Tænkeboks: Find resten af kuglen

Opgave 118:

Et cylindrisk hul med en længde på 6 cm er boret lige igennem midten af en kugle. Hvad er rumfanget af den resterende kugle?

– – –

Vi bringer løsningen i næste nummer, og indtil da kan I diskutere jeres forslag til løsninger herunder.

Klik for at forstørre tegningen Illustration: Tænkeboxen

Løsning på opgave 292: Tænkeboks: Byt om på togvognene

Otte ture med lokomotivet er nødvendige, hvis de to vogne skal bytte plads på den noget aparte, trekantede jernbane.

Her er, hvad lokomotivet skal gøre:

Hent B via 2. Aflever B på 1 via 2. Hent B via 2 og 3 med A som ‘kobling’. Aflever B på forbindelsen 2-3 via 3, mens A stadig er koblet til lokomotivet. Aflever A på 1 via 3. Hent B via 3. Aflever B på 1-3. Hent A via 3 og 2. Aflever A på 2-3 via 2. Kør alene til 1-2 via 2.

Så er der byttet om på vognene A og B, og lokomotivet er tilbage på udgangspunktet.

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg er I tvivl om det er med vilje, at kuglens radius ikke angives. Men lad mig tænke positivt,, og gå ud fra at opgaven går ud på at fremstille en formel for figurens volumen som funktion af radius, R.

Ved at foretage en numerisk integration for en håndfuld værdier af R, med efterfølgende regression, har jeg fundet dette udtryk: V = 125,76R^2-1479,9R+4352

Det løser opgaven med tre betydende cifres nøjagtighed. (bemærk at værdien for R = 6 er -0,04).

Det er måske meningen med opgaven, at man skal kaste sig ud i at udlede et særdeles langhåret udtryk ved hjælp af en integrationsproces, som involverer integration ved substitution i flere omgange. Jeg mindes at have set noget i den stil i forbindelse med udledning af formlen for inerti af en massiv kugle, men det er altså ikke relevant for en ingeniør! Jeg går kun ind for de analytiske løsninger, hvis de fører til resultatet på en elegant og hurtig måde. Det mener jeg ikke er tilfældet her. Men jeg kan jo tage fejl?

  • 0
  • 1

Hvis du har en formelsamling, er opgaven ganske simpel. Det er dog utroligt, hvad du har rodet dig ud i. Jeg har givet løsninger på en del tidligere opgaver, så jeg træder lidt til side denne gang.

  • 1
  • 0

Den nemmeste løsning er simpelthen at slå op på side 125 af Martin Gardners "Morsom Matematik". Bogen, som jeg fik i julegave i 1964, indeholder flere sjove opgaver. Svaret er i øvrigt 36 * pi.

  • 3
  • 0

Kender du et ungt mennske, der går på htx, så er det bare at spørge vedkommende. Det er htx pensum på b niveau.

  • 0
  • 0

Et cylindrisk hul med en længde på 6 cm er boret lige igennem midten af en kugle. Hvad er rumfanget af den resterende kugle?

Hvordan kan et hul have en længde? Et hul har vel en bredde/radius og en dybde? Jeg har tilladt mig at formode, at det er hullets diameter der menes? Men hvad er så kuglens diameter?

Hvis jeg borer et hul med diameter på 6 cm gennem en kugle med en radius på 6 cm, så er der ingen kugle tilbage. Vi er nødt til at kende kuglens radius.

Hvis det er kuglens diameter der er 6 cm, så afhænger volmen af den resterende del af hullets diameter.

Hvad er det opgavestilleren mener? Vi er nødt til at kende kuglens diameter og hullets diameter hvis vi skal svare med et tal og ikke angive volumen som funktion af radius.

Svaret er i øvrigt 36 * pi.

Hvordan kan svaret være et tal, når du ikke kender både diameter af hullet og radius af kuglen?

  • 0
  • 4

Hvis jeg borer et hul med diameter på 6 cm gennem en kugle med en radius på 6 cm, så er der ingen kugle tilbage. Vi er nødt til at kende kuglens radius.

Der skulle have stået radius på 3 cm. Og ja, pointen er , at så er der ingen kugle tilbage.

Men de er vel bare at bruge formlerne for rumfang af kugle, cylinder og kugleafsnit. Hvor kugleafsnit vel er den eneste der ikke er alment kendt, og som de fleste har set udledt.

  • 0
  • 1

Hvis du borer præcist gennem kuglens centrum vil borehullet være cylindrisk, altså de cirkelflader som ind- og udgangshullet danner vil være parallelle. Afstanden mellem disse cirkelflader er længden af hullet.

  • 9
  • 1

Hvad er længden af en tunnel (=et hul)? Og ja, svaret afhænger ved første øjekast af kuglens diameter, så du kan fortolke opgaven, som at vise at det gør det ikke. Når det er gjort, er svaret til selve opgaven triviel at finde...

  • 1
  • 0

Jeg synes det en meget 'elegant' opgave, som jeg har tænkt på flere gange, siden jeg fik bogen i julegave for mere end 57 år siden.

Den enkle løsning handler nok mere om logik end om matematik.

For mindre end en måned siden var vi fire studiekamerater fra årgang 1974 på Århus Teknikum, som diskuterede netop denne opgave. Lidt underligt - måske har Ingeniøren lyttet med...

  • 3
  • 0

Hvis vi går ud fra at der ikke er formuleringsfejl i opgaven, og accepterer at dybden af et hul også kan beskrives som længden af en cylinder, så fortæller formuleringen at afstanden mellem de 2 cirkler, der udgør skæringen mellem kuglen og cylinderen, er 6 cm, hvilket også betyder at kuglens diameter er 6 cm, når hullets diameter er 0 (eller uendelig lille, om man vil).

Det er dermed også indlysende at kuglens diameter vokser degressivt med cylinderens diameter, når cylinderens længde er konstant.

Det synes umiddelbart at efterlade en manglende information om enten kuglens eller cylinderens diameter, MEN:

Hvis vi opfatter kuglen, som en ring, med et halvcirkelformet tværsnit omkring cylinderen, så er det let at gennemskue at arealet af dette tværsnit mindskes med samme degression som kuglens diameter øges, når cylinderens diameter (og dermed ringens omkreds omkring cylinderen) øges liniært, så vi kan trygt nøjes med at regne med en cylinder, hvor diameteren er 0, hvormed geometrien blot er en massiv kugle med diameteren 6 cm.

Rumfanget er således 4/3 x π x 3³ = 113,097 cm³

  • 12
  • 2

Nej! Endefladerne af cylinderen vil være kuplede med den store kugles diameter

Ikke enig. Den sfæriske flade er jo ikke eksisterende indenfor cirklen, når hullet er boret, så hullet er defineret som en cylindrisk volumen mellem de to cirkler.

Hvilket klart fremgår af opgaveteksten, da hullet beskrives som "Et cylindrisk hul med en længde", og den geometriske definition af en cylinder er:

"Cylinder, (af gr. kylindros 'valse, cylinder'), i geometri et legeme begrænset af en cylinderflade og to parallelle, plane endeflader;"

https://denstoredanske.lex.dk/cylinder_-_g...

Til forskel fra tidligere, ret så uheldige opgaveformuleringer, må jeg sige at opgaveformulerging denne gang ikke bør være til at tage fejl af, hvis man forstår de mest almindelige geometriske definitioner.

  • 6
  • 0

Hej Børge Ja - du har ret. Jeg har været ude på et sidespor. Jeg havde læst opgaven som om, at det var diameteren af hullet der var givet. Så bliver den lidt sværere - og radius går ikke ud af ligningen!

  • 0
  • 0

Da jeg ikke kunne overskue (uden at slå op) at integrere 360 grader rundt, vendte jeg den på hovedet (meget a la Søren)

Jeg gik ud fra, at opgaven var løsbar med de givne oplysninger, ergo er kuglens radius ude af ligningen - og dermed også cylinderens diameter.

Så ligger løsningen med d=0 lige for - og man har en hel kugle med r=3 cm og rumfanget 36 * Pi.

Men 👍 for opgaven - den bedste længe.

  • 6
  • 0

Oprindeligt løste jeg opgaven med brug af en formelsamling. Kuglens volumen minus cylinderens volumen minus de 2 kugleafsnits volumen. Det var der ingen ben i. Men foranlediget af gårsdagens indlæg indser jeg nu, at opgaven kan løses uden hjælp udefra, hvilket jeg er en stor tilhænger af. Så jeg indskriver min nye metode, der muligvis også er tænkt på i #26.

Vi kalder kuglens radius R og den halve hullængde h = 3 cm. Der indlægges et fast plan cennem kuglens centrum og vinkelret på hulaksen samt et varabelt plan parrelt med det faste plan i afstanden x. I det variable plan befinder sig en cirkelring med indvendig og udvendig radius r1 og r2 givet ved Pythagoras: [latex] \qquad r_1^2 + h^2 = R^2 \qquad r_2^2 + x^2 = R^2 [/latex] Heraf beregnes cirkelringens areal til [latex] \qquad A = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi ( h^2 - x^2 ) [/latex] Når dette areal ganges med cirkelringens infenitesimale tykkelse dx og der integreres over alle x, får vi æbleskrogets samlede volumen: [latex] \qquad V = \int_{-h}^h \pi ( h^2 - x^2 ) dx = \pi \left[ h^2 x - \frac{1}{3} x^3 \right]_{-h}^h = \pi \left[ \frac{2}{3} h^3 + \frac{2}{3} h^3 \right] = \frac{4 \pi}{3} h^3 = 36 \pi [/latex]

  • 1
  • 0

Hvis vi opfatter kuglen, som en ring, med et halvcirkelformet tværsnit omkring cylinderen, så er det let at gennemskue at arealet af dette tværsnit mindskes med samme degression som kuglens diameter øges,

Er det let at gennemskue? Jeg bliver nødt til at integrere for at indse det. Har du et intuitivt bevis?

når cylinderens diameter (og dermed ringens omkreds omkring cylinderen) øges liniært,

Men hvis du skal beregne volumen ud fra tværsnitsarealet. så er det jo 2pi x tværsnitsareal x afstand fra centrum til massemindtpunkt af tværsnit. Er det også umiddelbart at indse, at denne afstand vokser lineært?

Anyway, volumen kan yderst simpelt beregnes på 2 linier ved bare at behandle det som et hult omdrejningslegeme og integrere. Og i virkeligheden behøver ikke engang integrere, da kuglens radius jo går ud når man opstiller udtrykket, og man så bare kan udregne volumen for en kugle med radius 3.

  • 0
  • 0

Jeg var noget i tvivl om parameteren man skulle vælge for integration af volumen, da jeg ikke umiddelbart kunne finde enklere løsninger.

Jeg valgte korden udtrykt ved topvinklen og radius i kuglen, og fik også pi/6xK^3. Et noget uventet simpelt resultat.

  • 1
  • 1

Hvad er radius på den største napkin ring med højde = 6 cm man kan lave, når vi forudsætter at den skal bestå af atomer med en radius på 53 pm? Vi ser bort fra at kuglen måske vil blive til et sort hul før vi når maks. radius (og andre praktiske problemer).

Den bliver aldrig et sort hul, da du borer det meste væk, så der kun bliver 36pi cm3 stof tilbage. Hvem siger at kuglen laves først?

Men bevares, det kan blive en meget tynd væg, hvis kuglen den svarer til er meget stor.

Er et sort hul egentlig ikke defineret ved at stof der falder ind når lyshastighed ved den såkaldte begivenhedshorisont?

  • 2
  • 2

36pi cm3 stof

Præcis, Svend, 36Pi cm3 tætpakkede atomer med radius 53 pm. Det må være et endeligt antal, så derfor må der også være en øvre grænse for hvor tyndt de kan smøres ud i en 6 cm høj napkin ring. Men der mangler vist yderligere en forudsætning: hvert atom skal have kontakt med mindst to andre.

Så er det bare at gå igang med at pakke kugler. 0:-)

  • 1
  • 1

Lad kuglens diameter være D. Kuglens omkreds er da O = D.pi og dens areal A = DD.pi og dens rumfang K = DDD.pi/6. Lad den indskrevne cylinders højde være H < D. Her er H = 6 cm. Ved hjælp af Pythagoras er den indskrevne cylinders diameter E = sqrt(DD–HH). Dermed er cylinderens rumfang C = EEH.pi/4 = (DDH–HHH).pi/4. Nu er højden af kuglepolarkalotten (D–H)/2 og dens areal dermed ved hjælp af Archimedes B = O(D–H)/2 = (DD–DH).pi/2 og summen af dens rumfang og den indskrevne kegles rumfang dermed S = B/A.K = (1–H/D)/2.DDD.pi/6 = (DDD–DDH).pi/12. Men den indskrevne kegles højde er H/2 og dens diameter E og dens grundflade EE.pi/4 = (DD–HH).pi/4 og dens rumfang en tredjedel gange højden gange grundfladen L = H/6.(DD–HH).pi/4 = (DDH–HHH).pi/24. Dermed er kuglepolarkalottens rumfang P = S–L = (2DDD+HHH–3DDH).pi/24 og dens dobbelte rumfang 2P = (2DDD+HHH–3DDH).pi/12. Nu er kuglens rumfang summen af cylinderens rumfang og kuglepolarkalottens dobbelte rumfang og det ønskede rumfang K = C+2P+V, og C+2P = (DDH–HHH).pi/4+(2DDD+HHH–3DDH).pi/12 = (DDD–HHH).pi/6, og dermed det ønskede rumfang V = K–(C+2P) = HHH.pi/6. Med H = 6 cm er V = 36pi kubikcentimeter. Som andre også fandt.

  • 0
  • 0

Lad kuglens radius være R, og lad H = 6 cm være højden af den indskrevne cylinder, og lad dermed ved hjælp af Pythagoras Q = sqrt(RR–HH/4) være radius af den samme indskrevne cylinder. Nu er højden af en vilkårlig indskreven cylinder med radius x også ved hjælp af Pythagoras 2sqrt(RR–xx), og omkredsen er 2pi.x, og arealet er dermed 4pi.x.sqrt(RR-xx). Så findes resten af kuglen som rumfanget imellem den indskrevne cylinder med radius Q og den indskrevne cylinder med radius R: Integralum pro x ab Q ad R de 4pi.x.sqrt(RR–xx) aequat differens pro x ab Q ad R de –4/3.pi.sqrt(RR–xx) aequat 4pi/3.cube(sqrt(RR-QQ)) aequat 4pi/3.cube(sqrt(HH/4)) aequat pi/6.cube(H). Og jeg beklager gerne notationen, som blev udviklet til at samtale om matematik per sms!

  • 0
  • 0

Lad kuglens radius være R, og lad H = 6 cm være højden af den indskrevne cylinder, og lad dermed ved hjælp af Pythagoras Q = sqrt(RR–HH/4) være radius af den samme indskrevne cylinder. Nu er radius a af en vilkårlig indskreven cylinder med højden 2y på samme måde a = sqrt(RR–yy) og dermed arealet af cirkelringen parallel med cylinderens grundflade og koaxiale med aksen og med indre radius Q og ydre radius a bliver pi(aa–QQ) = pi(HH/4–yy), som skal integreres for 0 < y < H/2, og ganges med to sådan: 2 integralum pro y ab nulla ad H/2 de pi(HH/4–yy) aequat 2pi differens pro y ab nulla ad H/2 de (HHy/4–yyy/3) aequat 2pi(HHH/8–HHH/24) aequat pi/6.HHH. Med tak til Børge Howald Petersen!

  • 0
  • 0

Det er jo egenligt nemt nok... Opgaven fortæller os, at kuglens diameter ikke er nødvendig at kende, så derved tænkes der, at det ekstreme tilfælde, hvor cylinderen og kuglen har samme længde/radius vil give samme resultat. Der vil her være grænsende til ingenting udboret, så det resterende er en kugle med diameter 6 cm. Rumfanget af en sådan er phi/6 D^3, så svaret er - uanset kuglens diameter 36phi.

  • 1
  • 2

Jeg har en divergerende mening om opgaveteksten. Opgaveteksten siger IKKE, at løsningen er uafhængig af radius selv om radius ikke indgår. Og man bør som kompetent opgaveløser ikke slutte baglæns fra dette. At løse opgaven kompetent, må være at kalde radius ved et bogstav og så regne løs. Så dropper løsningen pudsigt nok ud som uafhængig af radius. Og hermed får man sin velfortjente Aha-oplevelse.

  • 7
  • 0

“Snød” jeg selvfølgelig - men:

Pragmatisk nåede jeg det rette resultat med et absolut minimum af indsats - det tæller rigtigt meget i min tilgang til løsning af opgaver 😊

Og: stor respekt til dem der lynhurtigt “tryller” det rigtige integrale frem til at løse opgaven matematisk korrekt

  • 2
  • 0

Selvom det blev en masse trigonometriske funktioner, valgte jeg at finde volumen ved at integrere overfladen af cylinderen ganget med dr (r=radius i cylinderen). Starter man udefra kommer løsningen nemt.

Integralet af cylinderlængde x 2pi r x dr. Vinklen a bestemmer cylinderlængde = 2Rsina og cylinderradius Rcosa.

2Rsina x 2piRcosa x d(Rcosa). Integralet 4piR^3 sin(a)^2 d(Rsina) = 4/3piR^3 sin(a)^3 Fra a = 0 til sina = K/2R. Jeg skøjtede let henover nogle negative fortegn.

Det blev lettere end diverse pytagoras.

  • 0
  • 0

Jeg er enig, men der skal ikke henvises til #30 fordi man her bare sætter kuglens diameterlig med 6 cm med begrundelsen at den ikke er opgivet i teksten. Som du ellers formulerer det, må det være den simpleste løsning, altså uden integration.

  • 0
  • 0

Lad kuglens diameter være D. Kuglen har omkreds pi D, arealet pi DD og rumfanget pi/6 DDD. Lad nu den indskrevne cylinders højde være H. Diameteren ved hjælp af Pythagoras sqrt(DD–HH), grundfladen pi/4 (DD–HH) og rumfanget pi/4 (DD–HH)H. Den tilsvarende dobbeltkegle med toppunkt i centrum har rumfanget pi/12 (DD–HH)H. Den udkeglede cylinder pi/6 (DD–HH)H. Lad nu også den omskrevne cylinder have højden H og omkredsen pi D og arealet pi DH. Det tilsvarende kugledelareal er ifølge Archimedes (det vil sige integration) pi DH. Det tilsvarende kugledelrumfang er kugledelarealet divideret med kuglehelarealet gange kuglerumfanget (pi DH)/(pi DD) (pi/6 DDD) = pi/6 DDH. Herfra subtraheres den udkeglede cylinder. Resten af kuglen bliver: pi/6 DDH – pi/6 (DDH–HHH) = pi/6 HHH.

  • 0
  • 0

Jeg fandt opgaven, som jeg lige hyggede mig med her op til weekenden. Jeg får samme resultat som så mange andre, men vil da lige vise min tilgang.

Jeg antager at udgangspunktet er en kugle med radius R. Den har volumen V-kugle = (pi)R³(4/3)

Der skal skæres to kugleafsnit (kalotter) af. De har begge "højden" R-3 og tilsammen har de 2 kalotter et volumen på (2R³-9R²+27)pi(2/3). Det interessante er, at 3diegradsleddet har samme størrelse som kuglens rumfang, så kuglen uden kalotterne har rumfanget V-flad= 6(pi)(R²-3). Når dette volumen ikke har et trediegradsled skyldes det, at højden er "låst" fast til 6 cm.

Så skal vi have fjernet "cylindrene" der sad mellem "kalotterne". Først skal vi dog finde cylinderens radius, r, vha Pythagoras, idet R² = r² + 3². Derfor bliver cylinderens volumen 6(pi)(R²-9). Når vi fratrækker dette volumen fra V-flad fås servietholderens volumen: V = 36pi.

Det er naturligvis også volumen af en kugle med radius R = 3. Da R ikke indgår i volumen, og man altid kan substituere, så højden af cylinderen bliver 6 "et-eller-andet", må det gælde for volumen af enhver "servietholder" er volumen af kuglen med samme diameter som servietholderens højde, altså at V = pi(H³)/6.

Man kan altså opfatte en kugle som et grænsetilfælde af en servietholder, med samme højde som kuglens diameter og omvendt.

  • 2
  • 0

for jeg kan ikke se at man undgår en integration.

I mit indlæg #31 finder jeg et ringareal, der er uafhængig af kuglens radius. Det gør hele rumfanget uafhægigt af kuglens radius, og derfor kan radius praktisk sættes til 3 cm så man finder løsningen som kuglens rumfang uden at skulle integrere. Det er hvad Kim netop har påpeget

  • 0
  • 0

Det simpleste synes jeg er at kigge på vandrette tværsnit og beregne arealet af cirkel-"stykket" (differens mellem to cirklers areal). Da den er uafhængig af kuglens radius kan man derefter bruge Flemmings metode #30. Ingen integration, kun lidt pythagoras.

Hvilket stort set er præcis det samme du gør, når du beregner det som et hult omdrejningslegeme. Den eneste forskel er om du til sidst integrerer x^2dx eller slå formlen for en kugles rumfang op i formelsamlingen.

  • 1
  • 0

Lad kuglens diameter være D og den indskrevne cylinders højde H. Ved hjælp af Pythagoras er cylinderens diameter sqrt(DD–HH). Lad kuglefladen være opbygget af lillecirkler parallelle med cylinderens grundflade, og lad cylinderen være opbygget af cirkler, idet afstanden fra kuglecentrum til cirkelcentrum er z. Givet z er kuglelillecirklens diameter sqrt(DD–zz) og dens areal pi/4 (DD–zz). Cylindercirklens diameter var sqrt(DD–HH) og dennes areal pi/4 (DD–HH). Subtraheres fås cirkelringens areal pi/4 (HH–zz). Som også er arealet af cirkelringen med indre diameter z og ydre diameter H. Og cirklerne med indre diameter z udgør dobbeltkeglen indskrevet i cylinderen indskrevet i kuben med siden H. Imellem sidstnævnte dobbeltkegle og cylinder findes nu det ønskede rumfang ved at subtrahere rumfanget af dobbeltkeglen fra cylinderen, som bliver 2/3 gange højden H gange grundfladen pi/4 HH = pi/6 HHH. Samtidig har vi med H = D bevist at kuglens rumfang bliver pi/6 DDD. Dermed idet kuglens rumfang er 1/3 gange radius D/2 gange kuglearealet A også at A = pi DD. Altsammen uden anden integration end keglerumfang. Det bemærkes at Apollonius fandt arealet under parablen som 1/3 gange højden gange grundlinjen. Med andre ord kunne han integrere axx til 1/3 axxx.

  • 0
  • 0

Nej jeg mente at summen af kvadratet på cylinderens diameter og kvadratet på cylinderens højde er kvadratet på kuglens diameter. Altså diametre ikke radier. Men med R = D/2 bliver cylinderens radius selvfølgelig sqrt(RR-HH/4).

Men lad mig indrømme mit nederlag med euklidisk rum geometri for keglen og for kuglen til moderne kalkulus. Matematikeren David Joyce siger på internettet, at han anbefaler at lære kalkulus i stedet for, da det ikke er vanskeligere og har flere anvendelser. Se eventuelt:

https://www.quora.com/How-does-one-get-the...

  • 0
  • 0

Nej, det er ikke godt.Det var sjusk. Den helt generelle formel for en vilkårlig kugle R og et cylinderhul r begge radier bliverV= 4/3*pi(R^2-r^2)^(3/2) mm^3 her skulle dimensionerne gerne være i orden.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten