vi har inviteret en række teknisk-naturvidenskabelige uddannelser til at udfordre Ingeniørens læsere. Denne uges tænkeboks kommer fra professor Lars Døvling Andersen, Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet, som starter med en ren geometrisk opgave.
Opgave 4:
Et stort rundt bord står skubbet op i hjørnet af et firkantet rum, så det rører to vægge. En plet på bordets kant er 20 cm fra den ene væg og 40 cm fra den anden.
Hvad er bordets radius?
– – –
Vi bringer løsningen her på stedet i næste weekend. Indtil da kan I give jeres bud – og kommentere andres forslag – i debattråden under artiklen.
/ Lynch
Radius er 1 m.
n/t
Der er 2 løsninger. 1 meter eller 20 cm.
[latex]r^2=x^2+y^2[/latex]
så
[latex]r^2=(r-20)^2+(r-40)^2[/latex]
[latex]r=\frac{120\pm \sqrt{120^2-4\cdot 1\cdot 2000}}{1\cdot 2}\Rightarrow r=100[/latex]
da r = -20 ikke rigtigt dur her...
Jeg tror der mangler en mellemregning.
Det er stadig 2 løsninger. Jeg er enig i Hans` sidste ligning, men den reduceres til:
r = 60 +/- 40 (ingen formeleditor på min ipad).
Det giver stadig 2 løsninger, selvom den ene er lidt kontraintuitiv. Den ligger ved kl. 6 ved en radius på 20 cm.
Jeg vil til gengæld godt acceptere at løsningen på 20 cm ikke opfylder opgavetekstens krav om at det er et STORT bord.
Hjælper dig igen og giver svaret 100cm eller 20cm.
De 20cm er en bonus ifald mærket ikke ligger ind mod hjørnet, og det kan det vel godt, selvom tegningen umiddelbart svarer til 100cm.
Radius af et stort bord (se opgaveteksten) er 1 meter, for 20 cm, som jo også er en løsning på den matematiske ligning, er et lille bord.
Løsningen med 20 cm opfylder ikke kravene.
Hvis et bord med en diameter på 20 cm er skubbet ind i hjørnet, kan pletten ikke være 40 cm væk fra den ene væg.
Et bord med en radius på 20 cm har en diameter på 40 cm.
Skubber du dette bord ind i et hjørne, vil den del af bordet, der er længst væk fra den ene væg, netop være 40 cm væg fra denne væg og 20 cm væk fra den anden væg.
Men det er tydeligvis ikke det bord der er vist på illustrationen, så den løsning kan man roligt se bort fra.
Så passer det viste billede i artiklen ikke. Og igen, et bord med en diameter på 40 cm er ikke helt hvad man kan kalde "Et stort rundt bord".
... så konstaterede jeg pænt hurtigt med linealen at radius var 2,5 × 40cm = 100cm
mic drop ;-)
Hvilken vinkel skal man antage at hjørnet i rummet er?
En rombe er f.eks. også en firkant...
En plet på bordets kant er 20 cm fra den ene væg og 40 cm fra den anden.
Det kan man ikke ud fra teksten, men kun ud fra illustrationen.
Jeg troede heller ikke på den anden løsning af andengradsligningen, men den er god nok.
For de rigtige matematikere af den gamle skole tæller også charmen ved at finde generelle og realistiske løsninger til en opgave – så her her viser det sig, at radius altid vil være 5 gange den korteste afstand – altså her 100 cm - til oplysning for ingeniører og indretningsarkitekter - løsningen 20 cm skal man vel ikke spilde tid på ...
Ja, dansk er et svært sprog ;o)
Bordet radius er en meter
En lineal (eller lignende) måler bordets radius, så det rigtigste svar må være: En lineal eller et lignende instrument.
mvh Flemming
Flemming, opgaven står ikke i overskriften, overskriften er lavet af en tilfældig web-redaktør ...
Point taken - men jeg er så gammel, at den overskrift skurrede i min OCD ;o)
(og så tænkte jeg, at der måtte være en fælde, nemheden taget i betragtning).
Cirklens ligning: (x-a)2+(y-b)2=x2
x=r og (a,b)=(r,r)
(20-r)2+(40-r)2=r2
r = 100
Begge disse indvendinger havde allerede været bragt i tråden da Lars Michler og jeg skrev vores indlæg. Men de er irrelevante for det, mit indlæg handlede om:
...nemlig at Lars Michler havde forvekslet diameter og radius og derfor kom med en tredje indvending, som ikke holdt vand.
Matematisk er begge løsninger åbenlyst korrekte. På den anden side er r=1m sandsynligvis den af de 2 løsninger, som opgavestilleren ønsker at få frem.
Tilbage er så en rimelig og for lægmand forståelig begrundelse for at kassere den lille løsning.
Opgaven er en godmodig udgave af Apollonius' problem, hvor man skal finde en cirkel der tangerer 3 andre "CCC". I denne version er to cirkler degenereret til rette linier, altså uendelig stor radius, mens den tredje er blevet et punkt, altså radius nul, "LLP".
Det må da så være en generel regel som kun fungerer i det meget specielle tilfælde hvor den korteste afstand til punktet er præcis det halve af den længste...
En anden generel regel kan være at radius altid er større end eller lig med halvdelen af den længste afstand! 🙃
Den generelle løsning for radius r er –
r = a*{1+n +/-kvadratrod(2n)}
hvor n er forholdet mellem siderne i rektanglet og a er en af siderne.
Det giver HER - med de givne mål og konfigurationen - de fundne løsninger.
QED
Nemt i autocad, med de 3 punkter på cirkelfunktionen 3P :)
R=100 cm
(Pointen jeg ville give var allerede sagt, så jeg ville gerne slette dette, men det kan man vist ikke)
Man bør læse hele teksten i opgaven. Der står, at der er tale om et stort bord. Og selv om man med Pythagoras og en andengradsligning hurtigt kan finde frem til to løsninger, så er der vel næppe nogen, der vil kalde et bord med radius 20 cm for et stort bord. Derfor er der kun én rigtig løsning 1 meter
Lige netop med forholdet 1:2 i den lille firkant, vil diagonalens forlængelse skære omkredsen stik syd. Radius ud til punktet vil derfor have den dobbelte vinkel fra N-S aksen som den forlængede diagonal har. Tan(V)=0,5 og r*sin2V =r-20. Giver ikke så "ren" en løsning som pytagoras, medmindre du kan lave tanV om til sin2V.
Alt sammen interessante beregninger over en temmelig banal opgave fra et nørrejysk universitet, men –
I matematikkens abstrakte univers er der to løsninger.
I ingeniørens virkelige verden er der én løsning.