Tænkeboks: Forlæng en snor

Illustration: Ingeniøren

Opgave 331:

En klassisk opgave handler om en snor rundt om Jorden, som er 10 meter for lang. Det viser sig så, at snoren dermed kan hæves 1,59 meter over jorden over hele sin længde.

Men hvad nu, hvis man i stedet tager fat i et punkt på snoren og trækker det så højt over jorden som muligt. Hvor langt væk fra jorden kan punktet så komme?

Vi forudsætter, at Jorden er en perfekt kugle med omkredsen 40.000 kilometer.

– – –
Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 125: Tænkeboks: Tøm automaten for sodavand

Der var mindst 17 ansatte i firmaet – og de drak 119 bægre sodavand i løbet af ugen.

Starter vi med x bægre i automaten, drikkes der de 6 dage følgende antal ­bægre: (x+1)/2, (x+1)/6, (x+1)/12, (x+1)/20, (x+1)/30 og (x-5)/6. Alle disse skal være heltal, og det er tilfældet for x= 59, 119, 179, 239, ...

Desuden skal den oprindelige beholdning være delelig med 7, og den mindste løsning bliver derfor 119 bægre til 17 ansatte.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg vælger at iterere i mangel af bedre. Trekanten er tangenten til toppunktet, toppunkt til centrum og centrum til tangentens røringspunkt.

Det vil gælde at tgV = V +5/R, tgV-V = 5/R. V = 0,01330639

Højden = R(1/cosV -1) = 563,6411142 m.

Opgaven er noget mere omvendt end at finde hvor langt et fyrtårn kan ses.

  • 1
  • 1

Løsning 1,59 m ok som slæk rundt om jorden ved 10 m længere snor. Jeg fik 1.591 m men opgaven med at trække snoren ud så lamgt som muligt er blevet en værdi på ca. 165m og 48 cm. Det er mit bud.

  • 0
  • 0

P.S. De to længder, tangent hhv. buelængde er i størrelsen 85km. ~VxRadius.

Og der vil være 5 meter forskel på dem.

  • 0
  • 1

Tangentlængden får jeg til 45901,9 m eller ca 45,9 km og det er jo klart, fordi jeg har en helt anden højde til punktet. Den tangentlængde Svend har beregnet svarer til den højde han har fået på ca 563 m. Det er en ren pythagoras der skal løses.

  • 0
  • 0

Igen, buelængden i mit tilfælde, med den løsning jeg er kommet frem til, er stort set sammenfaldende med tangenten på nær 0,8 m. Vi må håbe på, at der snart er andre der byder sig til med en løsning. Der synes at være meget stille omkring denne opgave.

  • 1
  • 0

Det er frustrerende når en opgaveløsning viser sig at komme ud på implicit form. Men som ingeniør har man jo den fordel, at man har lov til at gøre tilnærmelser, og jeg hari det aktuelle tilfælde fundet en eksplicit formel med en relativ fejl nede på omkring 1/40000.

Opstillingen er symmetrisk og regnes kendt. Vi ser på den ene halvdel. Her er v = centervinkel, b = buelængden ved centervinklen, h = den søgte højde, t = cirkeltangentens længde og f = snorforlængelsen (5 m i opgaven). Centervinklen v bestemmes ud fra snorforlængelsen f således, idet tangensfunktionen erstattes af de 2 første led i sin rækkeudvikling: [latex] \qquad f = t - b = r \tan (v) - r v = r (v + v^3 / 3 \ -v) =r v^3 / 3[/latex] [latex] \qquad v = \sqrt[3]{3\frac{f}{r}} [/latex] Tangentlængden bestemmes ved at tangensfunktionen sættes lig første led i sin rækkeudvikling [latex]\qquad f = r \tan (v) = r\ v = \sqrt[3]{3 f r^2} [/latex] Pythagora benyttes på den retvinklede trekant [latex] \qquad (r + h)^2 = r^2 + t^2 [/latex] [latex]\qquad r^2 + 2 r h + h^2 = r^2 + \sqrt[3]{9 f^2 r^4} [/latex] Når det uvæsentlige sidste led på venstresiden bortkastes, har vi h: [latex]\qquad h = \sqrt[3]{\frac{9}{8} f^2 r} [/latex] Indsættelse af f = 5 m giver h = 563,626 m i stedet for det korrekte 563,641 m, altså en forskel på 15 mm. Mon det går an?

  • 2
  • 0

Ja, mit første skud er tilsyneladende forkert, og jeg må bide i det sure æble og det har fået mig mig til at regne om

En ny løsning er også: h= [R^(1/3))(10^(2/3))(1,5^(2/3)]0,5 = 563,467m

her er R jordens radius og 10 er forlængelsen af snoren. Dette giver en ret god tilnærmelse. Godt nok ikke som Børges resultat på 15 mm men her 174 mm hvis ellers 563,641 er det korrekte.

  • 0
  • 0

en eksplicit formel med en relativ fejl nede på omkring 1/40000.

Jeg opgav ret hurtigt at finde "enklere" udtryk fordi tgV-V er en meget lille differens i forhold til V.

Derfor itererede jeg, og det var hurtigt, men tænkte dog over om mit sheet regnede godt nok til at få den korrekte differens.

En geometrisk løsning kræver nok at cirklens kvadratur løses først.

Den kører på de høje nagler, for af og til har opgaverne en ret simpel løsning, hvis man kan finde den.

  • 1
  • 1

Hej Børge, Fin løsning du er nået frem til. Indsættelse af f = 5 m giver h = 563,626 m i stedet for det korrekte 563,641 m, altså en forskel på 15 mm. Hvordan finder du frem til den korrekte løsning ?

  • 0
  • 0

Jeg kan ikke gøre nogte smart med dette ikke-lineære problem, hvor f omtrentligt afhænger af v i tredje potens. Derfor vælger jeg et v og beregner f ud fra tan(v) - v i min første linje ovenfor og så fiddler jeg mig frem indtil f bliver 5 m. Det kræver godt nok mange forsøg.

  • 0
  • 0

Derfor vælger jeg et v og beregner f ud fra tan(v) - v i min første linje ovenfor og så fiddler jeg mig frem indtil f bliver 5 m. Det kræver godt nok mange forsøg.

Samme metode brugte jeg, men et sheet med resultatet af lidt forskellige værdier af V gør det nemmere. Du ser hurtigt hvilke decimale der skal tilføjes.

Med V kendt er højden R(1/cos(V) -1), som sheet'et hurtigt regner ud også.

Det forbavsende er, så højt toppunktet bliver.

  • 1
  • 1

I ugens opgave kendes en jordradius r og en tovforlængelse f = 5m, hvorefter man skal iterere sig til centervinklen v ud fra udtrykket [latex] \qquad f = r( \tan [v) - v) [/latex] [latex] \qquad \frac{f}{r} - \frac{1}{3}v^3 = tan [v) - v - \frac{1}{3}v^3 [/latex] Sidste formel er konstrueret således at man på højresiden har tangens minus de to første led i rækkeudviklingen for tangens. Højresiden bliver derfor omtrent lig med tredje led i rækkeudviklingen, der er proportionalt med v i femte potens og dermed er meget lille, en "død sild" som man siger i iterationssproget. Vi løser nu med hensyn til venstresidens v [latex] \qquad v = \sqrt[3]{3 \left[ \frac{f}{r} -\tan (v) + v + \frac{1}{3} v^3 \right]} [/latex] Når iterationen starter med v = 0 på højresiden følger så

v_1 = 007211247852

v_2 = 007211197850

v_3 = 007211197852

Altså 11 korrekte decimaler allerede i 2. gennemregning.

Herefter bestemmes tangentens længde t og den søgte højde h af

[latex] \qquad t = r \tan (v) [/latex]

[latex]\qquad h + r = \sqrt{r^2 + t^2} [/latex]

  • 1
  • 0

Tak til Svend for at gøre opmærksom på en sjuskefejl. Jeg havde glemt at dividere jordens omkreds med 2 pi. Her er de korrigerede tal:

v_0 = 0

v_1 = 0,013306700395

v_2 = 0,013306386206

v_3 = 0,013306386243

v_4 = ditto

Allerede efter 2. gennemregning er de 10 første decimaler korrekte.

  • 1
  • 0

Ved hjælp af rækkeudviklingerne

tan(v) – v = cub(v)/3

og

1/cos(v) – 1 = sqr(v)/2

fandt også jeg tilnærmelsen

H = cbrt(9/8 x R x sqr(L))

hvor R = 40000000/(2 pi) og L = 5

som med den ægyptiske tilnærmelse pi = 256/81 bliver

H = cbrt(729/4096 x 40000000 x 25) = 9/16 x 1000

eller H = 562.5

Metoden med iteration og lommeregner er overlegen

  • 0
  • 0

til Robert Hvis du havde brugt tasten pi på en lommeregner i stedet for ægypteren havde du fået h = (R*28,125)^(1/3)= 563,6258259 og det må jo siges at ramme inde for skiven.

  • 1
  • 0

Det må være for sjov at Robert nævner en egyptisk tilnærmelse for pi på 256/81. For selv om den er let at huske som forholdet mellem 2 kvadrattal, så er den dårligere end det simple 22/7. Mit indlæg er dog blot for at nævne den fantastiske, men lidet kendte, tilnærmelse pi = 355/113. hvis man begynder med nævnere, er det 1 1 3 3 5 5, hvilket er til at huske. Og så er fejlen mindre end en milliontedel.

  • 2
  • 0

Jeg stødte på denne lille øvelse i halvfjerdserne (1970-). På denne tid var computere og lommeregnere ikke almindelige og det var underforstået, at løsningen skulle findes med simple midler, som en regnestok eller logaritmetabel. For at opmuntre "offeret", begyndte man med en let del af opgaven, inden man fortsatte med egentlige opgave - den svære del, som den er stillet her.

Som Børge Howald Petersen nævner i #8, erværktøjet, der skal bruger, rækkeudvikling.

Udtrykket, der skal udregnes, kan f.eks. skrives som: h = 250*(36/pi)^(1/3) = 563.6 m

PS: Forlængelsen af snoren var dengang kun 1 meter.

  • 1
  • 0

Vedr. den forlængede snor gik jeg i en lidt anden retning.

Jeg siger, at længden af tangenten l fra tangenspunktet, til der hvor snoren holdes op, er lig: l = r*tg(A) hvor A er den halve vinkel mellem de 2 tangenspunkter.

Men l er også lig: l = A/180*20e6 +5 Altså vinkelsforholdstal på en halv klodeomgang plus det halve af de 10 meter overskud. Og husker, at omkredsen var oplyst i km!

De 2 udtryk har jeg så hældt ind i et regneark! Og husker at trig funktioner der arbejder med radianer!

Der hvor de 2 udtyk er ens, hvilket sker ved A =0,7624 grader, er det så almindelig Pyttefar minus radius.

Jeg får en højde på 563,6 meter!

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten