Tænkeboks: Find et stort kvadrattal

Illustration: Ingeniøren

Opgave 103:

Hvad er det største kvadrattal, som kan skrives som en sum af fakulteterne fra 1 og opefter.

Lad os lige præcisere, at n fakultet eller n! er det samme som 1 · 2 · 3 · ... · n – og at kvadrattallet altså skal kunne skrives som 1! + 2! + 3! + ... + n!

– – –
Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Løsning på opgave 196: Tænkeboks: Bestem professorernes alder

Jørgensen er 38 år gammel, Morrison er 68, og Schwartz er 29. De lyver, mens de tre sandfærdige professorer er Watson på 26, Frandsen på 39 og Gregersen på 61 år.

Vi kan starte med Morrison, som påstår, at han er 51 år. Så lyver han, og ergo er han under 40 eller netop 68 år.

Schwartz lyver dermed også, når han påstår, at Morrison er 52 år, og derfor har Schwartz netop alderen 29 år. Sådan fortsætter man, til alle er aldersbestemt.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg er enig i at svaret er 9, med flg. argumentation (spoiler alert!):

For x>=5 er sidste ciffer i x! 0 (da 5x2 indgår i produktet). Da 1!+2!+3!+4!=33 er sidste ciffer i alle højere summer 3.

Et vilkårligt kvadrattal kan skrives (10y+z)^2=100y^2+20yz+z^2 (z er encifret, y kan evt. være 0). Dvs. sidste ciffer i kvadrattallet er sidste ciffer i z^2. Ingen kvadrater af encifrede tal slutter på 3, QED.

  • 7
  • 0

Wau så lærte jeg også noget idag. Jeg kendte desværre ikke den formel for kvadrattal. Min maskine har regnet længe på det og er ikke kommet forbi x=23 hvilket også er et ganske pænt stort tal (27,02966 E21)

  • 0
  • 0

Haha præcision er en dyd Kim, måske kunne et pragmatisk bud være det "mindste ikke trivielle" men ellers har du naturligvis helt ret.

  • 0
  • 0

Den er jo genialt simpel, men ligger imho ikke lige til højrebenet

+1

Nu kan jeg godt huske jeg engang lærte, at kvadrattal aldrig kan ende på 2, 3, 7 og 8, men havde ikke lige fået det koblet med at alle de store summer endte på 3 ... Elegant

(Jeg var i gang med hvordan man kunne opstille summen i forskellige led med noget uden for parenteserne og komme over i binomialkoefficienter, men det førte ikke rigtig til noget).

  • 2
  • 0

@Flemming: Jeg regnede nogle summer ud, og konstaterede sidste ciffer låste fast på 3, det var ikke så svært at se hvorfor. Så kunne jeg ikke lige finde nogen kvadrattal der endte på 3, og så var det jo oplagt at overveje hvordan det kunne være. Eksperimenter leder til teori - også i matematik :-)

  • 3
  • 0

Jeg har set opgaven før på en mathquiz youtubekanal (tror det var mindyourdecisions, faktisk), så jeg er lidt ude her. Men jeg puslede lidt med lidt kode til fakulteter og kvadrattal og konstaterede et par sjove detaljer.

Hvis man deler fakulteterne af 1 til 10 op i to bestemte bunker kan man få to kvadrattal som summer. Hvilke to bunker er det?

Og hvis man adderer 12 af de 15 første fakulteter (1! til 15!) får man også et kvadrattal. Hvilke tre skal ikke med?

  • 1
  • 0

Dette var en spændende udvidelser af en ellers kedsommelig opgave. Jeg nægter at benytte computer på den slags opgaver, så jeg er kun begyndt på den første opgave. Her kan de 4 første fakultetstal inddeles i to grupper på 8 forskellige måder: [latex] 1\; vs\; 2+6+24 = 32\quad 2\; vs\; 1+6+24 = 31\quad 6\; vs\; 1+2+24 = 27 [/latex] [latex]24\;vs\; 1+2+6 = 9\quad1+2 = 3\; vs\; 6+24 = 30 \quad 1+6 = 7\; vs\; 2+24 = 26 [/latex] [latex] 1+24 =25\; vs \;2+6 = 8\quad 1+2+6+24 = 33\; vs\; 0 [/latex]

Da alle kvadrattal ender på 0, 1, 4, 6 eller 9, skal BEGGE de 2 grupper have et af dsse endetal. Det giver kun den ene mulighed med 24 i den ene gruppe og 1+2+6 = 9 i den anden. Nu tænker jeg videre ...

  • 0
  • 0

UAGH!

FEJL!

Den første af de to opgaver holder ikke! Man kan IKKE dele faktorerne (1! - 10!) op i to bunker og få en løsning!

So, so sorry! Mit program havde en fejl!!! Gud ske lov prøvede jeg også at finde en matematisk løsning - og det holdt ikke!

Om forladelse for at spilde jeres tid!

  • 0
  • 0

Sn=1!+2!+3!+...n! Kvadrattal vil ende på 00, 1, 4, 6, 9, 25 (https://en.wikipedia.org/wiki/Square_number) Sidste ciffer i n! vil være 0 for n>=5 (indeholder faktorerne 2 og 5) Altså vil sidste ciffer i Sn være = sidste ciffer for S4 for n>=4 S4=33 Sidste ciffer/cifre i Sn = 3 for n>=4: ingen kvadrattal for n>=3 Afsøges S1..S3 findes kvadrattallene S1=1 og S3=9 Svaret er dermed 9 som flere også har foreslået

  • 0
  • 1

Jeg har et bud på en enkel løsning på det oprindelige problem.

Ved at starte forfra findes løsningen n=3 hurtigt. Ved at gå videre til 4 og 5 ses at summen af fakulteter vokser meget hurtigere end kvadraterne, så der vil ikke kunne indtræffe flere situationer, hvor fakultets-summerne er lig med kvadrattallene for højere værdier af n.

Hvis denne formulering ikke er tilstrækkelig matematisk kan følgende bevis udføres:

Differenskvotienterne for de to størrelser er henholdsvis:

For fakultetssummen: F = (n+1)!

For kvadrattallet: K = 2n + 1

Det drejer sig altså om at bevise at F > K for n>= 3

(n+1)! > 2n-1 = (2n+2) - 1

n! > 2 - 1/(n+1)

For n>0 vil dette være opfyldt hvis: n! > 2

Det fremgår af definitionen på n! at dette er tilfældet for n>=3.

  • 0
  • 0

Ebbe, bare lige for at være sikker ... du er klar over, at det ikke skal være det samme n som giver et kvadrattal og en fakultetssum, ikke (altså for et givet kvadrattal skal der bare findes en sum af fakulteter som giver kvadrattallet)?

Det ser ud som om, din argumentation antager at det er det samme n ...

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten