Tænkeboks: Find den præcise grænse for vindmøllers effektivitet

Illustration: Ingeniøren

Denne uges opgave kommer fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved AAU og lyder:

Opgave 35: Som mange sikkert vil vide, er der en øvre grænse for, hvor stor en andel af vindens kinetiske energi eksempelvis en vindmølle kan optage og omdanne, nemlig ca. 60%.

Men hvad er den præcise grænse, og hvordan indses dette?

Lad os begynde med nogle antagelser: Luften er inkompressibel, tætheden konstant, og der er ingen varmeoverførsel. Luftstrømmen er konstant et stykke før og et stykke efter interaktionen med ‘møllen’, som vi betragter som en uendeligt tynd cirkelskive, og den bevæger sig vinkelret igennem ‘møllens’ skive. Endvidere ignoreres turbolens osv. Hvis man antager, at vindfarten i interaktionsskiven er gennemsnittet af den konstante fart før og efter, hvor meget energi kan da optages, og hvad er da det optimale forhold mellem ind- og udgående fart?

Og får man de ca. 60%?

Man kan faktisk udlede, hvad farten i interaktionsskiven er udtrykt ved hastigheden før og efter, ved at benytte energi- og impulsbevarelse, men denne del er mere langhåret.

– – –

I kan diskutere jeres forslag til løsninger herunder, og vi bringer løsningen i næste uge.

/elp

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Hvis man ikke tænker for meget, og tager teksten for gode varer, så får man Betz formel med maksimum ved 59,3% (16/27). Hvis man begynder at overveje om middelhastigheden ved møllen er korrekt, og overvejer vindstrømmens areal før under og efter møllen, bliver det mere langhåret. Jeg fandt denne udledning på nettet: https://en.wikipedia.org/wiki/Betz%27s_law Som forklarer hvorfor hastigheden ved møllen er middelhastigheden. Det er ikke svært, man skal bare se lyset.

En anden mærkværdighed er, at den kinetiske energi pr m3 har samme enhed som tryk i luft/væske. Det kommer jo til udtryk i Bernoullis lov om det dynamiske tryk i en laminar strømning.

Lidt regneri viser, at en vindmølle i 10m/s vind ca. producerer samme effekt/m2 som solceller i fuld sol.

  • 3
  • 0

Det interessante ved de 16/27 er vl, at det er en tolkning? Skåret til benet opstår resultatet som et produkt af to brøker, nemlig 2/3 gange 8/9. I modellen trækker man nemlig kun energi ud af en luftstrøm med et areal på 2/3 af det overskrevne rotorareal. Vindhastigheden efter "passagen" er reduceret til 1/3 af før passagen, så man har "kun" hentet" 8/9 af luftstrømmens energi til møllen.

Så ville man vel sædvanligvis sige, at virkningsgraden er 8/9, men her vælger man så i stedet lidt arbitrært at sige, at luftstrømmens areal skal beregnes i forhold til en luftstrøm, som før passagen af møllen har en størrelse som det overskrevne rotorareal. Det er da lidt interessant, at alverdens branchefolk er enige om, at grænsen er 16/27 og ikke 8/9....

  • 0
  • 4

Så ville man vel sædvanligvis sige, at virkningsgraden er 8/9, men her vælger man så i stedet lidt arbitrært at sige, at luftstrømmens areal skal beregnes i forhold til en luftstrøm, som før passagen af møllen har en størrelse som det overskrevne rotorareal. Det er da lidt interessant, at alverdens branchefolk er enige om, at grænsen er 16/27 og ikke 8/9....

Den med at bruge møllens areal som reference kan jeg forsvare med at møllen står i fri luft. Der er ikke noget rør der leder luften forbi/igennem møllen, og praksis viser 16/27 er en god øvre grænse.

Det forbavsende er, at man teoretisk kan høste mere end 50% af effekten i luften. For en antenne kan du kun høste 50% af feltets effekt, fordi de inducerede strømme i antennen vil stråle den anden halvdel ud igen.

  • 0
  • 0

Man skal ikke betragte arealer, men se på tabet af en given luftstrøms kinetiske energi ved at passere møllen. Der betragtesx et strømrør, der har hele møllens areal S som tværsnit og hvis tværsnit før møllen er mindre (fordi hastigheden er større) og efter møllen er større (fordi hastigheden er mindre). Luftens volumenstrøm (volumenet gennem et tværsnit pr. tidsenhed) er v gange S (med opgavestillerens betegnelser), og denne værdi gælder af kontinuitetsgrunde for ethvert tværsnit af strømrøret. Hermed bliver luftstrømmens mistede effekt, der overføres til møllen [latex] \Delta P = vS[0,5 \rho f^2 - 0,5 \rho e^2] [/latex] Dette er også¨opgav estillerens svar.

  • 2
  • 0

Luftens volumenstrøm (volumenet gennem et tværsnit pr. tidsenhed) er v gange S (med opgavestillerens betegnelser), og denne værdi gælder af kontinuitetsgrunde for ethvert tværsnit af strømrøret. Hermed bliver luftstrømmens mistede effekt, der overføres til møllen ΔP=vS[0,5ρf2−0,5ρe2] Dette er også¨opgav estillerens svar.

Tak for kommentar. Opgavestillerens svar kender jeg af gode årsager ikke? Men argumentet for 8/9 er netop, at luftens hastighed efter passagen af det du kalder "strømrøret", er 1/3 af før passagen. Dermed er luftstrømmens bevægelsesenergi efter passagen 1/9 af før. Resten (altså 8/9 af luftstrømmens bevægelsesenergi inden passagen) kan i princippet overføres til møllen.

Jeg tænker at der ligger memotekniske overvejelser bag de 16/27, fordi det er enklere at betragte det overskrevne rotorareal. Men rent fysisk er vi helt enige om, at det må være andelen af "volumenstrømmens" energi til møllen der definerer den teoretiske virkningsgrad.

  • 0
  • 3

Du skal regne i effekt. Dit 8/9 af f^2 skal ganges med v lig med 2/3 af f, hvorved vi igen får 16/27. Du må ikke tale om mnemoteknik. Dette er eksakt videnskab

Det er korrekt, at A = P*v. Men det har altså intet med sagen at gøre. Hvis 8/9 af energien overføres, så gælder det også 8/9 af effekten.

Man korrigerer i den traditionelle Betz-udledning med 2/3, fordi man ønsker at regne i forhold til det overskrevne rotorareal. Men det er i virkeligheden en besynderlig korrektion, set ud fra en energi (og effekt) betragtning.

  • 0
  • 1

Opgavens reference er en parallelstrømning med hastighed f (altså ikke v) gennem et fiktivt areal af størrelse S på møllens sted. Den gennemstrømmende effekt er [latex] P_0 = \scriptstyle 1/2 \displaystyle \, \rho f^2 \cdot fS [/latex] Dette skal divideres op i det tidligere fundne effektab beregnet for et strømrør gennem møllens areal S, begyndende med arealet S/2 før møllen og sluttende med arealet 3S/2 efter møllen. Der sammenlignes altså samme snit i 2 forskellige strømninger og ikke to forskellige snit i samme strømning.

  • 3
  • 0

Man korrigerer i den traditionelle Betz-udledning med 2/3, fordi man ønsker at regne i forhold til det overskrevne rotorareal. Men det er i virkeligheden en besynderlig korrektion, set ud fra en energi (og effekt) betragtning.

Når vi snakker effektivitet er vi kun interesserede i to forhold: energien vi får ind (dvs vinden i det overstrøgne areal) og energien vi optager. Alt andet er ligegyldigt. Hvorfor mener du det er vigtigt hvad vindhastigheden/-volumen er bagefter?

  • 0
  • 0

Når vi snakker effektivitet er vi kun interesserede i to forhold: energien vi får ind (dvs vinden i det overstrøgne areal) og energien vi optager.

Men den energi der kommer ind er netop ikke energien gennem det overstrøgne rotorareal i den uforstyrrede luftstrøm. Den energi der kommer ind er energien fra den uforstyrede luftstrøm fra et areal på 2/3 af det overskrevne rotorareal.

Når vi beregner virkningsgrad siger vi sædvanligvis P2/P1. Det giver et enkelt regnestykke, idet lufthastigheden efter passagen er 1/3 af før, så 8/9 af energien er optaget af møllen i det ideelle tilfælde.

Men lige med vindmøller vælger man at gange med 2/3, så man får de berømte 16/27. Det er memoteknisk enkelt (som du selv er inde på), men det er en meget usædvanlig måde at beregne virkningsgrad på. Men man har naturligvis lov til selv at beslutte, hvad man synes P1 er for en størrelse, det er bare et usædvanligt valg.

  • 0
  • 2

Enig Stig. Tre forskere fandt for 100 år siden, at det optimale var at reducere vindhastigheden med 1/3, for at få den optimale energitapning af vinden. En af dem var Betz med sine 16/27 dele eller 59,3 %.

Alle tre var dengang klare over sænkningen måtte kræve en udvidelse og et fald i hastigheden i arealet bag mølleplanet.

Accepter det dog, da ingen siden har leveret beviser for at det er andeledes.

Det er rigeligt svært at opnå bare 60% af Betz tallet i mølleeffektivitet.

  • 1
  • 5

Jeg prøver at uddybe min tidligere forklaring til Stig. Vi tænker os først en situation, hvor luften overalt strømmer som en parallelstrømning med hastigheden f gennem et fiktivt areal S vinkelret på strømningen. Gennem arealet bevæger sig en effekt givet ved volumenstrømmen f S ganget med den kinetiske energi 0,5 rho f^2. Herefter erstattes det fiktive areal med møllevinger med samme bestrøgne areal S. Den luft, der lige som ovenfor nærmers sig fra det fjerne (med samme hastighed f som ovenfor), får nu reduceret sin effekt med 60% ved at passere det bestrøgne areal S. Der er en mindre volumenstrøm gennem S end der var før og strømningen "starter" derfor med en mindre strømningsareal, men variationen i strømrørets tværsnitsareal har ingen betydning for argumentationen. Man skal kun se på hvordan effekten gennem tværsnittet S ændres ved at møllevingerne monteres.

  • 3
  • 0

Den maximale grænse er 59,3 % (16/27 del) er fastsat for hundrede år siden. Den præcise grænse findes ikke, da den afhænger af møllens konstruktion og placering og vindens art(laminar -turbulent) normalt regnes der med mulighed for max 70-80%. Når man regner efter på hvad møllerne kan og vindenes hastigheder og energitab i møllens komponenter er det nok snarere 60%

Men læs linket her. Der alt hvad nørdhjerterne banker for

https://en.wikipedia.org/wiki/Betz%27s_law

  • 1
  • 2

Det var det samme link jeg fandt. Det geniale er at man kan regne effekten ud som kraft gange hastighed eller som kinetisk energi pr tid. Men ingen af de udtryk giver svar på vindhastigheden ved møllen, det er kun ved at kombinere dem man får hastigheden som middel af før og efter.

  • 1
  • 0

Jeg tror hele bundtet har misforstået min anke. Jeg anfægter på ingen måde de 16/27. Jeg anfægter derimod, at de 16/27 er en energivirkningsgrad i typisk forstand.

I Betz-udledningen (som jeg underviser i), viser man, at den teoretiske grænse for den energimængde en vindmølle kan trække ud af luften, er 16/27 af energimængden i den uforstyrrede luftstrøm med samme areal som vindmøllens overskrevne rotorareal.

Det jeg problematiserer er, at det ikke er en virkningsgrad i sædvanlig forstand. I modellen er der 1/9 af en luftstrøms kinetiske energi i tilbage i luftstrømmen efter passagen af vindmøllen (fordi vindhastigheden er en trediedel af den uforstyrrede luftstrøms). Så ville man sædvanligvis sige, at virkningsgraden af "møllen" i den teoretiske udledning er (1-1/9) / (1) = 8/9.

Men lige med vindmøller vælger man at lade være at sige, at virkningsgraden er defineret af vindmøllens energiproduktion divideret med luftstrømmens kinetiske energiindhold før den "forstyrres" af vindmøllen. I stedet dividerer man vindmøllens produktion med den kinetiske energi af en hypotetisk luftstrøm med samme tværsnitsareal som det overstrøgne rotorareal, på trods af, at det er et centralt delresultat i udledningen af Betz formel, at luftstrømmen som indgår i beregningen "kun" har et areal på 2/3 af det overskrevne rotorareal, inden den "forstyrres" af møllen.

Det synes jeg er bemærkelsesværdigt. Jeg siger ikke, at de 16/27 er forkert, for man må i princippet selv definere, hvad man regner som input og output i sådan en beregning, men jeg gør opmærksom på, at man i andre sammenhænge nok ville have valgt energien i luftstrømmen før den forstyrres, med det tværsnitsareal, som Betz-udledningen viser, at luftstrømmen faktisk har. Skulle jeg eksempelvis beregne virkningsgraden af en motor, ville jeg tage energien på akslen og dividerer med brændstoffets energiindhold.

Jeg kan se to mulige forklaringer, på det usædvanlige valg:

1) I en virkelig vindmølle kender man (i modsætning til udledningen af Betz formel), ikke luftstrømmens tværsnitsareal før den forstyrres af møllen, men man kender det overskrevne rotorareal.

2) Det er besværligt at huske, at man skal multiplicere det overskrene rotorareal med 2/3 før man udleder den mulige teoretiske produktion fra vindmøllen, hvis man benytter 8/9 som den teoretisk maksimale virkningsgrad.

  • 0
  • 2

"Skulle jeg eksempelvis beregne virkningsgraden af en motor, ville jeg tage energien på akslen og dividerer med brændstoffets energiindhold."

I eksemplet med motoren springes alle mellemregningerne over.

Hvis jeg gør det samme og et øjeblik glemmer alt om udledning af Betz's limit og kontrol volumen (som er det der giver det reducerede regnemæssige areal foran møllen); men kun kikker på en mølle, på en mark eller på havet, ville jeg helt intuitivt sige, at energi indholdet i møllens 'brændstof' er den kinetiske energi i en luftstrøm med samme diameter som møllen. Det er den energi møllen har mulighed for at udnytte, og i mine øje ikke hypotetisk. At møllen ikke kan udnytte hele energien giver Betz's udledning svar på. Dermed lever 16/27 op til vanlig standard for virkningsgrader.

  • 3
  • 0

I eksemplet med motoren er virkningsgraden energi ud divideret med energi ind.

Det kan da godt være, at din intuition siger, at energi ind på en vindmølle må være den kinetiske energi af den uforstyrrede luftstrøm ind på at tværsnitsareal af samme størrelse som rotorens overskrevne tværsnitsareal, men Betz-udledningen viser jo altså, at det er en forkert intuition.

Jeg kan godt lide, at vi definerer virkningsgrad på nogenlunde samme måde hver gang, så jeg synes, at man i det mindste i teoriudledningen, burde gøre opmærksom på, at en mere sædvanlig tolkning af virkningsgrad ville give 8/9 ifølge Betz-udledningen. Lige som vi giver de studerende den historiske årsag til, at man har defineret strøm, så det løber i den modsatte retning af elektronerne (et andet punkt, hvor vi burde få taget os sammen til at forny definitionerne).

  • 0
  • 1

Det er i øvrigt let at komme uden om problemet: Man skal bare se Betz-udledningen, som en udledning ef den maksimale effekt møllen kan hente. Så giver de 16/27 pludseligt mening, ligesom det giver mening at tage udgangspunkt i det overskrene rotorareal.

Bare man dog ville lade være at påstå, at de 16/27 er den maksimale virkningsgrad. Jeg vil jo mene, at den teoretisk maksimale virkningsgrad er 1 (her vil møllen dog ikke levere nogen effekt), mens den maksimale effekt opnås, når v2 = v1 / 3 (og v = 2 v1 / 3).

  • 1
  • 2
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten