Tænkeboks: Find et tal som tæller sine cifre

Det ticifrede tals tværsum må jo være præcis 10. Når vi ved det, er det let at fastslå at der ikke kan være nogen af de højere cifre der kan være repræsenteret 2 gange eller mere. Spørgsmålet er så om nogen af dem kan være repræsenteret 1 gang. Her skal man være opmærksom på at når man forestiller sig et ciffer repræsenteret 1 gang, medfører det at der automatisk genereres yderligere et 1-tal, i alt to 1-taller, og dermed også et 2-tal. Det betyder altså at man så at sige "forbruger" 4 ud af 10 af tværsummen. Det giver en rest på kun 6, så derfor kan der kun stå 0 ved både 7, 8 og 9. Men hvad så med 6? Ja, her går kabalen op. Det tal vi søger, må have seks 0'er, to 1-taller, et 2-tal og et 6-tal. Altså 6 210 001 000.

Ugens opgave er ret fascinerende ved at den bider sig selv i halen og ikke rigtigt afslører et punkt for opgaveløseren at sætte ind på. Jeg kan gøre opgaven endnu mere spændende ved at udtrykke opgaven på generel form, hvor man undlader at diktere antallet af cifre i det søgte tal. Så bliver teksten:

"Bestem alle naturlige tal med den egenskab, at første ciffer angiver antallet af nuller i tallet, andet ciffer angiver antallet af ettaller i tallet, og tilsvarende frem gennem hele tallet."

Jeg bringer en analytisk løsning om nogle dage hvis ikke andre kommer mig i forkøbet.

Kan du forklare den med tværsummen?

Kan du forklare den med tværsummen?

Tallet er ticifret, så antallet af 0'er plus antallet af 1-taller plus antallet af 2-taller plus ... plus antallet af 9-taller er 10, men dette er også tallets tværsum ifølge den måde det er konstrueret.

Jeg kan, ved brute force (mit speciale ;) ) bekræfte at 6210001000 er den eneste løsning :)

Alle andre kandidater, for antal cifre fra 1 til 9 er:

• 1210
• 2020
• 21200
• 3211000
• 42101000
• 521001000

Nu er alle løsninger vist på min udvidede udgave af opgaven . Men bortsat fra #1 synes computeren at have været i sving. Er der andre, der har computerfrie udledninger?

-

De n cifre i det naturlige tal betegnes c med indeks fra 0 til n-1 regnet fra forenden. Disse cifre skal opfylde betingelserne [latex] \quad (1) \quad c_0 + c_1 + ... + c_{n-2} + c_{n-1} = n [/latex] [latex] \quad (2) \quad c_1 + 2\ c_2 + ... + (n-2)\ c_{n-2} + (n-1)\ c_{n-1} = n [/latex] Ligning (1) fortæller, at antallet af nuller plus antallet af ettaller plus ... er lig med antallet n af cifre. Ligning (2) går et spadestik dybere og forklares bedst med et eksempel: Hvis c_2 = 3 indeholder det naturlige tal 3 2-taller, der beskriver 3 forskellige cifre, der hver optræder 2 gange og dermed fylder 3 gange 2 pladser, altså 2 gange c_2 pladser. Og der er n pladser at tage af. Ligning (2) er meget magtfuld ved at begrænse antallet af mulige løsninger betragteligt. Men den bedste løsningsnøgle får man i form at differensen mellem de to ligninger: [latex] \quad (3) \quad c_2 + 2\ c_3 + ... + (n-3)\ c_{n-2} + (n-2)\ c_{n-1} = c_0 [/latex] Løsningsmetoden fortsætter nu ad 2 parallelle veje. Første vej bestemmer løsninger, hvor antallet af nuller afviger fra antallet af hvert af de andre cifre (normalt er det større). For at undgå indeks i 2 niveauer, benyttes midlertidigt forkortelsen k = a_0, hvorved vi har c_k = 1, der indsættes i (3) [latex] \quad (4) \quad c_2 + 2\ c_3 + ... (k-2)\ c_{k-1} + (k-1) \ \cdot 1 + k \ c_{k+1} + ... + (n-2)\ c_{n-1} = k [/latex] Dette omformes til [latex] \quad (4) \quad c_2 + 2\ c_3 + ... (k-2)\ c_{k-1} + k \ c_{k+1} + ... + (n-2)\ c_{n-1} = 1 [/latex] Denne ligning er let at løse fordi vi skal have c_2 = 1 og de øvrige indgående c-værdier lig med 0. Det efterlader os med resultatet [latex] \quad (5) \quad c_0 = k \quad c_1 =\mbox{ukendt} \quad c_2 = 1 \quad c_k = 1\quad\mbox{Alle andre c lig med 0} [/latex] Her skal vælges c_1 = 2 så antallet af 1-taller og 2-taller stemmer. Med 4 cifre forskellige fra 0, resterer der n - 4 nuller, hvorved løsningen bliver [latex] \quad (6) \quad c_0 = n - 4 \quad c_1 =2 \quad c_2 = 1 \quad c_{n-1} = 1 \quad\mbox{Alle andre c lig med 0} [/latex] Det giver resultaterne [latex] \quad n = 10\; (c_0 = 6) \quad 6210001000 [/latex] [latex] \quad n =\; \, 9 \; (c_0 =5) \quad 521001000 [/latex] [latex] \quad n =\; \, 8 \; (c_0 =4) \quad 42101000 [/latex] [latex] \quad n =\; \, 7 \; (c_0 =3) \quad 3211000 [/latex]

Anden del af løsningen omhandler n < 7. Vil nogen forsøge sig med ligning (3)?

Anden del af løsningen omhandler n < 7. Vil nogen forsøge sig med ligning (3)?

Det andet tilfælde i (3) er at antallet af nuller er lig med antallet af et andet ciffer. Vi har altså c_0=c_k for et eller andet k hvor 2<=k<=n-1. Man får da: [latex]c_2 + 2 c_3 + ... + (k-2) c_k + ... + (n-2) c_{n-1} = 0[/latex] Dette kan kun opfyldes for k=2 med resultatet c_0=c_2, c_1 ukendt og alle øvrige c'er lig med 0. Dette betyder endvidere at hver af c_0, c_1 og c_2 maksimalt kan være 2 samt at c_2<>c_0, da ikke alle tre kan have samme værdi. Med disse betingelser samt ligning (1) fås løsningerne: [latex]n=6: \text{ingen løsning}[/latex] [latex]n=5 \, (c_0=2): \;21200 [/latex] [latex]n=4 \, (c_0=2): \;2020[/latex] [latex]n=4 \, (c_0=1): \;1210[/latex] [latex]n<=3: \text{ingen løsning}[/latex]

c_2<>c_0

Der skal naturligvis stå "c_1<>c_0".